SlideShare a Scribd company logo
1 of 9
Download to read offline
Батлав.............................. Сургалтын албаны дарга Г. Мөнхзаяа


Лекц №5
                                Хоёрдугаар эрэмбийн хялбар тэгшитгэлүүд
          Конус гадаргуу ба хавтгайн огтлолцлыг конус огтлол гэнэ.Конусын оройг
дайраагүй үндсэн 4 огтлолыг авч үзье.
Эллипс
Тодорхойлолт: Фокус гэж нэрлэгдэх 2 цэг хүртэлх зайн нийлбэр нь тогтмол байх
хавтгайн цэгүүдийн олонлогийг эллипс гэнэ.Эллипсийн тэгшитгэлийг зохиоѐ.Фокусуудыг
F1; F2 гэе. F1F2 -г дайрсан шулууныг Ох тэнхлэг болгон авч F1F2 хэрчмийн дундаж цэг
дээр координатын эх байхаар сонгоѐ. F1F2 =2c гэе. F1  c;0; F2 c;0

            Y

                          M(x,y)




F1                               F2              X




M(x,y) нь эллипсийн дурын цэг байг.тогтмол тоог 2а гэе.


F1M  F2 M  2a               x  c2  y 2  x  c2  y 2    2a


     x  c2  y 2    2a     x  c2  y 2   тэгшитгэлийн 2 талыг кв зэрэгт дэвшүүлбэл


x  c2  y 2  4a2  4a x  c2  y 2  x  c2  y 2  a2  xc  a x  c2  y 2   /1/


                                                                 
/1/-г кв зэрэгт дэвшүүлбэл a 4  2a 2 xc  xc   a 2 x  c   y 2
                                                        2               2
                                                                            
               
 a2  c2 x2  a2 y 2  a2 a2  c2           энд a 2  c 2  b2 гэж тэмдэглээд тэгшитгэлийн 2 талыг

                        x2 y 2
a 2b 2 -д хуваавал             1 /2/ эллипсийн тэгшитгэл
                        a 2 b2

Ox :     y=0  x  a
1|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
Oy:     x=0  y  b  координатын тэнхлэгүүдийг                       a;0; a;00; b; 0;b   цэгүүдээр
огтолно. Эдгээрийг эллипсийн оройн цэгүүд гэнэ.

/2/-д x,y нь квадрат зэрэгтэй тул координатын тэнхлэгүүдийн хувьд тэгшхэмтэй.

               B        b

                                A




   -a                            a

                   -b

OA –г их хагас тэнхлэг,ОВ-г бага хагас тэнхлэг гэнэ.О-эллипсийн төв


/1/ -ийн 2 талыг а-д хуваавал a 
                                       c
                                         x    x  c 2  y 2    r2  r2  a 
                                                                                   c
                                                                                     x
                                       a                                           a

                            c         c
r1  r2  2a  r1  a        x болно.   гэж тэмдэглэе. r1  a  x; r2  a  x            /3/
                            a         a

/3/-г М цэгийн фокусын радиусууд гэнэ.  -г эллипсийн эксцентриситет гэнэ. c  a    1
байна.  нь эллипсийн хэлбэрийг тодорхойлно.   0 үед эллипс тойрог хэлбэрт дөхнө.
  1 үед эллипс илүү зууван болно.

Тойрог       Бид өмнө нь a, b  цэгт төвтэй R радиустай тойргийн тэгшитгэлийг бичсэн

билээ.Ийм тойргийн тэгшитгэл нь x  a    y  b  R 2
                                                2           2




Гипербол

ТОД      Хавтгай дээр өгөдсөн фокус хэмээн нэрлэгдэх 2 цэг хүртэлх зайн ялгавар нь
абсолют хэмжигдэхүүнээрээ тогтмол байх /фокусуудын хоорондох зайнаас бага / хавтгайн
цэгүүдийн олонлогийг гипербол гэнэ.




