Ruang sampel dan titik sampel plus contoh soalMakna Pujarka
Jika kita melempar satu koin uang logam, kemungkinan hasilnya adalah Angka atau Gambar ditulis { A, G } yang dsebut ruang sampel (S), jadi
S = { A, G } dan n( S ) = 2
Bahan Ajar Persamaan Kuadrat SMP Kelas IX Kurikulum 2013Yoollan MW
Bahan ajar ini diharapkan dapat memudahkan siswa dalam memahami cara menentukan akar kuadrat dengan menggunakan 3 cara, yakni: 1) Metode Pemfaktoran 2) Metode Kuadrat Sempurna dan 3) Rumus ABC/ Kuadratik
Ruang sampel dan titik sampel plus contoh soalMakna Pujarka
Jika kita melempar satu koin uang logam, kemungkinan hasilnya adalah Angka atau Gambar ditulis { A, G } yang dsebut ruang sampel (S), jadi
S = { A, G } dan n( S ) = 2
Bahan Ajar Persamaan Kuadrat SMP Kelas IX Kurikulum 2013Yoollan MW
Bahan ajar ini diharapkan dapat memudahkan siswa dalam memahami cara menentukan akar kuadrat dengan menggunakan 3 cara, yakni: 1) Metode Pemfaktoran 2) Metode Kuadrat Sempurna dan 3) Rumus ABC/ Kuadratik
Sebuah buku foto yang berjudul Lensa Kampung Ondel-Ondelferrydmn1999
Indonesia, negara kepulauan yang kaya akan keragaman budaya, suku, dan tradisi, memiliki Jakarta sebagai pusat kebudayaan yang dinamis dan unik. Salah satu kesenian tradisional yang ikonik dan identik dengan Jakarta adalah ondel-ondel, boneka raksasa yang biasanya tampil berpasangan, terdiri dari laki-laki dan perempuan. Ondel-ondel awalnya dianggap sebagai simbol budaya sakral dan memainkan peran penting dalam ritual budaya masyarakat Betawi untuk menolak bala atau nasib buruk. Namun, seiring dengan bergulirnya waktu dan perubahan zaman, makna sakral ondel-ondel perlahan memudar dan berubah menjadi sesuatu yang kurang bernilai. Kini, ondel-ondel lebih sering digunakan sebagai hiasan atau sebagai sarana untuk mencari penghasilan. Buku foto Lensa Kampung Ondel-Ondel berfokus pada Keluarga Mulyadi, yang menghadapi tantangan untuk menjaga tradisi pembuatan ondel-ondel warisan leluhur di tengah keterbatasan ekonomi yang ada. Melalui foto cerita, foto feature dan foto jurnalistik buku ini menggambarkan usaha Keluarga Mulyadi untuk menjaga tradisi pembuatan ondel-ondel sambil menghadapi dilema dalam mempertahankan makna budaya di tengah perubahan makna dan keterbatasan ekonomi keluarganya. Buku foto ini dapat menggambarkan tentang bagaimana keluarga tersebut berjuang untuk menjaga warisan budaya mereka di tengah arus modernisasi.
1. 1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x2 – 3x + 1 = 0 adalah …
