Barisan dan Deret

1. BARISAN DAN
DERET

2. PENGERTIAN
• Barisan (sequence) adalah suatu susunan
bilangan yang dibentuk menurut suatu
urutan tertentu.
• Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut
disebut suku.
• Perubahan di antara suku-suku yang
berurutan ditentukan oleh suatu
ketambahan bilangan tertentu atau suatu
kelipatan bilangan tertentu.

3. JENIS BARISAN
a. Barisan Aritmathika, yaitu barisan yang
suku berurutannya mempunyai
tambahan bilangan yang tetap.
Contoh : 5,8,11,14,17
Masing-masing suku dalam bariasan
setelah suku pertama diperoleh dengan
cara menambahkan nilai 3 pada suku
sebelumnya.

4. Untuk pertama dan beberapa suku lainnya adalah
sebagai berikut.
a1 = 5
a2 = 5 + 3 = 8
a3 = 8 + 3 = 11
a4 = 11 + 3 = 14
Dan seterusnya.
Selisih atau perbedaan nilai diantara dua suku yang
berurutan mempunyai beda yang konstan. Barisan
seperti ini disebut sebagai barisan aritmatika
(arithmetic sequence).

5. Dengan kata lain barisan aritmatika adalah
suatu barisan dimana selisih diantara dua
suku yang berurutan mempunyai nilai yang
constant. Nilai yang konstan disebut beda
yang sama, yang dilambangkan dengan
huruf b. Barisan aritmatika ditentukan nilai
ke-n apabila suku pertama (a1) dan b (beda)
diketahui.

6. Secara umum suku-suku barisan aritmatika
berbentuk.
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3,…….
Dimana :
𝑎2 = 𝑎1+ b
𝑎3 = 𝑎2,+ b = (𝑎1+b) + b = 𝑎1+2b
𝑎4 = 𝑎3+ b = (𝑎1+2b) + b =𝑎1+3b
𝑎5 = 𝑎4+ b = (𝑎1+3b) + b =𝑎1+4b
Koefisien dari b dalam suku-suku tertentu adalah
lebih besar dari satu.

7. Jadi, suku ke-n dalam suatu barisan
aritmatika adalah
Dimana:
𝑆 𝑛= 𝑎 𝑛 = suku ke n
= suku pertama
b = beda yang sama
n = banyaknya suku
𝑆 𝑛 = 𝑎1 + (n – 1) b atau 𝑎 𝑛 = 𝑎1 + ( n – 1 )b
𝑎1

8. CONTOH 1
Carilah suku ke-10 dari barisan
3,7,11,15,19
Penyelesaian :
Diketahui: a1 = 3; b = 4; n = 10
Dengan demikian, a10 = 3 + (10-1)4
= 3 + 36
= 39

9. CONTOH 2
Carilah suku ke 21 dalam suatu barisan
aritmatika dimana suku ke-5 dan suku ke-11
adalah 41 dan 23
Penyelesaian :
Jika a1 adalah suku pertama dan b adalah
beda yang sama, maka
A5 = a1 + (n-1)b
= a1 + (5-1)b
= a1 + 4b = 41
a11= a1 + 10b = 23

10. Lanjutan Contoh 2
Kurangkan
a1 + 4b = 41
a1 + 10b = 23 -
-6b = 18
b = -3
Substitusikan b=-3 kedalam persamaan a1 + 4b = 41
diperoleh a1 = 53
a21 = 53 + (21-1) -3
= 53 + (20)-3
= 53 – 60
= -7

11. DERET ARITMATIKA
Deret aritmatika adalah jumlah dari suku-
suku dalam suatu barisan aritmatika.
Untuk memperoleh jumlah suku-suku ke-
n atau Dn dari suatu barisan aritmatika
dengan a1 sebagai suku pertama dan b
sebagai pembeda, maka rumusnya
adalah
𝐷 𝑛 =
𝑛
2
[ 2a + (n – 1)b