2|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
y




                          M

                                                     X

           F1 (-c,0)                F2 (c,0)

r1  r2  2a гэе.


  x  c2  y 2  x  c2  y 2     2a       2   талыг     нь     квадрат       зэрэгт       дэвшүүлбэл

x  c2  y 2  x  c2  y 2  4a x  c2  y 2  4a 2

xc  a 2  a   x  c2  y 2                             a 2  xc  a   x  c2  y 2

xc 2  2a2 xc  a4  a2 x2  2 xca 2  a2c2  a2 y 2  c2  a2 x2  a2 y 2  a2 c2  a2 

                            x2 y 2
Энд c 2  a 2  b2 гэвэл          1          /4/ Гиперболын тэгшитгэл
                            a 2 b2

Хэлбэрийг нь тогтооѐ.x,y нь квадрат зэрэгтэй оролцож байгаа тул координатын
тэнхлэгүүдийн хувьд тэгшхэмтэй.(0,0) –г гиперболын төв гэнэ.y=0  x  a  Ох
                                                             y2
тэнхлэгийг (a,0),(-a,0) цэгүүдээр огтолно.x=0                  1  Oy тэнхлэгийг огтлохгүй.
                                                             b2

а-г гиперболын бодит хагас тэнхлэг,в-г хуурмаг хагас тэнхлэг гэнэ.

I мөчид байгуулъя.

     b
Y=     x шулууныг сонирхоѐ.
     a

     b
Y-y = x 
     a
          b 2
          a
                2 b
            x a  x x a 
                  a
                       2  2  b
                                 a2
                             a x x a
                                   2   2
                                               
                                               ab
                                           x  x2  a2


3|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
x   үед Y-y  0  Y  y

                                                                       b
гиперболын график координатын эхээс холдох тутам Y=                      x шулуунд ойртоно.Ийм
                                                                       a
                                      b
чанартай шулууныг асимптот гэнэ. y   x шулуунуудыг гиперболын асимптотууд гэнэ.
                                      a
c                                              y 2 x2
    -г гиперболын эксцентриситет гэнэ.   1 2  2  1 -хосмог гипербол гэнэ.
a                                             b    a

Хосмог гиперболын оройнууд болон фокусууд Oy тэнхлэг дээр оршино.

Жишээ-2

16 x 2  9 y 2  144

а/ хагас тэнхлэгүүд a  3; b  4


б/ фокусын координатууд             c= a 2  b 2 =5  5,0;  5;0

                              c 5
в/ эксцентриситет            
                              a 3

                                         4
г/ асимптотуудын тэгшитгэл y=             x
                                         3

                                            a         3 9      9
д/ директрисүүдийн тэгшитгэл           x       x      x
                                                     5 5      5
                                                      3

                                                    228
Жишээ 3 . Директрисүүдийн хоорондох зай                 ба 2c=26
                                                    13

a           114   a 2 114
                        a 2  114  a  114
            13   c    13

                              x2   y2
b  c  a  169  114  55 
    2       2   2
                                     1
                             114 55




4|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
Парабол          Фокус гэж нэрлэгдэх өгөгдсөн цэг болон директрис хэмээх өгөгдсөн
шулуунаас ижил зайд байх хавтгайн цэгийн олонлогийг парабол гэнэ.

Фокус нь директрис дээр оршихгүй гэж үзнэ.Фокусаас директрис хүрэх зайг р гэе. Үүнийг
параболын параметр гэнэ.Зурагт үзүүлснээр координатын тэнхлэгийг сонгоѐ.

                 y




             K          M(x,y)            x

             p                    p
                O           F(     ,0)
             2                    2

       p
x=      нь директрис болно.F- фокус
       2

                             2
                 p       p                p2            p2
KM=MF  x           x    y  x  px 
                                2   2
                                                x  px 
                                                  2
                                                              y 2  y 2  2 px /5/
                 2       2                4             4

параболын хялбар тэгшитгэл

Хэлбэрийг нь тогтооѐ.y2 оролцсон учир Ох тэнхлэгийн хувьд тэгшхэмтэй.Энэ тэгшитгэлд
x  0 байна. x   үед y   . Ох нь тэгшхэмийн тэнхлэг болно.Ө.х фокусын тэнхлэг.




x 2  2 py байж болно.Oy –параболын тэгшхэмийн тэнхлэг болно.


5|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
II эрэмбийн муруйн ерөнхий тэгшитгэлийг хялбарчлах

   1. Координатын тэнхлэгүүдийн параллель зөөлт Ax 2  Cy 2  Dx  Ey  F  0          /6/
            тэгшитгэлийг хялбарчлах.
Өгөгдсөн координатын системд P(x,y) цэг байг.


                    y        y’




                                       P(x,y)




                                                     x’

                        O’(h,k)

                                                x

        O(0,0)

(h,k)   цэгт координатын эх нь байх ,координатын тэнхлэгүүд нь өгөгдсөн системийн
координатын тэнхлэгүүдтэй параллель байх координатын систем авч үзье.

