Хялбар интегралчлагдах 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
•
7 likes•6,190 views
Хялбар интегралчлагдах 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to Хялбар интегралчлагдах 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Similar to Хялбар интегралчлагдах 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл (8)
More from Battur
More from Battur (13)
Хялбар интегралчлагдах 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
- 1. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл МАТЕМАТИК-2 Ердийн дифференциал тэгшитгэл Д.Баттөр 2010 оны 3-р сарын 24
- 2. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Агуулга 1 Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
- 3. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Тодорхойлт Хэрэв өгөгдсөн y = f (x, y) (1) тэгшитгэлд f (x, y) = φ(x) · ψ(y) хэлбэртэй байвал хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл гэнэ.
- 4. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Тодорхойлт Хэрэв өгөгдсөн y = f (x, y) (1) тэгшитгэлд f (x, y) = φ(x) · ψ(y) хэлбэртэй байвал хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл гэнэ. Энэ тохиолдолд y = φ(x) · ψ(y), эсвэл dy dx = φ(x) · ψ(y) болно.
- 5. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Эндээс, хувьсагчуудыг ялгаж (dy-ийн өмнөх коэффициент зөвхөн y-ийг, dx-ийн өмнөх коэффициент зөвхөн x-ийг агуулсан) dy ψ(y) = φ(x)dx хэлбэрт тэгшитгэлийг шилжүүлэх бөгөөд
- 6. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Эндээс, хувьсагчуудыг ялгаж (dy-ийн өмнөх коэффициент зөвхөн y-ийг, dx-ийн өмнөх коэффициент зөвхөн x-ийг агуулсан) dy ψ(y) = φ(x)dx хэлбэрт тэгшитгэлийг шилжүүлэх бөгөөд тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал уг тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь dy ψ(y) = φ(x)dx + C, C = const хэлбэрт бичигдэнэ.
- 7. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Жишээ y = 2xy тэгшитгэлийг бод.
- 8. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Жишээ y = 2xy тэгшитгэлийг бод. - Хувьсагчуудыг нь ялгавал: dy dx = 2xy
- 9. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Жишээ y = 2xy тэгшитгэлийг бод. - Хувьсагчуудыг нь ялгавал: dy dx = 2xy ⇒ dy y = 2xdx болно.
- 10. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Жишээ y = 2xy тэгшитгэлийг бод. - Хувьсагчуудыг нь ялгавал: dy dx = 2xy ⇒ dy y = 2xdx болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал ln |y| = x2 + C болно.
- 11. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Жишээ y = 2xy тэгшитгэлийг бод. - Хувьсагчуудыг нь ялгавал: dy dx = 2xy ⇒ dy y = 2xdx болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал ln |y| = x2 + C болно. Эндээс |y| = ex2+C
- 12. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Жишээ y = 2xy тэгшитгэлийг бод. - Хувьсагчуудыг нь ялгавал: dy dx = 2xy ⇒ dy y = 2xdx болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал ln |y| = x2 + C болно. Эндээс |y| = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2
- 13. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (2) хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг.
- 14. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (2) хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x) үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж
- 15. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (2) хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x) үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж φ(x) r(x) dx + s(y) ψ(y) dy = 0 хувьсагчуудыг нь ялгана.
- 16. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (2) хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x) үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж φ(x) r(x) dx + s(y) ψ(y) dy = 0 хувьсагчуудыг нь ялгана. Эндээс, интегралчилвал ерөнхий шийд
- 17. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (2) хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x) үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж φ(x) r(x) dx + s(y) ψ(y) dy = 0 хувьсагчуудыг нь ялгана. Эндээс, интегралчилвал ерөнхий шийд φ(x) r(x) dx + s(y) ψ(y) dy = C, C = const хэлбэрт бичигдэнэ.
- 18. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (2) хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x) үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж φ(x) r(x) dx + s(y) ψ(y) dy = 0 хувьсагчуудыг нь ялгана. Эндээс, интегралчилвал ерөнхий шийд φ(x) r(x) dx + s(y) ψ(y) dy = C, C = const хэлбэрт бичигдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, F(x, y, c) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлээр ерөнхий шийд илэрхийлэгдэнэ.
- 19. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Жишээ (1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.
- 20. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Жишээ (1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0 тэгшитгэлийг бод. - Хувьсагчуудыг нь ялгавал: dx 1 + x2 + dy 1 + y2 = 0 болно.