12. Bukti
Perhatikan bahwa setiap suku dalam barisan
aritmatika diperoleh dengan menambahkan
beda yang sama b pada suku sebelumnya atau
dengan mengurangkan b dari suku berikutnya.
Jadi,
𝐷 𝑛= 𝑎1+ (𝑎1+ b) + (𝑎1+ 2b)+ ….(𝑎 𝑛-b) +𝑎 𝑛 (1.5)
Penulisan, 𝐷 𝑛 pada persamaan diatas dapat
ditulis dalam urutan yang terbalik dan diperoleh
sebagai berikut :

13. 𝐷 𝑛= 𝑎 𝑛+ (𝑎 𝑛 - b) + (𝑎 𝑛 − 2b)+ ….(𝑎1 +b)
+𝑎1. (1.6)
Jumlahkan persamaan (1.5) dan
persamaan (1.6) maka diperoleh :
2𝐷 𝑛= (𝑎1+ 𝑎 𝑛) + (𝑎1+ 𝑎 𝑛) + ….+(𝑎1+𝑎 𝑛)
= n(𝑎1+ 𝑎 𝑛)

14. Lanjutan Pembuktian
𝐷 𝑛=
𝑛
2
(𝑎1+ 𝑎 𝑛) atau 𝐷 𝑛=
𝑛
2
(𝑎1+ 𝑠 𝑛)
𝐷 𝑛=
𝑛
2
[𝑎1+ 𝑎1+ (n-1)b ]
𝐷 𝑛=
𝑛
2
[2𝑎1+ (n-1)b ] terbukti

15. CONTOH 3
Carilah jumlah sepuluh suku pertama dari barisan
aritmatika berikut ini :
3,7,11,15,…….
Penyelesaian :
Diketahui :
Diketahui a=3 ; b = 4 ; n = 10
𝐷 𝑛 =
𝑛
2
[ 2a + (n – 1)b
=
10
2
[2(3) + (10 – 1)4
= 5(6 + 36)
= 5(42) = 210

16. BARISAN DAN DERET
GEOMETRI

17. PENGERTIAN BARIS GEOMETRI
Barisan geometri adalah susunan bilangan
diantara dua sukuyang berurutan mempunyai
rasio yang tetap. Rasio tetap ini dilambangkan
dengan huruf r. Jika 𝑎1 suku pertama dan r
adalah rasio yang tetap, maka suku ke-2 dan
seterusnya adalah,
𝑎2 = 𝑎1r
𝑎3= 𝑎2r = 𝑎1r²
𝑎4= 𝑎3r = 𝑎1 𝑟3

18. BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Dengan demikian Bentuk umum dari
barisan geometri untuk suku ke-n adalah
𝑎 𝑛= 𝑎1 𝑟 𝑛−1 atau 𝑆 𝑛 = 𝑎1 𝑟 𝑛−1
Diamina : 𝑎 𝑛= 𝑆 𝑛 = suku ke-n
𝑎1 = suku pertama
r = Rasio yang tetap
n = Banyaknya suku

19. Contoh 4
Carilah suku ke-8 dari barisan geometri
dengan suku pertama adalah 16 dan
rasionya adalah 2
Penyelesaian :
Diketahui : a1 = 16; r = 2 dan n = 8
Jadi 𝑎8 = 𝑆8 = 𝑎1 𝑟7
= 16(2)7
= 2048

20. Contoh 5
Carilah suku ke-11 dalam suatu barisan geometri dimana
suku ke-4 adalah 24 dan suku ke-9 adalah 768
Penyelesaian :
𝑎4 = 𝑆4 = 𝑎1 𝑟3
= 24
𝑎9 = 𝑆9 = 𝑎1 𝑟9
= 768
Jadi
𝑎1 𝑟8
𝑎1 𝑟3 =
768
24
= 32
Sehingga, 𝑟5 = 32 dan r = 2
Karena 𝑎1 𝑟3 = 24, maka 𝑎1 = 3
Sehingga 𝑎11 = 𝑎1 𝑟10
= 3(2)10 = 3072