            ’
    x       =x-h;y’=y-k  x=x’+h; y=y’+k

Жишээ-1. (3,6) цэгт фокустай,y=2 директристэй параболын тэгшитгэлийг бич.

        y               y’

            4

                                                x’

                2

                                                y=2

                0            3
(3,4) цэгт эх нь байх O’x’y’ координатын систем авч үзье.p=4   (x’ )2=8y’  (x-3)2=8(y-4)

6|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
Жишээ –2.

x2+y2-4x+6y-3=0

(x-2)2+(y+3)2=3+4+9  (x-2)2+(y+3)2=16=42

энэ нь (2,-3) цэгт төвтэй 4 радиустай тойргийн тэгшитгэл.

Жишээ-3.

16x2-9y2-64x-54y-161=0


16(x-2)2-9(y+3)2=144 
                              x  22   y  3  1 нь (2,-3)   дээр төвтэй,a=3,b=4 байх гипербол.
                                 9         16
c2  9  16  25  c  5  F1' (5,0); F2' (5,0)  F1 (3;3); F2 (7,3)




Жишээ-4.

5x2+9y2-30x+18y+9=0

5(x-3)2+9(y+1)2=45

x  32   y  12    1 гэсэн эллипс байна.
   9           5

a  3, b  5; c 2  a 2  b2  c  2  F1 1;1; F2 5;1

       y




                                                x


7|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
Тэнхлэгийг эргүүлэх Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0 /7/           тэгшитгэлийн график

Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0 тэгшитгэлийг координатын системийг хувиргаж Bxy
гишүүнийг зайлуулж ,өмнөх хэлбэрт шилжүүлж бодно.Өгөгдсөн координатын системд
P( x, y) цэг байг.Өгөгдсөн координатын системтэй ерөнхий эхтэй түүний тэнхлэгүүдийг 
өнцгөөр эргүүлэхэд үүсэх Oxy системийг авч үзье.
               y


                                        P(x,y)
          y                   L
                               B                 x
                                         K
                                                 x
                O                   S
x  OB  BK  OB  LP  x cos  y sin
y  LS  SB  y cos  x sin

 x   x cos   y sin 
                             /8/
 y    x sin   y cos 
Oxy координатын системийг Oxy системийг -  өнцгөөр эргүүлэхэд үүссэн гэж үзэж
болно.
 x  x cos    y sin       x  x cos  y sin 
                                                             /9/
 y   x sin     y cos    y  x sin   y cos


Ax2  Bxy  Cy2  Dx  Ey  F   0 тэгшитгэлд B -г 0 болгох             өнцгийг олох
хэрэгтэй.
A( x cos  y sin )2+B( x cos  y sin )( x sin  y cos )+C( x sin  y cos )2+D(
x cos  y sin )+E( x sin  y cos )+F=0
                                                                       B
 B  _ A sin 2  B cos 2   B sin 2   C sin 2  0  tg 2           /10/
                                                                      AC
Үүгээр B =0 болно.Ө.х өмнөх хэлбэрийн тэгшитгэлд шилжинэ.Үүний тулд
1. tg 2  ?


8|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
1                  1
2. cos 2 2  sin 2 2  1  1  tg 2 2            cos 2               cos 2  ?
                                             cos 2
                                                2
                                                               1  tg 2 2

             1  cos 2           1  cos 2
3. cos                ; sin               sin , cos  ?
                  2                    2
Үүнийг /9/ томьѐонд орлуулна.
Координатын системийг эргүүлэх хувиргалт хийхэд /7/ тэгшитгэлийн зарим коэффициент
өөрчлөгдөхгүй үлддэг.Үүнийг эргүүлэх хувиргалтын инвариантууд гэнэ.
Теорем:           Координатын                тэнхлэгийг        эргүүлэхэд       /7/       тэгшитгэл
Ax2  Bxy  Cy2  Dx  Ey  F   0            тэгшитгэлд    шилжинэ.Энэ       эргүүлэлт
дараах инвариантуудтай.
             1. F  F ;           2. A  C  A  C          3. B 2  4 AC  B2  4 AC Энд B =0

учир B 2  4 AC   4 AC Энэ хэмжигдэхүүнийг /7/ тэгшитгэлийн дискриминант гэнэ.
            tr: Ax2  Cy2  Dx  Ey  F   0 тэгшитгэлийн график
               1. A  C бол тойрог
               2. AC  0 бол парабол
               3. AC  0 бол эллипс
               4. AC  0 бол гипербол байна.
Дискриминантын хувьд /7/ тэгшитгэл
            1. B2  4 AC  0 бол эллипс
            2. B2  4 AC  0 бол гипербол
            3. B 2  4 AC  0 бол парабол
Жишээ 2 x 2  10 xy  12 y 2  7 x  18 y  15  0
D  100  96  0 учир гипербол