A. imajiner
B. kompleks
C. nyata, rasional dan sama
D. nyata dan rasional
E. nyata, rasional dan berlainan.
PEMBAHASAN :
NOTE : D > 0, memiliki akar-akar riil dan berbeda
D < 0, memiliki akar-akar imajiner
D = 0, memiliki akar-akar riil dan kembar
D = b2 – 4ac
= (-3)2 – 4.5.1
= 9 – 20
= -11
JAWABAN : A
2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 6x2 – 2x + 3 = 0 adalah …
A. 3
B. 2
C. 1/2
D. –1/2
E. -2
PEMBAHASAN :
6x2 – 2x + 3 = 0
x1.x2 =
=
=
2. JAWABAN : C
3. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x – 2 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai + = …
A. –2/3
B. –3/2
C. 2/3
D. 3/2
E. 5/2
PEMBAHASAN :
+ =
=
=
= -
= -
=
JAWABAN : D
4. Akar-akar persamaan kuadrat x2 – x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar (x1 + 2) dan (x2 +
2)adalah …
A. x2 – x + 9 = 0
B. x2 + 5x + 9 = 0
C. x2 – 5x – 9 = 0
D. x2 – 5x + 5 = 0
E. x2 – 5x + 9 = 0
PEMBAHASAN :
PK Baru : x2 – (y1 + y2)x + y1.y2 = 0
y1 + y2 = (x1 + 2) + (x2 + 2)
3. = (x1 + x2) + 4
= - + 4
= - + 4
= 5
y1 . y2 = (x1 + 2)(x2 + 2)
= x1.x2 + 2x1 + 2x2 + 4
= x1.x2 + 2(x1 + x2) + 4
= – 2 + 4
= – 2 + 4
= 3 + 2 + 4
= 9
PK Baru : x2 – 3x + 8 = 0
JAWABAN : E
5. Sumbu simetri parabola y = x2 - 5x + 3 diperoleh pada garis …
A. x = 3/2
B. x = 3/2
C. x = 5/2
D. x = 5/2
E. x = 3
PEMBAHASAN :
Karena sumbu simetri parabola pasti dilewati oleh titik puncak parabola, maka kita bisa peroleh dengan y’ = 0
Y’ = 2x – 5
0 = 2x – 5
x = 5/2
jadi sumbu simetri parabola y = x2 - 5x + 3 adalah x = 5/2
JAWABAN : D
6. Ordinat titik balik maksimum grafik fungsi y = -x2 – (p – 2)x + (p – 4) adalah 6. Absis titik balik maksimum adalah …
4. A. –4
B. –2
C. – 1/6
D. 1
E. 5
PEMBAHASAN :
NOTE : ordinat = sumbu-y, absis = sumbu-x
Karena berbicara titik balik maksimum, maka kita manfaatkan turunan pertama yaitu y’ = 0
-2x – (p – 2) = 0
-2x = p – 2
x =
sehingga diperoleh titik balik maksimum = ( , 6), substitusi titik balik maksimum ke fungsi y.
6 = -( )2 – (p – 2) + (p – 4)
6 = -( ) – + + (p – 4) [kalikan 4 kedua ruas]
24 = -(4 – 4p + p2) – (4p – 2p2) + (8 – 4p) + (4p – 16)
24 = -4 + 4p – p2 – 4p + 2p2 + 8 – 4p + 4p – 16
0 = p2 – 36
p2 = 36
p1 = 6 atau p2 = -6
unutk p = 6 x = = -2
unutk p = -6 x = = 4
JAWABAN : B
7. Nilai minimum fungsi f(x) = x2 – 5x + 4 adalah ….
A. –9/4
B. 9/4
5. C. 5/2
D. -5/2
E. 4
PEMBAHASAN :
Perlu dicatat bahwa nilai maksimum atau minimum suatu fungsi pasti berhubungan dengan turunan pertama yaitu f'(x)
= 0
2x – 5 = 0
x =
f( ) = ( )2 – 5. + 4
= – + 4
= – +
= -
JAWABAN : A
8. Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak dititik (2, 3) dan melalui titik (-2, 1) adalah …
A. y = -1/8(x – 2)2 + 3
B. y = -1/8(x – 2)2 – 3
C. y = 1/8(x + 2)2 – 3
D. y = 1/8(x + 2)2 + 3
E. y = 1/8(x – 2)2 + 3
