zasah huvilbar

1. 1
6-р бүлэг тодорхой бус интеграл
1-р хэсэг Эх функц ба тодорхой бус интеграл
Дифференциал тоололын үндсэн бодлогуудын нэг бол өгөгдсөн
функцийн уламжлалыг олох асуудал байдаг бол математик, техник,
байгал, шинжлэлийн олон асуудлыг судлахад функцийн уламжлал ба
дифференциал нь мэдэгдэж байхад уул функцийг олох асуудал
тавигддаг үүнтэй уялдан эх функцийн тухай ухагдахуун гарч ирдэг.
Хэрэв өгөгдсөн завсрын аль ч цэг дээр
𝐹′( 𝑥) = 𝑓( 𝑥) (1)
𝑑𝐹( 𝑥) = 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 (2)
биелдэг бол 𝐹( 𝑥) функцийг 𝑓( 𝑥) функцийн эх функц гэж нэрлэнэ.
Жишээлбэл: 𝐹( 𝑥) = sin 𝑥 нь 𝑓( 𝑥) = cos 𝑥 -ийн эх функц болох учир
(sin 𝑥)′
= cos 𝑥
ln 𝑥 функц нь
1
𝑥
–ийн эх функц болно. Учир нь (ln 𝑥)′
=
1
𝑥
( 𝑥 > 0).
Өгөгдсөн функц 𝑓( 𝑥)-ээр түүний эх функц 𝐹( 𝑥)-ийг олох бодлого бол
интеграл тоололын үндсэн бодлогуудын нэг болно. Үүнтэй уялдан дурын
функцийн эх функц оршин байх уу? Хэрэв эх функц нь оршин байвал тэр
нь ганц байх уу, олон байх уу гэдэг асуудал гарч ирнэ. Үүний 1-р нь
өгөгдсөн завсарт тасралтгүй функц бүр уул завсартаа эх функцтэй байна.
Хэрэв функцэд эх функц оршин байвал тэр нь нэг утгатай биш байна.
𝐹′ ( 𝑥) = 𝑓( 𝑥) бол ( 𝐹( 𝑥) + 𝐶)′
= 𝑓( 𝑥) тул 𝐹( 𝑥) нь 𝑓( 𝑥)-ийн эх функц бол
𝐹( 𝑥) + 𝐶 (𝐶-дурын тогтмол тоо) мөн эх функц болох нь харагдаж байна.
Жишээ нь: 𝑓( 𝑥) = 3𝑥2
бол 𝐹( 𝑥) = 𝑥3
, 𝐹( 𝑥) = 𝑥3
+ 10 , 𝐹( 𝑥) = 𝑥3
− 5 ,
𝐹( 𝑥) = 𝑥3
+ √2 бүгд 𝑓( 𝑥) = 3𝑥2
-ийн эх функц болно.
Иймд хэрэв 𝑓( 𝑥) функцэд эх функц оршин байвал тэр төгсгөлгүй олон
байна.
Теорем: Хэрэв 𝑓( 𝑥) функцэд тухайн завсарт эх функц 𝐹( 𝑥) оршиж
байвал түүний өөр ямар ч эх функц нь мөн завсарт 𝐹( 𝑥) + 𝐶 (𝐶-дурын
тогтмол тоо) хэлбэртэй байна.

2. 2
Баталгаа. 𝜙( 𝑥), 𝐹( 𝑥) нь 𝑓( 𝑥)-ийн хоёр өөр эх функцүүд байг
[ 𝜙( 𝑥) − 𝐹( 𝑥)]′
= 𝜙′( 𝑥) − 𝐹′( 𝑥) = 𝑓( 𝑥) − 𝑓( 𝑥) = 0
тул 𝜙( 𝑥) − 𝐹( 𝑥) = 𝐶 тогтмол тоо байжээ. Иймд 𝜙( 𝑥) = 𝐹( 𝑥) + 𝐶 болж
теорем батлагдав.
Тодорхойлолт: Өгөгдсөн 𝑓( 𝑥) функцийг эх функцүүдийн олонлогийг олох
үйлдлийг 𝑓( 𝑥) функцийн тодорхойгүй интеграл гэж нэрлээд ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 гэж
тэмдэглэнэ. ∫–нь тодорхойгүй интегралын тэмдэг, 𝑓( 𝑥) -ийг интеграл
доорхи функц, 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 -нь интеграл доорхи илэрхийлэл, 𝑥-ийг
интегралчлагч хувьсагч гэнэ.
Жишээ нь: ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶 ∫ 3𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑥3
+ 𝐶
тодорхойлолт ёсоор ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹( 𝑥) + 𝐶 байна. (𝐶-дурын тогтмол тоо)
Энэ нь 𝑓( 𝑥)-ийн бүх эх функцүүдийн олонлог байна.
& 1. Тодорхой бус интегралын чанарууд
1. Тодорхой бус интеграл нь эх функц байх тул түүнээс уламжлал
авч болох ба тэр нь интегралын доорхи функцтэйгээ тэнцүү
байна. (∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥)′
= ( 𝐹( 𝑥) + 𝐶)′
= 𝐹′( 𝑥) + 𝐶′
= 𝑓( 𝑥) + 0 = 𝑓( 𝑥)
2. 𝑑(∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥) = 𝑑( 𝐹( 𝑥) + 𝐶) = 𝑑𝐹( 𝑥) = 𝐹′( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
3. ∫ 𝑑𝐹( 𝑥) = 𝐹( 𝑥) + 𝐶 (тодорхойгүй интеграл нь
дифференциалчлахын урвуу үйлдэл учир 3-р чанар үнэн байна)
4. ∫ 𝐹′ ( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹( 𝑥) + 𝐶. учир нь ∫ 𝐹′( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝐹( 𝑥) = 𝐹( 𝑥) + 𝐶.
5. ∫ 𝑘𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = ( 𝑘𝐹( 𝑥))
′
= 𝑘𝐹′( 𝑥) = 𝑘𝑓( 𝑥) тул тодорхой
бус интегралын тодорхойлолтоор 𝑘 ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘( 𝐹 ( 𝑥) + 𝐶) =
𝑘𝐹( 𝑥) + 𝑘𝐶 = 𝑘𝐹( 𝑥) + 𝐶 ∗
= ∫ 𝑘𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 болж батлагдав.
