PENGAMBILAN KEPUTUSAN DALAM KONDISI PASTI.pdf

PENGAMBILAN
KEPUTUSAN DALAM
KONDISI PASTI
KELOMPOK 7
1. Iqsal Aryo Syahputra (25423017)
2. Muhammad Daiyan Ramadhan (25423045)
3. Ratna Patmawati Wisnu Murti (25423081)
KELOMPOK 14
1. Laras Kun Rahmanti Putri (25423001)
2. Chintya Chaterina Hattu (25423031)
3. Ahmad Syauqani (25423061)

KONSEP
• Suatu Keputusan Dalam Kondisi Pasti Apabila Hasil Setiap
Alternatif Tindakan Dapat ditentukan Dengan Pasti.
• Kondisi Pasti Didukung Oleh Informasi Yang Lengkap
Sehingga Diramalkan Secara Tepat Hasil Dari Suatu Tindakan
• Dalam Kondisi Pasti Ini, Pengambil Keputusan Secara Pasti
Mengetahui Yang Akan Terjadi Dimasa Yang Akan
Datang.

TEKNIK PENGAMBILAN KEPUTUSAN
DALAM KONDISI PASTI
PROGRAM LINEAR
A N A L I S I S
S E N S I V I T A S
( G R A P H I C M E T H O D )
A N A L I S I S S I M P L E X
3

PROGRAM
LINEAR
Linear Programming
merupakan metode
matematik dalam
mengalokasikan sumber
daya yang terbatas untuk
mencapai suatu tujuan yakni
memaksimumkan
keuntungan ataupun
meminimumkan biaya.
(Siringoringo, 2005)
FUNGSI
DALAM
PROGRAM
LINEAR
1. FUNGSI TUJUAN
(OBJEKTIF)
adalah fungsi yang
menggambarkan tujuan atau
sasaran di dalam permasalahan
LP yang berkaitan dengan
pengaturan secara optimal
sumber daya-sumber daya,
untuk memperoleh keuntungan
maksimal dan memperoleh
biaya minimal.
2. FUNGSI BATASAN
(CONSTRAIN)
Merupakan bentuk penyajian
secara matematis batasan-
batasan kapasitas yang
tersedia yang akan dialokasikan
secara optimal ke berbagai
kegiatan.

ASUMSI DALAM PROGRAM LINEAR
PROPORTIONALITY
Nilai Fungsi (Z) &
Penggunaan
Sumber Daya Yang
Tersedia Akan
Berubah Secara
Proporsional
Dengan Perubahan
Tingkat Aktivitas
(X)
ADDITIVITY
Nilai Fungsi Total
Dapat Diperoleh
Dengan
Menjumlahkan
Kontribusi Untuk
Setiap Individu
Dari Setiap
Aktivitas.
CERTAINTY
Semua Tujuan Dan
Koefisien
Pembatas Dari
Model LP Adalah
Konstanta Yang
Diketahui
DIVISIBILITY
Output Yang
Dihasilkan Oleh
Setiap Aktivitas
Dapat Berupa
Angka Pecahan
Dan Juga Nilai Z
Yang Dihasilkan
5

Syarat agar suatu persoalan dapat dipecahkan
dengan Teknik LP
Harus dapat dirumuskan secara
matematis
Harus jelas fungsi objektif linear yang
harus dibuat optimal
Pembatas-pembatas harus dinyatakan
dalam ketidaksamaan yang linear

LANGKAH ANALISIS
Defenisikan
Variabel
Keputusan (misal x1
dan x2, yang dalam
hal ini adalahvariable
yang nilainya akan
dicari)
Rumuskan Fungsi
Tujuan(Z)
(Memaksimumkan
atau
meminimumkan)
Rumuskan Fungsi
Kendala Sumber Daya
Tetapkan Kendala
non-negative
(Setiap keputusan
(kuantititif) yang
diambil tidak boleh
mempunyai nilai
negative).

CONTOH LINEAR PROGRAMMING
Battery A
(x1)
Battery B
(x2)
Maximum Daily Availability
Nikel 2 1 8
Lithium 3 2 5
Profit Rp 15.000 Rp 10.000
Berapa Produksi barang A dan B agar jumlah
hasil penjualan maksimum? (dengan
memperhatikan pembatas bahwa bahan mentah
yang dipergunakan dalam proses produksi tidak
boleh melebihi persediaan yang ada)
Langkah 1: Defenisikan Variabel
Keputusan (variable yang nilainya
akan dicari)
X1 = Produksi Batrei A (ton/hari)
X2 = Produksi Batrei B (ton/hari)

Battery A
(x1)
Battery B
(x2)
Maximum Daily
Availability
Nikel 2 1 8
Lithium 3 2 5
Profit Rp 15.000 Rp 10.000
Langkah 2 : Tentukan optimasi yang ingin dicapai,
maksimalisasi atau minimalisasi?
Dalam hal ini yang yang dibicarakan adalah
keuntungan per hari dari kedua produk.
Karena keuntungan Baterai A adalah 15.000
dan Baterai B adalah 10.000 maka:
Total Profit Batrei A (x1) = 15x1
Total Profit Batrei B (x2) = 10x2
Dari fungsi ini, maksimalisasi keuntungan per hari (Z) adalah :
Z = 15x1 + 10x2
FUNGSI OBJEKTIF

• LANGKAH 3 – FUNGSI BATASAN
(Penggunaan Bahan Baku) ≤ (Ketersediaan Maksimum Bahan Baku)
Battery A
(x1)
Battery B
(x2)
Maximum Daily
Availability
Nikel 2 1 8
Lithium 3 2 5
Profit Rp 15.000 Rp 10.000
2x1 + x2 ≤ 8
3x1 + 2x2 ≤ 5

LANGKAH 4 – Merumuskan LP standar (Mengubah ketidaksamaan menjadi persamaan)
Untuk mencari nilai x1 dan x2 kita harus mengubah ketidaksamaan menjadi persaman dengan jalan
memasukkan nilai variable slack . Variabel slack dapat diartikan sebagai sisa bahan mentah. Oleh
karena bahan mentah tidak dijual, maka kita anggap harga jualnya nol. Sehingga ketidaksamaan
berubah menjadi persamaan yaitu variabel x3≥ 0 dan x4≥ 0.
Maksimum : Z = 15x1 + 10x2 + 0x3 + 0x4
Dengan Pembatas : 2x1 + x2 + x3 = 8
3x1 + 2x2 + x4 = 5
Battery A
(x1)
Battery B
(x2)
Maximum Daily
Availability
Variabel
Slack
Nikel 2 1 8 x3≥ 0
Lithium 3 2 5 x4≥ 0
Profit Rp 15.000 Rp 10.000
2x1 + x2 + x3 = 8
3x1 + 2x2 + x4 = 5