9|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг

More Related Content

What's hot

Tsahim olon ontsogt du8
Tsahim olon ontsogt du8Tsahim olon ontsogt du8
Tsahim olon ontsogt du8school14
 
магадлалын онол
магадлалын онолмагадлалын онол
магадлалын онолTsagaanaa Sambuu
 
8ш статистик характеристик
8ш статистик характеристик8ш статистик характеристик
8ш статистик характеристикnaraa_0714
 
Уламжлал
УламжлалУламжлал
УламжлалМарт
 
тригонометрийн томъёо
тригонометрийн томъёотригонометрийн томъёо
тригонометрийн томъёоynjinlkham
 
багтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгт
багтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгтбагтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгт
багтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгтKhishighuu Myanganbuu
 
тригонометр
тригонометртригонометр
тригонометрnandia
 
Lekts02
Lekts02Lekts02
Lekts02Ankhaa
 
цахилгаан соронзон орон
цахилгаан соронзон оронцахилгаан соронзон орон
цахилгаан соронзон оронMorello Avr
 
Тоон цуваа
Тоон цувааТоон цуваа
Тоон цувааBattur
 
гурвалжин ба түүний чанар
гурвалжин ба түүний чанаргурвалжин ба түүний чанар
гурвалжин ба түүний чанарKhishighuu Myanganbuu
 
Hicheel 4
Hicheel 4Hicheel 4
Hicheel 4Ankhaa
 
тоон дараалл хязгаар лекц№1
тоон дараалл хязгаар лекц№1тоон дараалл хязгаар лекц№1
тоон дараалл хязгаар лекц№1Э. Гүнтулга
 
геометр прогресс
геометр прогрессгеометр прогресс
геометр прогрессTserendejid_od
 
хүчний хэлбэрүүд
хүчний хэлбэрүүдхүчний хэлбэрүүд
хүчний хэлбэрүүдnsuren1
 

What's hot (20)

Tsho lekts 1
Tsho lekts  1Tsho lekts  1
Tsho lekts 1
 
Tsahim olon ontsogt du8
Tsahim olon ontsogt du8Tsahim olon ontsogt du8
Tsahim olon ontsogt du8
 
Lekts8
Lekts8Lekts8
Lekts8
 
MT101 Lecture 1(Mongolia)
MT101 Lecture 1(Mongolia)MT101 Lecture 1(Mongolia)
MT101 Lecture 1(Mongolia)
 
магадлалын онол
магадлалын онолмагадлалын онол
магадлалын онол
 
8ш статистик характеристик
8ш статистик характеристик8ш статистик характеристик
8ш статистик характеристик
 
Уламжлал
УламжлалУламжлал
Уламжлал
 
тригонометрийн томъёо
тригонометрийн томъёотригонометрийн томъёо
тригонометрийн томъёо
 
багтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгт
багтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгтбагтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгт
багтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгт
 
тригонометр
тригонометртригонометр
тригонометр
 
Lekts02
Lekts02Lekts02
Lekts02
 
семинар3
семинар3семинар3
семинар3
 
цахилгаан соронзон орон
цахилгаан соронзон оронцахилгаан соронзон орон
цахилгаан соронзон орон
 
Тоон цуваа
Тоон цувааТоон цуваа
Тоон цуваа
 
гурвалжин ба түүний чанар
гурвалжин ба түүний чанаргурвалжин ба түүний чанар
гурвалжин ба түүний чанар
 
Hicheel 4
Hicheel 4Hicheel 4
Hicheel 4
 
функц
функцфункц
функц
 
тоон дараалл хязгаар лекц№1
тоон дараалл хязгаар лекц№1тоон дараалл хязгаар лекц№1
тоон дараалл хязгаар лекц№1
 
геометр прогресс
геометр прогрессгеометр прогресс
геометр прогресс
 
хүчний хэлбэрүүд
хүчний хэлбэрүүдхүчний хэлбэрүүд
хүчний хэлбэрүүд
 

Similar to Lection 5

Kvadrat tegshitgel
Kvadrat tegshitgelKvadrat tegshitgel
Kvadrat tegshitgelch-boldbayar
 
Trigonometr tentsetgel bish bodoh
Trigonometr tentsetgel bish bodohTrigonometr tentsetgel bish bodoh
Trigonometr tentsetgel bish bodohEnkhbaatar.Ch
 