- 21. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Жишээ (1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0 тэгшитгэлийг бод. - Хувьсагчуудыг нь ялгавал: dx 1 + x2 + dy 1 + y2 = 0 болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал arctg x + arctg y = C болно.
- 22. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл f (tx, ty) = tn · f (x, y) (∗∗) тэнцэтгэл биелэх y = f (x, y) хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзье.
- 23. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл f (tx, ty) = tn · f (x, y) (∗∗) тэнцэтгэл биелэх y = f (x, y) хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзье.t = 1 x гэж авбал f (x, y) = f 1 x · x, 1 x · y = f 1, y x = φ y x хэлбэрт бичигдэнэ.
- 24. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл f (tx, ty) = tn · f (x, y) (∗∗) тэнцэтгэл биелэх y = f (x, y) хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзье.t = 1 x гэж авбал f (x, y) = f 1 x · x, 1 x · y = f 1, y x = φ y x хэлбэрт бичигдэнэ. Тодорхойлт y = φ y x (3) хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл гэнэ.
- 25. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Энэ тэгшитгэл нь y = y(x) функцийн оронд шинэ үл мэдэгдэх u = u(x) функцийг y x = u, y = u · x, y = u · x + u томъёогоор орлуулга хийвэл
- 26. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Энэ тэгшитгэл нь y = y(x) функцийн оронд шинэ үл мэдэгдэх u = u(x) функцийг y x = u, y = u · x, y = u · x + u томъёогоор орлуулга хийвэл(3) тэгшитгэл u · x + u = φ(u), x · du dx = φ(u) − u, du φ(u) − u = dx x ; хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлд шилжинэ.
- 27. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Энэ тэгшитгэл нь y = y(x) функцийн оронд шинэ үл мэдэгдэх u = u(x) функцийг y x = u, y = u · x, y = u · x + u томъёогоор орлуулга хийвэл(3) тэгшитгэл u · x + u = φ(u), x · du dx = φ(u) − u, du φ(u) − u = dx x ; хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлд шилжинэ.Сүүлчийн тэнцэтгэлийг интегралчлаад, улмаар u-ийг u = y/x томъёогоор олно.
- 28. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Энэ тэгшитгэл нь y = y(x) функцийн оронд шинэ үл мэдэгдэх u = u(x) функцийг y x = u, y = u · x, y = u · x + u томъёогоор орлуулга хийвэл(3) тэгшитгэл u · x + u = φ(u), x · du dx = φ(u) − u, du φ(u) − u = dx x ; хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлд шилжинэ.Сүүлчийн тэнцэтгэлийг интегралчлаад, улмаар u-ийг u = y/x томъёогоор олно. Хэрэв M(x, y) ба N(x, y) ижил зэрэгтэй нэгэн төрлийн функцүүд бол нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 хэлбэрт бичиж болно.
- 29. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ dy dx = y2−x2 2xy тэгшитгэлийг бод.
- 30. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ dy dx = y2−x2 2xy тэгшитгэлийг бод. - f (x, y) = y2 − x2 2xy = 1 2 · y x − 1 2 · y x байгаа учраас
- 31. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ dy dx = y2−x2 2xy тэгшитгэлийг бод. - f (x, y) = y2 − x2 2xy = 1 2 · y x − 1 2 · y x байгаа учраас y = u · x орлуулга хийхэд
- 32. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ dy dx = y2−x2 2xy тэгшитгэлийг бод. - f (x, y) = y2 − x2 2xy = 1 2 · y x − 1 2 · y x байгаа учраас y = u · x орлуулга хийхэд dy dx = x · du dx + u болох ба
- 33. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ dy dx = y2−x2 2xy тэгшитгэлийг бод. - f (x, y) = y2 − x2 2xy = 1 2 · y x − 1 2 · y x байгаа учраас y = u · x орлуулга хийхэд dy dx = x · du dx + u болох ба x · du dx + u = u2 − 1 2u ,
- 34. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ dy dx = y2−x2 2xy тэгшитгэлийг бод. - f (x, y) = y2 − x2 2xy = 1 2 · y x − 1 2 · y x байгаа учраас y = u · x орлуулга хийхэд dy dx = x · du dx + u болох ба x · du dx + u = u2 − 1 2u , x · du dx = u2 − 1 2u − u = − u2 + 1 2u ; болно.