6. ∫[ 𝑓( 𝑥) ± 𝜑( 𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝜑( 𝑥) 𝑑𝑥 байна. Баталгаа. 𝐹( 𝑥) ба
𝜙( 𝑥) нь харгалзан 𝑓( 𝑥), 𝜑( 𝑥) -ийн эх функц байг. Өөрөөр хэлбэл
𝐹′ ( 𝑥) = 𝐹( 𝑥) 𝜙′( 𝑥) = 𝜑( 𝑥) байг. Энэ үед 𝐹( 𝑥) ± 𝜙( 𝑥) нь 𝑓( 𝑥) ±
𝜑( 𝑥) -ийн эх функц болно. Иймээс ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝜑( 𝑥) 𝑑𝑥 =

3. 3
[ 𝐹( 𝑥) + 𝐶1
]± [ 𝜙( 𝑥) + 𝐶2
] = [ 𝐹( 𝑥) ± 𝜙( 𝑥)] + [ 𝐶1 ± 𝐶2
] = [ 𝐹( 𝑥) +
𝜙( 𝑥)] + 𝐶 = ∫[ 𝑓( 𝑥) ± 𝜑( 𝑥)] 𝑑𝑥 [ 𝐶1 ± 𝐶2 = 𝐶 гэв]
7. ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹( 𝑥) + 𝐶 бол ∫ 𝑓( 𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 =
1
𝑎
𝐹( 𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 байна.
& 2. Тодорхой бус интегралын таблицууд
Энэ таблиц нь тодорхой бус интеграл бодход чухал ач холбогдолтой тул
түүнийг сайтар чээжлэх ёстой.
1. ∫ 𝑥 𝛼
𝑑𝑥 =
𝑥 𝛼+1
𝛼+1
+ 𝐶 ( 𝛼 ≠ −1) учир нь (
𝑥 𝛼 +1
𝛼+1
+ 𝐶)
′
= 𝑥 𝛼
тул томъёо
зөв цаашид бүх томъёо зөв болохыг үүний адилаар батлаж
болно.
2. ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln| 𝑥| + 𝐶
3. ∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥
+ 𝐶
4. ∫ 𝑎 𝑥
𝑑𝑥 =
𝑎 𝑥
ln 𝑎
+ 𝐶
5. ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶
6. ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶
7. ∫ sec2
𝑥 𝑑𝑥 = tg 𝑥 + 𝐶
8. ∫ cosec2
𝑥 𝑑𝑥 = Ctg 𝑥 + 𝐶
9. ∫
1
𝑥2 +𝑎2
𝑑𝑥 =
1
𝑎
arctg
𝑥
𝑎
+ 𝐶 𝑎 ≠ 0
10. ∫
1
𝑥2 −𝑎2
𝑑𝑥 =
1
2𝑎
ln|
𝑥−𝑎
𝑥+𝑎
| + 𝐶 𝑎 ≠ 0
11. ∫
1
√ 𝑎2−𝑥2
𝑑𝑥 = arc sin
𝑥
𝑎
+ 𝐶
12. ∫
1
√ 𝑥2 −𝑎2
𝑑𝑥 = ln| 𝑥 + √𝑥2 − 𝑎2 | + 𝐶
13. ∫
1
√ 𝑥2 +𝑎2
𝑑𝑥 = ln| 𝑥 + √𝑥2 + 𝑎2 | + 𝐶
14. ∫ sh 𝑥 𝑑𝑥 = ch 𝑥 + 𝐶
15. ∫
1
sh2 𝑥
𝑑𝑥 = − cth 𝑥 + 𝐶
16. ∫ ch 𝑥 𝑑𝑥 = sh 𝑥 + 𝐶

4. 4
17. ∫
1
ch2 𝑥
𝑑𝑥 = − th 𝑥 + 𝐶
18. ∫ tg 𝑥 𝑑𝑥 = − ln|cos 𝑥| + 𝐶
19. ∫ Ctg 𝑥 𝑑𝑥 = ln|sin 𝑥| + 𝐶
20. ∫
1
sin 𝑥
𝑑𝑥 = ln|tg
𝑥
2
| + 𝐶
21. ∫
1
cos 𝑥
𝑑𝑥 = ln|tg (
π
4
+
𝑥
2
)| + 𝐶
22. ∫ √𝑥2 + 𝑚𝑑𝑥 =
1
2
( 𝑥√𝑥2 + 𝑚 + 𝑚𝑙𝑛)( 𝑙𝑥 + √𝑥2 + 𝑚) + 𝐶
23. ∫ √𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥 =
1
2
( 𝑥√𝑎2 − 𝑥2 + 𝑎2
arcsin
𝑥
𝑎
) + 𝐶
& 3. Тодортой бус интеграл бодох аргууд.
Тодорхой бус интеграл бодохдоо ямар нэг аргаар таблицын интегралд
шилжүүлж боддог.
a) Интегралын доорхи функцийг хувиргах буюу задлах арга. Энэ арга нь
интегралын доорхи илэрхийллийн тэнцүү байдлыг хадгалан
хувиргалт хийх замаар хялбар интегралд шилжүүлэн бодох арга юм.
Жишээ нь
1. ∫(2 − 3√𝑥)
2
𝑑𝑥 = ∫(4 − 12√𝑥 + 9𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 4𝑑𝑥 − ∫ 12𝑥
1
2 𝑑𝑥 +
∫ 9𝑥𝑑𝑥 = 4𝑥 − 12 ∙
𝑥1 .5
1.5
+ 9
𝑥2
2
+ 𝐶
2. ∫
𝑑𝑥
𝑥2(4+𝑥2)
=
1
4
∫
4
𝑥2(4+𝑥2)
𝑑𝑥 =
1
4
∫
4+𝑥2−𝑥2
𝑥2(4+𝑥2)
𝑑𝑥 =
1
4
∫(
4+𝑥2
𝑥2(4+𝑥2)
−
𝑥2
𝑥2(4+𝑥2)
) 𝑑𝑥 =
1
4
∫
1
𝑥2
𝑑𝑥 −
1
4
∫
1
4+𝑥2
𝑑𝑥 = −
1
4
∙
1
𝑥
−
1
8
arctg
𝑥
2
+ 𝐶
3. ∫
1
𝑥 √𝑥
3 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
−
4
3 𝑑𝑥 = −
3
√𝑥
3 + 𝐶
4. ∫
sin3
𝑥
cos 𝑥
𝑑𝑥 = ∫
(1−cos2 𝑥) sin 𝑥
cos 𝑥
𝑑𝑥 = − ∫
(1−cos2 𝑥)
cos 𝑥
𝑑(cos 𝑥) = − ∫ (
1
cos 𝑥
−
cos 𝑥) 𝑑(cos 𝑥) = − ln|cos 𝑥| +
cos2
𝑥
2
+ 𝐶 гэх мэтээр бодох арга юм.