хувилбар а
хувилбар ахувилбар а
хувилбар аsaraa79
 
хувилбар а
хувилбар ахувилбар а
хувилбар аsaraa79
 
стериометр.
стериометр.стериометр.
стериометр.mendee_miniih
 
геометр прогрессын тэмдэглэгээ
геометр прогрессын тэмдэглэгээгеометр прогрессын тэмдэглэгээ
геометр прогрессын тэмдэглэгээKhishighuu Myanganbuu
 
Pipagoriin toerom
Pipagoriin toeromPipagoriin toerom
Pipagoriin toeromboloroo33
 
паралель ба перпендикуляр чанарын тестийн бодолт ба заавар
паралель ба перпендикуляр чанарын тестийн бодолт ба зааварпаралель ба перпендикуляр чанарын тестийн бодолт ба заавар
паралель ба перпендикуляр чанарын тестийн бодолт ба зааварenkhtuya_od
 
паралель ба перпендикуляр чанарын тестийн бодолт ба заавар
паралель ба перпендикуляр чанарын тестийн бодолт ба зааварпаралель ба перпендикуляр чанарын тестийн бодолт ба заавар
паралель ба перпендикуляр чанарын тестийн бодолт ба зааварenkhtuya_od
 
хичээл 6
хичээл 6хичээл 6
хичээл 6Ankhaa
 

Similar to Lection 5 (20)

Lection 3
Lection 3Lection 3
Lection 3
 
Lection 3
Lection 3Lection 3
Lection 3
 
Kvadrat tegshitgel
Kvadrat tegshitgelKvadrat tegshitgel
Kvadrat tegshitgel
 
2010 copy
2010   copy2010   copy
2010 copy
 
Lection 2
Lection 2Lection 2
Lection 2
 
10 soril 27_jishig daalgavar_a
10 soril 27_jishig daalgavar_a10 soril 27_jishig daalgavar_a
10 soril 27_jishig daalgavar_a
 
Trigonometr tentsetgel bish bodoh
Trigonometr tentsetgel bish bodohTrigonometr tentsetgel bish bodoh
Trigonometr tentsetgel bish bodoh
 
хувилбар а
хувилбар ахувилбар а
хувилбар а
 
хувилбар а
хувилбар ахувилбар а
хувилбар а
 
стериометр.
стериометр.стериометр.
стериометр.
 
Lection 7
Lection 7Lection 7
Lection 7
 
геометр прогрессын тэмдэглэгээ
геометр прогрессын тэмдэглэгээгеометр прогрессын тэмдэглэгээ
геометр прогрессын тэмдэглэгээ
 
Pipagoriin toerom
Pipagoriin toeromPipagoriin toerom
Pipagoriin toerom
 
7-r angi
7-r angi 7-r angi
7-r angi
 
10 soril 27_jishig daalgavar_c
10 soril 27_jishig daalgavar_c10 soril 27_jishig daalgavar_c
10 soril 27_jishig daalgavar_c
 
паралель ба перпендикуляр чанарын тестийн бодолт ба заавар
паралель ба перпендикуляр чанарын тестийн бодолт ба зааварпаралель ба перпендикуляр чанарын тестийн бодолт ба заавар
паралель ба перпендикуляр чанарын тестийн бодолт ба заавар
 
11 soril 28_huvilbar_a
11 soril 28_huvilbar_a 11 soril 28_huvilbar_a
11 soril 28_huvilbar_a
 
паралель ба перпендикуляр чанарын тестийн бодолт ба заавар
паралель ба перпендикуляр чанарын тестийн бодолт ба зааварпаралель ба перпендикуляр чанарын тестийн бодолт ба заавар
паралель ба перпендикуляр чанарын тестийн бодолт ба заавар
 
хичээл 6
хичээл 6хичээл 6
хичээл 6
 
Mat02
Mat02Mat02
Mat02
 

More from Sukhee Bilgee (16)