PEMBAHASAN :
f(x) = ax2 + bx + c
f'(x) = 2ax + b
0 = 2a.2 + b
0 = 4a + b
-b = 4a … (i)
nilai fungsi pada titik puncak
f(2) = a(2)2 + b.2 + c
6. 3 = 4a + 2b + c
3 = -b + 2b + c
3 = b + c … (ii)
f(-2) = a(-2)2 + b(-2) + c
1 = 4a – 2b + c
1 = -b – 2b + c
1 = -3b + c … (iii)
eliminasi persamaan (ii) dan (iii)
b + c = 3
-3b + c = 1 -
4b = 2
b = 1/2
substitusi b = 1/2 ke persamaan (ii)
1/2 + c = 3
c = 5/2
substitusi b = 1/2 ke persamaan (i)
-1/2 = 4a
a = -1/8
f(x) = (-1/8)x2 + 1/2 x + 5/2
= (-1/8)x2 + 4/8 x + 5/2
= -1/8(x2 – 4x) + 5/2
= -1/8(x – 2)2 + 4/8 + 5/2
= -1/8(x – 2)2 + 4/8 + 20/8
= -1/8(x – 2)2 + 3
JAWABAN : A
9. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 13x + 15 = 0 adalah …
A. 3/2 dan 6
B. 3/2 dan 5
C. 1 dan 6
7. D. 2 dan 3
E. 2 dan 3/2
PEMBAHASAN :
gunakan Rumus Kecap
x1,2 =
=
=
=
=
x1 = = 5
x2 = =
JAWABAN : B
10. Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 3x – 2 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar (x1 + 2) dan (x2 +
2) adalah …
A. x2 + 2x + 7 = 0
B. x2 – 2x – 7 = 0
C. x2 – 2x – 5 = 0
D. x2 – 7x + 8 = 0
E. x2 + 7x + 8 = 0
PEMBAHASAN :
PK Baru : x2 – (y1 + y2)x + y1.y2 = 0
y1 + y2 = (x1 + 2) + (x2 + 2)
= (x1 + x2) + 4
= - + 4
8. = - + 4
= 7
y1 . y2 = (x1 + 2)(x2 + 2)
= x1.x2 + 2x1 + 2x2 + 4
= x1.x2 + 2(x1 + x2) + 4
= – 2 + 4
= – 2 + 4
= -2 + 6 + 4
= 8
PK Baru : x2 – 7x + 8 = 0
JAWABAN : D
11. Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x + (a – 4) = 0. Jika x1 = 3x2, maka nilai a yang
memenuhi adalah …
A. 1
B. 3
C. 4
D. 7
E. 8
PEMBAHASAN :
x1 + x2 = -4
3x2 + x2 = -4
4x2 = -4
x2 = -1
x1 + (-1) = -4
x1 = -3
PK : x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
x2 – (-3 – 1)x + (-3)(-1) = 0
x2 + 4x + 3 = 0
9. a – 4 = 3
a = 7
JAWABAN : D
12. Persamaan kuadrat x2 – 5x + 6 = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar – akarnya x1 – 3 dan
x2 – 3 adalah …
A. x2 – 2x = 0
B. x2 – 2x + 30 = 0
C. x2 + x = 0
D. x2 + x – 30 = 0
E. x2 + x + 30 = 0
PEMBAHASAN :
akar – akarnya :
x1 – 3 = y x1 = y + 3
x2 – 3 = y x2 = y + 3
13. substitusi nilai “x1” atau “x2” kepersamaan kuadrat dalam soal, sehingga menjadi :
x2 – 5x + 6 = 0
PK Baru : (y + 3)2 – 5(y + 3) + 6 = 0
y2 + 6y + 9 – 5y – 15 + 6 = 0
y2 + y = 0
JAWABAN : C
14. Diketahui sebidang tanah berbentuk persegi panjang luasnya 72 m2. Jika panjangnya tiga kali lebarnya, maka panjang
diagonal bidang tersebut adalah … m.
A.
B.
C.
D.
E.
PEMBAHASAN :
p = 3l
10. p x l = 72
3l x l = 72
3l2 = 72
l2 = 24
l =
p = 3l = 3. =
Diagonal =
=
=
=
=
=
JAWABAN : C [Sudah Dikoreksi]
15. Pak Musa mempunyai kebun berbentuk persegi panjang dengan luas 192 m2. Selisih panjang dan lebarnya adalah 4 m.
Apabila disekeliling kebun dibuat jalan dengan lebar 2 m, maka luas jalan tersebut adalah … m2.