LANGKAH 5 – Cari nilai Z yang terbesar yang memberi pemecahan optimal.
Dimana :
1. X1 dan X2 = 0
2. X1 dan X3 = 0
3. X1 dan X4 = 0
4. X2 dan X3 = 0
5. X2 dan X4 = 0
6. X3 dan X4 = 0
X1 = 0 X2 = 0 X3 = 8 X4 = 5
Z = 15x1 + 10x2 + 0x3 + 0x4
Z = 15(0) + 10 (0) + 0(8) + 0(5)
Z1 = 0
Battery A
(x1)
Battery B
(x2)
Maximum Daily
Availability
Variabel
Slack
Nikel 2 1 8 x3≥ 0
Profit Rp 15.000 Rp 10.000
2x1 + x2 + x3 = 8
3x1 + 2x2 + x4 = 5
X1 = 0 X2 = 8 X3 = 0 X4 = -11
2x1 + x2 + x3 = 8
2(0) + x2 + 0 = 8
0 + x2 + 0 = 8
x2 = 8
3x1 + 2x2 + x4 = 5
3(0)+ 2(8) + x4 = 5
0+16+ x4 = 5
x4=5-16 = -11
Karena X4 bertanda negative maka dianggap tidak fisibel
sehingga Z2 tidak dihitung

LANGKAH 5 – Cari nilai Z yang terbesar yang memberi pemecahan optimal.
Battery A
(x1)
Battery B
(x2)
Maximum Daily
Availability
Variabel
Slack
Nikel 2 1 8 x3≥ 0
Profit Rp 15.000 Rp 10.000
2x1 + x2 + x3 = 8
3x1 + 2x2 + x4 = 5
X1 = 0 X2 =
𝟓
𝟐
X3 =
𝟏𝟏
𝟐
X4 = 0
2x1 + x2 + x3 = 8
2(0) + 5/2 + x3= 8
0 + 5/2 + x3 = 8
x3 = 8 - 5/2 = 11/2
3x1 + 2x2 + x4 = 5
3(0)+ 2x2 + 0 = 5
2x2 = 5
x2=5/2
Z3 = 15x1 + 10x2 + 0x3 + 0x4x3 =
Z3 = 15(0) + 10 (5/2)+ 0(11/2) + 0
Z3 = 0 + 25 + 0 + 0
Z3 = 25 (Rp 25.000)
X1 = 4 X2 = 0 X3 = 0 X4 = -7
2x1 + x2 + x3 = 8
2x1 + 0 + 0 = 8
x1 = 8/2
x1 = 4
3x1 + 2x2 + x4 = 5
3(4) + 2(0) + x4 = 5
12 + 0 + x4 = 5
X4 = 5-12 = -7
Karena X4 bertanda negative maka dianggap
tidak fisibel sehingga Z4 tidak dihitung

Battery A
(x1)
Battery B
(x2)
Maximum Daily
Availability
Variabel
Slack
Nikel 2 1 8 x3≥ 0
Profit Rp 15.000 Rp 10.000
2x1 + x2 + x3 = 8
3x1 + 2x2 + x4 = 5
X1 = 5/3 X2 = 0 X3 = 14/3 X4 = 0
2x1 + x2 + x3 = 8
2(5/3) + 0 + x3 = 8
10/3 + 0 + x3 = 8
x3 = 8 – 10/3
x3 = 14/3
3x1 + 2x2 + x4 = 5
3x1 + 2(0) + 0 = 5
3x1 = 5
x1 = 5/3
Z6 = 15x1 + 10x2 + 0x3 + 0x4 =
Z6 = 15(5/3) + 10(0) + 0(14/3) + 0(0)
Z6 = 25 (Rp 25.000)
X1 = 11 X2 = -14 X3 = 0 X4 = 0
2x1 + x2 + x3 = 8
2x1 + x2 + 0 = 8
2x1 + x2 = 8
x2 = 8 – 2x1
x2 = 8 - 2(11)
x2 = -14
3x1 + 2x2 + x4 = 5
3x1 + 2(8 – 2x1) + 0 = 5
3x1 + 16 – 4x1 = 5
-x1 = 5-16
-x1 = -11
x1 = 11
Karena X2 bertanda negative maka dianggap tidak fisibel
sehingga Z5 tidak dihitung

15
HASIL LP
NILAI Z X1 X2 X3 X4 Keterangan
Z1 0 0 8 5 0
Z2 0 8 0 -11 Tidak Fisibel
Z3 0 5
2
= 2,5
11
2
= 5,5 0 Rp 25.000
Z4 4 0 0 -7 Tidak Fisibel
Z5 11 -14 0 0 Tidak Fisibel
Z6
5
3
= 1,7 0 14
3
= 4,7 0 Rp 25.000
Dari ke-6 pemecahan dasar, terdapat 3 yang tidak fisibel yakni Z2, Z4 , dan Z5. sedangkan ada 2 yang fisibel yakni Z3
dan Z6 yang memiliki nilai yang sama yakni 25 sehingga Keputusannya “
Untuk mencapai Zmaks sebesar Rp 25.000 maka
• Batrei A tidak diproduksi, Batrei B diproduksi 2,5, Bahan mentah Nikel tersisa 5,5 dan bahan mentah Lithium
habis terpakai dalam proses produksi.
• Batrei A diproduksi 1,7. Batrei B tidak diproduksi, Bahan mentah Nikel tersisa 4,7 dan bahan mentah Lithium
habis terpakai dalam proses produksi.
catatan : interpretasi tergantung pada jenis persoalan. Contoh diatas sekedar untuk ilustrasi dan dalam praktiknya
jarang sekali suatu produk yang hanya memerlukan 2 bahan mentah saja sehingga contoh diatas menjadi tidak
realistis.

