Barisan dan Deret Matematika kelas 11

1. BARISAN DAN DERET

2. PETA KONSEP
BARISAN DAN
DERET
Pola Bilangan
Notasi Sigma
Barisan dan Deret Aritmatika
Barisan dan Deret Geometri
Deret Geometri Tak Hingga
Penerapan Deret Aritmatika dan
Deret Geometri

3. A. POLA BILANGAN
Perhatikan bentuk-bentuk berikut ini
a. 1, 2, 3, 4, . . . , 50
b. 2, 4, 6, 8, . . . , 100
c. 1, 4, 9, 16, . . . , 100
• Jika diperhatikan Bilangan-bilangan tersebut ditulis berdasarkan pola atau aturan
tertentu.
• Susunan bilangan dengan aturan atau ketentuan-ketentuan tertentu disebut
sebagai barisan.
• Sedangkan apabila barisan itu kita tuliskan dalam bnetuk jumlah disebut deret
bilangan.

4. Perhatikan contoh deret bilangan berikut.
a. 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 50
b. 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 100
c. 1 + 4 + 9 + 16 + . . . + 100
Secara umum deret suatu bilangan dapat dinyatakan sebagai berikut.
𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4+ . . . . +𝑈𝑛
Dengan
𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, . . . . , 𝑈𝑛 sebagi suku
𝑈1 = suku ke-1.
𝑈2 = suku ke-2, demikian seterusnya.

5. B. NOTASI SIGMA
• Suatu cara untuk menuliskan penjumlahan berurutan secara singkat dengan
menggunakan tanda ∑ (dibaca sigma) dan dinamakan “tanda sigma”.
• Notasi sigma yaitu huruf Yunani untuk S dari perkataan “sum” yang berarti
jumlah.
Contoh:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 =
𝑘=1
10
𝑘
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 =
𝑘=1
7
(2𝑘 − 1)

6. Misalkan 𝑎𝑘 dan 𝑏𝑘 merupakan suku ke- 𝑘 dan 𝐶 suatu konstanta.
1. Jika 𝑎𝑘 = 𝐶, maka ∑𝑘=1
𝑛
𝐶 = 𝑛 𝐶
2. ∑𝑘=1
𝑛
𝐶𝑎𝑘 = 𝐶 ∑𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘
3. ∑𝑘=1
𝑛
(𝑎𝑘 + 𝑏𝑘) = ∑𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘 + ∑𝑘=1
𝑛
𝑏𝑘
4. ∑𝑘=1
𝑛
(𝑎𝑘 + 𝑏𝑘)2
= ∑𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘
2
+ 2 ∑𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘𝑏𝑘 + ∑𝑘=1
𝑛
𝑏𝑘
2
5. ∑𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘 = 𝐶 ∑𝑘=1
𝑛−1
𝑎𝑘 + 𝑎𝑛
Kaidah- kaidah Notasi Sigma

7. C. BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
1. Barisan Aritmatika
Perhatikan barisan bilangan berikut ini.
i) 1, 3, 5, 7, . . . ,99
ii) 2, 4, 6, 8, . . . , 100
iii) 16, 13, 10, 7, . . . , -5
Dari beberapa barisan diatas tampak bahwa antara suku-suku pada barisan ini
memiliki pola tertentu, yaitu selisih antara kedua suku yang berurutan selalu sama
(tetap). Barisan bilangan dengan pola tersebut dinamakan barisan aritmatika.

8. Rumus suku ke-n
Misalkan 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, . . . . , 𝑈𝑛 adalah barisan aritmatika dengan selisih dua suku yang
berurutan adalah b dan suku pertama 𝑎, maka
𝑈1 = 𝑎
𝑈2 = 𝑈1 + b = 𝑎 + b
𝑈3 = 𝑈2 + b = (𝑎 + b) + b = 𝑎 + 2b
𝑈𝑛 = 𝑈𝑛−1 + b
= ( 𝑎 + (n – 2) b ) + b
= 𝑎 + ( n – 1 ) b
𝑈𝑛 = 𝑎 + ( n – 1 ) b

9. 2. Deret Aritmatika
Rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmatika
Karena 𝑈𝑛 = 𝑎 + ( n – 1 ) b, maka dapat juga ditentukan dengan rumus:
𝑆𝑛 =
𝑛(𝑎+𝑈𝑛)
2
=
𝑛
2
(𝑎 + 𝑈𝑛)
𝑆𝑛 =
𝑛
2
2𝑎 + (𝑛 − 1)b
Diketahui rumus suku ke – n deret aritmatika adalah 𝑈𝑛 = 5 − 3𝑛. Hitunglah jumlah
15 suku pertama.
Solusi:
𝑈1 = 5 − 3 1 = 2
𝑈15 = 5 − 3 15 = −40
𝑆15 =
15
2
2 + −40 = −285
Jadi, jumlah 15 suku pertama deret aritmatika itu adalah -285
𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1

10. 3. Menuliskan Deret Aritmatika dengan Notasi Sigma
Untuk menghitung nilai sigma dapat menggunakan rumus jumlah n suku pertama
deret aritmatika berikut.
𝑆𝑛 =
𝑛
2
2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 atau 𝑆𝑛 =
𝑛
2
𝑎 + 𝑈𝑛
Suatu deret aritmatika dapat ditulis secara singkat menggunakan notasi sigma.
Misal diberikan deret aritmatika berikut.
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23
Suku pertama U1 = a = 2
Beda = b = U2 – U1 = 5 – 2 = 3
Banyak suku = n = 8
Rumus suku ke- n (Un) = a + (n – 1)b
= 2 + (n – 1)3
= 2 + 3n – 3 = 3n – 1
Jadi, 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 = ∑𝑛=1
8
(3𝑛 − 1)

11. D. BARISAN DAN DERET GEOMETRI
1. Barisan Geometri
Perhatikan barisan berikut.
a. 2, 4, 8, 16, . . . , 256
b. 128, 64, 32, 1, . . . ,
1
32
c. (1,03), 1,03 2
, 1,03 3
, . . . , 1,03 8
Ketiga barisan tersebut disusun dengan mengalikan suatu bilangan tertentu ke
bilangan sebelumnya untuk memperoleh suku berikutnya. Barisan yang disusun
dengan cara seperti itu disebut barisan geometri.

