PEMBUKTIAN DALAMMATEMATIKAProdi S.1 PGMI/SD STAI Al-Ihya Kuningan
Metode Pembuktian Matematika• Pembuktian langsung• Pembuktian tidak langsung• Induksi matematika
Pembuktian LangsungPembuktian langsung dalam matematikadilakukan dengan menguraikan premis dengandilandasi oleh definisi, ...
Contoh 1 Buktikan bahwa : “jika n bilangan ganjil, maka n2 bilangan ganjil”.Bukti: Diketahui bahwa n bilangan ganjil Karen...
Pembuktian Tidak LangsungPembuktian tidak langsung atau pembuktiandengan kemustahilan (reductio ad absurdum)yang dibahas a...
Kontraposisi• Pembuktian tidak langsung kontraposisi  digunakan untuk membuktikan pernyataan  implikasi• Untuk membuktikan...
Contoh :Buktikan bahwa: “jika n2 bilangan ganjil, maka nbilangan ganjil”.Bukti: Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita...
Apakah p → q benar ?Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka nbilangan genap, sehing...
Kontradiksi• Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi  dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang  salah dan menemuka...
Contoh :Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jka n2ganjil, maka n ganjil”.Bukti:Andaikan bahwa q salah, atau ~q...
Induksi Matematika Induksi matematika adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku un...
Prinsip Induksi Matematika Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n. Apabila P(1) benar, dan ...
Contoh :Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) =n2, untuk semua bilangan asli n”.Bukti:Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Pembuktian dalam matematika

11,382 views

Published on

Published in: Education
1 Comment
3 Likes
Statistics
Notes
  • Metode Pembuktian Matematika seharusnya hanya dua Metode saja; Metode Pembuktian Langsung dan Metode Pembuktian Tidak Langsung. Metode Pembuktian Matematika dengan Induksi Matematika merupakan bagian dari Pembuktian tidak langsung. Terima kasih
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
No Downloads
Views
Total views
11,382
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
85
Actions
Shares
0
Downloads
303
Comments
1
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Pembuktian dalam matematika

  1. 1. PEMBUKTIAN DALAMMATEMATIKAProdi S.1 PGMI/SD STAI Al-Ihya Kuningan
  2. 2. Metode Pembuktian Matematika• Pembuktian langsung• Pembuktian tidak langsung• Induksi matematika
  3. 3. Pembuktian LangsungPembuktian langsung dalam matematikadilakukan dengan menguraikan premis dengandilandasi oleh definisi, fakta, aksioma yang adauntuk sampai pada suatu kesimpulan (konklusi)
  4. 4. Contoh 1 Buktikan bahwa : “jika n bilangan ganjil, maka n2 bilangan ganjil”.Bukti: Diketahui bahwa n bilangan ganjil Karena n bilangan ganjil, maka n = 2k+1, dengan k bilangan bulat n2 = (2k+1) 2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2+2k) + 1 Bentuk 2(2k2+2k) + 1 adalah bilangan ganjil Jadi n2 bilangan ganjil
  5. 5. Pembuktian Tidak LangsungPembuktian tidak langsung atau pembuktiandengan kemustahilan (reductio ad absurdum)yang dibahas ada 2 cara yaitu :KontraposisiKontradiksi
  6. 6. Kontraposisi• Pembuktian tidak langsung kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi• Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut• Secara simbolik : p → q ≡ ~q → ~p artinya untuk membuktikan kebenaran p → q kita cukup membuktikan kebenaran ~q → ~p
  7. 7. Contoh :Buktikan bahwa: “jika n2 bilangan ganjil, maka nbilangan ganjil”.Bukti: Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan kebenaran kontraposisinya. Misalnya : p = n2 bilangan ganjil q = n bilangan ganjil
  8. 8. Apakah p → q benar ?Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka nbilangan genap, sehingga n dinyatakan dengansebagai n = 2k, k bilangan asli.Akibatnya n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2).Artinya n2 bilangan genap.Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjilBENAR, sehingga kontraposisi ~q →~p BENAR.Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n2 bilanganganjil maka n bilangan ganjil.
  9. 9. Kontradiksi• Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada.• Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada
  10. 10. Contoh :Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jka n2ganjil, maka n ganjil”.Bukti:Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilanganbulat ganjil, maka n bilangan bulat genap. Dapat dimisalkan n =2k dengan k bilangan bulat. Dengan demikian maka :n2 = (2k) 2n2 = 4k2n2 = bilangan bulat genap (~p)Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui pbenar, sedangdari lang-langkah logis diturunkan ~p benar. Oleh karena itukontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harusdiingkar yang berarti ~q salah atau q benar.
  11. 11. Induksi Matematika Induksi matematika adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli
  12. 12. Prinsip Induksi Matematika Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n. Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, maka P(n) benar untuk semua n.
  13. 13. Contoh :Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) =n2, untuk semua bilangan asli n”.Bukti:Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2,(a). P(1) benar, sebab 1 = 1(b). Apabila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k2, maka 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k- 1 + 2k+1. = k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2 Sehingga P(k+1) benar

×