b) Хувьсагчийг орлуулан интегралчлах арга ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥-ийг бодход
төвөгтэй байх үед түүнийг хувьсагч 𝑥-ийг

5. 5
1-рт 𝜑 𝑡′( 𝑡)- оршин байх
2-рт 𝑡 = 𝜓( 𝑥) урвуу функц нь оршин байх 𝑥 = 𝜑( 𝑡) функцээр орлуулан
хялбар интегралд шилжүүлэн бодох арга юм. 𝑥 = 𝜑( 𝑡) тул 𝑑𝑥 =
𝜑′( 𝑡) 𝑑𝑡 болохоос ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓[ 𝜑( 𝑡)] 𝜑′( 𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐹1
( 𝑡) + 𝐶 = 𝐹1 ( 𝜓( 𝑥)) + 𝐶
болж бодогдоно. Учир нь хэрэв 𝐹( 𝑥) нь 𝑓( 𝑥)-ийн эх функц бол 𝐹( 𝜑( 𝑡))
нь 𝑓[ 𝜑( 𝑡)] 𝜑′( 𝑡)-ийн эх функц болно гэдгийг харуулъя.
[ 𝐹( 𝜑( 𝑡))] 𝑡
′
= 𝐹𝑥
′ [ 𝜑( 𝑡)] ∙ 𝜑 𝑡
′( 𝑡) = 𝑓[ 𝜑( 𝑡)] 𝜑′( 𝑡)
Иймд ∫ 𝑓( 𝜑( 𝑡)) 𝜑′( 𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐹[ 𝜓( 𝑡)] + 𝐶 = 𝐹( 𝑥) + 𝐶 = ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
Жишээ: ∫
𝑥3
( 𝑥−1)2
𝑑𝑥 бодохдоо 𝑥 − 1 = 𝑡 гэж орлуулбал 𝑥 = 𝑡 + 1 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡
∫
𝑥3
( 𝑥−1)2
𝑑𝑥 = ∫
( 𝑡+1)3
𝑡2
𝑑𝑡 = ∫
𝑡3
+3𝑡2
+3𝑡+1
𝑡2
𝑑𝑡 = ∫ ( 𝑡 + 3 +
3
𝑡
+ 𝑡−2) 𝑑𝑡 =
𝑡2
2
+
3𝑡2
+ 3 ln| 𝑡| −
1
𝑡
+ 𝐶 =
( 𝑥−1)2
2
+ 3( 𝑥 − 1) + 3ln| 𝑥 − 1| −
1
𝑥−1
+ 𝐶
∫
𝑒 𝑥
√4−𝑒2𝑥
𝑑𝑥 үүнийг бодохын тулд 𝑒 𝑥
= 𝑡 гэе 𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 тул ∫
𝑒 𝑥
√4−𝑒2𝑥
𝑑𝑥 =
∫
𝑑𝑡
√4−𝑡2
= arcsin
𝑡
2
+ 𝐶 = arcsin
𝑒 𝑥
2
+ 𝐶
∫ √9 − 𝑥2 𝑑𝑥 үүнд 𝑥 = 3sin 𝑡 гэсэн орлуулга хэрэглэвэл 𝑑𝑥 =
3 cos 𝑡𝑑𝑡 𝑡 = arcsin
𝑥
3
тул ∫ √9 − 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ √9 − 9sin2 𝑡 ∙ 3 cos 𝑡 𝑑𝑡 =
4.5 ∫(1 + cos 2𝑡) 𝑑𝑡 = 4.5[∫ 𝑑𝑡 +
1
2
∫ cos 2𝑡𝑑(2𝑡)] = 4.5 ( 𝑡 +
1
2
sin2𝑡) + 𝐶 =
4.5 (arcsin
𝑥
3
+
1
2
arccos
𝑥
3
(sin2 𝑎𝑟𝑐sin
𝑥
3
)) + 𝐶 = 4.5(arcsin
𝑥
3
+
sin(arcsin
𝑥
3
)cos (arcsin
𝑥
3
)) + 𝐶 = 4.5(arcsin
𝑥
3
+
𝑥
3
√1 −
𝑥2
9
) +
𝐶 ∫ cos3
𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ cos3
𝑥 𝑑(cos 𝑥) = |cos 𝑥 = 𝑡 гэвэл| =
− ∫ 𝑡3
𝑑𝑡 = −
𝑡4
4
+ 𝐶 = −
cos4
𝑥
4
+ 𝐶.
c) Хэсэгчлэн интегралчлах арга
𝑢 = 𝜑( 𝑥), 𝑣 = 𝜓( 𝑥) функцүүд ямар нэгэн муж дээр тасралтгүй
дифференциалчлагддаг байвал 𝑑( 𝑢 ∙ 𝑣) = 𝑣𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑣 (1) болно

6. 6
(1)-ийн хоёр талаас интеграл авбал ∫ 𝑑( 𝑢 ∙ 𝑣) = ∫ 𝑣𝑑𝑢 + ∫ 𝑢𝑑𝑣 (2)
𝑢𝑣 = ∫ 𝑣𝑑𝑢 + ∫ 𝑢𝑑𝑣 (3)
Эндээс ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 (4) болно. Үүнийг хэсэгчлэн
интегралчлах томъёо гэнэ. Энэ томъёо интегралын доорхи хоёр
функцийн үржвэрээс интеграл авахдаа түүнийг ∫ 𝑢𝑑𝑣 хэлбэрт бичиж
чадвал хялбархан интегралчлах аргыг зааж байна.
Жишээ:
∫ 𝑥 cos 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑥𝑑 sin 𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 − ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶
∫ 𝑥 ∙ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑒 𝑥
= 𝑥𝑒 𝑥
− ∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥
− 𝑒 𝑥
+ 𝐶
∫ 𝑥3
∙ ln 𝑥 𝑑𝑥 энд 𝑢 = ln 𝑥 𝑑 𝑣 = 𝑥3
𝑑𝑥 гэвэл 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 𝑣 =
𝑥4
4
болно.
∫ (Ln 𝑥)⏟
𝑢
∙ 𝑥3
𝑑𝑥⏟
𝑑𝑣
тул ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 томъёо ёсоор ∫ ln 𝑥 ∙ 𝑥3
𝑑𝑥 =
(ln 𝑥) ∙
𝑥4
4
− ∫
𝑥4
4
∙
1
𝑥
𝑑𝑥 =
𝑥4
4
∙ ln 𝑥 −
𝑥4
16
+ 𝐶.