12. Rumus suku ke-n
Misalkan 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, . . . . , 𝑈𝑛 adalah barisan geometri dengan pembanding dua suku
yang berurutan adalah r dan suku pertama 𝑎, maka
𝑈1 = 𝑎 = 𝑎𝑟0 = 𝑎𝑟1−1
𝑈2 = 𝑈1𝑎 = 𝑎𝑟 = 𝑎𝑟2−1
𝑈3 = 𝑈2𝑎 = 𝑎𝑟2 = 𝑎𝑟3−1
𝑈𝑛 = 𝑈𝑛−1𝑟 = 𝑎𝑟𝑛−1
𝑈𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1 , dengan 𝑟 =
𝑈𝑛
𝑈𝑛−1

13. 2. Deret Geometri
Rumus Jumlah n suku pertama dari deret geometri
Atau dapat juga ditentukan dengan rumus:
𝑆𝑛 =
𝑎(𝑟𝑛−1)
𝑟−1
untuk 𝑟 ≠ 1, 𝑟 > 1
𝑆𝑛 =
𝑎(1−𝑟𝑛)
1−𝑟
untuk 𝑟 ≠ 1, 𝑟 < 1
𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1

14. Dari suatu geometri 𝑎 = 7 , 𝑟 = 3 , dan 𝑆𝑛 = 847, tentukan banyak suku deret itu.
Solusi:
𝑆𝑛 =
𝑎(𝑟𝑛
− 1)
𝑟 − 1
847 =
7(3𝑛 − 1)
3 − 1
847 =
7
2
(3𝑛
− 1)
⟺ 3𝑛
− 1 = 847 .
7
2
⟺ 3𝑛 = 242 + 1
⟺ 3𝑛
= 243
⟺ 𝑛 = 5
Jadi banyaknya suku ke − 𝑛 deret geometri tersebut adalah 5

15. 3. Menuliskan Deret Geometri dengan Notasi Sigma
Seperti deret aritmatika, deret geometri dapat pula dinyatakan dengan menggunakan
notasi sigma dengan cara mencari suku umum deret tersebut.
Contoh:
Nyatakan deret geometri berikut dalam notasi sigma.
2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128
Solusi:
Suku pertama ( 𝑈1 ) = a = 2
rasio (𝑟) =
𝑈2
𝑈1
=
4
2
= 2
Banyak suku (n) = 7
Rumus suku ke-n (𝑈𝑛) = 𝑎𝑟𝑛−1
= 2 . 2𝑛−1
= 2n
Jadi, deret tersebut adalah
𝑛=1
7
2𝑛

16. E. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
Perhatikan contoh deret geometri
a. 128 + 64 + 32 + 1 + . . . .
b. 1 + 4 + 16 + 64 + . . . .
c. 20 + 10 + 5 +
5
2
+
5
4
+ . . . .
Deret geometri dengan banyak sukunya tak terhingga (tak terbatas) disebut deret
geometri tak hingga. Biasanya untuk menyatakkan suatu deret geometri tak hingga,
suku-sukunya dituliskan dengan titik-titik pada akhir deret.

17. Secara umum, jumlah deret geometri tak hingga dapat ditentukan oleh rumus:
𝑆 =
𝑎
1−𝑟
dengan 𝑟 ≠ 1
Hitunglah jumlah dari 20 + 10 + 5 +
5
2
+
5
4
+ . . . .
Solusi:
𝑎 = 20, 𝑟 =
1
2
𝑆 =
𝑎
1−𝑟
=
20
1−
1
2
= 40
Jadi jumlah dari 20 + 10 + 5 +
5
2
+
5
4
+ . . . adalah 40

18. F. PENERAPAN DERET ARITMATIKA
DAN DERET GEOMETRI
Setelah mempelajari tentang deret aritmatika dan geometri, tentunya banyak
masalah dalam mata pelajaran lain seperti ekonomi dan dalam kehidupan nyata yang
dapat dengan cepat kita selesaikan menggunakan kaidah-kaidah kedua deret
tersebut.

19. Contoh:
Jumlah penduduk kota adalah 6.000 orang. Setiap tahun penduduk kota itu bertambah 3%.
Tentukan jumlah penduduk pada kahir tahun ke-10
Solusi:
𝑈1 = 6.000
𝑈2 = 6.000 +
3
100
∙ 6.000 = 6000(1 +
3
100
)
𝑈3 = 𝑈2 +
3
100
∙ 𝑈2 = 𝑈2 (1 +
3
100
) = 6.000 1 +
3
100
1 +
3
100
= 6.000(1 +
3
100
)
2
Tampak bahwa 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 merupakan suku-suku geometri dengan
𝑎 = 6.000
𝑟 = (1 +
3
100
)
𝑈11 = 𝑎𝑟11−1
= 6.000 (1 +
3
100
)
10
= 8.063,5 = 8.063 orang