Dokumen tersebut membahas tentang persamaan kuadrat dan cara menyelesaikannya, meliputi: (1) mencari akar-akar dengan pemfaktoran, melengkapi kuadrat sempurna, dan rumus abc; (2) jumlah, selisih, dan hasil kali akar-akar; (3) menyusun persamaan kuadrat baru; (4) karakteristik penyelesaian melalui nilai diskriminan.

1. Persamaan dan
Pertidaksamaan Kuadrat

2. Nama Kelompok : Putri Cahyaningtyas (A410190194)
Fitri Anggi Widyani (A410190205)
Irma Rohmatul (A410190206)
Lughina A’yun Z N (A410190212)
Ulin Nuha Tri W (A410190221)
Fera Novita Sari (A410160046)
Nurizki Dini W (A410160049)

3. APA ITU PERSAMAAN KUADRAT?

4. Pak Andri memiliki lahan kosong berbentuk persegi panjang
yang akan dibangun untuk membuat ruang pertemuan. Lahan
tersebut memiliki luas 63m2 dengan ukuran panjang 2 meter lebih
dari lebarnya. Menurut kamu, bagaimana persamaan kuadrat dari
permasalahan tersebut?

6. PERSAMAAN KUADRAT
1. Mencari akar-akar persamaan kuadrat:
a. Pemfaktoran
b. Melengjkapkan Kuadrat Sempurna
c. Rumus abc
2. Jumlah dan hasil kali akar-akar dari persamaan kuadrat
3. Menyusun persamaan kuadrat baru
4. Karakteristik dari penyelesaian persamaan kuadrat melalui nilai
Diskriminannya.

7. 1. Mencari akar-akar persamaan kuadrat
a. Mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan Memfaktorkan

8. 1) Bentuk𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒄 = 𝟎
Misalkan x variabelpadahimpunanbilangan real, persamaan𝑎𝑥2
+ 𝑐 =
0dapatdiselesaikandengancaramemfaktorkanjikatanda a dan c berlawanan.
Soal
a. Tentukanhimpunanpenyelesaianatauakar-akarpersamaan9𝑥2 − 16 = 0jika x
variabelpadahimpunanbilangan real.
Solusi:
9𝑥2
− 16 = 0
↔ (3𝑥)2
− 42
= 0
↔ 3𝑥 + 4 3𝑥 − 4 = 0
↔ 3𝑥 = −4atau3𝑥 = 4
↔ 𝑥 = −
4
3
atau 𝑥 =
4
3
Jadi, himpunanpenyelesaiannyaadalah −
4
3
,
4
3

9. 2) Bentuk𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎
Bentuk𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0dapatdifaktorkandengancaramenggunakansifat
distributivesehingaamenjadi𝑥 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
Soal
a. Tentukanhimpunanpenyelesaianatauakar-akardaripersamaan
2𝑥2 − 5𝑥 = 0jika x variabelpadahimpunanbilangan real.
Solusi:
2𝑥2 − 5𝑥 = 0
↔ 𝑥(2𝑥 − 5) = 0
↔ 𝑥 = 0atau(2𝑥 − 5) = 0
↔ 𝑥 = 0atau𝑥 =
5
2
Jadi, himpunanpeneyelesaiannyaadalah 0,
5
2

10. 3) Bentuk𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎dengan𝒂 = 𝟏
Untukmenentukanakar-akarpersamaankuadrat𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0,
sebelumnyaharusmenentukanduabuahbilangan yang jumlahnyab
danhasilkalinya c.
Soal
a. Tentukanakar-akarpersamaankuadratdari𝑥2 − 9𝑥 + 8 = 0
Solusi:
𝑥2
− 9𝑥 + 8 = 0
⟺ (𝑥 − 8)(𝑥 − 1) = 0
⟺ 𝑥 − 8 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑥 − 1) = 0
⟺ 𝑥 = 8 atau 𝑥 = 1

11. 4) Bentuk𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎dengan𝒂 ≠ 𝟏
Untukmemfaktorkanbentuk𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0dilakukandengancara
menentukanduabilanganyaitu p dan q yang memnuhi p + q = b dan
pq=ac sehinggafaktorisasipersamaan𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0adalah
(𝑎𝑥 + 𝑝)(𝑎𝑥 − 𝑞) = 0
Soal
a. Tentukanhimpunanpenyelesaianpersamaankuadrat2𝑥2
− 5𝑥 − 3 = 0
jikax variabelpadahimpunanbilangan real
Solusi:
Duabilangan yang jumlahnya -5 danhasilkalinya 2 x (-3) = -6 adalah 1
dan-6 sehinggadiperoleh2𝑥2 − 5𝑥 − 3 = 0
⬌(2𝑥 + 1)(2𝑥 − 6) = 0
⬌2𝑥 + 1 = 0atau2𝑥 − 6 = 0
⬌𝑥 = −
1
2
atau𝑥 = 3
Jadihimpunanpenyelesaiannyaadalah −
1
2
, 3

12. b. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Mengubah suatu bentuk kuadrat menjadi kuadrat sempurna disebut dengan
melengkapkan kuadrat sempurna.

