Download to read offline
Barisan_dan_Deret.pptx
- 1. BARISAN DAN DERET Poladan Barisan Bilangan Barisan Arimatika dan Barisan Geometri Deret Aritmetika dan Deret Geometri Sifat-sifat Deret
- 2.
- 3. Pola Bilangan Barisan Bilangan Polabilangan yaitu susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu. Misalnya pada kalender terdapat susunan angka" baik mendatar, menurun, diagonal (miring).
- 4. 1. Pola GarisLurus dan Persegi Panjang Garis Lurus Persegi Panjang 2. Pola persegi Pola bilangan persegi :: 1 , 4 , 9 , ... merupakan bilangan kuadrat dari bilangan asli . Un= n2 Pola bilangan persegi panjang :: 2, 6, 12, ... Un = n(n+1)
- 5. 3. Pola Segitiga (segitiga sama sisi) Cara 1 Mengikuti pola berikut CARA 2 Pola bilangan segitiga :: 1, 3, 6, 10, ... Un = n/2 (n+1) Urutan 1 Urutan 2 Urutan 3
- 6. 5. Pola bilanganganjil dan genap Bilangan kedua dan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua.
- 7. • Tetapkan angka1 sebagai bilangan awal • Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua a. Pola bilangan ganjil • Tetapkan angka 2 sebagai bilangan awal • Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua 1 3 5 7 9 10 8 6 4 2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 b. Pola bilangan genap
- 8. 6. Pola BilanganSegitiga Pascal 1 2 1 1 1 1 4 6 4 1 1 3 1 3 1 Jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2 n – 1
- 9. 7. Pola BilanganFibonaci 1 . . . 8 5 3 2 1 + + + + + +
- 10. Barisan bilangan adalahsekumpulan bilangan yang telah diurutkan menurut suatu aturan tertentu. Barisan Bilangan Un Un U2 U1 Suku Pertama Suku ke-2 Suku ke - n Barisan bilangan biasanya ditulis : U1, U2,`U3, . . . . , Un Dengan Un adalah suku ke – n dan n = 1,2,3, . . . Contoh : Barisan 0, 2, 4 , …berarti U1 = 0, U2 = 2 , U3 = 4 (menambahkan 2 pada suku sebelumnya)
- 11. • Contoh: • Tentukantiga suku berikutnya dari barisan bilangan 2, 5, 8, 11, . . . Menentukan Suku Berikutnya Suatu Barisan Bilangan Barisan 2, 5, 8, 11,. . . = 2 = 5 = 2 + 3 = 8 = 5 +3 = 11 = 8 +3 Maka barisan selanjutnya adalah (2, 5, 8 ,11, 14, 17, 20, . . .n +3) 3 3 3 U1 U2 U3 U4
- 12.
- 13. Barisan Arimatika atauBarisan Hitung Barisan Aritmatika barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan tetap Perhatikan baarisan U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un. Dari definisi di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut :U1 = a U2 = U1 + b = a + b U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b Un = a + (n – 1 )b Dengan n = 1, 2, 3,.. Un = Un-1 + b = a + (n - 2)b + b = a + (n - 1)b . . .