ANALISIS SENSITIVITAS
“GRAPHIC METHOD”
16

ANALISIS SENSITIVITAS/Post Optimality
Pada kebanyakan program linier,
koefisien fungsi tujuan dan fungsi
pembatas diberikan sebagai data input,
sehingga solusi optimum yang diperoleh
akan didasarkan atas nilai koefisien-
koefisien tadi.
Dalam praktek, harga koefisien tadi
jarang diketahui dengan pasti karena
beberapa dari koefisien tadi merupakan
fungsi beberapa parameter yang tidak
dapat dikendalikan. → Solusi masalah-
masalah praktis tidak lengkap hanya
dengan penentuan solusi optimum.
Terdapat suatu cara untuk
mempelajari bagaimana solusi
optimum akan berubah sehubungan
dengan perubahan koefisien input
(data). Hal ini diketahui sebagai
analisis sensitivitas atau post-
optimality.

TUJUAN
ANALISIS
SENSIVITAS
• Mengetahui kendala (sumberdaya) mana yang
dapat dilonggarkan (dinaikkan) dan seberapa
besar kelonggaran dapat dibenarkan, sehingga
menaikkan nilai Z (keuntungan) tanpa melakukan
perhitungan dari awal,
• Mengetahui kendala (sumberdaya) mana yang
dapat dikurangi tanpa mengurangi menurunkan
nilai Z (keuntungan) tanpa melakukan
perhitungan dari awal,
• Mengetahui Jumlah selisih keuntungan (nilai Z)
• Mengetahui Batasan penambahan dan atau
pengurangan sumberdaya tanpa mengubah
solusi optimum (keuntungan) atau tanpa
menghitung solusi optimum dari awal.
Solusi optimum yang telah
didapatkan → dioptimumkan
kembali → keuntungan
bertambah:
• Apakah terhadap sumberdaya
yang masih dapat dikurangi
lagi (misal bahan baku),
• apakah terdapat sumberdaya
yang dapat ditambah lagi
(misal tenaga kerja).

Analisis Sensivitas
Graphic Method
Changes in the
Right-Hand Side
(constraints) - Dual
Price
Changes in the
Objective Function
Algebraig Method
Changes in the
Objective Function -
Dual Price
Changes in the
Right-Hand Side –
Feasibility Range
ANALISIS SENSITIVITAS

GRAPHIC METHOD
Metode grafis adalah metode yang paling sederhana
untuk membuat keputusan. Metode ini dapat
menyelesaikan model pemrograman linier dengan 2
variabel

PROSEDUR GRAPHIC METHOD RUAS KANAN
Tentukan area solusi
yang layak (berada
dalam area garis-garis
linear pembatas)
Mencari Solusi
Optimum
Mengetahui
sumberdaya yang
sudah habis terpakai
dan yang masih
tersisa (idle)
Jika yang terpakai < yang
tersedia (ada yang
tersisa), maka
sumberdaya dapat
dikurangi tanpa
mengubah keuntungan.
Jika yang terpakai = yang
tersedia (tidak ada yang
tersisa), maka sumberdaya
tidak bisa dikurangi (agar
keuntungan tidak
berkurang).
Menggeser solusi (x,y)
ke solusi baru,
Mengidentifikasi titik
solusi baru (x,y
Mengidentifikasi
keuntungan baru
Mengidentifikasi
jumlah penambahan
bahan baku.
Menghitung selisih
keuntungan, berupa
penghematan bahan baku
maupun penambahan
keuntungan dari bahan baku
yang lain.
21

CONTOH KASUS PENERAPAN
GRAPHIC METHOD
Battery A
(x)
Battery B
(y)
Maximum
Daily
Availability
Nikel 2 1 8
Lithium 3 2 5
Profit Rp 15.000 Rp 10.000
Fungsi Tujuan:
Z = 15x + 10y
Fungsi pembatas:
2x + y ≤ 8 ……….(1)
3x + 2y ≤ 5 ………(2)
x ≥ 0
y ≥ 0

23
CONTOH METODE GRAPHIC
Tentukan area
solusi yang
layak (berada
dalam area
garis-garis linier
pembatas
01
Persamaan 1
2x + y ≤ 8
Persamaan 2
3x + 2y ≤ 5
Jika x = 0 maka :
2x + y = 8
2(0) + y = 8
Maka y = 8
Titik 1 (x,y) = (0,8)
Jika y = 0 maka :
2x + y = 8
2x + 0 = 8
x = 8/2
x = 4
Titik 2 (x,y) = (4,0)
Jika x = 0 maka :
3x + 2y = 5
3(0) + 2y = 5
2y = 5
y = 5/2
Titik 3 (x,y) = (0,5/2)
Jika y = 0 maka :
3x + 2y = 5
3x + 2(0) = 5
3x = 5
x = 5/3
Titik 3 (x,y) = (5/3,0)

GRAPHIC
Titik 1 (0,8)
Titik 2 (4,0)
Titik 3 (0,
𝟓
𝟐
)
Titik 4 (
𝟓
𝟑
, 0)
Grafik = (insert → scatter
plot → straight line →
select data → ambil data
daftar x,y)

Mencari Solusi
Optimum
02
Titik Potong dari garis-garis
pembatas ialah pada titik T
(0,5/2) dan titik E (5/3,0)
Fungsi Tujuan: Z = 15x + 10y
Jika Z menggunakan titik T (0, 5/2) maka :
Z = 15x + 10y
Z = 15(0) + 10(
5
2
)
Z = 25 (Rp 25.000)
Jika Z menggunakan titik E (5/3, 0) maka :
Z = 15x + 10y
Z = 15(
5
3
) + 10(0)
Z = 25 (Rp 25.000)
Kedua solusi sama-sama optimum, keuntungan
optimal dapat dilakukan dengan 2 cara:
• Solusi T → Memproduksi baterai A saja sebanyak
5 per 3 ton/hari.
• Solusi E → Memproduksi baterai B saja sebanyak
5 per 2 ton/hari.

