2. 1 | P a g e
PEMBIMBING : Solihat Khoeriah, S.Pd
DISUSUN OLEH :
ᴥ Komarudin M Zaelani ᴥ Asep Suhendi
ᴥ Zhara Yugnie C ᴥ David Borneo O
ᴥ Fitri Lisdayanti ᴥ Herdiant Yoga
3. 2 | P a g e
I. PENDAHULUAN
Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita dihadapkan pada permasalahan untuk menentukan atau melakukan sesuatu yang terbaik. Misalnya menetukan biaya termurah, menentukan bahan paling hemat, mencari keuntungan terbesardan lain sebagainya, yang kesemuanya adalah masalah pemaksimuman dan peminimuman fungsi.
II. TUJUAN PEMBELAJARAN
Menentukan penyelesaian dari model matematika yang berkaitan dengan masalah maksimum dan minimum.
Menentukan turunan kedua fungsi.
III. PEMBAHASAN
Pengertian Nilai Maksimum Dan Minimum Suatu Fungsi Pada Interval Tertutup
Andaikan f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada interval tertutup I yang memuat a, dikatakan bahwa :
a. f(a) adalah nilai maksimum f pada I jika f(a) > f(x) untuk semua x pada I
b. f(a) adalah nilai minimum f pada I jika f(a) < f(x) untuk semua x pada I
c. f(a) adalah nilai ekstrem f pada I jika f(a) adalah nilai maksimum atau nilai minimum.
Langkah-Langkah Menentukan Nilai Maksimum Dan Minimum Suatu Fungsi Dalam Interval Terrtutup
Misalkan y = f(x) suatu fungsi yang terdefinisi pada interval tertutup a ≤ x ≤ b. untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi tersebut diperlukan langkah-langkah berikut :
a. Tentukan nilai-nilai stasioner serta jenisnya jika ada.
b. Tentukan nilai-nilai fungsi pada ujung interval yaitu f(a) dan f(b)
c. Bandingan nilai-nilai yang diperoleh pada langkah 1 dan 2. Kemudian tentukan nilai maksimum fungsi yaitu nilai terbesar dan nilai minimum fungsi yaitu nilai terkecil.
Menyelesaikan Persoalan Maksimum Dan Minimum
4. 3 | P a g e
Langkah-langkah memecahkan persoalan Maksimum dan Minimum adalah sebagai berikut:
a. Baca soal dengan cermat sehingga kalian paham dengan permasalahannya, kemudian kalian harus mengetahui apa yang diberikan (diketahui) dan apa yang akan di maksimumkan dan diminimumkan.
b. Gunakan rumus-rumus atau persamaan yang menghubungan antara peubah yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan dengan peubah yang telah diketahui.
c. Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk untuk menghilangkan peubah yang tidak diperlukan.
d. Cari titik stasioner
e. Berdasarkan kondisi yang terdapat pada permasalahan, kalian dapat menentukan nilai stasioner yang memenuhi permasalahan yang memberikan nilai maksimum atau minimum.
Laju Perubahan Rata-Rata
Perhatikan bahwa kecepatan rata-rata ditentukan sebagai perbandingan antara perubahan jarak terhadap perubahan waktu, dituliskan.
Atau, pada interval t1 ≤ t ≤ t2
Vrata-rata = Δ푠 Δ푡 Vrata-rata = Δ푠 Δ푡 = 푓(푡2)−푓(푡1) 푡2−푡1
5. 4 | P a g e
Contoh Soal dan Pembahasan
1. Sebuah mobil bergerak sepanjang garis lurus, dengan persamaan persamaan gerak S = t2 + 2t (S dalam meter dan t dalam detik).
Tentukan:
a. Kecepatan rata-rata pada 2 ≤ t ≤ 6.
b. Kecepatan sesaat pada t = 10.
Jawab :
a. Kecepatan rata-rata pada 2 ≤ t ≤ 6.
S =f(t)= t2 + 2t Vrata-rata = Δ푠 Δ푡 = 푓(푡2)−푓(푡1) 푡2−푡1 푓(푡1) = 22 + 2(2) 푓(푡2) = 62 + 6(2) Δ푡=푡2−푡1
= 8 = 48 = 6-2 → 4 Vrata-rata = Δ푠 Δ푡 = 48−84 = 10 푚 푠
b. Kecepatan sesaat pada t = 10.
V(t) = S’ = f’(t) = 2t + 2
V(10) = f’ = 2(10) + 2 = 22 푚 푠⁄
Jadi kecepatan pada saat t = 10 detik adalah 22 푚 푠⁄
2. Hasil penjualan x unit barang dinyatakan oleh suatu fungsi:
P(x) = 50.000 + 400x – 4x2 (dalam ratusan rupiah). Tentukan hasil penjualan maksimum yang diperoleh.
Jawab:
P(x) = 50.000 + 400x – 4x2
Nilai P(x) akan mencapai nilai maksimum dari x yang diperoleh dari P’(x) = 0
P’(x)= 400 - 8x
400 - 8x = 0
8x = 400
x = 4008 = 50
P”(x) = -8
P”(50) = -8 < 0 (negative), maka P(x) mempunyi nilai maksimum, yaitu, P(x).