21. PENGERTIAN DERET GEOMETRI
Deret geometri adalah jumlah dari suku-suku atau
bilangan-bilangan dalam suatu barisan geometri.
Bentuk dari deret geometri,
𝐷 𝑛= 𝑎1+ 𝑎1r + 𝑎1r ² + …. 𝑎1 𝑟 𝑛−2 + 𝑎1 𝑟 𝑛−1
Rumus diatas dapat disingkat,
𝐷 𝑛 = 𝑖=1
𝑛
𝑎1 𝑟 𝑛−1
Untuk memperoleh jumlah suku ke-n dari suatu
deret geometri dengan a1 sebagai suku pertama
dan r adalah sebagai rastio yang tetap, rumus
adalah,

22. 𝐷 𝑛 =
𝑎1(1 − 𝑟 𝑛)
(1 −𝑟)
dimana r < 1 atau
𝐷 𝑛 =
𝑎1(𝑟 𝑛 −1)
(𝑟 −1)
dimana r > 1
Jika r = 1, maka rumus diatas menjadi,
𝐷 𝑛= 𝑎1+ -𝑎1 + ….. + 𝑎1.
𝐷 𝑛= 𝑛𝑎1

23. Deret Finite dan Infinite
• Finite, jika suatu deret jumlah suku-
sukunya terbatas.
Contoh : 1,3,5,7,9.
• Infinite, jika sutau deret jumlah suku-
sukunya tidak terbatas.
Contoh : 1,3,5,7,9,…………..

24. Deret Konvergen dan Divergen
Deret tak terhingga di bagi dua yaitu,
• Konvergen, jika ratio tetap r mempunyai
nilai mutlak (absoulut) lebih dari satu atau
|r<1| maka deret adalah konvergen
(berkumpul pada satu titik).
• Divergen, jika ratio tetap r mempunyai
nilai absolut lebih besar atau sama
dengan satu atau | r>1|, maka deret
adalh divergen.

25. Contoh
Carilah jumlah suku ke 8 yang pertama dari
barisan geometri berikut ini
3,6,12,24,…..
Penyelesaian :
Karena 𝑎1= 3, r = 2 dan n = 8
𝐷 𝑛 =
𝑎1(1 − 𝑟 𝑛)
(1 −𝑟)
𝐷8 =
3 (1 − 28)
(1 −2)
=
3(−255)
−1
=
−7655
−1
= 765

26. Contoh 2
Keuntungan dari suatu perusahaan
menunjukkan kenaikan 4 persen
pertahun, Asumsi bahwa keadaan pasar
saat ini kontinu, berapa keuntungan
perusahaan di taun ke-5, jika diketahui
bahwa keuntungan tahun pertama
adalah Rp. 20.000. Tentukanlah juga total
keuntungan pada 5 tahun pertama.

27. Penyelesaian contoh 2
Diketahui 𝑎1= Rp. 20.000,- dan n = 5
Karena keuntungan meningkat sebesar 4
persen per tahun, kita peroleh r = 1,04. Jadi
keuntungan dalam tahun ke -5 adalah,
𝑆 𝑛 = 𝑎1 𝑟 𝑛−1
𝑎5 = Rp. 20.000 (1,04)4
= Rp. 20.000 (1,16986)
= Rp. 23.397,20

28. Penyelesaian contoh 2
Keuntungan total dalam 5 tahun pertama
adalah,
𝐷 𝑛 =
𝑎1(1 − 𝑟 𝑛)
(1 −𝑟)
𝐷 𝑛 =
20.000 (1 − (1,04)5)
(1 − 1,04)
𝐷 𝑛 =
20.000 (1 −1,21665)
(1 −1,04)
=
20.000 (−0,21665)
(−04)
=
4.333
(−0,04)
= Rp. 108.325

29. Referensi
• Josep Bintang Kalangi, 2009,
Matematika Ekonomi & Bisnis,
Salemba Empat, Jakarta.