13. Langkah-langkah
1. Bentukumumpersamaankuadrat :
𝑎𝑥2
+𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
2. Keduaruasdikurangidengankonstantac :
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 − 𝑐 = −𝑐
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 = −𝑐
3. Bagilahkeduaruaspersamaandengankoefisiendari𝑥2
:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎
=
−𝑐
𝑎
𝑥2
+
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝑐
𝑎
=
−𝑐
𝑎
4. Lengkapibentukkuadratdenganmenambahkan
1
2
darikoefisien𝑥dikuadratkanpadakeduaruas:
𝑥2 +
𝑏𝑥
𝑎
+
𝑏
2𝑎
2
=
−𝑐
𝑎
+
𝑏
2𝑎
2
5. Tulisruaskiripersamaanmenjadibentukkuadrat :
𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
=
−𝑐
𝑎
+
𝑏
2𝑎
2
6. Pergunakansifatsifatakaruntukmenyelesaikan :
𝑥 +
𝑏
2𝑎
= ±
−𝑐
𝑎
+
𝑏
2𝑎
2

14. Tentukanakar-akarpersamaankuadratdari𝑥2 − 𝑥 − 3 = 0.
Solusi
𝑥2 − 𝑥 − 3 = 0.
⬌ 𝑥2
− 𝑥 = 3
⬌ 𝑥2
− 𝑥 + −
1
2
2
= 3 + −
1
2
2
⬌ 𝑥 −
1
2
2
= 3 +
1
4
⬌ 𝑥 −
1
2
2
=
12 + 1
4
⬌ 𝑥 −
1
2
= ±
13
4
⬌ 𝑥 =
1
2
±
1
2
13
𝑋1 =
1
2
+
1
2
13 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑋2 =
1
2
+
1
2
13

15. c. Menggunakan Rumus abc
Persamaan kuadrat , mempunyai akar – akar
persamaan :

16. Carilahakarpersamaankuadratdari4𝑥2
− 5𝑥 + 1 = 0
Solusi
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
⬌ 𝑥1,2 = −
−5 ± (−5)2−4.4.1
2.4
⬌ 𝑥1,2 =
5 ± 25 − 16
8
⬌ 𝑥1,2 =
5 ± 9
8
⬌𝑥1,2 =
5 ± 3
8
⬌𝑥1 =
5 + 3
8
𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥2 =
5 − 3
8
⬌ 𝑥1 = 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥2 =
1
4

17. A. Jumlah,selisih dan hasil kali akar – akar persamaan
kuadrat
Misal akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2. Rumus penyelesaian dari
persamaan kuadrat tersebut :
Penurunan Rumus Jumlah Akar-Akar
Persamaan Kuadrat :

18. Penurunan Rumus Selisih Akar-Akar Persamaan Kuadrat :

19. Penurunan Rumus Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat :

20. B. MenyusunPersamaanKuadrat
Persamaankuadratdapatdisusundenganduacarayaitu:
1. Perkalianfaktor
Misaldiketahuiakar-akardaripersamaankuadratadalah 5 dan -3
Maka𝑥1 = 5dan𝑥2 = −3
Sehingga
𝑥 − 5 𝑥 − (−3) = 0
⬌ 𝑥 − 5 𝑥 + 3 = 0
⬌𝑥2
+ 3𝑥 − 5𝑥 − 15 = 0
⬌𝑥2
− 2𝑥 − 15 = 0
2. RumusJumlahdanHasil Kali Akar
Jikadiketahui𝑥1dan𝑥2akar-akardarisuatupersamaankuadrat,
persamaankuadratnyaadalah(𝑥 − 𝑥1) 𝑥 − 𝑥2 = 0
Jikapersamaantersebutdiuraikan, diperoleh
(𝑥 − 𝑥1) 𝑥 − 𝑥2 = 0
⬌𝑥2
− 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 𝑥 + 𝑥1 𝑥2 = 0
⬌𝑥2
− (𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 𝑥1 𝑥2 = 0
Jadi, jika𝑥1 + 𝑥2menyatakanjumlahakar-
akardarisuatupersamaankuadratdan𝑥1. 𝑥2 menyatakanhasilkalinya, persamaankuadrat
yang dimaksuddapatditentukan.

21. C. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru yang Akar-akarnya Berhubungan dengan
Akar-akar Persamaan Kuadrat yang lain
Diketahui𝑝dan𝑞adalahakar-akarpersamaankuadrat3𝑥2
− 4𝑥 + 5 = 0.
Susunpersamaankuadratbaru yang akar-akarnya2𝑝dan2𝑞
Penyelesaian:
3𝑥2 − 4𝑥 + 5 = 0
𝑝 + 𝑞 = −
(−4)
3
=
4
3
𝑝. 𝑞 =
5
3
Misalkan𝛼dan𝛽adalahakar-akarpersamaankuadratbaru, sehingga
𝛼 = 2𝑝, 𝛽 = 2𝑞
Jumlahakar:
𝛼 + 𝛽 = 2𝑝 + 2𝑞
= 2 𝑝 + 𝑞
= 2
4
3
=
4
3
Hasil kali akar:
𝛼. 𝛽 = 2𝑝 × 2𝑞
= 4𝑝𝑞
= 4
5
3
=
20
3
Persamaankuadratbaru:
𝑥2
−
4
3
𝑥 +
20
3
= 0