A. 96
B. 128
C. 144
D. 156
E. 168
PEMBAHASAN :
p – l = 4
p x l = 192
(4 + l) x l = 192
4l + l2 = 192
l2 + 4l – 192 = 0
(l – 12)(l + 16) = 0
11. l = 12 atau l = -16 (tidak memenuhi)
p = 4 + l = 4 + 12 = 16
Untuk menentukan luas jalan, kita partisi-partisi menjadi 8 yaitu :
4 luas jalan yang berada di pojok-pojok kebun berbentuk persegi dengan panjang sisi 2cm : 4 x 22 = 16cm2
2 luas jalan yang berada pada panjang kebun dengan panjang sisi 12cm dan lebar 2cm : 2 x (12 x 2) = 48cm2
2 luas jalan yang berada pada lebar kebun dengan panjang sisi 8cm dan lebar 2cm : 2 x (8 x 2) = 32cm2
Jadi luas jalan yang dibangun adalah 16 + 48 + 32 = 96cm2
JAWABAN : A
16. Diketahui akar – akar persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 1 = 0 adalah m dan n. Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya
dan adalah …
A. x2 – 6x + 1 = 0
B. x2 + 6x + 1 = 0
C. x2 – 3x + 1 = 0
D. x2 + 6x – 1 = 0
E. x2 – 8x – 1 = 0
PEMBAHASAN :
y1 + y2 = +
=
=
=
=
=
= = 6
y1.y2 = .
=
= 1
PK Baru : y2 – (y1 + y2)y + (y1.y2) = 0
12. y2 – 6y + 1 = 0
JAWABAN : A
17. Persamaan 2x2 + qx + (q – 1) = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Jika x1
2 + x2
2 = 4, maka nilai q = …
A. -6 dan 2
B. -6 dan -2
C. -4 dan 4
D. -3 dan 5
E. -2 dan 6
PEMBAHASAN :
2 + x2
x1
2 = 4
(x1 + x2)2 – 2x1x2 = 4
(-b/a)2 – 2(c/a) = 4
(-q/2)2 – 2((q – 1)/2) = 4
q2/4 – q + 1 = 4 (kalikan 4)
q2 – 4q + 4 = 16
q2 – 4q – 12 = 0
(q – 6)(q + 2) = 0
q = 6 atau q = -2
JAWABAN : E
18. Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 2x2 – 9x + c = 0 adalah 121, maka c = …
A. -8
B. -5
C. 2
D. 5
E. 8
PEMBAHASAN :
D = 121
b2 – 4ac = 121
13. (-9)2 – 4(2)(c) = 121
81 – 8c = 121
81 – 121 = 8c
-40 = 8c
-5 = c
JAWABAN : B
19. Persamaan (1 – m)x2 + (8 – 2m)x + 12 = 0 mempunyai akar kembar, maka nilai m = …
A. -2
B. -3/2
C. 0
D. 3/2
E. 2
PEMBAHASAN :
Akar kembar jika D = 0
b2 – 4ac = 0
(8 – 2m)2 – 4(1 – m)(12) = 0
64 – 32m + 4m2 – 48 + 48m = 0
4m2 + 16m + 16 = 0
4(m2 + 4m + 4) = 0
(m + 2)(m + 2) = 0
m1,2 = -2
JAWABAN : A [Sudah Dikoreksi]
20. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan kuadrat x2 + px + 1 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar – akarnya
dan x1 + x2 adalah …
A. x2 – 2p2x + 3p = 0
B. x2 + 2px + 3p2 = 0
C. x2 + 3px + 2p2 = 0
D. x2 – 3px + 2p2 = 0
E. x2 + p2x + p = 0
14. PEMBAHASAN :
misal :
y1 =
y2 = x1 + x2
y1 + y2 = ( ) + (x1 + x2)
= ( ) + (x1 + x2)