Mengetahui sumberdaya yang
sudah habis terpakai dan
yang masih tersisa (idle).
03 Kita gunakan solusi T (0;
5
2
),
disubsitusi ke persamaan Bahan
baku Nikel (persamaan 1) dan
Bahan baku Lithium (persamaan 2):
Persamaan (1) → bahan baku nikel
2x + y ≤ 8
Persamaan (2) → bahan baku litium
3x+2y≤5
x=0; y = 5
2
→ 2(0) + 5
2
= 2,5.
Jumlah terpakai < yang tersedia; masih terdapat sisa
(idle) sejumlah
8 - 2,5 = 5,5.
Artinya penggunaan bahan baku nikel dapat
dihemat 5,5 ton.
Penjelasan: Solusi yang menghasilkan keuntungan
optimal ialah 0,5/2. Dengan solusi tsb, ternyata
penggunaan nikel untuk memproduksi
baterai A shg mendapatkan keuntungan optimum
cukup 2,5 ton saja.
x=0; y = 5
2
→ 3(0) + 2(5
2
) = 5.
Jumlah terpakai = yang tersedia; tidak terdapat sisa
(idle) sejumlah.
Dengan solusi tsb, ternyata penggunaan litium
untuk memproduksi baterai A shg mendapat
keuntungan optimum sudah habis. Artinya, jumlah
litium tidak bisa dikurangi karena dapat
mengurangi keuntungan.
Maka untuk lebih mengoptimalkan keuntungan,
bahan baku litium dapat ditambah.
Seberapa banyak?

Jika jumlah yang terpakai < yang tersedia (ada yang tersisa), maka
sumberdaya dapat dikurangi tanpa mengubah keuntungan → sudah
dibahas; bahan baku nikel dapat dikurangi.
04
Jika yang terpakai = yang tersedia (tidak ada yang tersisa), maka
sumberdaya tidak bisa dikurangi (agar keuntungan tidak berkurang)
→ sumberdaya ditambah untuk memaksimalkan keuntungan (Bahan
Baku Litium).
05
Menggeser solusi (x,y) ke solusi baru.
• Yang digeser ialah fungsi kendala
bahan Litium (persamaan 2) / garis oren
• Penggeseran maksimal hingga batas
yang sama sehingga masih dalam batas
titik solusi ke titik solusi baru, gradien
garis sama).
06
J atau L ? → dicoba
satu-satu.

Mengidentifikasi Titik Solusi baru
(x,y)
07
Identifikasi dulu J dan L masing-masing berapa.
L = (4,0) sesuai dengan perhitungan
garis ungu (persamaan 1) sebelumnya.
J→ x=0, y=? → proporsi gradien
Sebelumnya sudah didapatkan
koordinat garis oren (Persamaan 2).
x y
0 5/2
5/3 0

Mengidentifikasi Keuntungan Baru
08
Substitusi solusi J dan L ke persamaan keuntungan / persamaan Z = 15x + 10y
Titik Shadow Price (Tambahan Keuntungan) Kesimpulan
Titik J (0,6)
Z= 15(0)+10(6)
Z= 60 (ribu)
Keuntungan baru dari jumlah penggunaan baru
bahan litium – keuntungan lama
= 60(ribu) – 25(ribu)
= 35ribu.
Jika penggunaan Litium (untuk
produksi baterai B) dinaikkan lagi,
tidak mendapat keuntungan.
Titik L (4,0)
Z= 15(4)+10(0)
Z= 60 (ribu)
Keuntungan dari jumlah penggunaan bahan litium
baru – keuntungan lama
= 60(ribu) – 25(ribu)
= 35ribu.
Jika penggunaan Litium (untuk
produksi baterai A) dinaikkan lagi,
tidak mendapat keuntungan.
Ternyatah solusi J dan L menghasilkan keuntungan yang sama, dimana:
• Solusi J = Litium digunakan untuk memproduksi baterai B saja sejumlah 6 ton;
• Solusi L = untuk memproduksi baterai A saja sejumlah 4 ton.
Keuntungan lebih besar → Solusi baru yang terpilih → pilih pilihan 1 atau 2.

Mengidentifikasi Jumlah penambahan bahan baku ybs (Litium)
Substitusi solusi baru ke fungsi kendala atau fungsi bahan baku ybs (Litium) : 3x + 2y ≤ 5
09
Jika menggunakan solusi J (baterai B saja
sejumlah 6 ton), untuk lebih
mengoptimalkan keuntungan, jumlah
maksimal penambahan bahan Litium=
penggunaan bahan baku dengan solusi J –
ketersediaan
= (3x + 2y) – 5
= (3(0) + 2(6)) – 5
= 12 – 5 = 7
Untuk mengoptimalkan produksi, bahan
Litium dapat ditambah hingga maksimal 7
ton.
Sama halnya jika menggunakan solusi L
(baterai A saja sejumlah 4 ton), untuk lebih
mengoptimalkan keuntungan, jumlah
maksimal penambahan bahan Litium=
penggunaan dengan solusi J – Ketersediaan
= (3x + 2y) – 5
= (3(4) + 2(0)) – 5
= 12 – 5
= 7.

Menghitung selisih keuntungan, berupa penghematan bahan
baku maupun penambahan keuntungan dari bahan baku yang
lain.
10
Optimasi Keuntungan Perusahaan
baterai :
BAHAN JENIS
PERUBAHAN
MAKS
SUMBERDAYA
PERUBAHAN MAKS
FUNGSI TUJUAN
SHADOW PRICE
(KENAIKAN
KEUNTUNGAN)
Nikel Ada sisa 2,5 – 8 = -5,5 25 ribu - 25 ribu = 0
0 (tetapi bahan baku
lebih hemat)
Litium
Tidak ada
sisa (Habis)
7 – 5 = 2
35 ribu – 25 ribu = 10
ribu
5 → 10 dibagi 2
Dah gitu.

