materi graf pada perkuliahan matematika diskrit

1. MATERI 10

2. Definisi Graf
• Diagram yang memuat informasi tertentu dan
dilambangkan dengan suatu keterhubungan
antar titik.
• Menggambarkan berbagai macam struktur
yang ada, misalnya: struktur organisasi, rute
jalan, bagan alir pengambilan mata kuliah, dan
lain-lain.
• Tujuannya untuk menggambarkan obyek-
obyek agar lebih mudah dimengerti.

3. Komponen Graf
• Himpunan simpul/verteks/titik/node yang
dilambangkan dengan V = V(G) = {v1, v2, ..., vn},
yang berhingga dan tidak kosong.
• Himpunan ruas/garis/edge yang dilambangkan
dengan E = E(G) = {e1, e2, ..., em}, yang berhingga
dan boleh kosong.
• Setiap ruas menghubungkan dua simpul.
• Suatu graf dinyatakan dengan G(V, E), dimana
simpul dinyatakan dengan titik dan ruas
dinyatakan dengan garis.

4. Contoh Graf
Gambar 8.1

5. Jenis Graf
• Dua simpul dikatakan berdekatan (adjacent)
jika terdapat ruas yang menghubungkan
langsung kedua simpul tersebut. Setiap ruas
merupakan 2 himpunan bagian dari himpunan
semua simpul.
• Graf yang tidak mempunyai ruas dinamakan
graf kosong (null graph). Gambar 8.1 (f)
merupakan contoh graf kosong.

6. Jenis Graf
• Graf yang mempunyai simpul yang
dihubungkan dengan lebih dari satu ruas
dinamakan multiple graph (multigraph).,
sedangkan Gambar 8.1 (e) merupakan contoh
multigraph.

7. Jenis Graf
• Graf yang semua ruasnya tidak berarah
dinamakan graf tak berarah (undirected
graph). Contoh Gambar 8.1 (a), (b), (c)
• Graf yang semua ruasnya berarah dinamakan
graf berarah (directed graph atau digraph).
Contoh Gambar 8.1 (d), (e).
• Dalam bab ini, jika hanya disebutkan graf saja,
maka yang dimaksud adalah graf tak berarah.

8. Jenis Graf
• Graf yang setiap simpulnya dihubungkan ke
simpul yang lain disebut graf lengkap
(complete graph). Gambar 8.1 (b) merupakan
contoh graf lengkap.

9. Jenis Graf
• Graf yang tidak mempunyai gelang atau ruas
ganda dinamakan graf sederhana (simple
graph).
– (a), (b), (d), merupakan contoh graf sederhana.
• Graf yang mempunyai gelang atau ruas ganda
dinamakan graf tidak sederhana (unsimple
graph).
– (c), (e) merupakan contoh graf tidak sederhana.

10. Graf
• Graf G mempunyai 7 simpul, yaitu v1, v2, …, v7
dan 10 ruas, yaitu e1, e2, …, e10.
• Ruas-ruas pada graf G dinyatakan oleh: e1 =
{v1, v5}, e2 = {v1, v2}, e3 = {v2, v6}, e4= {v2, v3}, e5
= {v3, v6}, e6 = {v3, v4}, e7 = {v4, v7}, e8 = {v4, v5},
e9 = {v4, v5}, e10 = {v5,v5}.

11. Graf
• Ruas yang mempunyai simpul ujung sama
dinamakan ruas ganda (parallel edges atau
multiple edges).
– Ruas ganda adalah e8 dan e9.
• Jika suatu ruas menghubungkan simpul yang
sama, maka ruas tersebut dinamakan gelang
(loop).
– Gelang adalah e10.

12. Graf
• Titik yang tidak mempunyai garis yang
berhubungan dengannya disebut titik terasing
(isolating point).
– Titik terasing adalah v7.

13. Derajat Graf
• Banyaknya simpul dalam graf disebut order,
dinyatakan dengan |V |.
• Banyaknya ruas dalam graf disebut size,
dinyatakan dengan |E |.
• Jika v adalah suatu simpul dalam graf G, maka
derajat simpul v yang dinyatakan dengan d(v )
adalah banyaknya ruas yang terhubung pada
simpul tersebut.
• Simpul gelang mempunyai derajat 2.

14. Derajat Graf
• Derajat total G adalah jumlah derajat
semua simpul dalam G.
• Jumlah derajat semua simpul suatu graf
adalah dua kali banyaknya ruas graf,
karena setiap ruas dihitung dua kali.

15. Derajat Graf
• Berapakah jumlah simpul dan ruas dari graf
tersebut?
• Berapakah derajat masing-masing simpulnya?
• Berapa derajat totalnya?

16. Subgraf
• Graf G’ dikatakan subgraf G jika semua simpul
dan ruas G’ juga merupakan simpul dan ruas
dalam G.
• Dengan kata lain jika G = (V, E) dan G’ = (V’, E’
), maka G’ merupakan subgraf G jika dan
hanya jika V’ himpunan bagian V dan E’
himpunan bagian E.

