Dokumen tersebut membahas tentang persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat, meliputi definisi, contoh, bentuk umum, cara menentukan akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran dan rumus, serta sifat-sifat dan cara menggambar grafik fungsi kuadrat.
Power point ini saya upload guna membantu siswa - siswi belajar Sistem PertidaksamaanDua Variabel, juga bagi Bapak Ibu Guru yang mengajar matematikadi SMA,.. semoga bermanfaat... :)
Barisan dan Deret (Aritmatika, Geometri, Tak hingga) beserta contoh soal dan ...ElsaBieber
BARISAN DAN DERET
Definisi Barisan :
Barisan adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.
Contoh :
1,2,3,4,5,6,…,…,…,…,… dst
2,4,6,8,10,12,…,…,…,… dst
Definisi deret :
Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U1,U2,U3,…..Un maka U1 + U2 + U3 +… +Un adalah deret.
Contoh :
1 + 2 + 3 + 4 +… + Un
2 + 4 + 6 + 8 +… + Un
A. Baris dan Deret Aritmatika
Definisi baris aritmatika :
Jika beda antara suatu suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya adalah suatu bilangan tetap b maka barisan ini adalah barisan aritmatika. Bilangan tetap b itu dinamakan beda dari barisan.
Polanya : a, a+b, a+2b, a+3b,…..,a+(n-1)b
Dengan
o a = U1= Suku pertama
o b = beda
o n = banyaknya suku
o Un = Suku ke-n
Materi barisan dan deret tak hingga kelas 11, beserta contoh soal dan pembahasan
Sistem persamaan linear dua variabel adalah suatu persamaan yang memiliki dua persamaan dan juga dua variabel. Hasil penyelesaian SPLDV adalah berupa titik potong.
Power point ini saya upload guna membantu siswa - siswi belajar Sistem PertidaksamaanDua Variabel, juga bagi Bapak Ibu Guru yang mengajar matematikadi SMA,.. semoga bermanfaat... :)
Barisan dan Deret (Aritmatika, Geometri, Tak hingga) beserta contoh soal dan ...ElsaBieber
BARISAN DAN DERET
Definisi Barisan :
Barisan adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.
Contoh :
1,2,3,4,5,6,…,…,…,…,… dst
2,4,6,8,10,12,…,…,…,… dst
Definisi deret :
Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U1,U2,U3,…..Un maka U1 + U2 + U3 +… +Un adalah deret.
Contoh :
1 + 2 + 3 + 4 +… + Un
2 + 4 + 6 + 8 +… + Un
A. Baris dan Deret Aritmatika
Definisi baris aritmatika :
Jika beda antara suatu suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya adalah suatu bilangan tetap b maka barisan ini adalah barisan aritmatika. Bilangan tetap b itu dinamakan beda dari barisan.
Polanya : a, a+b, a+2b, a+3b,…..,a+(n-1)b
Dengan
o a = U1= Suku pertama
o b = beda
o n = banyaknya suku
o Un = Suku ke-n
Materi barisan dan deret tak hingga kelas 11, beserta contoh soal dan pembahasan
Sistem persamaan linear dua variabel adalah suatu persamaan yang memiliki dua persamaan dan juga dua variabel. Hasil penyelesaian SPLDV adalah berupa titik potong.
Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat, Fungsi Kuadrat, dan Diskriminanhari wihana
persentasi matematika ini telah dicoba dipersentasikan kepada para peserta didik di Universitas Pendidikan Indonesia, persentasi ini disusun untuk memenuhi salah satu mata kuliah matematika
Pada file slide berikut berisi pemaparan materi Fungsi Kuadrat meliputi ciri grafik, cara menggambar grafik, dan cara menentukan persamaan fungsi kuadrat
Sebuah buku foto yang berjudul Lensa Kampung Ondel-Ondelferrydmn1999
Indonesia, negara kepulauan yang kaya akan keragaman budaya, suku, dan tradisi, memiliki Jakarta sebagai pusat kebudayaan yang dinamis dan unik. Salah satu kesenian tradisional yang ikonik dan identik dengan Jakarta adalah ondel-ondel, boneka raksasa yang biasanya tampil berpasangan, terdiri dari laki-laki dan perempuan. Ondel-ondel awalnya dianggap sebagai simbol budaya sakral dan memainkan peran penting dalam ritual budaya masyarakat Betawi untuk menolak bala atau nasib buruk. Namun, seiring dengan bergulirnya waktu dan perubahan zaman, makna sakral ondel-ondel perlahan memudar dan berubah menjadi sesuatu yang kurang bernilai. Kini, ondel-ondel lebih sering digunakan sebagai hiasan atau sebagai sarana untuk mencari penghasilan. Buku foto Lensa Kampung Ondel-Ondel berfokus pada Keluarga Mulyadi, yang menghadapi tantangan untuk menjaga tradisi pembuatan ondel-ondel warisan leluhur di tengah keterbatasan ekonomi yang ada. Melalui foto cerita, foto feature dan foto jurnalistik buku ini menggambarkan usaha Keluarga Mulyadi untuk menjaga tradisi pembuatan ondel-ondel sambil menghadapi dilema dalam mempertahankan makna budaya di tengah perubahan makna dan keterbatasan ekonomi keluarganya. Buku foto ini dapat menggambarkan tentang bagaimana keluarga tersebut berjuang untuk menjaga warisan budaya mereka di tengah arus modernisasi.
UNTUK DOSEN Materi Sosialisasi Pengelolaan Kinerja Akademik DosenAdrianAgoes9
sosialisasi untuk dosen dalam mengisi dan memadankan sister akunnya, sehingga bisa memutakhirkan data di dalam sister tersebut. ini adalah untuk kepentingan jabatan akademik dan jabatan fungsional dosen. penting untuk karir dan jabatan dosen juga untuk kepentingan akademik perguruan tinggi terkait.
2. Definisi
• Persamaan kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertinggi peubahnya
sama dengan dua.
Contoh :
Y2+ 4y +1 = 0
x2 + 2 ( x + 1) +4 = 0
m p2 + (m+1) p + 3p+1 = 0
• Peubah atau variabel persamaan kuadrat umumnya adalah x, tetapi variabel
tersebut dapat huruf apa saja seperti pada contoh.
• Bentuk umum persamaan kuadrat ax2+ bx + c =0 , a ‡0
• x adalah peubah atau variabel
a adalah koefisien x2
b adalah koefisien x
c adalah konstanta
3. • Persamaan kuadrat yang
tidakditulisdalambentukumuminidikenaldengannamapersamaantersamar.
Untukmemastikan , memudahkanpenulisandanpenyelesaian,
sebaiknyapersamaantersamartersebutdiubahdalambentukumumini a푥2+ bx + c =0 , a ≠
0
Contoh :
Ubahkebentukumumdantentukanapakahpersamaanberikutiniadalahpersamaankuadrat
a. (푥2+ 3 )2 – ( 푥4+ x + 4 ) = 0 b.
1
푥2 +
1
5
=
4
푥
Jawab :
a. ( 푥2 + 3 )2 – ( 푥4+ x + 4 )=0
• 푥4 + 6x2 + 9 –푥4 - x - 4 )=0
• 6푥2 + - x + 5=0 , persamaankuadrat
b.
1
푥2 +
푥
5
+
2
3
= 0
------------------------ x 152
15 + 3푥3 + 10 푥2= 0, bukanpersamaankuadrat
4. Menentukan Akar Persamaan Kuadrat
• Akar persamaan kuadrat adalah nilai suatu variabel yang
memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Contoh Tentukan
bilangan mana diantara –5, 3 dan 7/2 , yang merupakan akar
dari Persamaan kuadrat 2x2 + 3x = 35
• Untuk x = -5,
• <--> 2x2 + 3x = 35
• <--> 2(-5)2 + 3(-5) = 35
• <--> 50 – 15 = 35,
• <-->35 = 35 Benar, jadi x = -5 adalah akar
• Untuk x = 3,
• <--> 2x2 + 3x = 35
• <--> 2(3)2 + 3(3) = 35
• <--> 18 + 9 = 35,
• <-->27 = 35 salah, jadi x= 3 bukan akar
5. Penyelesaian persamaan kuadrat :
• Mencari akar persamaan kuadrat adalah
menentukan bilangan yang memenuhi persamaan
kuadrat tersebut.