- 35. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ dy dx = y2−x2 2xy тэгшитгэлийг бод. - f (x, y) = y2 − x2 2xy = 1 2 · y x − 1 2 · y x байгаа учраас y = u · x орлуулга хийхэд dy dx = x · du dx + u болох ба x · du dx + u = u2 − 1 2u , x · du dx = u2 − 1 2u − u = − u2 + 1 2u ; болно.Одоо сүүлчийн тэгшитгэлд хувьсагчуудыг ялгавал 2udu u2 + 1 = − dx x .
- 36. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ dy dx = y2−x2 2xy тэгшитгэлийг бод. - Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал ln(u2 + 1) = − ln x + ln C, u2 + 1 = C x ; болно.
- 37. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ dy dx = y2−x2 2xy тэгшитгэлийг бод. - Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал ln(u2 + 1) = − ln x + ln C, u2 + 1 = C x ; болно.Эцэст нь u-гийн оронд y x тавибал өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд y2 x2 + 1 = C x ,
- 38. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ dy dx = y2−x2 2xy тэгшитгэлийг бод. - Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал ln(u2 + 1) = − ln x + ln C, u2 + 1 = C x ; болно.Эцэст нь u-гийн оронд y x тавибал өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд y2 x2 + 1 = C x , ⇒ x2 + y2 = C · x хэлбэрт бичигдэнэ.
- 39. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Тодорхойлт Үл мэдэгдэх функц y(x) ба түүний уламжлал y (x)-ийг шугаман хэлбэрээр агуулсан a(x) · y + b(x) · y + c(x) = 0 (4) хэлбэрийн тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэл гэнэ.
- 40. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Тодорхойлт Хэрэв энэ тэгшитгэлийг a(x) = 0 коэффициентэд хуваавал уг тэгшитгэл y + p(x)y = f (x), энд p(x) = b(x) a(x) , f (x) = − c(x) a(x) (5) хэлбэрт тавигдана. Хэрэв f (x) = 0 бол нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэл f (x) = 0 бол нэгэн төрлийн биш шугаман тэгшитгэл
- 41. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлийг бодох (5) тэгшитгэлийн сул гишүүн f (x)-ийг орхиж, харгалзах нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэл z + p(x)z = 0, (∗ ) бодно.
- 42. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлийг бодох (5) тэгшитгэлийн сул гишүүн f (x)-ийг орхиж, харгалзах нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэл z + p(x)z = 0, (∗ ) бодно. Энэ нь ялгагдах тэгшитгэл тул
- 43. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлийг бодох (5) тэгшитгэлийн сул гишүүн f (x)-ийг орхиж, харгалзах нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэл z + p(x)z = 0, (∗ ) бодно. Энэ нь ялгагдах тэгшитгэл тул dz dx = −p(x)z, dz z = −p(x)dx,
- 44. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлийг бодох (5) тэгшитгэлийн сул гишүүн f (x)-ийг орхиж, харгалзах нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэл z + p(x)z = 0, (∗ ) бодно. Энэ нь ялгагдах тэгшитгэл тул dz dx = −p(x)z, dz z = −p(x)dx, ln |z| = − p(x)dx + ln C
- 45. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлийг бодох (5) тэгшитгэлийн сул гишүүн f (x)-ийг орхиж, харгалзах нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэл z + p(x)z = 0, (∗ ) бодно. Энэ нь ялгагдах тэгшитгэл тул dz dx = −p(x)z, dz z = −p(x)dx, ln |z| = − p(x)dx + ln C z = C · e− p(x)dx болно.
- 46. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлийг бодох Одоо нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийн шийд y = φ(x) · e− p(x)dx (∗ ∗ ∗) хэлбэртэй байхаар φ(x) функцийг олох зорилт тавина.
- 47. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлийг бодох Одоо нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийн шийд y = φ(x) · e− p(x)dx (∗ ∗ ∗) хэлбэртэй байхаар φ(x) функцийг олох зорилт тавина. (***) тэнцэтгэлээс y -ийг олж (5) тэгшитгэлд орлуулан тавибал φ · z1 + φ · z1 + p(x)φ · z1 = f ,
- 48. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлийг бодох Одоо нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийн шийд y = φ(x) · e− p(x)dx (∗ ∗ ∗) хэлбэртэй байхаар φ(x) функцийг олох зорилт тавина. (***) тэнцэтгэлээс y -ийг олж (5) тэгшитгэлд орлуулан тавибал φ · z1 + φ · z1 + p(x)φ · z1 = f , φ · z1 + φ · (z1 + p(x) · z1) = f болно.