GRADIEN
y = mx + k, gradiennya m
by = ax + k , b ≠ 0
y =
𝑎
𝑏
𝑥 +
𝑘
𝑏
, maka gradiennya
𝑎
𝑏
ax - by + k = o, maka gradiennya
𝑎
𝑏
ax + by + k = o, maka gradiennya -
𝑎
𝑏
ax1 + bx2 + k = 0, maka gradiennya -
𝑎
𝑏
y = h, maka gradiennya 0
x = k, maka gradiennya ∞

ANALISIS SENSIVITAS-PERUBAHAN
KOEFISIEN FUNGSI OBJEKTIF
Battery A
(x1)
Battery B
(x2)
Maximum Daily
Availability
Nikel 1 2 6
Lithium 2 1 8
Profit Rp 15.000 Rp 10.000
Fungsi Tujuan
Z = 15x1 + 10x2
Max Z = c1x1 + c2x2
Gradien Contraint 1 adalah -
1
2
Bila garis isoprofit (fungsi tujuan) yang baru lebih
landau dari garis constraint 1, maka solusi optimal
akan berubah dari A (
10
3
,
4
3
) ke (0,3)
yaitu pada saat :
-
𝑐1
𝑐2
≥ -
1
2
→
𝑐1
𝑐2
≤
1
2
Fungsi Kendala
x1 + 2x2 ≤ 6
2x1 + x2 ≤ 8
x1,x2 ≥ 0

Battery A
(x1)
Battery B
(x2)
Maximum Daily
Availability
Nikel 1 2 6
Lithium 2 1 8
Profit Rp 15.000 Rp 10.000
Fungsi Tujuan
Z = 15x1 + 10x2
Max Z = c1x1 + c2x2
Gradien Contraint 2 adalah -2
Bila garis isoprofit (fungsi tujuan) yang baru lebih
landau dari garis constraint 2, maka solusi optimal
akan berubah dari A (
10
3
,
4
3
) ke (4,0)
yaitu pada saat :
-
𝑐1
𝑐2
≤ -2 →
𝑐1
𝑐2
≥
1
2
Fungsi Kendala
x1 + 2x2 ≤ 6
2x1 + x2 ≤ 8
x1,x2 ≥ 0

Solusi optimal akan berubah dari
A(
10
3
,
4
3
) ke (0,3) saat
𝑐1
𝑐2
≤ 2
Solusi optimal akan berubah dari
A(
10
3
,
4
3
) ke (4,0) saat
𝑐1
𝑐2
≥ 2
Solusi optimal Tetap di A(
10
3
,
4
3
) jika
𝑐1
𝑐2
≥
1
2
dan
𝑐1
𝑐2
≤ 2
1
2
≤
𝑐1
𝑐2
≤ 2

Fungsi Tujuan
Max Z =15X1 + 10X2
Fungsi Kendala
x1 + 2x2 ≤ 6
2x1 + x2 ≤ 8
x1,x2 ≥ 0
Rentang Optimalisasi
Max Z = c1x1 + c2x2
Gradien Constraint 1 adalah
1
2
Gradien Constraint 2 adalah -2
Solusi Optimal akan tetap di A jika :
-2 ≤
𝑐1
𝑐2
≤
1
2
1
2
≤
𝑐1
𝑐2
≤ 2

PENGGUNAANYA
Jika profit dari Battery A dan Battery B meningkat yaitu berturut-turut
Rp20.000 dan Rp 30.000, apakah solusi optimal saat ini tetap sama?
Maka max Z=2x1+3x2
Syarat:
1
2
≤
𝑐1
𝑐2
≤ 2
1
2
≤
2
3
≤ 2
Berarti solusi tetap optimal di titik A(
10
3
,
4
3
)

METODE
SIMPLEX
Simplex Primal
Simplex Primal
With Artificial
variable
M-Method 2 Fase
Dual Simplex

DAFTAR ISTILAH DALAM METODE SIMPLEX
ISTILAH PENGERTIAN
Base Variabel Variabel yang nilainya tidak nol pada setiap iterasi.
Non-base variables Yang nilainya disetel ke nol pada setiap iterasi.
Slack variables
Variabel yang ditambahkan ke matematika
batasan model untuk mengubah ≤ pesanan
menjadi =
Surplus variables
Variabel yang ditambahkan ke matematika
batasan model untuk mengubah ≥ pesanan
menjadi =
Solution or right value Nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia
Artificial variable
(R)
Variabel yang ditambahkan ke matematika kendala
model dengan bentuk ≥ atau = untuk berfungsi
sebagai variabel dasar awal.

DAFTAR ISTILAH DALAM METODE SIMPLEX
ISTILAH PENGERTIAN
Pivot Colum Kolom yang berisi variabel yang masuk
Pivot Rows
Salah satu baris dari antara variabel baris yang
berisi variabel keluar
Pivot Element
Elemen yang terletak di persimpangan kolom dan
baris pivot
Entering Variable
Variabel yang dipilih untuk menjadi variabel
dasarpada iterasi berikutnya.
Leaving Variable
Variabel yang keluar dari variabel dasar pada
iterasi berikutnya dan digantikan dengan variabel
yang masuk.
Iteration
Tahap perhitungan di mana nilai dalam
perhitungan tergantung pada nilai tabel
sebelumnya.

PROSEDUR KOMPUTASI TERPERINCI
DARI ITERASI SIMPLEX
Mengembangkan bentuk
persamaan masalah
Mengembangkan tabel simpleks
awal
Mengidentifikasi variabel masuk
dan variabel keluar
a. Memasukkan variabel dan
kolom Pivot
b. Variabel kiri dan baris Pivot
c. Elemen pivot
Tentukan solusi dasar yang baru
dengan menggunakan perhitungan
Gauss-Jordan yang sesuai
Lakukan iterasi untuk menemukan
solusi optimal (berdasarkan koefisien
dari variabel nonbasis pada baris ke-
z
01
02
03
04
05

Simplex Primal
Simplex Primal adalah Teknik menerjemahkan
definisi geometris dari titik-titik ekstrim atau sudut-
sudut daerah layak ke dalam definisi aljabar.
Dimulai dari solusi dasar yang layak atau titik
ekstrem di "Daerah Layak" atau 'Ruang Solusi" yang
memenuhi semua kendala iterasi dari satu titik
ekstrem ke titik ekstrem berikutnya hingga
mencapai solusi optimal.
TAHAPAN DALAM SIMPLEX
PRIMAL
Persiapan Bentuk
Standar dari Iterasi
Model Program Linier
untuk Mencari Solusi
Optimal
Solusi Interpretasi
01
02
03