Mt102 lekts15
Mt102 lekts15Mt102 lekts15
Mt102 lekts15
 
Mt102 lekts14
Mt102 lekts14Mt102 lekts14
Mt102 lekts14
 
Mt102 lekts13
Mt102 lekts13Mt102 lekts13
Mt102 lekts13
 
Mt102 lekts12
Mt102 lekts12Mt102 lekts12
Mt102 lekts12
 
Mt102 lekts11
Mt102 lekts11Mt102 lekts11
Mt102 lekts11
 
Mt102 lekts10
Mt102 lekts10Mt102 lekts10
Mt102 lekts10
 
Mt102 lekts9
Mt102 lekts9Mt102 lekts9
Mt102 lekts9
 
Mt102 lekts7
Mt102 lekts7Mt102 lekts7
Mt102 lekts7
 
Mt102 lekts8
Mt102 lekts8Mt102 lekts8
Mt102 lekts8
 
Mt102 lekts6
Mt102 lekts6Mt102 lekts6
Mt102 lekts6
 
Mt102 lekts5
Mt102 lekts5Mt102 lekts5
Mt102 lekts5
 
Mt102 lekts4
Mt102 lekts4Mt102 lekts4
Mt102 lekts4
 
Mt102 lekts3
Mt102 lekts3Mt102 lekts3
Mt102 lekts3
 
Mt102 lekts2
Mt102 lekts2Mt102 lekts2
Mt102 lekts2
 
Mt102 lekts1
Mt102 lekts1Mt102 lekts1
Mt102 lekts1
 
Lection 6
Lection 6Lection 6
Lection 6
 

Lection 5

  • 1. Батлав.............................. Сургалтын албаны дарга Г. Мөнхзаяа Лекц №5 Хоёрдугаар эрэмбийн хялбар тэгшитгэлүүд Конус гадаргуу ба хавтгайн огтлолцлыг конус огтлол гэнэ.Конусын оройг дайраагүй үндсэн 4 огтлолыг авч үзье. Эллипс Тодорхойлолт: Фокус гэж нэрлэгдэх 2 цэг хүртэлх зайн нийлбэр нь тогтмол байх хавтгайн цэгүүдийн олонлогийг эллипс гэнэ.Эллипсийн тэгшитгэлийг зохиоѐ.Фокусуудыг F1; F2 гэе. F1F2 -г дайрсан шулууныг Ох тэнхлэг болгон авч F1F2 хэрчмийн дундаж цэг дээр координатын эх байхаар сонгоѐ. F1F2 =2c гэе. F1  c;0; F2 c;0 Y M(x,y) F1 F2 X M(x,y) нь эллипсийн дурын цэг байг.тогтмол тоог 2а гэе. F1M  F2 M  2a  x  c2  y 2  x  c2  y 2  2a x  c2  y 2  2a  x  c2  y 2 тэгшитгэлийн 2 талыг кв зэрэгт дэвшүүлбэл x  c2  y 2  4a2  4a x  c2  y 2  x  c2  y 2  a2  xc  a x  c2  y 2 /1/  /1/-г кв зэрэгт дэвшүүлбэл a 4  2a 2 xc  xc   a 2 x  c   y 2 2 2     a2  c2 x2  a2 y 2  a2 a2  c2  энд a 2  c 2  b2 гэж тэмдэглээд тэгшитгэлийн 2 талыг x2 y 2 a 2b 2 -д хуваавал   1 /2/ эллипсийн тэгшитгэл a 2 b2 Ox : y=0  x  a 1|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
  • 2. Oy: x=0  y  b  координатын тэнхлэгүүдийг  a;0; a;00; b; 0;b цэгүүдээр огтолно. Эдгээрийг эллипсийн оройн цэгүүд гэнэ. /2/-д x,y нь квадрат зэрэгтэй тул координатын тэнхлэгүүдийн хувьд тэгшхэмтэй. B b A -a a -b OA –г их хагас тэнхлэг,ОВ-г бага хагас тэнхлэг гэнэ.О-эллипсийн төв /1/ -ийн 2 талыг а-д хуваавал a  c x x  c 2  y 2  r2  r2  a  c x a a c c r1  r2  2a  r1  a  x болно.   гэж тэмдэглэе. r1  a  x; r2  a  x /3/ a a /3/-г М цэгийн фокусын радиусууд гэнэ.  -г эллипсийн эксцентриситет гэнэ. c  a    1 байна.  нь эллипсийн хэлбэрийг тодорхойлно.   0 үед эллипс тойрог хэлбэрт дөхнө.   1 үед эллипс илүү зууван болно. Тойрог Бид өмнө нь a, b  цэгт төвтэй R радиустай тойргийн тэгшитгэлийг бичсэн билээ.Ийм тойргийн тэгшитгэл нь x  a    y  b  R 2 2 2 Гипербол ТОД Хавтгай дээр өгөдсөн фокус хэмээн нэрлэгдэх 2 цэг хүртэлх зайн ялгавар нь абсолют хэмжигдэхүүнээрээ тогтмол байх /фокусуудын хоорондох зайнаас бага / хавтгайн цэгүүдийн олонлогийг гипербол гэнэ. 2|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