6. 5 | P a g e
P(50) = 50000 + 400(50) – 4(50)
= 50000 + 20000 – 10000
= 60000
Fungsi P(x) = 50.000 + 400x – 4x2 (dalam ratusan rupiah) sehingga hasil penjualan maksimum yang diperoleh adalah Rp. 6.000.000,00.
3. Suatu benda bergerak sepanjang garis lurus, panjang lintasan s meter pada waktu t detik (t≥0) ditentukan oleh rumus S = 3 – 6t + 2t3 . Tentukanlah
a. Panjang lintasan t = 1 dan t = 2
b. Rumus untuk v dan a pada waktu t detik.
c. Tunjukan bahwa v = 0 pada waktu t = 1
d. Kecepatan pada waktu percepatan nol.
Jawab:
Dik: S = 3 – 6t + 2t3
a. Panjang lintasan t = 1 dan t = 2
t = 1, ,maka S = 3 – 6(1) + 2(1)3 = -1
t = 2, maka S = 3 – 6(2) + 2(2)3 = 7
b. Rumus untuk v dan a pada waktu t detik.
푣= 푑푠 푑푡 =−6+6t2 dan 푎= 푑푣 푑푡 = 12t
c. Tunjukan bahwa v = 0 pada waktu t = 1
t = 1 maka v = -6 + 6(1)2 = 0
jadi , kecepatannya pada t = 1 adalah nol.
d. Kecepatan pada waktu percepatan nol.
a = 0 maka 12t = 0, t = 0.
v = -6 + 6(0)2 = -6
4. Carilah nilai maksimum dan minimum dari fungsi ƒ(x) = x3 – 3x dalam {x|0≤x≤5} dan nyatakan hasilnya dalam bentuk a ≤ ƒ(x) ≤ b.
Jawab :
ƒ(x) = x3 – 3x ƒ’(x) = 3x2 – 3 ƒ”(x) = 6x
titik stasioner diperoleh dari ƒ’(x) = 0
⟺ x3 – 3x = 0
⟺ x2 – 1 = 0
⟺ (x + 1)(x – 1) = 0
⟺ x = -1 atau x = 1.
X=-1 (tidak pada interval) sehingga nilai dengan stasioner dari ƒ(x) diselidiki untuk x = 1 dan titik-titik pada ujung interval.
ƒ(1)= 13 – 3 (1)= -2
ƒ(0)= 03 – 3 (0)= 0
ƒ(5)= 53 – 3 (5) = 110, jadi -2≤ ƒ(x)≤110.
5. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar
7. 6 | P a g e
(75 + 2x + 0,1x2) rupiah. Jika semua produk terjual dengan hara Rp.40,00 untuk setiap produknya. Hitunglah laba maksimumnya.
Jawab:
P(x) = (75 + 2x + 0,1x2)
Nilai P(x) akan mencapai nilai maksimum dari x yang diperoleh dari P’(x) = 40.
P’(x) = 2 + 0,2x
2 + 0,2x = 40
x = 40−20,2 = 190.
P(190) = 75 + 2(190) + 0,1(190)2
= Rp.4065,00
6. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar (9000 + 1000x + 5x2) rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis di jual dengan harga Rp.5000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah….
Jawab:
P(x) = (9000 + 1000x + 5x2)
Nilai P(x) akan mencapai nilai maksimum dari x yang diperoleh dari P’(x) = 5000
P’(x) =1000 + 10x
1000 + 10x = 5000
x = 5000−100010=400
P(x) = (9000 + 1000x + 5x2)
P(400) = 9000 + 1000(400) + 5(400)2
= Rp.1.209.000,00
7. Carilah laju pertumbuhan rata –rata dimana fungsi :
Interval
Jumlah
1990 - 1995
800
1995 - 2000
820
2000 - 2005
850
2005 - 2010
900
Jawab :
ᴼ 1990 – 1995
푃 (1995)−푃 (1990) 1995−1990= 8005=160
ᴼ 1995 – 2000 푃 (2000)−푃 (1995) 2000−1995= 8205=164
ᴼ 2000 – 2005
8. 7 | P a g e
푃 (2005)−푃 (2000) 2005−2000= 8505=170
ᴼ 2005 – 2010 푃 (2010)−푃 (2005) 2010−2005= 9005=180
IV. PENUTUP
Mohon maaf kiranya selama proses pembelajaran terjadi kesalahan dan dalam penyusunan laporan ini mohon di maklumi, karena kami selaku tim penyusun masih dalam tahap pengembangan. Terimakasih
DAFTAR PUSTAKA
Wirodikromo, sartono. 2007. Matematika. Jakarta : Erlangga
Waluyo, Slamet (dkk). 2008. Matematika. Jakarta : Bumi Aksara
Suparmin (dkk). 2014. Matematika. Surakarta : Mediatama