∫arctg 𝑥⏟
𝑢
𝑑 𝑥⏟
𝑣
= 𝑥⏟
𝑣
∙ arctg 𝑥⏟
𝑢
− ∫ 𝑥 ∙
1
1+𝑥2
𝑑𝑥 =|
𝑣 = 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥
𝑢 = arctg 𝑥 𝑑𝑢 =
1
1+𝑥2
𝑑𝑥
| = 𝑥arctg 𝑥 −
1
2
∫
𝑑(1+𝑥2)
1+𝑥2
=
𝑥 arctg 𝑥 −
1
2
ln(1 + 𝑥2) + 𝐶 хэсэгчлэн интегралчлах аргыг дараалан
хэрэглэж болдог.
∫ 𝑥2
sin 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2
𝑑 cos 𝑥 = −[ 𝑥2
cos 𝑥 − ∫ cos 𝑥 𝑑( 𝑥2)] = −[ 𝑥2
cos 𝑥 −
∫ (cos 𝑥)2𝑥𝑑𝑥] = −[ 𝑥2
cos 𝑥 − 2 ∫ 𝑥𝑑 sin 𝑥] = −[ 𝑥2
cos 𝑥 − 2( 𝑥 sin 𝑥 −
∫ sin 𝑥 𝑑𝑥)] = −𝑥2
cos 𝑥 + 2𝑥 sin 𝑥 + 2cos 𝑥 + 𝐶
∫ 𝑒 𝑥
cos 𝑥𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑥⏟
𝑢
𝑑 ( 𝑒 𝑥 )⏟
𝑣
= 𝑒 𝑥
cos 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥
𝑑 cos 𝑥 = 𝑒 𝑥
cos 𝑥 +
∫ 𝑒 𝑥
sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥
cos 𝑥 + ∫ sin 𝑥 𝑑 𝑒 𝑥
= 𝑒 𝑥
cos 𝑥 + 𝑒 𝑥
sin 𝑥 −
∫ 𝑒 𝑥
𝑑 cos 𝑥 = 𝑒 𝑥
cos 𝑥 + 𝑒 𝑥
sin 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥
cos 𝑥 𝑑𝑥 энэ нь
∫ 𝑒 𝑥
cos 𝑥 = 𝑒 𝑥
cos 𝑥 + 𝑒 𝑥
sin 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥
cos 𝑥 𝑑𝑥

7. 7
Болон анхны бодох гэсэн интеграл (−1) коэффициенттайгаар өөрөө
гарч ирсэн тул тэгшитгэлийн нөгөө талд гаргвал
2 ∫ 𝑒 𝑥
cos 𝑥 = 𝑒 𝑥
cos 𝑥 + 𝑒 𝑥
sin 𝑥 тул
∫ 𝑒 𝑥
cos 𝑥 =
1
2
( 𝑒 𝑥
cos 𝑥 + 𝑒 𝑥
sin 𝑥) + 𝐶
Ийм маягаар бодогддог интеграл олон байдаг.
d) Хэсэгчлэн интегралчлагддаг функцийн зарим хэлбэрүүд
∫ 𝑃𝑛
( 𝑥) 𝑒2𝑥
𝑑𝑥 , = ∫ 𝑃𝑛
( 𝑥) sin 𝛽𝑥 𝑑𝑥 , ∫ 𝑃𝑛
( 𝑥) cos 𝛽𝑥 𝑑𝑥
𝑃𝑛
( 𝑥) нь 𝑛 зэргийн олон гишүүний ийм интегралыг 𝑛 -удаа хэсэгчлэн
интегралчлах аргыг хэрэглэж боддог
∫ 𝑃𝑛
( 𝑥) ln 𝑥 𝑑𝑥 , ∫ 𝑃𝑛
( 𝑥) arcsin 𝑥 𝑑𝑥, ∫ 𝑃𝑛
( 𝑥) arctg 𝑥 𝑑𝑥
Интегралуудыг бодохдоо
𝑢 = ln 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑃𝑛
( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑢 = arcsin 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑃𝑛
( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑢 = arctg 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑃𝑛
( 𝑥) 𝑑𝑥
байхаар сонгон авч боддог.
2-р хэсэг. Интегралчлах бусад аргууд
& 4. Хялбар рациональ бутархайнуудыг интегралчлах
𝑀
𝑎𝑥 + 𝑏
;
𝑀
( 𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑘
;
𝑀𝑥 + 𝑁
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
;
𝑀𝑥 + 𝑁
( 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) 𝑘
( 𝑘 ≥ 2)
Бутархайнуудыг харгалзан 1, 2, 3, 4-р хэлбэрийн рациональ бутархай
гэж нэрлэдэг. Хэрэв бид энэ 4 хэлбэрийн бутархайг интегралчилж чадвал
өөр ямар ч рациональ бутархайг энэ дөрвөн хэлбэрийн бутархайнуудын
ямар нэг нийлбэрт задлах замаар интегралчилж болдог гэдгийг авч үзнэ.
∫
𝑀
𝑎𝑥+𝑏
𝑑𝑥 =
𝑀
𝑎
∫
1
𝑎𝑥+𝑏
𝑑( 𝑎𝑥 + 𝑏) үүнд 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑡 гэж орлуулбал ∫
𝑀
𝑎𝑥+𝑏
𝑑𝑥 =
𝑀
𝑎
∫
1
𝑡
𝑑𝑡 =
𝑀
𝑎
ln| 𝑡| + 𝐶 =
𝑀
𝑎
ln| 𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝐶
∫
𝑀
( 𝑎𝑥+𝑏) 𝑘
𝑑𝑥 =
𝑀
𝑎
∫
1
( 𝑎𝑥+𝑏) 𝑘
𝑑( 𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑡 гэвэл
∫
𝑀
( 𝑎𝑥+𝑏) 𝑘
𝑑𝑥 =
𝑀
𝑎
∫
1
𝑡 𝑘
𝑑𝑡 =
𝑀
𝑎
∫ 𝑡−𝑘
𝑑𝑡 =
𝑀
𝑎
∙
𝑡1−𝑘
1−𝑘
+ 𝐶 =
𝑀
𝑎
∙
( 𝑎𝑥+𝑏)1−𝑘
1−𝑘
+ 𝐶 болно.