- 49. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлийг бодох z1 нь (∗ ) тэгшитгэлийн шийд учраас z1 + p(x) · z1 = 0 ба
- 50. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлийг бодох z1 нь (∗ ) тэгшитгэлийн шийд учраас z1 + p(x) · z1 = 0 ба эндээс φ (x) = f (x) z1(x) , φ(x) = f (x) z1(x) dx + C,
- 51. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлийг бодох z1 нь (∗ ) тэгшитгэлийн шийд учраас z1 + p(x) · z1 = 0 ба эндээс φ (x) = f (x) z1(x) , φ(x) = f (x) z1(x) dx + C, эцсийн дүнд y = z1(x) · f (x) z1(x) dx + C · z1(x) хэлбэрээр (5) тэгшитгэлийн ерөнхий шийд олдоно.
- 52. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Жишээ y + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод.
- 53. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Жишээ y + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод. - Шугаман, нэгэн төрлийн биш тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд p(x) = 3, f (x) = e2x байна.
- 54. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Жишээ y + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод. - Шугаман, нэгэн төрлийн биш тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд p(x) = 3, f (x) = e2x байна. z + 3z = 0 тэгшитгэлийг бодъё.
- 55. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Жишээ y + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод. - Шугаман, нэгэн төрлийн биш тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд p(x) = 3, f (x) = e2x байна. z + 3z = 0 тэгшитгэлийг бодъё.Хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэл учраас dz z = −3dx,
- 56. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Жишээ y + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод. - Шугаман, нэгэн төрлийн биш тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд p(x) = 3, f (x) = e2x байна. z + 3z = 0 тэгшитгэлийг бодъё.Хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэл учраас dz z = −3dx, ⇒ ln |z| = −3x + ln |C1|,
- 57. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Жишээ y + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод. - Шугаман, нэгэн төрлийн биш тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд p(x) = 3, f (x) = e2x байна. z + 3z = 0 тэгшитгэлийг бодъё.Хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэл учраас dz z = −3dx, ⇒ ln |z| = −3x + ln |C1|, ⇒ z = C · e−3x
- 58. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Жишээ y + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод. - Шугаман, нэгэн төрлийн биш тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд p(x) = 3, f (x) = e2x байна. z + 3z = 0 тэгшитгэлийг бодъё.Хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэл учраас dz z = −3dx, ⇒ ln |z| = −3x + ln |C1|, ⇒ z = C · e−3x Одоо өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг y = ϕ(x) · e−3x хэлбэртэйгээр эрнэ.
- 59. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Жишээ y + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод.
- 60. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Жишээ y + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод. - Энэ тэнцэтгэлийг дифференциалчлахад y = ϕ (x) · e−3x − 3ϕ(x) · e−3x болох тул
- 61. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Жишээ y + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод. - Энэ тэнцэтгэлийг дифференциалчлахад y = ϕ (x) · e−3x − 3ϕ(x) · e−3x болох тул y, y -ийн энэ илэрхийллүдийг орлуулан тавьж ϕ (x) · e−3x = e2x , ϕ (x) = e5x , ⇒ dϕ(x) = e5x dx тэнцэтгэлд хүрэх ба
- 62. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Жишээ y + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод. - Энэ тэнцэтгэлийг дифференциалчлахад y = ϕ (x) · e−3x − 3ϕ(x) · e−3x болох тул y, y -ийн энэ илэрхийллүдийг орлуулан тавьж ϕ (x) · e−3x = e2x , ϕ (x) = e5x , ⇒ dϕ(x) = e5x dx тэнцэтгэлд хүрэх ба эндээс ϕ(x) = 1 5e5x + C2 гэж олдно.