  • 3. y M X F1 (-c,0) F2 (c,0) r1  r2  2a гэе. x  c2  y 2  x  c2  y 2  2a 2 талыг нь квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл x  c2  y 2  x  c2  y 2  4a x  c2  y 2  4a 2 xc  a 2  a x  c2  y 2 a 2  xc  a x  c2  y 2 xc 2  2a2 xc  a4  a2 x2  2 xca 2  a2c2  a2 y 2  c2  a2 x2  a2 y 2  a2 c2  a2  x2 y 2 Энд c 2  a 2  b2 гэвэл  1 /4/ Гиперболын тэгшитгэл a 2 b2 Хэлбэрийг нь тогтооѐ.x,y нь квадрат зэрэгтэй оролцож байгаа тул координатын тэнхлэгүүдийн хувьд тэгшхэмтэй.(0,0) –г гиперболын төв гэнэ.y=0  x  a  Ох y2 тэнхлэгийг (a,0),(-a,0) цэгүүдээр огтолно.x=0    1  Oy тэнхлэгийг огтлохгүй. b2 а-г гиперболын бодит хагас тэнхлэг,в-г хуурмаг хагас тэнхлэг гэнэ. I мөчид байгуулъя. b Y= x шулууныг сонирхоѐ. a b Y-y = x  a b 2 a 2 b x a  x x a  a 2 2 b  a2 a x x a 2 2   ab x  x2  a2 3|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
  • 4. x   үед Y-y  0  Y  y b гиперболын график координатын эхээс холдох тутам Y= x шулуунд ойртоно.Ийм a b чанартай шулууныг асимптот гэнэ. y   x шулуунуудыг гиперболын асимптотууд гэнэ. a c y 2 x2   -г гиперболын эксцентриситет гэнэ.   1 2  2  1 -хосмог гипербол гэнэ. a b a Хосмог гиперболын оройнууд болон фокусууд Oy тэнхлэг дээр оршино. Жишээ-2 16 x 2  9 y 2  144 а/ хагас тэнхлэгүүд a  3; b  4 б/ фокусын координатууд c= a 2  b 2 =5  5,0;  5;0 c 5 в/ эксцентриситет   a 3 4 г/ асимптотуудын тэгшитгэл y=  x 3 a 3 9 9 д/ директрисүүдийн тэгшитгэл x x  x  5 5 5 3 228 Жишээ 3 . Директрисүүдийн хоорондох зай ба 2c=26 13 a 114 a 2 114     a 2  114  a  114  13 c 13 x2 y2 b  c  a  169  114  55  2 2 2  1 114 55 4|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
  • 5. Парабол Фокус гэж нэрлэгдэх өгөгдсөн цэг болон директрис хэмээх өгөгдсөн шулуунаас ижил зайд байх хавтгайн цэгийн олонлогийг парабол гэнэ. Фокус нь директрис дээр оршихгүй гэж үзнэ.Фокусаас директрис хүрэх зайг р гэе. Үүнийг параболын параметр гэнэ.Зурагт үзүүлснээр координатын тэнхлэгийг сонгоѐ. y K M(x,y) x p p  O F( ,0) 2 2 p x=  нь директрис болно.F- фокус 2 2 p  p p2 p2 KM=MF  x    x    y  x  px  2 2  x  px  2  y 2  y 2  2 px /5/ 2  2 4 4 параболын хялбар тэгшитгэл Хэлбэрийг нь тогтооѐ.y2 оролцсон учир Ох тэнхлэгийн хувьд тэгшхэмтэй.Энэ тэгшитгэлд x  0 байна. x   үед y   . Ох нь тэгшхэмийн тэнхлэг болно.Ө.х фокусын тэнхлэг. x 2  2 py байж болно.Oy –параболын тэгшхэмийн тэнхлэг болно. 5|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
  • 6. II эрэмбийн муруйн ерөнхий тэгшитгэлийг хялбарчлах 1. Координатын тэнхлэгүүдийн параллель зөөлт Ax 2  Cy 2  Dx  Ey  F  0 /6/ тэгшитгэлийг хялбарчлах. Өгөгдсөн координатын системд P(x,y) цэг байг. y y’ P(x,y) x’ O’(h,k) x O(0,0) (h,k) цэгт координатын эх нь байх ,координатын тэнхлэгүүд нь өгөгдсөн системийн координатын тэнхлэгүүдтэй параллель байх координатын систем авч үзье. ’ x =x-h;y’=y-k  x=x’+h; y=y’+k Жишээ-1. (3,6) цэгт фокустай,y=2 директристэй параболын тэгшитгэлийг бич. y y’ 4 x’ 2 y=2 0 3 (3,4) цэгт эх нь байх O’x’y’ координатын систем авч үзье.p=4 (x’ )2=8y’  (x-3)2=8(y-4) 6|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