8. 8
∫
𝑀𝑥 +𝑁
𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐
𝑑𝑥 =
1
𝑎
∫
𝑀𝑥 +𝑁
𝑥2 +
𝑏
𝑎
𝑥+
𝑐
𝑎
𝑑𝑥 =
1
𝑎
∫
𝑀𝑥+𝑁
( 𝑥+
𝑏
2𝑎
)
2
+
𝑐
𝑎
−
𝑏2
4𝑎2
𝑑𝑥 = үүнд 𝑥 +
𝑏
2𝑎
= 𝑡 гэж
орлуулга хийвэл
𝑑𝑥 = 𝑑𝑡
𝑥 = 𝑡 −
𝑏
2𝑎
тул
𝑐
𝑏
−
𝑏2
4𝑎2 = ±𝑚2
ба 𝑁 −
𝑀𝑏
2𝑎
= 𝑃 гэвэл өмнөх
интеграл нь
1
𝑎
∫
𝑀𝑡+𝑃
𝑡2 ±𝑚2
𝑑𝑡 =
1
𝑎
∫ (
𝑀𝑡
𝑡2 ±𝑚2
+
𝑃
𝑡2 ±𝑚2
) 𝑑𝑡 =
𝑀
𝑎
∫
𝑡
𝑡2 ±𝑚2
𝑑𝑡 +
𝑃
𝑎
∫
1
𝑡2 ±𝑚2
𝑑𝑡
ба үүнийг 1-р интегралд 𝑡2
± 𝑚2
= 𝑢 орлуулга хийвэл 2𝑡𝑑𝑡 = 𝑑𝑢 𝑡𝑑𝑡 =
1
2
𝑑𝑢 тул
=
𝑀
2𝑎
∫
1
𝑢
𝑑𝑢 −
𝑃
𝑎
∫
1
𝑡2 ±𝑚2
𝑑𝑥 байх таблицын интегралд шилжин бодогдоно.
Үүнд ямар хувиргалт хийгдсэнийг сайн ажиглаж олоорой.
Жишээ 1. 𝐼 = ∫
7𝑥−2
3𝑥2 −5𝑥+4
𝑑𝑥 =
1
3
∫
7𝑥−2
𝑥2 −
5
3
𝑥+
4
3
𝑑𝑥 =
1
3
∫
7𝑥−2
( 𝑥−
5
6
)
2
+
4
3
−
25
36
𝑑𝑥 = үүнд 𝑥 −
5
6
=
𝑡 орлуулбал 𝑥 =
5
6
+ 𝑡 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡
𝐼 =
1
3
∫
7𝑡+
23
6
𝑡2+
23
36
𝑑𝑥 =
1
3
∫ [
7𝑡
𝑡2 +
23
36
+
23
6
𝑡2+
23
36
] 𝑑𝑡 = үүний 1-р интегралд 𝑡2
+
23
36
= 𝑢 гэж
орлуулбал 𝑡𝑑𝑡 =
1
2
𝑑𝑢 тул
𝐼 =
7
3∙2
∫
1
𝑢
𝑑𝑢 +
23
6∙3
∫
1
𝑡2 +
23
36
𝑑𝑡 =
7
6
ln| 𝑢| +
23
6∙3
6
√23
arctg
6𝑡
√23
+ 𝐶 =
7
6
ln | 𝑡2
+
23
36
| +
23
6∙√23
arctg
6𝑡
√23
+ 𝐶 =
7
6
ln |( 𝑥 −
5
6
)
2
+
23
36
| +
√23
6
arctg
6𝑥−5
√23
+ 𝐶 =
7
6
ln| 𝑥2
−
5
3
𝑥 +
48
36
| +
√23
6
arctg
6𝑥 −5
√23
+ 𝐶
Жишээ 2. 𝐼 = ∫
5𝑥−3
𝑥2 +6𝑥−40
𝑑𝑥 = ∫
5𝑥 −3
( 𝑥+3)2−49
𝑑𝑥 ; 𝑥 + 3 = 𝑡 орлуулгаар
𝑥 = 𝑡 − 3 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 тул

9. 9
𝐼 = ∫
5𝑡 − 18
𝑡2 − 49
𝑑𝑥 = 5∫
𝑡
𝑡2 − 49
𝑑𝑡 − 18∫
1
𝑡2 − 49
𝑑𝑡
=
5
2
∫
1
𝑡2 − 49
𝑑( 𝑡2
− 49) − 18∫
1
𝑡2 − 49
𝑑𝑡
= (таблицийн интегралууд болсон тул)
= ln( 𝑡2
− 49)
−
18
14
ln
𝑡 − 7
𝑡 + 7
+ 𝐶
=
5
2
ln| 𝑥2
+ 6𝑥 − 40| −
9
7
ln|
𝑥 − 4
𝑥 + 10
| + 𝐶
Санамж: ∫
𝑀𝑥+𝑁
√ 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐
𝑑𝑥 хэлбэрийн иррациональ функцийг интегралчлахад
III хэлбэрийн рационал бутархайг интегралчлахад хэрэглэсэн бүтэн
квадрат ялгах дараа нь орлуулах аргыг хэрэглэж таблицын интегралд
шилжүүлж болно.
Жишээ нь: хуваарийн квадрат гурван гишүүнтийг бүтэн квадрат
нэмэгдэхүүн ялгах замаар хувиргавал
𝐼 𝑘 = ∫
𝑀𝑥+𝑁
( 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐) 𝑘
𝑑𝑥 =
1
𝑎 𝑘
∫
𝑀𝑥+𝑁
[( 𝑥+
𝑏
2𝑎
)
2
+( 𝑐−
𝑏2
4𝑎2
)]
𝑘 𝑑𝑥
𝑐 −
𝑏2
4𝑎2
= 𝑆; 𝑥 +
𝑏
2𝑎
= 𝑡 гэж орлуулбал 𝑥 = 𝑡 −
𝑏
2𝑎
𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑁 −
𝑏𝑀
2𝑎
= 𝑃
гэе.
𝐼 𝑘 =
1
𝑎 𝑘
∫
𝑀𝑡+𝑃
( 𝑡2 +𝑆) 𝑘
𝑑𝑡 =
𝑀
𝑎 𝑘
∫
𝑡
( 𝑡2 +𝑆) 𝑘
𝑑𝑡 +
𝑃
𝑎 𝑘
∫
1
( 𝑡2 +𝑆) 𝑘
𝑑𝑡 үүний 1-р интегралыг𝐼1, 2-
рыг 𝐼2 гэвэл 𝐼1 =
𝑀
2𝑎 𝑘
∫( 𝑡2
+ 𝑆)−𝑘
𝑑( 𝑡2
+ 𝑆) =
𝑀
2𝑎 𝑘
( 𝑡2+𝑆)
1−𝑘
1−𝑘
болж бодогдоно.