- 63. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Жишээ y + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод. - Энэ тэнцэтгэлийг дифференциалчлахад y = ϕ (x) · e−3x − 3ϕ(x) · e−3x болох тул y, y -ийн энэ илэрхийллүдийг орлуулан тавьж ϕ (x) · e−3x = e2x , ϕ (x) = e5x , ⇒ dϕ(x) = e5x dx тэнцэтгэлд хүрэх ба эндээс ϕ(x) = 1 5e5x + C2 гэж олдно. Өгөгдсөн нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийн ерөнхий шийд y = C(x)·e−3x =
- 64. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Жишээ y + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод. - Энэ тэнцэтгэлийг дифференциалчлахад y = ϕ (x) · e−3x − 3ϕ(x) · e−3x болох тул y, y -ийн энэ илэрхийллүдийг орлуулан тавьж ϕ (x) · e−3x = e2x , ϕ (x) = e5x , ⇒ dϕ(x) = e5x dx тэнцэтгэлд хүрэх ба эндээс ϕ(x) = 1 5e5x + C2 гэж олдно. Өгөгдсөн нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийн ерөнхий шийд y = C(x)·e−3x = 1 5 e5x + C2 ·e−3x =
- 65. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Жишээ y + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод. - Энэ тэнцэтгэлийг дифференциалчлахад y = ϕ (x) · e−3x − 3ϕ(x) · e−3x болох тул y, y -ийн энэ илэрхийллүдийг орлуулан тавьж ϕ (x) · e−3x = e2x , ϕ (x) = e5x , ⇒ dϕ(x) = e5x dx тэнцэтгэлд хүрэх ба эндээс ϕ(x) = 1 5e5x + C2 гэж олдно. Өгөгдсөн нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийн ерөнхий шийд y = C(x)·e−3x = 1 5 e5x + C2 ·e−3x = 1 5 e2x +C2 ·e−3x олдоно.
- 66. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бернулли-ийн тэгшитгэл Тодорхойлт Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман биш тэгшитгэл y + p(x) · y = f (x) · yn , (n = 1) (6) -ийг Бернулли-ийн тэгшитгэл гэнэ.
- 67. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бернулли-ийн тэгшитгэл Тодорхойлт Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман биш тэгшитгэл y + p(x) · y = f (x) · yn , (n = 1) (6) -ийг Бернулли-ийн тэгшитгэл гэнэ. Бернулли-ийн тэгшитгэлийг бодох: (6) тэгшитгэлийг yn функцэд хуваана
- 68. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бернулли-ийн тэгшитгэл Тодорхойлт Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман биш тэгшитгэл y + p(x) · y = f (x) · yn , (n = 1) (6) -ийг Бернулли-ийн тэгшитгэл гэнэ. Бернулли-ийн тэгшитгэлийг бодох: (6) тэгшитгэлийг yn функцэд хуваана y1−n = u(x),
- 69. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бернулли-ийн тэгшитгэл Тодорхойлт Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман биш тэгшитгэл y + p(x) · y = f (x) · yn , (n = 1) (6) -ийг Бернулли-ийн тэгшитгэл гэнэ. Бернулли-ийн тэгшитгэлийг бодох: (6) тэгшитгэлийг yn функцэд хуваана y1−n = u(x), y yn = u (x) 1−n орлуулга хийж, шугаман тэгшитгэлд шилжүүлнэ
- 70. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бернулли-ийн тэгшитгэл Тодорхойлт Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман биш тэгшитгэл y + p(x) · y = f (x) · yn , (n = 1) (6) -ийг Бернулли-ийн тэгшитгэл гэнэ. Бернулли-ийн тэгшитгэлийг бодох: (6) тэгшитгэлийг yn функцэд хуваана y1−n = u(x), y yn = u (x) 1−n орлуулга хийж, шугаман тэгшитгэлд шилжүүлнэ Үүсэх шигаман тэгшитгэлд бодож шийдийг олно.
- 71. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бернулли-ийн тэгшитгэл Тодорхойлт Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман биш тэгшитгэл y + p(x) · y = f (x) · yn , (n = 1) (6) -ийг Бернулли-ийн тэгшитгэл гэнэ. Бернулли-ийн тэгшитгэлийг бодох: (6) тэгшитгэлийг yn функцэд хуваана y1−n = u(x), y yn = u (x) 1−n орлуулга хийж, шугаман тэгшитгэлд шилжүүлнэ Үүсэх шигаман тэгшитгэлд бодож шийдийг олно. u(x) = y1−n орлуулга хийж анхны тэгшитгэлийн шийдийг олно.
- 72. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бернулли-ийн тэгшитгэл Тодорхойлт Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман биш тэгшитгэл y + p(x) · y = f (x) · yn , (n = 1) (6) -ийг Бернулли-ийн тэгшитгэл гэнэ. Бернулли-ийн тэгшитгэлийг бодох: (6) тэгшитгэлийг yn функцэд хуваана y1−n = u(x), y yn = u (x) 1−n орлуулга хийж, шугаман тэгшитгэлд шилжүүлнэ Үүсэх шигаман тэгшитгэлд бодож шийдийг олно. u(x) = y1−n орлуулга хийж анхны тэгшитгэлийн шийдийг олно.