  • 7. Жишээ –2. x2+y2-4x+6y-3=0 (x-2)2+(y+3)2=3+4+9  (x-2)2+(y+3)2=16=42 энэ нь (2,-3) цэгт төвтэй 4 радиустай тойргийн тэгшитгэл. Жишээ-3. 16x2-9y2-64x-54y-161=0 16(x-2)2-9(y+3)2=144  x  22   y  3  1 нь (2,-3) дээр төвтэй,a=3,b=4 байх гипербол. 9 16 c2  9  16  25  c  5  F1' (5,0); F2' (5,0)  F1 (3;3); F2 (7,3) Жишээ-4. 5x2+9y2-30x+18y+9=0 5(x-3)2+9(y+1)2=45 x  32   y  12  1 гэсэн эллипс байна. 9 5 a  3, b  5; c 2  a 2  b2  c  2  F1 1;1; F2 5;1 y x 7|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
  • 8. Тэнхлэгийг эргүүлэх Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0 /7/ тэгшитгэлийн график Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0 тэгшитгэлийг координатын системийг хувиргаж Bxy гишүүнийг зайлуулж ,өмнөх хэлбэрт шилжүүлж бодно.Өгөгдсөн координатын системд P( x, y) цэг байг.Өгөгдсөн координатын системтэй ерөнхий эхтэй түүний тэнхлэгүүдийг  өнцгөөр эргүүлэхэд үүсэх Oxy системийг авч үзье. y P(x,y) y L B x K x O S x  OB  BK  OB  LP  x cos  y sin y  LS  SB  y cos  x sin  x   x cos   y sin   /8/  y    x sin   y cos  Oxy координатын системийг Oxy системийг -  өнцгөөр эргүүлэхэд үүссэн гэж үзэж болно.  x  x cos    y sin     x  x cos  y sin    /9/  y   x sin     y cos    y  x sin   y cos Ax2  Bxy  Cy2  Dx  Ey  F   0 тэгшитгэлд B -г 0 болгох  өнцгийг олох хэрэгтэй. A( x cos  y sin )2+B( x cos  y sin )( x sin  y cos )+C( x sin  y cos )2+D( x cos  y sin )+E( x sin  y cos )+F=0 B  B  _ A sin 2  B cos 2   B sin 2   C sin 2  0  tg 2  /10/ AC Үүгээр B =0 болно.Ө.х өмнөх хэлбэрийн тэгшитгэлд шилжинэ.Үүний тулд 1. tg 2  ? 8|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг
  • 9. 1 1 2. cos 2 2  sin 2 2  1  1  tg 2 2   cos 2   cos 2  ? cos 2 2 1  tg 2 2 1  cos 2 1  cos 2 3. cos  ; sin    sin , cos  ? 2 2 Үүнийг /9/ томьѐонд орлуулна. Координатын системийг эргүүлэх хувиргалт хийхэд /7/ тэгшитгэлийн зарим коэффициент өөрчлөгдөхгүй үлддэг.Үүнийг эргүүлэх хувиргалтын инвариантууд гэнэ. Теорем: Координатын тэнхлэгийг эргүүлэхэд /7/ тэгшитгэл Ax2  Bxy  Cy2  Dx  Ey  F   0 тэгшитгэлд шилжинэ.Энэ эргүүлэлт дараах инвариантуудтай. 1. F  F ; 2. A  C  A  C 3. B 2  4 AC  B2  4 AC Энд B =0 учир B 2  4 AC   4 AC Энэ хэмжигдэхүүнийг /7/ тэгшитгэлийн дискриминант гэнэ. tr: Ax2  Cy2  Dx  Ey  F   0 тэгшитгэлийн график 1. A  C бол тойрог 2. AC  0 бол парабол 3. AC  0 бол эллипс 4. AC  0 бол гипербол байна. Дискриминантын хувьд /7/ тэгшитгэл 1. B2  4 AC  0 бол эллипс 2. B2  4 AC  0 бол гипербол 3. B 2  4 AC  0 бол парабол Жишээ 2 x 2  10 xy  12 y 2  7 x  18 y  15  0 D  100  96  0 учир гипербол 9|Боловсруулсан багш Г. Эрдэнэчимэг