45
PROSEDUR KOMPUTASI TERPERINCI DARI
ITERASI SIMPLEX
Mengembangkan bentuk
persamaan masalah
01
Persamaan masalah Maksimalkan
z = 5x1 + 4x2
Apakah persamaan kondisi membutuhkan variabel
slack atau variabel surplus?
Persamaan Masalah
Maksimalkan Z = 5X1 + 4X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4
Persamaan Kondisi
6x1 + 4x2 + S1 = 24
x1 + 2x2 + S2 = 6
-x1 + x2 + S3 = 1
x2 + S4 = 2 = 2
x1, x2, S1, S2, S3, S4 ≥ 0

46
ITERASI SIMPLEX
Mendefinisikan variabel dasar dan non-dasar ke
dalam table
- Dasar : s1, s2, s3, s4
- Non-dasar : x1,
Mengembangkan table
Simplex Awal
02
Basic Z X1 X2 S1 S2 S3 S4
Solution Ratio
Z-row 1 -5 -4 0 0 0 0 0
S1
S2
S3
S4
Persamaan Tujuan :
Z – 5X1 - 4X2 – 0S1 – 0S2 – 0S3 – 0S4 = 0

ITERASI SIMPLEX
Basic Z X1 X2 S1 S2 S3 S4
Solutio
n
Ratio
Z-row 1 -5 -4 0 0 0 0 0
S1 0 6 4 1 0 0 0 24
S2 0 1 2 0 1 0 0 6
S3 0 -1 1 0 0 1 0 1
S4 0 0 1 0 0 0 1 2
Persamaan Kondisi
6x1 + 4x2 + S1 = 24
x1 + 2x2 + S2 = 6
-x1 + x2 + S3 = 1
x2 + S4 = 2 = 2
x1, x2, S1, S2, S3, S4 ≥ 0

48
ITERASI SIMPLEX
Mengidentifikasi
variable; masuk dan
variable keluar
03
Problem equation
Maximize Z= 5X1 + 4X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3+0S4
Objektive equation
Z – 5X1 - 4X2 – 0S1 – 0S2 – 0S3 – 0S4 = 0

49
ITERASI SIMPLEX
Mengidentifikasi
variable; masuk dan
variable keluar
03
a. Koefisien Negative dalam persamaan tujuan.
Persamaan Tujuan :
Z – 5X1 - 4X2 – 0S1 – 0S2 – 0S3 – 0S4 = 0

50
ITERASI SIMPLEX
Mengidentifikasi
variable; masuk dan
variable keluar
03
b. Rasio non Negative
Persamaan Tujuan :
Z – 5X1 - 4X2 – 0S1 – 0S2 – 0S3 – 0S4 = 0

51
ITERASI SIMPLEX
Mengidentifikasi
variable; masuk dan
variable keluar
03
c. Elemen Pivot
Persamaan Tujuan :
Z – 5X1 - 4X2 – 0S1 – 0S2 – 0S3 – 0S4 = 0

ITERASI SIMPLEX
Tentukan solusi dasar yang baru (Menukar variabel
yang masuk x1 dengan variabel yang keluar baris s1,
sebagai variabel dasar yang baru)
04
Persamaan Tujuan :
Z – 5X1 - 4X2 – 0S1 – 0S2 – 0S3 – 0S4 = 0

ITERASI SIMPLEX
Tentukan solusi
dasar yang baru
05

ITERASI SIMPLEX

ITERASI SIMPLEX
Solusi Optimal Persamaan Masalah
(Maksimalkan)
X1 = 3
X2 = 1,5
Z = 5x1 + 4x2
Z = 5(3)+ 4(1,5)
Z = 15 + 6
Z = 21

SIMPLEX PRIMAL WITH ARTIFICIAL
VARIABLE
M-METHOD
o Tidak semua model program linear mempunyai variabel Slack →
tidak siap diolah dengan Metoda Simplek Primer
o diperlukan variabel tiruan→ sebagai variabel slack
TEKNIK 2 FASE
o Kelemahan Teknik M→ konstanta M sangat besar sehingga
memungkinkan kesalahan.
o Konstanta M dihapus dengan penyelesaian persoalan dua fase :
60
Simplex Primal M-Method
Constraints
1. Xe + 2 Xi ≤ 6
2. 2Xe + Xi ≤ 8
3. -Xe + Xi ≤ 1
4. Xi ≤ 2
Constraints
1. 3Xe + Xi = 3
2. 4Xe + Xi ≥ 6
3. Xe + 2 Xi ≤ 4

CONTOH SOAL
Pemerintah ingin mengembangkan lahan budidaya untuk kegiatan industri dan pertanian dengan
meminimalkan biaya pembangunan.
Variabel kendala: (1) Permintaan, (2)Tenaga kerja , (3) Sumber daya air
Min Z = 4 X1 + X2
Setiap unit pengembangan
lahan membutuhkan biaya
sebagai berikut:
• Industri membutuhkan
4 unit biaya per unit
pengembangan lahan
• Pertanian
membutuhkan 1 unit
biaya per unit
pengembangan lahan
3X1 + X2 = 3
lahan menghasilkan nilai
produksi sebagai berikut:
• Industri menghasilkan
produk senilai 3 unit per
unit pengembangan
lahan
• Pertanian menghasilkan
produk senilai 1 unit per
unit pengembangan
lahan
• Total permintaan untuk
kedua kegiatan tersebut
harus sama dengan 3
unit
4X1 + 3X3 ≥ 6
lahan membutuhkan
tenaga kerja sebagai
berikut:
• Industri membutuhkan 4
unit tenaga kerja per unit
pengembangan lahan
• Pertanian membutuhkan
3 unit tenaga kerja per
unit pengembangan
lahan
• Total tenaga kerja yang
dibutuhkan untuk kedua
kegiatan tersebut harus
lebih besar atau sama
dengan 6 unit
X1 + 2 X2 ≤ 4
lahan membutuhkan
sumber daya air sebagai
berikut:
• Industri membutuhkan 1
unit sumber daya air per
unit pengembangan
lahan
• Pertanian membutuhkan
2 unit sumber daya air
per unit pengembangan
lahan
• Total kebutuhan sumber
daya air tidak boleh lebih
dari atau sama dengan 4
unit
62

SIMPLEX M-METHOD
Industri x1
(unit)
Pertanian x2
(unit)
Maximum Daily
Availability (unit)
Nilai Produksi 3 1 = 3
Tenaga Kerja 4 3 ≥ 6
Sumber Daya Air 1 2 ≤ 4
Biaya 4 Unit 1 Unit
3x1 + x2 = 3
4x1 + 3x2 ≥ 6
x1 + 2x2 ≤ 4
Fungsi Tujuan
Minimum : Z = 4 X1 + X2
x1, x2 ≥ 0