- 14. Bilangan b adalahsuatu bilangan tetap yang sering disebut dengan beda. Penentuan rumus beda dapat di uraikan sebagai berikut : U2 = U1 + b => b = U2 - U1 U3 = U2 + b => b = U3 - U2 U4 = U3 + b => b = U4 - U3 . . . Un = Un-1 + b => b = Un - Un-1 Dengan melihat nilai b, kita dapat menentukan barisan aritmetika itu naik atau turun. Bila b ˃ 0 maka barisan aritmetika itu naik Bila b ˂ 0 maka barisan aritmetika itu turun
- 15. Contoh: Tentukan suku kesepuluh ( U10 ) dari barisan aritmetika berikut ini dan tulis jenis barisan aritmetika tersebut. a. 1, 3, 5, 7,. . . . b. 4, 2, 0, -2,. . . Jawab : Gunakan rumus beda untuk menentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari masing-masing barisan aritmetika. a. Barisan 1, 3, 5, 7 . . . berdasarkan rumus Un = U1 + (n – 1) . b diperoleh .. U1 = 1 U2 = 3 U3 = 5 b = U2 - U1 = 2 b = U3 - U2 = 2 b = U4 - U3 = 2 karena b = 2 > 0 barisan aritmetika merupakan barisan naik. U10 = U1 (10 - 1) . b U10 = 1 + 9 . 2 = 19
- 16. b. Barisan 4,2, 0, -2, . . U1 = 4 ; U2 = 2 ; U3 = 0 ; U4 = -2 b = U2 - U1 = - 2 ; b = U3 - U2 = -2 ; b = U4 - U3 = - 2 karena b = - 2 < 0 barisan aritmetika merupakan barisan turun, berdasarkan rumus Un = U1 (n - 1) . b U10 = 4 + (9 . (- 2) ) = - 14 Jadi, suku ke sepuluh barisan tersebut adalah -14
- 17. Barisan Geometri atauBarisan Ukur Barisan Geometri barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan atau membagi dengan suatu bilangan tetap Misalkan, barisannya U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un, maka : U1 = a U2 = U1 . r = ar U3 = U2 . r = ar2 U4 = U3 . r = ar3 Un = Un-1 . r = arn-1 1. Un = r × Un-1 atau 𝑟 = 𝑈𝑛 𝑈𝑛−1 2. Un = a × rn-1 Dengan: r = rasio atau pembanding n = bilangan asli a = suku pertama
- 18. Berdasarkan nilai rasio(r) kita dapat menentukan suatu barisan geometri naik atau turun. Bila r > 1 maka barisan geometri naik. Bila 0 < r < 1 maka barisan geometri turun. Contoh : a. Tentukan suku ke delapan dari barisan geometri : b. Tulliskan rumus suku ke – n dari barisan geometri :
- 19. Jawab: a. Jadi, suku kedelapandari barisan geometri diatas adalah 729 b. Jadi, suku ke-n dari barisan geometri di atas adalah
- 20.
- 21. Deret Aritmetika atauDeret Hitung Deret bilangan jumlah yang ditunjuk untuk suku-suku dari suatu barisan bilangan 𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 Menyatakan deret ke-n Bentuk umum:
- 22. Contoh: 1. Deret daribarisan 3, 5, 7, …, (2n+1) adalah 𝑆𝑛 = 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 + 1) Maka, 𝑆1 = 3 𝑆2 = 3 + 5 = 8 𝑆4 = 3 + 5 + 7 = 15 2. Deret dari barisan 1, 2, 4, …, 2𝑛−1 adalah 𝑆𝑛 = 1 + 2 + 4 + ⋯ + 2𝑛−1 Maka, 𝑆1 = 1 𝑆2 = 1 + 2 = 3 𝑆4 = 1 + 2 + 4 = 7