- 73. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Жишээ y − xy = x3y2 тэгшитгэлийг бод.
- 74. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Жишээ y − xy = x3y2 тэгшитгэлийг бод. - Энэ тэнцэтгэлийг y2-д хуваавал
- 75. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Жишээ y − xy = x3y2 тэгшитгэлийг бод. - Энэ тэнцэтгэлийг y2-д хуваавал y y2 − x y = x3 болно.
- 76. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Жишээ y − xy = x3y2 тэгшитгэлийг бод. - Энэ тэнцэтгэлийг y2-д хуваавал y y2 − x y = x3 болно. 1 y = u, y y2 = u 1−2 гэж орлуулбал −u − xu = x3 болно.
- 77. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Жишээ y − xy = x3y2 тэгшитгэлийг бод. - Энэ тэнцэтгэлийг y2-д хуваавал y y2 − x y = x3 болно. 1 y = u, y y2 = u 1−2 гэж орлуулбал −u − xu = x3 болно. Одоо −u − xu = x3 тэгшитгэлийг бодож шийдийг олох ба u = 1 y орлуулгыг хийснээр шийд олдоно.
- 78. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Ф.Рикатти-ийн тэгшитгэл Тодорхойлт Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман биш y = p(x)y2 + q(x)y + r(x) (7) -ийг Рикатти-ийн тэгшитгэл гэнэ.
- 79. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Ф.Рикатти-ийн тэгшитгэл Тодорхойлт Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман биш y = p(x)y2 + q(x)y + r(x) (7) -ийг Рикатти-ийн тэгшитгэл гэнэ. Рикатти-ийн тэгшитгэлийг бодох: (7)-ийн тэгшитгэл нь ерөнхий тохиолдолд интегралчлалаар шийдийг олж болохгүй ангилалд ордог. Гэхдээ, хэрэв энэ тэгшитгэлийн аль нэгэн тухайн шийд y1(x) нь ямар нэгэн арга замаар олдсон байвал y = y1 + 1 z(x) орлуулга хийснээр шугаман тэгшитгэлд шилжинэ: z + (2py1 + q)z = −p
- 80. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Уламжлалын хувьд бодогдсон нэгдүгээр эрэмбийн y = f (x, y) хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлд уламжлалын y = dy dx илэрхийллийг ашиглаж өгөгдсөн тэгшитгэлийг M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (∗ ∗ ∗∗) хэлбэрт бичиж болно.
- 81. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Уламжлалын хувьд бодогдсон нэгдүгээр эрэмбийн y = f (x, y) хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлд уламжлалын y = dy dx илэрхийллийг ашиглаж өгөгдсөн тэгшитгэлийг M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (∗ ∗ ∗∗) хэлбэрт бичиж болно.Буцаагаад, (****) хэлбэрт бичигдсэн тэгшитгэлийг M(x, y) илэрхийлэлд гишүүнчлэн хуваах замаар y = f (x, y) хэлбэрт оруулж болно.
- 82. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Уламжлалын хувьд бодогдсон нэгдүгээр эрэмбийн y = f (x, y) хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлд уламжлалын y = dy dx илэрхийллийг ашиглаж өгөгдсөн тэгшитгэлийг M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (∗ ∗ ∗∗) хэлбэрт бичиж болно.Буцаагаад, (****) хэлбэрт бичигдсэн тэгшитгэлийг M(x, y) илэрхийлэлд гишүүнчлэн хуваах замаар y = f (x, y) хэлбэрт оруулж болно. Тодорхойлт Хэрэв (****) тэгшитгэлийн хувьд du(x, y) = M(x, y)dx + N(x, y)dy тэнцэтгэлийг хангах u(x, y) функц оршин байвал уг тэгшитгэл нь бүтэн дифференциалт тэгшитгэл гэнэ.
- 83. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Уламжлалын хувьд бодогдсон нэгдүгээр эрэмбийн y = f (x, y) хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлд уламжлалын y = dy dx илэрхийллийг ашиглаж өгөгдсөн тэгшитгэлийг M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (∗ ∗ ∗∗) хэлбэрт бичиж болно.Буцаагаад, (****) хэлбэрт бичигдсэн тэгшитгэлийг M(x, y) илэрхийлэлд гишүүнчлэн хуваах замаар y = f (x, y) хэлбэрт оруулж болно. Тодорхойлт Хэрэв (****) тэгшитгэлийн хувьд du(x, y) = M(x, y)dx + N(x, y)dy тэнцэтгэлийг хангах u(x, y) функц оршин байвал уг тэгшитгэл нь бүтэн дифференциалт тэгшитгэл гэнэ.
