Metode pembuktian matematika

15,267 views

Published on

1 Comment
6 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
15,267
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
520
Comments
1
Likes
6
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Metode pembuktian matematika

  1. 1. Materi Pembinaan Menuju OSN Matematika 20131SMA DARUL ULUM 2 JOMBANG/DIDIK SADIANTO, S.Pd.Metode Pembuktian dalam MatematikaOleh: Didik Sadianto, S.Pd.Soal-soal dalam OSN dan IMO sebagian besar adalah membuktikan suatu pernyataan.Untuk bisa menyelesaikan soal-soal OSN/IMO maka Siswa dituntut untuk mampumengaplikasikan semua metode-metode pembuktian yang sesuai. Pada umumnya metodepembuktian menggunakan konsep logika matematika. Adapun metode pembuktianmatematika yang dibahas dalam buku ini adalah: Pembuktian langsung, Pembuktian tidaklangsung, Bukti dengan Kontradiksi, Bukti dengan Contoh Penyangkal, dan Bukti denganInduksi Matematika.A. Pembuktian LangsungMetode ini didasarkan pada proposisi bahwa: Jika kita misalkan (asumsikan) Pbernilai benar, maka dengan informasi yang sudah kita punyai dari p; kita harusmembuktikan bahwa q benar.Contoh 1:Buktikan bahwa kuadrat dari sebarang bilangan genap merupakan bilangan genapjuga.Pembahasan:Di sini kita punya bentuk proporsi:adalah bilangan genap dan adalah bilangan genap.Berikut ini cara pembuktian langsung:Misalkan , dimanaAkan ditunjukkan bahwa dimanaPerhatikan bahwa:, dimanaJadi, n2adalah bilangan genap (Terbukti)Contoh 2:Buktikan bahwa jika n bilangan ganjil, maka n2merupakan bilangan ganjil.Pembahasan:Misalkan bahwa , untuk suatu .Perhatikan bahwa:, dimanaJadi, n2merupakan bilangan ganjil. (Terbukti)Contoh 3:Misalkan M suatu titik di dalam segitiga ABC. Buktikan bahwaPembahasan:Misalkan N adalah titik perpotongan BM dan sisi AC.Maka kita peroleh:B. Pembuktian Tidak LangsungMetode pembuktian tidak langsung dikenal juga metode kontrapositif.Perhatikan bahwa pernyataan ini . Oleh karena itu, kita akanmemahami bahwa metode ini didasarkan pada proposisi: jika kita misalkanbernilai benar, maka dengan informasi yang sudah kita punyai dari , kita harusmembuktikan bahwa benar.
  2. 2. Materi Pembinaan Menuju OSN Matematika 20132SMA DARUL ULUM 2 JOMBANG/DIDIK SADIANTO, S.Pd.Contoh 1:Buktikan bahwa jika habis dibagi 3 maka n habis dibagi 3.Pembahasan:Kita akan membuktikan pernyataan ini dengan metode tidak langsung.Yakni kita harus membuktikan pernyataan jika n tidak habis dibagi 3 maka n2tidakhabis dibagi 3.Perhatikan bahwa:Karena n tidak habis dibagi 3, maka n = 3k + 1 atau n = 3k + 2 untuk suatu kbilangan bulat. Untuk n = 3k +1,dimanaJadi, n2tidak habis dibagi 3 (*) Untuk n = 3k +2,dimanaJadi, n2tidak habis dibagi 3 (*)Dari (*) dan (**) maka n2tidak habis dibagi 3. Dengan kata lain terbukti bahwa jikahabis dibagi 3 maka n habis dibagi 3.Contoh 2:Buktikan bahwa jika bilangan ganjil maka n juga bilangan ganjil.Pembahasan:Kita akan membuktikan soal ini dengan metode pembuktikan tidak langsung. Hal iniberarti kita harus mengubah bentuk soal dalam kontraposisinya, yakni:Jika n bilangan genap maka n2merupakan bilangan genap.Berdasarkan solusi (A.1), maka kontraposisi tersebut suatu pernyataan yang benar.Jadi, terbukti bahwa jika bilangan ganjil maka n juga bilangan ganjil.C. Pembuktian dengan KontradiksiMetode ini hampir sama dengan metode pembuktian tidak langsung, akan tetapiterdapat perbedaan yang cukup mendasar. Untuk membuktikan bahwa benardengan metode kontradiksi maka: Kita andaikan bahwa ingkaran dari adalah benar. Dengan kata lainbahwa kita mengandaikan bahwa p dan ~q adalah sesuatu yang benar. Dari pengandaian tersebut, kita harus memunculkan suatu kontradiksi atausuatu fakta yang bertentangan dengan suatu fakta lain yang sebelumnya telahdikatahui kebenarannya.Contoh 1:Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan asli n dan semua bilangan asli d yangmembagi 2n2, maka bilangan n2+d bukan merupakan bilangan kuadrat sempurna.Pembahasan:Karena d membagi 2n2maka 2n2= kd untuk suatu k bilangan asli.Andaikan meruapakn bilangan kuadrat sempurna, maka dengan.Maka haruslah merupakan bilangan kuadrat.Tetapi untuk suatu k bilangan