= ( ) + (-b/a)
= + (-b/a)
= + (-p/1)
= -3p
y1.y2 = ( ).(x1 + x2)
= ( ) + (x1 + x2)
= ( ).(-b/a)
= .(-b/a)
= .(-p/1)
= 2p2
PK Baru : y2 + (y1 + y2)y + (y1.y2) = 0
y2 + (-3p)y + (2p2) = 0
y2 – 3py + 2p2 = 0
JAWABAN : D
21. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum –2 untuk x = 3 dan untuk x = 0 nilai fungsi 16. Fungsi kuadrat itu
adalah …
PEMBAHASAN :
misal : f(x) = ax2 + bx + c
substitusi x = 0 untuk nilai fungsi 16, sehingga :
f(0) = a(0)2 + b(0) + c
15. 16 = c … (i)
Substitusi x = 3 untuk nilai minimum -2, sehingga :
f(3) = a(3)2 + b(3) + c
-2 = 9a + 3b + c … (ii)
f'(x) = 2ax + b
substitusi titik x = 3 (titik minimum) untuk f'(x) = 0, sehingga :
0 = 2a(3) + b
b = -6a … (iii)
substitusi (i) dan (iii) ke (ii), sehingga diperoleh :
-2 = 9a + 3b + c
-2 = 9a + 3(-6a) + 16
-2 = 9a – 18a + 16
-18 = -9a
2 = a
b = -12
f(x) = ax2 + bx + c
substitusi a = 2 , b = -12 dan c = 16
f(x) = 2x2 – 12x + 16
22. Nilai maksimum dari fungsi f(x) = –2x2 + (k+5)x + 1 – 2k adalah 5. Nilai k yang positif adalah …
PEMBAHASAN :
f(x) = –2x2 + (k + 5)x + 1 – 2k
f'(x) = -4x + k + 5 = 0
-4x = -(k + 5)
x = (k + 5)/4
substitusi nilai “x” ke fungsi :
f(x) = –2x2 + (k+5)x + 1 – 2k
5 = –2( )2 + (k+5)( ) + 1 – 2k
5 = –2( ) + 4( ) +
16. 5.16 = -2k2 – 20k – 50 + 4k2 + 40k + 100 + 16 – 32k
80 = 2k2 – 12k + 66
2k2 – 12k – 14 = 0
2(k2 – 6k – 7) = 0
2(k – 7)(k + 1) = 0
k = 7 atau k = -1
23. Absis titk balik grafik fungsi f(x) = px2 + ( p – 3 )x + 2 adalah p. Nilai p = …
PEMBAHASAN :
Titik balik = titik minimum.
f(x) = px2 + ( p – 3 )x + 2
f'(x) = 2px + p – 3 = 0
substitusi x = p, sehingga diperoleh :
2p2 + p – 3 = 0
(2p + 3)(p – 1) = 0
p = -3/2 atau p = 1
24. Memfaktorkan
Contoh soal:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat di bawah ini dengan pemfaktoran;
a. 8 15 0 2 x x
b. 6 0 2 x x
PEMBAHASAN :
a. 8 15 2 x x = 0
(x 3)(x 5) = 0
(x 3) = 0 atau (x 5) = 0
x = 3 atau x = 5
Jadi, HP = {3, 5}
b. x 6x 2 = 0
x(x 6) = 0
x = 0 atau (x 6) = 0
17. x = 6
Jadi, HP = { 6 , 0}
60
x kalikan kedua ruas dengan (x 1)
1
3
x
60) 3)(1( x x
0 63 2 2 x x
0) 9)(7( x x
) 7 ( x = 0 atau ) 9 ( x = 0
x = 7 atau x = 9
Jadi, HP = { 9 , 7}
25. Gunakan rumus untuk menentukan akar-akar persamaan 0 15 8 2 x x
PEMBAHASAN :
8 15 0 2 x x
Maka,
a = 1
b = – 8
c = 15
Substitusi nilai a, b, c ke rumus abc
Sehingga,
( 8) ( 8) 4(1)(15) 2
2(1)
1,2
x
8 64 60
2
1,2
x
8 2
2
1
x atau
8 2
2
2
x
5 1 x atau 3 2 x