𝐼2 =
𝑃
𝑎 𝑘
∫
1
( 𝑡2 +𝑆) 𝑘
𝑑𝑡 =
𝑃
𝑎 𝑘∙𝑆
∫
𝑆+𝑡2
−𝑡2
( 𝑡2+𝑆) 𝑘
𝑑𝑡 =
𝑃
𝑎 𝑘∙𝑆
[∫
1
( 𝑡2 +𝑆) 𝑘
𝑑𝑡 − ∫
𝑡∙𝑡
( 𝑡2+𝑆) 𝑘
𝑑𝑡]

10. 10
− ∫
𝑡∙𝑡
( 𝑡2 +𝑆) 𝑘
𝑑𝑡 бодохдоо хэсэгчлэн интегралчлах аргаар 𝑢 = 𝑡; 𝑑𝑣 =
𝑡
( 𝑡2 +𝑆) 𝑘
𝑑𝑡 гэж авч бодвол 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡; 𝑣 = ∫
𝑡
( 𝑡2+𝑆) 𝑘
𝑑𝑡 =
1
2
∫( 𝑡2
+ 𝑆)−𝑘
𝑑( 𝑡2
+ 𝑆) =
1
2(1−𝑘)
( 𝑡2
+ 𝑆)1−𝑘
=
1
2(1−𝑘)
1
( 𝑡2 +𝑆) 𝑘−1
болно. Үүний үр дүнд
𝐼 = ∫
𝑀𝑥+𝑁
( 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐) 𝑘
𝑑𝑥 =
1
𝑎 𝑘
∫
𝑀𝑡 +𝑃
( 𝑡2 +𝑆) 𝑘
𝑑𝑡 =
𝑀
2𝑎 𝑘
1
(1−𝑘)
1
( 𝑡2 +𝑆) 𝑘−1
−
𝑃
𝑎 𝑘∙𝑆
[∫
1
( 𝑡2 +𝑆) 𝑘−1
𝑑𝑡 − 𝑡 ∙
1
2(1−𝑘)
1
( 𝑡2 +𝑆) 𝑘−1
+
1
2(1−𝑘)
∫
1
( 𝑡2 +𝑆) 𝑘−1
𝑑𝑡] = [
𝑀
2𝑎 𝑘(1−𝑘)( 𝑡2 +𝑆) 𝑘−1
−
𝑃𝑡
𝑎 𝑘∙𝑆∙2(1−𝑘)( 𝑡2 +𝑆) 𝑘−1
] +
𝑃
2𝑎 𝑘∙𝑆(1−𝑘)
∫
1
( 𝑡2+𝑆) 𝑘−1
𝑑𝑡 =
𝑀𝑆−𝑃𝑡
2𝑎 𝑘∙𝑆(1−𝑘)( 𝑡2 +𝑆) 𝑘−1
+
𝑃
2𝑎 𝑘∙𝑆(1−𝑘)
𝐼( 𝑘−1) болж 𝐼2 –ийн
хуваарь дахь зэрэг нэгээр буурсан байна. Энэ аргыг 𝐼( 𝑘−1)-д дахин
хэрэглэвэл 𝐼( 𝑘−2)-д шилжинэ гэх мэтээр ( 𝑛 − 1) удаа уул аргыг давтан
хэрэглэвэл 𝐼2-ийн зэрэг нэг нэгээр буурсаар ∫
1
𝑡2 +𝑆
𝑑𝑡-д шилжин бодогдоно
гэдэг нь илэрхий байна.
Жишээ:𝐼 = ∫
3𝑥+5
(𝑥2 −4𝑥+7)2
𝑑𝑥 = ∫
3𝑥+5
[(𝑥−2)2+3]2
𝑑𝑥 =
𝑥 − 2 = 𝑡 гэж орлуулвал 𝑥 = 𝑡 + 2𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 болно.
=∫
3𝑡+11
(𝑡2 +3)2
𝑑𝑡 = 3∫
𝑡
(𝑡2 +3)2
𝑑𝑡 + 11 ∫
1
(𝑡2+3)2
𝑑𝑡 =
3
2
∫(𝑡2
+ 3)−2
d(𝑡2
+ 3) +
11
1
3
∫
3+𝑡2
−𝑡2
(𝑡2+3)2
𝑑𝑡=−
3
2
1
(𝑡2 +3)
+
11
3
∫[
1
𝑡2 +3
−
𝑡2
(𝑡2+3)2
]𝑑𝑡 = −
3
2
1
(𝑡2+3)
+
4
3
[
1
√3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑡
√3
−
[−𝑡
1
2( 𝑡2 +3)
+
1
2
∫
1
𝑡2 +3
𝑑𝑡 = −
3
2
1
( 𝑡2 +3)
+
11
3√3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑡
√3
+
11
6
𝑡
(𝑡2 +3)
−
11
6
1
√3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑡
√3
+
𝐶 = −
3
2( 𝑥2 −4𝑥+7)
+
11
6√3
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑥−2
√3
+
11
6
𝑥 −2
𝑥2 −4𝑥+7
+ 𝐶 болно.
&5 Рациональ бутархайн элемэнтар бутархайд задлан интегралчлах
𝑄 𝑚
( 𝑥); 𝑃𝑛 (𝑥 ) 𝑚 ба 𝑛 –зэргийг бодит кооффиценттай хоёр олон гишүүнт
өгөгдсөн байхад
𝑄 𝑚
(𝑥)
𝑃 𝑛
(𝑥 ) - байх бутархайг рациональ бутархай гэнэ х зөв
𝑚 < 𝑛 бол зөв биш рациоаль бутархай өгөгдсөн бол түүний хүртвэрийн
олон гишүүнтийг хуваарийн олон гишүүнтэд хувааж бүхэл рациональ
олон гишүүнт ба зав рациональ бутархайн нийлбэрт бичиж болно.