  3. 3. Materi Pembinaan Menuju OSN Matematika 20133SMA DARUL ULUM 2 JOMBANG/DIDIK SADIANTO, S.Pd.asli.Hal ini berati berada di antara dua bilangan kuadrat berurutan sehingga tidakmungkin bilangan kuadrat sempurna (Kontradiksi).Terbukti bahwa untuk setiap bilangan asli n dan semua bilangan asli d yang membagi2n2, maka bilangan n2+d bukan merupakan bilangan kuadrat sempurna.Contoh 2:Jika m dan n saling relatif prima, buktikan bahwa bukan bilangan rasional.Pembahasan:Andaikan bahwa bilangan rasional maka dengan x dan y adalahbilangan asli.Maka berlakuKarena m dan n relatif prima maka tidak ada x dan y bilangan asli yang memenuhi(kontradiksi).Terbukti, Jika m dan n saling relatif prima, buktikan bahwa bukan bilanganrasional.D. Pembuktian dengan Contoh PenyangkalUntuk menjelaskan metode pembuktian ini, maka perhatikan contoh berikut:Untuk setiap bilangan asli merupakan bilangan prima.Kita diminta untuk menunjukkan bahwa pernyataan di atas tidak benar. Dalam kasusseperti ini, kita cukup menunjukkan satu contoh sehingga menyebabkan pernyataantersebut tidak benar. Yakni, kita harus pilih nilai n bilangan asli sehinggabukan bilangan prima.Untuk itu, pilih n = 4, maka , dimana 21 bukan bilanganprima.Pembuktian seperti inilah yang disebut metode pembuktian dengan contohpenyangkal.E. Induksi MatematikaInduksi Matematika adalah salah satu metode pembuktian untuk pernyataan yangmemuat bilangan asli.1. Prinsip Induksi SederhanaMisalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita inginmembuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untukmembuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:o P(1) benar, dano Untuk semua bilangan bulat positif 1n , jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar.Contoh:Buktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.Solusi:(i) Basis Induksi: Untuk n = 1, Perhatikan 211  (Benar).(ii) Langkah Induksi: Andaikan untuk 1n pernyataan:2)12(...31 nn  adalah suatu yang benar. Akan ditunjukkan benar untuk
  4. 4. Materi Pembinaan Menuju OSN Matematika 20134SMA DARUL ULUM 2 JOMBANG/DIDIK SADIANTO, S.Pd..)1()12()12(...531 2 nnnPerhatikan bahwa:)........(*)1(12)12()12()]12(...531[)12()12(...531222nnnnnnnnn(*) terbukti benar.Jadi, jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.2. Prinsip Induksi KuatMisalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita inginmembuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat onn  . Untuk membuktikanpernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:o P(no) benar, dano Untuk semua bilangan bulat positif onn  , jika   )(...,,1),( npnpnp oo  benar makap(n+1) juga benar.LATIHAN SOAL1. Untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa 652 nn adalah bilangan genap.2. Jika k adalah bilangan asli, maka buktikan bahwa2)1(...321nnn3. Tunjukkan bahwa untuk setiap n bilangan asli4. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan asli.5. Tunjukkan bahwa untuk setiap n bilangan asli, berlaku .6. Buktikan bahwa 3 habis membagi n3-n untuk setiap bilangan asli n.7. Buktikan pernyataan: ”Untuk membayar biaya pos sebesar k sen )8( k selalu dapatdigunakan hanya perangko 3 sen dan perangko 5 sen” benar.8. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan asli lebih dari satu dapat difaktorkan sebagaiperkalian bilangan prima.9. Suatu sistem tata surya berisi planet-planet yang jarak setiap dua planetnya berbeda. Disetiap planet, terdapat satu astronom yang mengamati planet terdekat dengan planetnya.Jika jumlah planet dalam tata surya tersebut ganjil, buktikan bahwa terdapat sebuahplanet yang tidak diamati oleh astronom dari planet lainnya.RujukanBudhi, Wono Setya. 2003. Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika. Jakarta: CV.Ricardo.Eridani. 2010. Penyelesaian Masalah dalam Matematika, Makalah disajikan dalam acara“TOT Guru Pembina OSN SMA di Hotel Singgasana Surabaya”.TIM JMM. 2008. Jurnal Mahkota Matematika: No. 8. Malang: Jurusan Matematika FMIPAUM.Purwanto, Heri, dkk. 2006. Matematika Diskrit. Cirebon: PT Ercontara Rajawali.

×