Langkah Simplex M-Method
• Ubah pertidaksamaan tersebut dengan
mengurangi S1 (surplus) pada kendala 2, dan
menambahkan S2 (slack) pada kendala 3,
sehingga menjadi:
Min Z = 4x1 + x2
Kondisi:
3X1 + X2 = 3
4X1 + 3X2 – S1 = 6
X1 + 2X2 + S2 = 4
X1, X2, S1, S2 ≥ 0
Langkah 1
• Tambahkan persamaan 1 dan 2 dengan
varaiabel tiruan R1 dan R2 sebagai variable
Slack dan memberikan koefisien M pada
fungsi sasaran
Min Z = 4x1 + x2 + MR1 + MR2
Kondisi:
3X1 + X2 + R1 = 3
4X1 + 3X2 – S1 + R2 = 6
X1 + 2X2 + S2 = 4
X1, X2, S1, S2 .R1.R2 ≥ 0
Langkah 2

Langkah analisis simplex
Akomodasikan persoalan sehingga
bila diletakan dalam table maka kolom
sisi kanan akan memberikan solusi
awal secara langsung → Substitusikan
R1 dan R2 dalam persamaan sasaran.
3X1 + X2 + R1 = 3
R1 = 3- 3X1 - X2
4X1 + 3X2 – S1 + R2= 6
R2 = 6 – 4X1 - 3X2 + S1
Langkah 3
Fungsi Sasaran Menjadi
Z = 4x1 + x2 + MR1 + MR2
Z = 4x1 + x2 + M(3- 3x1 - x2) + M(6 – 4x1 - 3x2 + S1 )
Z = 4x1 + x2 + 3M - 3x1M - x2M + 6M – 4x1M - 3x2 + S1M
Z = 4x1 + x2 + 9M – 7x1M – 4x2M + S1M
Z = (4 - 7M)x1 + (1-4M)x2 + 9M + S1M
Dengan Batasan
3X1 + X2 + R1 = 3
4X1 + 3X2 – S1 + R2 = 6
X1 + 2X2 + S2 = 4
X1, X2, S1, S2 ≥ 0
Langkah 4

Initial Tabel
Basic X1 X2 S1 R1 S2 R2 RHS
Z -4 -1 0 -M 0 -M 0
R1 3 1 0 1 0 0 3
R2 4 3 -1 0 0 1 6
S2 1 2 0 0 1 0 4
Starting Tabel
Basic X1 X2 S1 R1 S2 R2 RHS Ratio
Z -4+7M -1+4M -M 0 0 0 9M 9M(-4+7M)
R1 3 1 0 1 0 0 3 3/3
R2 4 3 1 0 0 1 6 6/4
S2 1 2 0 0 1 0 4 4/1

First Iteration
Second Iteration
Z 0 (1+5M)/3 -M (4-7M)/3 0 0 4+2M (4+2M)/(1+5M)/3
R1 1 1/3 0 1/3 0 0 1 1/(1/3)
R2 0 5/3 -1 -4/3 0 0 2 2/(5/3)
S2 0 5/2 0 -1/3 1 1 3 3/(5/3)
Z 0 0 1/5 8/5-M 0 -1/5-M 18/5
18/5
1/5
R1 1 0 1/5 3/5 0 -1/5 3/5
3/5
1/5
R2 0 1 -3/5 -4/5 0 3/5 6/5
6/5
−3/5
S2 0 0 1 1 1 -1 1 1/1

Third Iteration
Basic X1 X2 S1 R1 S2 R2 RHS
Z 0 0 0
7
5
- M -
1
5
-M
17
5
R1 1 0 0
2
5
-
1
5
0
2
5
R2 0 1 0 -
1
5
-
3
5
0
9
5
S2 0 0 1 1 1 -1 1
Solusi optimal:
Z= 17/5 > 3,4
X1= 2/5 > 0,4
X2= 9/5 > 1,8
Min Z = 4x1 + x2
= 4(0,4) + 1,8
= 1,6 + 1,8
= 3,4

70
Teknik 2 Fase
Fase 1
Memperbanyak variabel tiruan bila perlu untuk menjamin suatu solusi awal:
- Membentuk suatu fungsi sasaran baru yang meminimalkan jumlah
variabel tiruan yang memenuhi kendala persoalan yang sesungguhnya:
- Bila nilai minimal fungsi sasaran baru nol (semua variabel tiruan nol).
- Persoalan mempunyai solusi→ lanjut ke fase 2.
- Bila nilai minimal fungsi sasaran baru tidak nol→ berhenti.
Fase 2
Gunakan solusi basis optimal tahap 1 sebagai solusi
awal persoalan sesungguhnya.

CONTOH SOAL
Min Z = 4X1 + X2
Kondisi:
3X1 + X2 = 3
4X1 + 3X2 ≥ 6
X1 + 2X2 ≤ 4
X1, X2, ≥ 0
FASE 1
Min r = R1 + R2
Kondisi:
3X1 + X2 + R1 = 3
4X1 + 3X2 - S1 + R2 = 6
X1 + 2X2 + S2 = 4
X1, X2, S1, S2, ≥ 0
• Mengingat R1 dan R2
merupakan variabel basis dalam
solusi awal MAKA harus keluar
dari fungsi sasaran

Untuk memulai metode simpleks, kembangkan tujuan baru persamaan baru dengan variabel
non-dasar disertakan/tanpa variabel dasar
Min r = R1 + R2
Kondisi:
3X1 + X2 + R1 = 3
4X1 + 3X2 - S1 + R2 = 6
X1 + 2X2 + S2 = 4
X1, X2, S1, S2, ≥ 0
r - R1 + R2 = 0
Kondisi:
R1 = 3 – 3x1 –x2
R2 = 6 – 4x1 -3x2 + S1
Persamaan Baru :
r + 7x1 + 4x2 – S1 = 9