11. 11
Жишээ 1
𝑥2
𝑥2 +3
= 1 −
3
𝑥2 +3
Жишээ 2
𝑥3
+2𝑥+3
𝑥2 +4
= 𝑥 +
−2𝑥+3
𝑥2 +4
;
𝑅( 𝑥) =
𝑄 𝑚
( 𝑥)
𝑃 𝑛
( 𝑥)
зөв рациональ бутархай өгөгдсөн байхад түүнийг өмнө үзсэн
хялбар бутархайнуудын нийлбэрт задлахын тулд хуваарийн олон
гишүүнт 𝑃𝑛
( 𝑥) -ийг бодит коэффициенттай шугаман болон квадрат гурван
гишүүнтүүдийн үржвэрт задлан бичнэ. Үүнд:
𝑃𝑛
( 𝑥) = ( 𝑥 − 𝑎) 𝛼
… . . ( 𝑥 − 𝑏) 𝛽( 𝑥2
+ 𝑝𝑥 + 𝑞) 𝜆
… . . (𝑥2
+ 𝑟𝑥 + 𝑠) 𝑃
гэж задалсан
бол
𝑄 𝑚
( 𝑥)
𝑃 𝑛
( 𝑥)
=
𝐴1
( 𝑥−𝑎)
+
𝐴2
( 𝑥−𝑎)2
+
𝐴3
( 𝑥−𝑎)3 + ⋯+
𝐴 𝛼
( 𝑥−𝑎) 𝛼 + ⋯+
𝐵1
( 𝑥−𝑏)
+ ⋯ +
𝐵2
( 𝑥−𝑏)2 + ⋯ +
𝐵 𝛽
( 𝑥−𝑏) 𝛽 +
𝑀1 𝑥+𝑁1
𝑥2 +𝑝𝑥+𝑞
+
𝑀2 𝑥+𝑁2
( 𝑥2 +𝑝𝑥+𝑞)2
+ ⋯ +
𝑀 𝜆 𝑥+𝑁 𝜆
( 𝑥2 +𝑝𝑥+𝑞) 𝜆
+ ⋯+
𝑅1 𝑥+𝑆1
( 𝑥2 +𝑟𝑥+𝑠)
+
𝑅2 𝑥+𝑆2
( 𝑥2 +𝑟𝑥+𝑠)2
+ ⋯ +
𝑅 𝜇 𝑥+𝑆 𝜇
( 𝑥2 +𝑟𝑥+𝑠) 𝜇
; (∗)
Энд 𝐴1 , 𝐴2 , ⋯, 𝐴 𝛼 , 𝐵1, 𝐵2,⋯, 𝐵𝛽, ⋯, 𝑆1,⋯ 𝑆 𝜇 нь одоогоор бидэнд
мэдэгдэхгүй байгаа бодит тоонууд буюу тодорхойгүй коэффициентүүд
гэж нэрлэнэ.
(*) нийлбэрийг ерөнхий хувиарт орлуулж нэмхэд гарах хүртвэрийг
тодорхойгүй коэффициенттэй олон гишүүнтийн коэффициентуудыг
𝑄 𝑚
( 𝑥)-ийн х-ийн харгалзах зэргийн коэффициентуудыг тэнцүүлсэн
шугаман тэгшитгэлийн системийг зөвхөн тодорхойгүй коэффициентуудыг
олон (*) томъёоны нэмэгдэхүүн тус бүрийг харгалзах коэффициентод
орлуулан бичвэл анх өгсөн рациональ бутархай нь хялбар рациональ
бутархайнуудын нийлбэр болон тавигдана.
Жишээ1.
9𝑥3
−30𝑥2
+28𝑥−88
𝑥4 −6𝑥3 +12𝑥2 −24𝑥+32
зөв бутархай өгөгдсөн байг.
𝑃𝑛
( 𝑥) = 𝑥4
− 6𝑥3
+ 12𝑥2
− 24𝑥 + 32 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 4)(𝑥2
+ 4) болох тул
9𝑥3 −30𝑥2 +28𝑥−88
𝑥4 −6𝑥3 +12𝑥2 −24𝑥+32
=
9𝑥3 −30𝑥2 +28𝑥 −88
( 𝑥−2)( 𝑥−4)(𝑥2 +4)
=
𝐴
𝑥−2
+
𝐵
𝑥−4
+
𝐶𝑥 +𝐷
𝑥2 +4
энд 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷-нь
тодорхойгүй коэффициентүүд энэ тэнцлийн баруун талыг ерөнхий
хуваарьт орлуулан эмхтгэвэл:

12. 12
9𝑥3
−30𝑥2
+28𝑥−88
𝑥4 −6𝑥3 +12𝑥2 −24𝑥+32
=
( 𝐴+𝐵+𝐶) 𝑥3
+(−4𝐴−2𝐵−6𝐶+𝐷)𝑥2
+(4𝐴+4𝐵+8𝐶−6𝐷) 𝑥+(−16𝐴−8𝐵+8𝐷)
( 𝑥−2)( 𝑥−4)(𝑥2 +4)
Болно. Эндээс хоёр бутархайн хүртвэрийг олон гишүүнтийн 𝑥-ийн
харгалзах зэргийн коэффициентууыг тэнцүүлэн тэгшитгэлийн систем
зохиовол:
𝑥3
-ийн хувьд 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 9
𝑥2
- ийн хувьд −4𝐴 − 2𝐵 − 6𝐶 + 𝐷 = −30
𝑥- ийн хувьд 4𝐴 + 4𝐵 + 8𝐶 − 6𝐷 = 28
𝑥0
- ийн хувьд −16𝐴 − 8𝐵 + 8𝐷 = −88
Шугаман тэгшитгэлийн систем үүснэ. Энэ системийг бодвол 𝐴 = 5, 𝐵 = 3,
𝐶 = 1, 𝐷 = 2 болно.
Иймээс:
9𝑥3
−30𝑥2
+28𝑥−88
𝑥4 −6𝑥3 +12𝑥2 −24𝑥+32
=
5
𝑥−2
+
3
𝑥−4
+
𝑥+2
𝑥2 +4
байх гурван хялбар рациональ
бутархайн нийлбэрт задлан бичигдлээ.