- 23. Deret aritmetika jumlah sukuyang ditunjukkan oleh barisan aritmetika 𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 Dengan 𝑈1 = 𝑎 dan 𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 Deret aritmetika 𝑆𝑛 = 𝑛 2 2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑆𝑛 = 𝑛 2 (𝑎 + 𝑈𝑛) Dengan: 𝑈𝑛 = suku ke-n n = bilangan asli b = beda Rumus n suku pertama deret aritmetika:
- 24. Contoh: 1. Tentukan jmlahsepuluh suku pertama dari deret −2 + 0 + 2 + ⋯ Jawab: 𝑈1= −2; 𝑈2 = 0 𝑏 = 𝑈2 − 𝑈1 = 0 − −2 = 2 𝑛 = 10 𝑆10= 10 2 2(−2) + 10 − 1 2 = 5 −4 + 18 = 70 2. Tentukan jumlah 5 suku pertama, jika suku kelima adalah 240 dan suku pertama adalah 20 Jawab: 𝑈1= 20; 𝑈5 = 240; 𝑛 = 5, maka: 𝑆5= 5 2 20 + 240 = 650
- 25. Deret Geometri atauDeret Ukur Deret geometri jumlah suku-suku yang ditunjuk oleh barisan geometri 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, … , 𝑈𝑛 Barisan geometri: 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 dengan 𝑈1 = 𝑎 dan 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1 Deret geometri: 𝑆𝑛 = 𝑎(1 − 𝑟𝑛 ) (1 − 𝑟) ; 𝑟 > 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑆𝑛 = 𝑎 𝑟𝑛 − 1 𝑟 − 1 ; 𝑟 < 1 Rumus n suku pertama deret geometri:
- 26. Contoh: 1. Tentukan jumlahdelapan suku pertama dari deret 3 + 6 + 12 + ⋯ Jawab: 𝑈1= 3; 𝑈2 = 6; 𝑟 = 6 3 = 2; 𝑛 = 8 𝑆8= 3 28 − 1 2 − 1 = 3(256 − 1) 1 = 765 2. Diberikan deret geometri dengan suku-suku positif, 𝑈2 = 10 dan 𝑈4 = 40. Bila 𝑈𝑛= 160, tentukanlah jumlah n suku pertama deret geometri itu. Jawab: 𝑈2= 10 → 𝑎𝑟 = 10 𝑈4= 40 → 𝑎𝑟3 = 40 𝑎𝑟 𝑟2 = 40 10𝑟2 = 40 𝑟2 = 4 ∴ 𝑟 = ±2
- 27. Karena suku-suku positifmaka 𝑟 = 2 𝑎𝑟 = 10 2𝑎 = 10 𝑎 = 5 maka: 𝑈𝑛= 160 𝑎𝑟𝑛−1 = 160 5 ∙ 2𝑛−1 = 160 2𝑛−1= 32 2𝑛−1 = 25 𝑛 − 1 = 5 ∴ 𝑛 = 6
- 28.
- 29. Dalam deret aritmatikamaupun deret geometri dapat menemukan sifat umum berikut ini. 𝑆1 = 𝑈1 𝑆2 = 𝑈1 + 𝑈2 → 𝑆2 = 𝑆1 + 𝑈2 → 𝑈2 = 𝑆2 − 𝑆1 𝑆3 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 → 𝑆3 = 𝑆2 + 𝑈3 → 𝑈3 = 𝑆3 − 𝑆2 𝑆4 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 → 𝑆4 = 𝑆3 + 𝑈4 → 𝑈4 = 𝑆4 − 𝑆3 . . . 𝑆𝑛 = 𝑈 1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 + ⋯ + 𝑈𝑛−1 + 𝑈𝑛 𝑆𝑛−1 𝑆𝑛 = 𝑆𝑛−1 + 𝑈𝑛 → 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 Dari uraian diatas dapat dituliskan hubungan antara suku ke-n dan jumlah n suku pertama dari deret aritmatika maupun deret geometri, sebagai berikut. 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1
- 30. Contoh: Dalam deret aritmatikaditemukan 𝑆𝑛 = 2𝑛2 + 𝑛 , hitunglah : a. 𝑈𝑛 b. 𝑈5 c. Beda Jawab : a. 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 𝑆𝑛 = 2𝑛2 + 𝑛 𝑆𝑛−1 = 2 𝑛 − 1 2 + 𝑛 − 1 𝑆𝑛−1 = 2 𝑛2 − 2𝑛 + 1 + 𝑛 − 1 𝑆𝑛−1 = 2𝑛2 − 4𝑛 + 2 + 𝑛 − 1 = 2𝑛2 − 3𝑛 + 1 𝑈𝑛= 2𝑛2 + 𝑛 − 2𝑛2 + 3𝑛 − 1 𝑈𝑛= 4𝑛 − 1 b. 𝑈5= 4 ∙ 5 − 1 = 20 − 1 = 19 c. 𝑏 = 𝑈5 − 𝑈4 𝑈4= 4 ∙ 4 − 1 = 16 − 1 = 15 ∴ 𝑏 = 19 − 15 = 4