• Suatu persamaan kuadrat dapat memiliki 2 (dua)
akar , satu akar , atau tidak mempunyai akar
• Penyelesaian persamaan kuadrat dapat dilakukan
dengan : Pemfaktoran , Melengkapkan bentuk
kuadrat dan menggunakan rumus kuadrat
7. 1. Mencari akar persamaan kuadrat
dengan pemfaktoran
Contoh Soal 1 (sederhana)
carilah akar persamaan kuadrat dari
x2-6x+5= 0
Cari 2 bilangan yang ditambahkan = b dan dikalikan = a.c
Cari nilai a.c, 1×5 = 5
Cari Faktor dari 5 yang bisa menghasilkan angka -6–> -5 dan -1
Tulis Ulang Persamaan
Menjadi
x2-6x+5 = 0
x2-5x-x+5 = 0
x(x-5)-x+5 = 0
x(x-5)-(x-5) = 0
(x-1) (x-5) = 0
8. Contoh Soal 2 (medium)
carilah akar persamaan kuadrat dari
2x2-25x-63 = 0 —> (bisa di awang-awang tapi aga susah)
Cari 2 bilangan yang ditambahkan = b dan dikalikan = a.c
Cari nilai a.c, 2×63 = 126
Cari Faktor dari 126 yang bisa menghasilkan angka -25
faktor 126 : 1,2,3,7, 9, 18, 63 –> -7 dan -18 (7 dan 18)
untuk penentuan ini sobat harus sering-latihan, saran :” carilah faktor yang tengah-tengah
tidak terlalu kecil (ex:1,2,3) dan tidak terlalu besar.”
Tulis Ulang Persamaan Menjadi
2x2-25x-63 = 0
2x2-18x-7x-63 = 0
2x(x-9)-7(x-9) = 0 (pakai aturan asosiasi, semoga paham)
(2x-7) (x-9) = 0 (selesai) mudah bukan :D
9. Contoh mencari akar persamaan kuadarat dengan bentuk berbeda
4x2 – 5x = 0
4x(x-5) = 0
4x = 0 atau x-5 = 0 —> x = 0 atau x = 5
x2 – 4 = 0 –> jika ada (a2-b2) bisa diubah mejadi (a-b) (a+b)
(x-√4) (x+√4) = 0 —> x =2 atau x = -2
x2 – 16 = 0
(x-√16) (x+√16) = 0
(x-4) (x+4) = 0
(x+2) (x-2)
(x+4) = 0 —> x bernilai -2, 2, dan -4 (ada 3 nilaii x untuk akar
persamaan kuadrat tersebut)
10. Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat yaitu fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berderajat dua.
Bentuk umum fungsi kuadrat adalah :
Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna akan didapat bentuk yang ekivalen
dengan bentuk umumnya, yaitu :
Dari bentuk (2) ini, nilai D = b2 - 4ac disebut Diskriminan fungsi kuadrat, sehingga
bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai berikut
11. • Dari bentuk (3), maka :
• Rumus persamaan sumbu simetri fungsi
kuadrat adalah:
Rumus nilai ekstrem fungsi kuadrat, adalah:
• Rumus titik ekstrem fungsi kuadrat, adalah:
12. Sifat-sifat fungsi kuadrat dan grafiknya
Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola, dengan sifat-sifat seperti diabawah ini:
• Jika a > 0, maka parabola akan terbuka keatas dan mempunyai nilai balik minimum
• Jika a < 0, maka parabola akan terbuka kebawah dan mempunyai nilai balik maksimum
• Jika D > 0, maka parabola akan memotong sumbu x pada dua titik
• Jika D = 0, parabola memotong sumbu x hanya pada satu titik saja
• Jika D < 0, parabola tidak memotong sumbu x.
ada beberapa cara dalam menentukan titik puncak grafik fungsi kuadrat selain
menggunakan rumus persamaan sumbu simetri dan rumus nilai ekstrem, yaitu dengan cara
melengkapkan kuadrat sempurna. Dengan bentuk umumnya adalah:
13. Untuk lebih jelasnya tentang ilustrasi fungsi kuadrat
dan grafiknya, perhatikan gambar dibawah ini:
14. Langkah2 menggambar grafik y = ax2 + bx +c adalah sebagai
berikut :
1. Titik potong sumbu x, y = 0
2. Titik potong sumbu y, x = 0
3. Persamaan sumbu simetri -b/2a
4. Menentukan nilai maksimum dan minimum b2- 4ac/-4a
5. Koordinat titik puncak (ekstrim) {(-b/2a),(b2- 4ac/-4a)}
=> Apabila dari langkah 1 - 5 belum terbentuk sketsa parabola
maka ambillah titik bantu yaitu nilai x di sekitar persamaan
sumbu simetri.