Initial Tabel
Basic r X1 X2 R1 R2 S1 S2 Solution Ratio
r-row 1 7 4 0 0 -1 0 9 1.29
R1 0 3 1 1 0 0 0 3 1
R2 0 4 3 0 1 -1 0 6 1.5
S2 0 1 2 0 0 0 1 4 4
Firs iteration Phase 1
Basic r X1 X2 R1 R2 S1 S2 Solution Ratio
r-row 1 0 1,67 -2,33 0 -1 0 2
R1 0 1 0.33 0,33 0 0 0 1 3
R2 0 0 1,67 -1.33 1 -1 0 2 1,2
S2 0 0 1,67 -0,33 0 0 1 3 1,8

Second iteration Phase 1
Basic r X1 X2 R1 R2 S1 S2 Solution
r-row 1 0 0 -1 -1 0 0 0
R1 0 1 0 0,60 -0,20 0,20 0 0,60
R2 0 0 1 -0,80 0,60 -0,60 0 1,2
S2 0 0 0 1 -1 1 1 1,0
Min Z = 4x1 + x2
Kondisi:
X1 + 0,2 S1 = 0,6
X2 – 0,6 S1 = 1,2
S1 + S2 = 1
X1,X2,S1,S2 ≥ 0
Z - 4x1 - x2 = 0
Kondisi:
X1 = 0,6 – 0.2S1
X2 = 1.2 + 0,6S1
Persamaan Baru :
Z + 0,2 S1 = 3,6

Initial Simplex Table (Phase 2)
Basic z X1 X2 S1 S2 Solution Ratio
z-row 1 0 0 0,2 0 3,6
X1 0 1 0 0,2 0 0,6 3
X2 0 0 1 -0,6 0 1.2 -2
S2 0 0 0 1 1 1,0 1
Firs iteration Phase 2
Basic z X1 X2 S1 S2 Solution
z-row 1 0 0 0 -0,2 3,4
X1 0 1 0 0 -0,2 0,4
X2 0 0 1 0 0,6 1,8
S1 0 0 0 1 1 1
Solusi Optimal
X1 = 0,4
X2 = 1,8
Min Z = 4x1 + x2
= 4(0,4) + 1,8
= 1,6 + 1,8
= 3,4

Duality Simplex
Method
Jika suatu iterasi terdapat
persoalan program linear yang
telah optimum (berdasarkan
kondisi optimalitas), tetapi
belum fisibel (ada pembatas
nonnegative yang tidak
terpenuhi), maka persoalan
tersebut dapat diselesaikan
dengan metode dual simpleks.
Seluruh pembatas harus merupakan
pertidaksamaan yang bertanda (≤),
sedangkan fungsi tujuan bisa berupa
maksimasi atau minimasi.
Syarat Penggunaan
Metode Duality
Simplex Method

Perbedaan dengan Tabel
Primal
1. Leaving variable (kondisi fisibilitas), merupakan variable yang memiliki nilai negative
terbesar. Jika semua variable basis bernilai positif atau nol maka fisibel telah
tercapai.
2. Entering variable (kondisi optimalitas),
a. Tentukan perbandingan (rasio) antara koefisien persamaan z dengan koefisien
leaving variable. Abaikan penyebut yang positif atau nol, jika telah positif atau nol
maka variable tersebut tidak memiliki solusi fisible.
b. Lalu, untuk persoalan minimasi, entering variable adalah variable dengan rasio
terkecil, sedangkan untuk persoalan maksimasi, entering variable adalah variable
dengan rasio terkecil.

Fungsi Tujuan (Objektif)
Minimumkan : Z = 2x1 + x2
Berdasarkan Pembatas :
3x1 + x2 ≥ 3
4x1 +3x2 ≥ 6
x1 + 2x2 ≤ 3
x1, x2 ≥ 0
CONTOH DUALITY SIMPLEX METHOD
LANGKAH 1
Ubah pertidaksamaan menjadi ≤ dengan
mengalikan dengan -1 sehingga
persamaannya menjadi :
-3x1 - x2 + s1 = 3
-4x1 - 3x2 + s2 = 6
x1 + 2x2 = 3
x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0
-2x1 – x2 – 0s1 – 0s2 – 0s3 = 0

Iterasi Basis X1 X2 S1 S2 S3 Solusi OBE
0
Z -2 -1 0 0 0 0 b1
S1 -3 -1 1 0 0 -3 b2
S2 4/3 1 0 -1/3 0 2 b3/-3
S3 1 2 0 0 1 3 b4
Iterasi Basis X1 X2 S1 S2 S3 Solusi
0
Z -2 -1 0 0 0 0
S1 -3 -1 1 0 0 -3
S2 -4 -3 0 1 0 -6
S3 1 2 0 0 1 3
Rasio 1/2 1/3 - - - -
LANGKAH 2
Buat Tabel Simplex

Iterasi Basis X1 X2 S1 S2 S3 Solusi OBE
1
Z -2/3 0 0 -1/3 0 2 b1+b3’
S1 -5/3 0 1 -1/3 0 -1 b2 + b3’
S2 4/3 1 0 -1/3 0 2 b3/-3
S3 5/3 0 0 2/3 1 -1 b4 + (-2_b3
1
Z -2/3 0 0 -1/3 0 2
S1 -5/3 0 1 -1/3 0 -1
S2 4/3 1 0 -1/3 0 2
S3 5/3 0 0 2/3 1 -1
Rasio 2/5 - 1 - -

2
Z -2/3 0 0 -1/3 0 2
S1 1 0 -3/5 1/5 0 3/5
X2 4/3 1 0 -1/3 0 2
S3 5/3 0 0 2/3 1 -1
2
Z 0 0 -2/5 -1/5 0 12/5
X1 1 0 -3/5 1/5 0 3/5
X2 0 1 4/5 -3/5 0 6/5
S3 0 0 -1 1 1 0
Solusi optimal dan
fisibel tercapai
X1 3/5
X2 6/5
Z 12/5

THANK YOU
Presentation Title 82

PENGAMBILAN KEPUTUSAN DALAM KONDISI PASTI.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to PENGAMBILAN KEPUTUSAN DALAM KONDISI PASTI.pdf

Similar to PENGAMBILAN KEPUTUSAN DALAM KONDISI PASTI.pdf (20)

More from Laras Kun Rahmanti Putri

More from Laras Kun Rahmanti Putri (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

PENGAMBILAN KEPUTUSAN DALAM KONDISI PASTI.pdf