- 31. Sifat Dasar DeretAritmetika 1. Bila 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 merupakan deret aritmatika, maka : 2. Bila𝑈1, 𝑈2, 𝑈3 merupakan suku-suku pada deret aritmatika, maka: 𝑈2 − 𝑈1 = 𝑈3 − 𝑈2 = 𝑈4 − 𝑈3 = 𝑈5 − 𝑈4 = ⋯ = 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛−1 2𝑈2 = 𝑈1 + 𝑈3
- 32. Contoh: Tentukan nilai dari𝑥 agar barisan 𝑥 + 1, 3𝑥 − 5, 4 merupakan suku-suku dari deret aritmatika. Jawab: Kita gunakan sifat dasar kedua, yaitu 2𝑈2 = 𝑈1 + 𝑈3 2(3x - 5) = x + 1 + 4 6x –10= x + 5 6x –x= 5 + 10 5x = 15 x = 3
- 33. Selain kedua sifatdi atas dapat pula kita turunkan beberapa sifat dari deret aritmatika yang lain. Perhatikan kembali formula suku ke-n berikut ini : 𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 b Dengan formula di atas dapat disusun kembali formula baru yang menyatakan hubungan antara suatu suku dengan suku yang lainnya. 𝑈7 = 𝑎 + 6𝑏 𝑈7 = 𝑎 + 3𝑏 + 3𝑏 = 𝑈4 + 3𝑏 𝑈7 = 𝑎 + 4𝑏 + 2𝑏 = 𝑈5 + 2𝑏 𝑈7 = 𝑎 + 2𝑏 + 4𝑏 = 𝑈3 + 4𝑏 Memo 7 = 1 + 6 7 = 4 + 3 7 = 5 + 2 7 = 3 + 4 Secara umum dapat dituliskan: 𝑈𝑝 = 𝑈𝑘 + 𝑝 − 𝑘 𝑏 𝑏 = 𝑈𝑝 − 𝑈𝑘 𝑝 − 𝑘
- 34. Contoh: Bila 𝑈6 =65 dan 𝑈10 = 97 dari deret aritmatika, tentukanlah : a. b b. 𝑈12 Jawab: a. 𝑏 = 𝑈10−𝑈6 10−6 = 97−65 4 = 8 b. 𝑈12 = 𝑈10 + 2𝑏 𝑈12= 97 + 2 ∙ 8 𝑈12= 97 + 16 𝑈12= 113 atau 𝑈12 = 𝑈6 + 6𝑏 𝑈12 = 65 + 6 ∙ 8 𝑈12 = 65 + 48 𝑈12 = 113
- 35. Sift Dasar DeretGeometri 1. Bila 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 merupakan deret geometri, maka : 2. Bila 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3 merupakan suku-suku pada deret geometri, maka: 𝑈2 𝑈1 = 𝑈3 𝑈2 = ⋯ = 𝑈𝑛 𝑈𝑛−1 = 𝑟 𝑈2 2 = 𝑈1 × 𝑈3
- 36. Contoh: Tentukan nilai 𝑥agar barisan 𝑥 + 2, 2, 𝑥 − 1 merupakan barisan geometri. Jawab: Memo 4 = 4 ∙ 1 atau 4 = (−1)(−4) Berdasarkan sifat (2) barisan geometri, yaitu 𝑈2 2 = 𝑈1 × 𝑈3 , diperoleh: 22 = 𝑥 + 2 𝑥 − 1 4 = 𝑥 + 2 𝑥 − 1 ↔ 4 = 2 + 2 ∙ 2 − 1 , 𝑥 = 2 ↔ 4 = −3 + 2 ∙ −3 − 1 , 𝑥 = −3 Jadi, nilai 𝑥 adalah −3 atau 2
- 37. Selain kedua sifatdi atas dapat juga kita menemukan sifat-sifat yang lain dari deret geometri. Perhatikan Un = arn-1 Dengan formula itu didapat: U10 = ar9 U10 = (ar2) . r7= U3 . r7 U10 = (ar4 ). r7 = U5 . r5 Memo Lihat Indeks 10 = 1 + 9 10 = 3 + 7 10 = 5 + 5 Secara umum di tuliskan: 𝑈𝑝 = 𝑈𝑘 ∙ 𝑟𝑝−𝑘 𝑟𝑝−𝑘 = 𝑈𝑝 𝑈𝑘
- 38. Contoh: Diketahui deret geometridengan U3 = 24 dan U6 = 192. Tentukanlah : a. r b. U2 Jawab : a. 𝑟3 = 𝑈6 𝑈3 𝑟3 = 192 24 𝑟3 = 8 𝑟3 = 23 𝑟 = 2 b. 𝑈2 = 𝑈3 𝑟 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑈2 = 𝑈6 𝑟4 𝑈2 = 24 2 𝑈2 = 192 24 𝑈2= 12 𝑈2 = 192 16 = 12