- 84. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Энэ тохиолдолд (****) тэгшитгэл du(x, y) = 0 хэлбэрт бичигдэж болох ба, эндээс, шийд u(x, y) = C = const байна.
- 85. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Энэ тохиолдолд (****) тэгшитгэл du(x, y) = 0 хэлбэрт бичигдэж болох ба, эндээс, шийд u(x, y) = C = const байна. Өгөгдсөн (****) тэгшитгэл бүтэн дифференциалт тэгшитгэл байгаа, эсэхийг шалгах:
- 86. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Энэ тохиолдолд (****) тэгшитгэл du(x, y) = 0 хэлбэрт бичигдэж болох ба, эндээс, шийд u(x, y) = C = const байна. Өгөгдсөн (****) тэгшитгэл бүтэн дифференциалт тэгшитгэл байгаа, эсэхийг шалгах: M(x, y)dx + N(x, y)dy илэрхийлэл ямар нэгэн u(x, y) функцийн бүтэн дифференциал нь байхын зайлшгүй ба хүрэлцээтэй нөхцөл бол ∂M(x, y) ∂y = ∂N(x, y) ∂x (8) тэнцэтгэл биелэгдэхэд оршино.
- 87. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Энэ тохиолдолд (****) тэгшитгэл du(x, y) = 0 хэлбэрт бичигдэж болох ба, эндээс, шийд u(x, y) = C = const байна. Өгөгдсөн (****) тэгшитгэл бүтэн дифференциалт тэгшитгэл байгаа, эсэхийг шалгах: M(x, y)dx + N(x, y)dy илэрхийлэл ямар нэгэн u(x, y) функцийн бүтэн дифференциал нь байхын зайлшгүй ба хүрэлцээтэй нөхцөл бол ∂M(x, y) ∂y = ∂N(x, y) ∂x (8) тэнцэтгэл биелэгдэхэд оршино. Энэ нөхцөл биелэгдэж байвал ∂u ∂x = M(x, y), ∂u ∂y = N(x, y) (9)
- 88. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл (9) системийн эхний тэгшитгэлийг x-ээр интегралчлавал u(x, y) = M(x, y)dx + φ(y), (10)
- 89. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл (9) системийн эхний тэгшитгэлийг x-ээр интегралчлавал u(x, y) = M(x, y)dx + φ(y), (10) ба энд байгаа φ(y) нь зөвхөн y-ээс хамаарах дурын (дифференциалчлагдах) функц юм.
- 90. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл (9) системийн эхний тэгшитгэлийг x-ээр интегралчлавал u(x, y) = M(x, y)dx + φ(y), (10) ба энд байгаа φ(y) нь зөвхөн y-ээс хамаарах дурын (дифференциалчлагдах) функц юм. Одоо (10) томъёогоор илэрхийлэгдэх u(x, y) функц (9) системийн хоёрдахь тэгшитгэлд хангаж байхаар φ(y) функцийг сонгож авъя: ∂u ∂y = ∂ ∂y M(x, y)dx + φ (y) = N(x, y), (11)
- 91. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Энэ тэгшитгэлээс φ (y) -ийг олж, улмаар интегралчлах замаар φ(y)-ийг олно.
- 92. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Энэ тэгшитгэлээс φ (y) -ийг олж, улмаар интегралчлах замаар φ(y)-ийг олно. Ингэж олдсон φ(y)-ийг (10) томъёонд орлуулж тавихад u(x, y) функц олдоно.
- 93. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Жишээ (3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.
- 94. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Жишээ (3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 тэгшитгэлийг бод. - (3x2 + 6xy2) = M(x, y), (6x2y + 4y3) = N(x, y) ба
- 95. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Жишээ (3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 тэгшитгэлийг бод. - (3x2 + 6xy2) = M(x, y), (6x2y + 4y3) = N(x, y) ба ∂M(x, y) ∂y = ∂N(x, y) ∂x = 12xy тул бүтэн дифференциал тэгшитгэл байна.
- 96. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Жишээ (3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 тэгшитгэлийг бод. - (3x2 + 6xy2) = M(x, y), (6x2y + 4y3) = N(x, y) ба ∂M(x, y) ∂y = ∂N(x, y) ∂x = 12xy тул бүтэн дифференциал тэгшитгэл байна. u = (3x2 + 6xy2 )dx = x3 + 3x2 y2 + φ(y) болно.