22. Dari uraian diatas dapat disimpulkan
Rumus Menentukan Jumlah Akar
𝑱𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉 𝑨𝒌𝒂𝒓 𝒋𝒂 = 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 = −
𝒃
𝒂
Rumus Menentukan Hasil Kali Akar
𝑯𝒂𝒔𝒊𝒍 𝑲𝒂𝒍𝒊 𝑨𝒌𝒂𝒓 𝒉𝒂 = 𝒙 𝟏. 𝒙 𝟐 =
𝒄
𝒂
Rumus Menyusun Persamaan Kuadrat dengan Perkalian Faktor
𝒙 − 𝒙 𝟏 𝒙 − 𝒙 𝟐 = 𝟎
Rumus Menyusun Persamaan Kuadrat dengan Jumlah dan Hasil Kali Akar
𝒙 𝟐
− (𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐)𝒙 + 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 = 𝟎
Atau
𝒙 𝟐 − (𝒋𝒂)𝒙 + 𝒉𝒂 = 𝟎

23. Diskriminan merupakan suatu nilai pada persamaan kuadrat untuk mengetahui
banyaknya akar pada persamaan itu sendiri.
𝐷 = 𝑏2
− 4𝑎𝑐
Karakteristik dari penyelesaian persamaan kuadrat melalui nilai
Diskriminannya.

24. PersamaanKuadrat Diskriminan Himpunan
Penyelesaian
𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = 0 1 −2,3
2𝑥2 − 5𝑥 − 3 = 0 49
−
1
2
, 3
𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0 0 −1
𝑥2 − 4 = 0 16 −2,2
9𝑥2
− 6𝑥 + 1 = 0 0 1
3
𝑥2
+ 𝑥 + 1 = 0 -3 ∅ (tidakpunyaakar)
2𝑥2
+ 2𝑥 + 1 = 0 -4 ∅ (tidakpunyaakar)

25. Setelahkamumenyelesaikansoaldiatas,
makasekarangkamudapatmengetahuisifat-sifatdiskriminan :
Jika𝐷 > 0makamempunyaiduaakar real berbeda (berlainan)
Jika𝐷 = 0makamempunyaisatuakar real
Jika𝐷 < 0makatidakmempunyaiakar real

26. Pertidaksamman kuadrat
Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :
a. ax² + bx + c > 0
b. ax² + bx + c ≥ 0
c. ax² + bx + c < 0
d. ax² + bx + c ≤ 0
dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0.

27. Langkah langkah menyelesaikan suatu pertidaksamaan
kuadrat
Langkah 1 : Tentukan pembuat nol dengan merubah tanda pertidaksamaan menjadi "sama
dengan". Akar-akar persamaan kuadrat yang diperoleh adalah pembuat nol.
Langkah 2 : Gambar pembuat nol pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda untuk masing-
masing interval dengan mensubstitusi sembarang bilangan yang terletak pada tiap-tiap interval
ke persamaan pada ruas kiri. Tulis (+) jika hasil substitusi bernilai positif dan tulis (−) jika hasil
substitusi bernilai negatif.
Langkah 3 : Tentukan daerah penyelesaian (arsiran).
Untuk pertidaksamaan ">" atau "≥", daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda
positif (+).
Untuk pertidaksamaan "<" atau "≤", daerah pernyelesaian berada pada interval yang bertanda
negatif (−).
Langkah 4 : Tulis himpunan penyelesaian, yaitu interval yang memuat daerah penyelesaian.

28. Contoh
Tentukan HP dari x² − 2x − 3 ≥ 0
Penyelesaian :
Pembuat nol : x² − 2x − 3 = 0
(x + 1)(x − 3) = 0
x = −1 atau x = 3
Untuk interval −1 < x < 3, ambil x = 0
x² − 2x − 3 (0)² − 2(0) − 3 = −3 (−)

29. Latihan Soal UN

30. Latihan Soal SBMPTN
1. Selisih akar-akar persamaan x² + 2ax +
4
3
a = 0 adalah 1. Selisih a dan
4
6
adalah...
a.
1
2
b.
2
3
c.
5
6
d. 1 e.
5
3
2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 𝑥² − 2𝑥< 3𝑥 + 6 adalah...

31. Latihan Soal Olimpiade

32. PHOTOMATH

33. Cara menggunakan photomath
Di photomath ada dua cara
menggunkannya yang pertama kita dapat
menuliskan soal matematika di
kalkulator. Pada gambar disamping
terdapat contoh sol persamaan kuadrat
yaitu x2-1.

34. Nanti akan muncul langkah
penyelesaiannya.

35. Selain langkah penyelesainnya kita juga dapat melihat grafik dari persamaan
tersebut.