1. Батлав: .......................ПХТ-ийн эрхлэгч / Л.Батбилэг/
МТ102 Лекц -2
Функцийн бүтэн дифференциал
= ( , )функц өгөдсөн гэж үзье. Μ( , )-цэгээс Ν( + ∆ , + ∆ ) цэг рүү
шилжихэд гарах функцийн өөрчлөлтиййг функцийн бүтэн өөрчлөлт гэж нэрлээд
∆ -ээр тэмдэглэе:
∆ = (Ν) − (Μ) = ( + ∆ , + ∆ ) − ( , )
Одоо ( , ) функц . Μ( , ) цэг дээр тасралтгүй тухайн уламжлалуудтай гэж үзээд
функцийн бүтэн өөрчлөлтийг түүний тухайн уламжлалуудаар илэрхийлэх зорилго
тавья.Үүний тулд ∆ -ийг дараах хэлбэрт бичье.
∆ = [ ( + ∆ , + ∆ ) − ( , + ∆ )] + [ ( , + ∆ ) − ( , )]
-ийг бэхлэгдсэн гэж үзээд ( , + ∆ ) − ( , ) илэрхийллийг хялбарчлъя.Дундаж
утгын тухай Лагранжийн теоремыг ашиглавал:
( , + ∆ ) − ( , ) =
( , )
∙ ∆ , ∃ ( , + ∆ )
Мөн ( + ∆ , + ∆ ) − ( , + ∆ ) илэрхийллийн хувьд + ∆ -г тогтмол гэж
үзээд энэ теоремыг ашиглавал:
( + ∆ , + ∆ ) − ( , + ∆ ) =
( , + ∆ )
∆ , ( , + ∆ )
Тэгвэл ∆ дараах хэлбэрт шилжинэ.
∆ =
( , + ∆ )
∆ +
( , )
∆
Нөгөө талаас ∆ → 0 ба ∆ → 0 үед ̅ → , → болох нь илэрхий юм. Тухайн
уламжлалуудын тасралтгүй чанарыг ашиглан
( , ∆ )
ба
( , )
илэрхийллүүдэд
хязгаарт шилжиж болно. Үүнд:
lim
∆ →
∆ →
( , + ∆ )
=
( , )

2. Теорем (2.2)-ийг илэрхийлэлд ашиглавал:
( , + ∆ )
=
( , )
+ ,
( , )
=
( , )
+
Үүнд: lim
∆ →
∆ →
= 0 lim
∆ →
∆ →
= 0
Функцийн бүтэн өөрчлөлтийн томъёонд дээрх илэрхийллүүдийг орлуулбал:
∆ =
( , + ∆ )
∆ +
( , )
∆ + ∆ + ∆ , (1)
Одоо ∆ + ∆ -хэмжигдэхүүн нь ∆ → 0 ба ∆ → 0 үед
∆ = (∆ ) + (∆ ) → 0
-ийг бодвол дээд эрэмбийн багасгаж баграгдашгүй хэмжигдэхүүн гэдгийг харуулъя.
Үүний тулд дараах хязгаарыг бодож үнэлье.
lim
∆ →
∆ ∆
(∆ ) (∆ )
= lim
∆ →
∆
∆
+ lim
∆ →
∆
∆
Нөгөө талаас,
≤ 1, ≤ 1 тул lim
∆ →
∆
∆
= 0, lim
∆ →
∆
∆
= 0 болно.
Иймд lim
∆ →
∆ ∆
(∆ ) (∆ )
= 0 байна.Мөн ∆ -г дараах хэлбэрт бичиж болно.
∆ =
( , )
∆ +
( , )
∆ + ∆ , (2)
Үүнд =
∆ ∆
∆
, lim
∆ →
= 0
Хэрэв = ( , ) функцийн ( , ) цэг дээрх бүтэн өөрчлөлтийг
∆ = Α∆ + Β∆ + ∆ + ∆ (3)
Хэлбэрт тавьж болдог бол энэ функцийн тухайн ( , ) цэг дээр
дифференциалчлагддаг функц гэж нэрлэдэг.
Функцийн бүтэн өөрчлөлтийн ∆ , ∆ -тэй шугаман хэсэг болох Α∆ + Β∆
нэмэгдэхүүнийг бүтэн дифференциал гэж нэрлэж буюу -ээр тэмдэглэнэ.