- 97. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Жишээ (3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.
- 98. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Жишээ (3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 тэгшитгэлийг бод. - Эндээс y-р уламжлал авбал 6x2 y + φ (y) = 6x2 y + 4y3 тул
- 99. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Жишээ (3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 тэгшитгэлийг бод. - Эндээс y-р уламжлал авбал 6x2 y + φ (y) = 6x2 y + 4y3 тул φ(y) = 4 y3 dy = y4 болно.
- 100. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Жишээ (3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 тэгшитгэлийг бод. - Эндээс y-р уламжлал авбал 6x2 y + φ (y) = 6x2 y + 4y3 тул φ(y) = 4 y3 dy = y4 болно. Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийн шийд x3 + 3x2 y2 + y4 = C
- 101. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Хэрэв (****) тэгшитгэлийн зүүн тал дахь илэрхийлэл бүтэн дифференциал биш ∂M ∂y ≡ ∂N ∂x байвал интегралчлагч үржигдэхүүн гэж нэрлэгдэх µ = µ(x, y) функцийг µ(Mdx + Ndy) илэрхийлэл бүтэн дифференциал байхаар, олж болно.
- 102. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Хэрэв (****) тэгшитгэлийн зүүн тал дахь илэрхийлэл бүтэн дифференциал биш ∂M ∂y ≡ ∂N ∂x байвал интегралчлагч үржигдэхүүн гэж нэрлэгдэх µ = µ(x, y) функцийг µ(Mdx + Ndy) илэрхийлэл бүтэн дифференциал байхаар, олж болно. Интегралчлагч үржигдэхүүн: 1 N ∂M ∂y − ∂N ∂x = φ(x) гэвэл ln µ(x) = φ(x)dx 1 M ∂N ∂x − ∂M ∂y = ψ(y) гэвэл ln µ(y) = ψ(y)dy
- 103. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Жишээ (x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод.
- 104. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Жишээ (x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод. - x2 − y = M(x, y), N(x, y) = x ба
- 105. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Жишээ (x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод. - x2 − y = M(x, y), N(x, y) = x ба ∂M(x, y) ∂y = −1; ∂N(x, y) ∂x = 1 тул интегралчлагч үржигдэхүүнийг олъё.
- 106. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Жишээ (x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод. - x2 − y = M(x, y), N(x, y) = x ба ∂M(x, y) ∂y = −1; ∂N(x, y) ∂x = 1 тул интегралчлагч үржигдэхүүнийг олъё. φ(x) = 1 N ∂M ∂y − ∂N ∂x = − 2 x
- 107. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Жишээ (x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод. - x2 − y = M(x, y), N(x, y) = x ба ∂M(x, y) ∂y = −1; ∂N(x, y) ∂x = 1 тул интегралчлагч үржигдэхүүнийг олъё. φ(x) = 1 N ∂M ∂y − ∂N ∂x = − 2 x ln µ(x) = − 2 x dx = −2 ln x = ln x−2
- 108. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Жишээ (x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод. - x2 − y = M(x, y), N(x, y) = x ба ∂M(x, y) ∂y = −1; ∂N(x, y) ∂x = 1 тул интегралчлагч үржигдэхүүнийг олъё. φ(x) = 1 N ∂M ∂y − ∂N ∂x = − 2 x ln µ(x) = − 2 x dx = −2 ln x = ln x−2 ⇒ µ(x) = 1 x2
- 109. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Жишээ (x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод.
- 110. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Жишээ (x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод. - µ(x) = 1 x2 -р үржүүлбэл (1 − y x2 )dx + 1 x dy = 0 тэгшитгэлд шилжүүллээ.
- 111. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Жишээ (x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод. - µ(x) = 1 x2 -р үржүүлбэл (1 − y x2 )dx + 1 x dy = 0 тэгшитгэлд шилжүүллээ.y-р интегралчибал u = 1 x dy = y x + φ(x) болно.
- 112. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Жишээ (x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод. - µ(x) = 1 x2 -р үржүүлбэл (1 − y x2 )dx + 1 x dy = 0 тэгшитгэлд шилжүүллээ.y-р интегралчибал u = 1 x dy = y x + φ(x) болно. x-р дифференциалбал 1 − y x2 = − y x2 + φ (x)
- 113. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Жишээ (x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод.
- 114. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл Жишээ (x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод. - φ (x) = 1