15. Contoh Soal :
1. Gambarlah graik fungsi kuadrat y = x2 - 4x - 5
Jawaban :
a. Titik potong sumbu x, y = 0.
y = x2 - 4x - 5 => 0 = (x - 5) (x + 1) , x = -1 , 5
0 = x2 - 4x - 5 Titik potong sumbu x (-1,0) dan (5,0)
b. Titik potong sumbu y, x = 0.
y = x2 - 4x - 5 Gambar Grafik
y = (0)2 - 4(0) - 5
y = -5
maka titk potong sumbu y adalah (0,-5)
c. Persamaan sumbu simetri -b/2a
= -(-4)/2.1
= 2
d. Nilai maks/min b2- 4ac /-4a
= {(-4)2 - 4.1.(-5)} / -4(1)
= 36/-4
= -9
e. Titik puncak {(-b/2a),(b2- 4ac/-4a)}
= (2,-9)
16. Membentuk Fungsi Kuadrat
1. Menentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui 3 buah titik.
menggunakan y = ax2 + bx +c
Contoh Soal :
* Tentukan fungsi kuadrat grafiknya mel. 3 buah titik (-1,0), (2,-9) dan (4,-5)
Jawaban :
melalui (-1,0) => y = a(-1)2 + b(-1) + c
0 = a - b + c ... (1)
melalui (2,-9) => y = a(2)2 + b(2) + c
-9 = 4a + 2b + c ... (2)
melalui (4,-5) => y = a(4)2 + b(4) + c
-5 = 16a + 4b + c ... (3)
Dari (1) - (2) => -3a - 3b = 9 ... (4)
Dari (2) - (3) => -12a - 2b = -4 ... (5)
Dari (4) x 4 => -12a - 12b = 36 ... (4)'
Dari (5) - (4)' => 10b = -40
b = -4
Substitusikan b = -4 ke (4)
maka => -3a + 12 = 9
-3a = -3
a = 1
Substitusikan a = 1 dan b = -4
maka => 1 - (-4) + c = 0
17. 2. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak diketahui.
menggunakan y = a(x - p)2 + q titik puncak (p,q)
Contoh Soal :
* Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (2,-9)
serta melalui titik (-1,0)
Jawaban :
y = a(x - p)2 + q
= a(x - 2)2 - 9
melalui (-1,0) => y = a(x - 2)2 - 9
0 = a(-1 - 2)2 - 9
9 = 9a
a = 1
Jadi, fungsi kuadratnya => y = 1(x - 2)2 - 9
= (x2 - 4x + 4) - 9
= x2 - 4x - 5
3. Menentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mmotong sumbu x di titik (p,0) dan (q,0)
menggunakan y = a(x - p) (x - q)
Contoh Soal :
* Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (-1,0) dan (5,0).
serta melalui (4,-5)
Jawaban :
y = a(x - p) (x - q)
= a{x -(-1)}(x - 5)
= a(x + 1) (x - 5)
kerna melalui (4,-5) maka
-5 = a(4 + 1) (4 - 5)
-5 = -5a
a = 1
Jadi, fungsi kuadratnya : y = 1(x + 1) (x - 5)
= x2 - 4x - 5
18. Hubungan Persamaan kuadrat dan
Fungsi Kuadrat
• Persamaan
kuadratadalahsuatupersamaanaljabar yang
dinyatkandalambentuk ax2 + bx + c = 0,
dengan a, b, c, adalahbilangan real dan a ≠ 0
• Fungsikuadratadalahsuatufungsi yang
dinyatakandalambentuk f(x)= ax2 + bx + c,
dengan a, b, c adalahbilangan real a ≠ 0