17. Contoh Subgraf

18. Isomorfisma
• Konsep isomorfisma sama dengan konsep
kongruen dalam geometri.
• Dua graf disebut isomorfis jika keduanya
menunjukkan "bentuk" yang sama.
• Kedua graf hanya berbeda dalam hal
pemberian label titik dan garisnya saja.

19. Isomorfisma
• Jika G = (V, E } dan G’ = (V’, E’ ), maka G’ dikatakan
isomorfis dengan G (ditulis G  G’ ) jika dan hanya
jika terdapat korespondensi satu-satu sedemikian
sehingga:
– Setiap simpul di G’ mempunyai tepat satu nama.
– (vi, vj)  G jika dan hanya jika (vi’, vj’)  G’
– vi dihubungkan oleh k (k > 1) ruas dengan vj jika
dan hanya jika vi’ dihubungkan oleh k (k > 1) ruas
dengan vj’.

20. Contoh Isomorfisma

21. Contoh Isomorfisma
• Pasangan manakah yang isomorfisma?

22. Komplemen Graf
• Komplemen (complement) dari suatu graf
sederhana G = (V, E ) adalah graf sederhana
H= (V, E ) dimana ruas-ruas di H secara tepat
adalah ruas-ruas yang tidak ada di G.

23. Contoh Komplemen Graf

24. Contoh Komplemen Graf
• Bagaimana komplemennya?

25. Walk (Lintasan)
• Lintasan adalah urutan simpul dan ruas yang
bergantian tidak kosong dan berhingga yang
dimulai dan diakhiri dengan simpul, dimana
setiap ruas menghubungkan dua simpul (sebelum
dan sesudah ruas tersebut). Dalam lintasan,
simpul dan ruas bisa diulang.
• Lintasan dengan panjang n dari simpul u ke w
dituliskan sebagai: v1, e1, v2, e2, ..., vn-1, en-1, vn, en
dengan v1 = u, vn = w, vj-i dan vi adalah simpul-
simpul ujung ruas ei.

26. Trail (Tapak)
• Tapak merupakan lintasan dimana semua
ruasnya berlainan (tidak diulang), sedangkan
simpulnya boleh diulang.
• Tapak dengan panjang n dari simpul u ke w
dituliskan sebagai: v1, e1, v2, e2, ..., vn-1, en-1, vn,
en dengan v1 = u, vn = w, ei  ej untuk i  j.

27. Path (Jalur)
• Jalur merupakan tapak dimana semua
simpulnya berlainan, kecuali jika jalur tersebut
merupakan jalur tertutup sehingga simpul
awal sama dengan simpul akhir.
• Jalur dengan panjang n dari simpul u ke w
dituliskan sebagai: v1, e1, v2, e2, ..., en-1, vn-1, en,
vn dengan v1 = u, vn = w, ei  ej untuk i  j dan
vk  vm untuk k  m.

28. Sirkuit
• Sirkuit adalah jalur yang tertutup.
• Sirkuit dengan panjang n dari simpul u kembali
ke u lagi dituliskan sebagai: v1, e1, v2, e2, ..., en-
1, vn-1, en, vn dengan v1 = vn = u, ei  ej untuk i  j
dan vk  vm untuk k  m.

29. Contoh
• Cari beberapa walk, trail, path, sirkuitnya

30. Graf Bipartite
• Suatu graf G yang simpul-simpulnya dapat
dipisahkan menjadi dua himpunan V1 dan V2 yang
saling asing, sedemikian sehingga jika x adalah
ruas dari G dan x menghubungkan suatu simpul
di V1 dengan simpul di V2. sedangkan simpul V1
maupun V2 tidak ada yang berdekatan, maka G
disebut graf bipartit.
• Apabila pada graf bipartit, setiap simpul di V1
berhubungan dengan setiap simpul di V2, maka
graf tersebut disebut graf bipartit lengkap.

31. Contoh Graf Bipartite

32. Contoh Graf Bipartite
• Tentukan graf berikut merupakan graf bipartit
tidak lengkap, graf bipartit lengkap, atau
bukan graf bipartit

33. Pohon
• Pohon merupakan graf tak berarah yang tidak
mempunyai sirkuit dan terhubung, yang
merupakan salah satu contoh graf planar.
• Sifat-sifat pohon :
– Setiap pasang simpul di dalam graf G terhubung
dengan lintasan tunggal.
– Graf G mempunyai (n-1) buah ruas.

34. Contoh Pohon dan Bukan Pohon
• Gambar 8.17 (a), (b), (c), (d) merupakan pohon karena graf
tersebut terhubung dan tidak mempunyai sirkuit.
• Gambar 8.17 (e) bukan merupakan pohon karena dari graf
tersebut dapat dibentuk sirkuit.
• Gambar 8.17 (f) bukan merupakan pohon karena graf tersebut
tidak terhubung.