3. ∆ = Α∆ + Β∆ (4)
Иймд функцийн дифференциал нь түүний бүтэн өөрчлөлтийн гол хэсэг болно.
∆ = + ∆ + ∆
Баталгаа:Функцийн дифференциалчлагдах чанараас шууд мөрдөн гарна. Үүнийг
шалгавал
lim
∆ →
∆ →
∆ = lim
∆ →
∆ →
[ ( + ∆ , + ∆ ) − ( , )] = lim
∆ →
∆ →
[Α∆ + Β∆ + ∆ + ∆ ] = 0
Энэ нь функц ( , ) цэг дээр тасралтгүй гэдгийг харуулж байна.
Баталгаа: (3) илэрхийлэлд ∆ = 0 гэж авбал:
∆ = Α∆ + ∆ болно. Тэнцэтгэлийн баруун ба зүүн талыг ∆ -д хувааж ∆ → 0
үед хязгаарт шилжвэл: lim∆ →
∆
∆
= Α
Үүнчлэн ∆ ба ∆ –нь аргументийн дурын өөрчлөлтүүд тул (3) тэнцэтгэлд ∆ = 0
гэж үзье. Тэгвэл ∆ = Β∆ + ∆ болох ба lim
∆ →
=0 тул lim
∆ →
∆
∆
= Β болно.
Теорем батдагдав.Одоо функц дифференциалчлагдах хүрэлцээтэй нөхцлийг авч
үзье.
Баталгаа: (1) томъёоны гаргалгаанаас шууд мөрдөж гарна.Учир нь (1) томъёо
буюу ∆ =
( , )
∆ +
( , )
∆ + ∆ + ∆ тэнцэтгэлийг функцийн тухайн
уламжлалууд тасралтгүй гэсэн нөхцөлд гарган авсан билээ. Тухайн
тохиолдолд = гэвэл = =
Болох ба = гэж үзвэл = ∆ болно. Иймд функцийн бүтэн дифференциалыг
∆ =
( , )
+
( , )
гэж тодорхойлно.Үүнтэй төсөөтэйгээр =
( , , … , ,)гэвэл -хувьсагчийн функцийн бүтэн дифференциал
Теорем 2.1 Хэрэв = ( , ) функц ( , ) цэг дээр дифференциалчлагддаг бол
энэ цэг дээр тасралтгүй байна.
Теорем 2.2 Хэрэв = ( , ) функц ( , ) цэг дээр дифференциалчлагддаг
бол Α =
( , )
, Β =
( , )
байна.
Теорем 2.3 Хэрэв өгөдсөн цэг дээрх функцийн тухайн уламжлалууд оршдог бөгөөд
тасралтгүй функцүүд бол функц энэ цэг дээр дифференциалчлагддана.

4. = + + ⋯ + хэлбэртэй байна.
Бүтэн дифференциалыг ойролцоо тоонд ашиглах
= ( , ) функц дифференциалчлагддаг болог.Тэгвэл функцийн бүтэн
өөрчлөлтийг дараах хэлбэрт тавьж болдог. ∆ = + ∙ ∆ буюу
( + ∆ , + ∆ ) − ( , ) =
( , )
∆ +
( , )
∆ + ∙ ∆
Нөгөө талаар lim
∆ →
∙ ∆ = 0 тул ∆ ба ∆ -н бага өөрчлөлтөнд функцийн бүтэн
өөрчлөлтийг түүний бүтэн дифференциалаар ойролцоогоор сольж болдог. Өөрөөр
хэлбэл ∆ ≈ буюу ( + ∆ , + ∆ ) − ( , ) ≈
( , )
∆ +
( , )
∆
Эндээс ( + ∆ , + ∆ ) ≈ ( , ) +
( , )
∆ +
( , )
∆ (4) гэж
гарна.
Давхар функцийн уламжлал ба дифференциал
∗ . = Ϝ( , )функцийн , хувьсагчууд нь ба -ээс хамаарсан функцүүд нь
= ( , ), = ψ( , ) гэж үзье.Тэгвэл - функц ба -с хамаарсан давхар функц
болно.
= Ϝ( , ) = Ϝ( ( , ), ψ( , )) = ( , )
Одоо Ϝ( , ), ( , ) ба ψ( , ) функцүүд нь тасралтгүй тухайн уламжлалуудтай
гэж үзээд, ба тухайн уламжлалуудыг олох зорилго тавья.Үүний тулд -
хувьсагчид ∆ өөрчлөлт өгч -хэмжигдэхүүнийг тогтмол гэж үзье. Тэгвэл ба
функцийн тухайн өөрчлөлтүүд нь ∆ = ( + ∆ , ) − ( , ) ,