∫
9𝑥3
−30𝑥2
+28𝑥−88
𝑥4 −6𝑥3 +12𝑥2 −24𝑥+32
𝑑𝑥 = ∫(
5
𝑥−2
+
3
𝑥−4
+
𝑥 +2
𝑥2 +4
)𝑑𝑥 = 5ln| 𝑥 − 2| + 3 ln| 𝑥 − 4| +
1
2
ln( 𝑥2
+ 4) +
1
2
arctg
𝑥
2
+ 𝐶
Хэрэв
𝑄 𝑚
( 𝑥)
𝑃 𝑛
( 𝑥)
хувьд 𝑛 < 𝑚 зөв биш рациональ бутархай байвал хүртвэрийн
олон гишүүнтийг хуваарийн олон гишүүнтэд хувааж
𝑄 𝑚
( 𝑥)
𝑃 𝑛
( 𝑥)
= 𝑇( 𝑥) +
𝑄 𝑘
( 𝑥)
𝑃 𝑛
( 𝑥)
гэж бичиж болно. Үүнд 𝑇( 𝑥) нь олон гишүүнт,
𝑄 𝑚
( 𝑥)
𝑃 𝑛
( 𝑥)
нь
зөв рациональ бутархай юм.
𝑄 𝑚
( 𝑥)
𝑃 𝑛
( 𝑥)
-ийг хялбар рациональ бутархайд
задлан бичиж болно.
Жишээ 2. 𝐼 = ∫
6𝑥5 −8𝑥4 −25𝑥3 +20𝑥2 −76𝑥−7
3𝑥3 −4𝑥2 −17𝑥+6
𝑑𝑥 интегралыг бодохын тулд
интегралын доорхи рациональ бутархай зөв биш бутархай тул
хүртвэрийн олон гишүүнтийг хуваарийн олон гишүүнтэд хуваавал

13. 13
𝐼 = ∫ (2𝑥2
+ 3 +
20𝑥2
−25𝑥−25
3𝑥3 −4𝑥2 −17𝑥+6
) 𝑑𝑥 болох ба
20𝑥2
−25𝑥 −25
3𝑥3 −4𝑥2 −17𝑥+6
=
20𝑥2
−25𝑥−25
( 𝑥+2)( 𝑥−3)(3𝑥−1)
=
𝐴
𝑥+2
+
𝐵
𝑥−3
+
𝐶
3𝑥−1
=
𝐴( 𝑥−3)(3𝑥−1)+𝐵( 𝑥+2)(3𝑥−1)+𝐶( 𝑥+2)( 𝑥−3)
( 𝑥+2)( 𝑥−3)(3𝑥−1)
20𝑥2
− 25𝑥 − 25 = 𝐴( 𝑥 − 3)(3𝑥 − 1) + 𝐵( 𝑥 + 2)(3𝑥 − 1) + 𝐶( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 3)
байх ёстой. Хэрэв 𝑥 = −2 гэвэл 20 ∙ (−2)2
− 25(−2) − 25 = 𝐴(−2 − 3)(3 ∙
(−2) − 1) 105 = 35𝐴 𝐴 = 5
𝑥 = 3 гэвэл 80 = 40𝐵 𝐵 = 2
𝑥 =
1
3
гэвэл −280 = −56𝐶 𝐶 = 5 гэж тэгшитгэлийн систем бодолгүй
хялбар аргаар тодорхойгүй коэффициентуудыг олж болдог.
𝐼 = ∫
6𝑥5
−8𝑥4
−25𝑥3
+20𝑥2
−76𝑥−7
3𝑥3 −4𝑥2 −17𝑥+6
𝑑𝑥 = ∫ (2𝑥2
+ 3 +
20𝑥2
−25𝑥−25
3𝑥3 −4𝑥2 −17𝑥+6
) 𝑑𝑥 =
∫ (2𝑥2
+ 3 +
20𝑥2
−25𝑥−25
( 𝑥+2)∙( 𝑥−3)∙(3𝑥−1)
) 𝑑𝑥 = ∫ (2𝑥2
+ 3 +
5
𝑥+2
+
2
𝑥−3
+
5
3𝑥−1
) 𝑑𝑥 =
2
3
𝑥3
+
3𝑥 + 5ln| 𝑥 + 2| + 2ln| 𝑥 − 3| +
5
3
ln|3𝑥 − 1| + 𝐶 =
2
3
𝑥3
+ 3𝑥 + ln( 𝑥 + 2)5
∙
( 𝑥 − 3)2
∙ √(3𝑥 − 1)53
+ 𝐶
Жишээ 3. ∫
8𝑥3
−12𝑥2
+2𝑥+10
( 𝑥−3)∙( 𝑥−1)3
𝑑𝑥 =
8𝑥3
−12𝑥2
+2𝑥+10
( 𝑥−3)∙( 𝑥−1)3
=
𝐴
𝑥+3
+
𝐵
𝑥−1
+
𝐶
( 𝑥−1)2
+
𝐷
( 𝑥−1)3
8𝑥3
− 12𝑥2
+ 2𝑥 + 10 = 𝐴( 𝑥 − 1)3
+ 𝐵( 𝑥 + 3)( 𝑥 − 1)2
+ 𝐶( 𝑥 + 3)( 𝑥 − 1) +
𝐷( 𝑥 + 3)
𝑥 = 1 бол 8 = 4𝐷 𝐷 = 2
𝑥 = −3 бол −320 = −64𝐴 𝐴 = 5
𝑥 = 0 бол 10 = −5 + 3𝐵 − 3𝐶 + 6 𝐵 − 𝐶 = 3
𝑥 = 2 бол 30 = 5 + 5𝐵 + 5𝐶 + 10 𝐵 + 𝐶 = 3
} гэж 𝐵 = 3 𝐶 = 0 болно.
∫
8𝑥3
−12𝑥2
+2𝑥+10
( 𝑥−3)∙( 𝑥−1)3
𝑑𝑥 = ∫ (
5
𝑥+3
+
3
𝑥−1
+
2
( 𝑥−1)3
) 𝑑𝑥 = 5 ln| 𝑥 + 3| + 3ln| 𝑥 − 1| −
1
( 𝑥−1)2
+ 𝐶 болно.
Жишээ 4. ∫
3𝑥4
+14𝑥2
+7𝑥+15
( 𝑥+3)∙( 𝑥2 +2)2
𝑑𝑥 бодохын тулд
3𝑥4 +14𝑥2 +7𝑥+15
( 𝑥+3)∙( 𝑥2 +2)2
=
𝐴
𝑥+3
+
𝐵𝑥+𝐷
𝑥2 +2
+
𝑀𝑥+𝑁
( 𝑥2 +2)2
гэж задлана.
Эндээс зүүн гар талын бутархайг нэмж хоёр бутархайн хүртвэрийг
тэнцүүлбэл

14. 14
3𝑥4
+ 14𝑥2
+ 7𝑥 + 15 = 𝐴( 𝑥2
+ 2)2
+ ( 𝐵𝑥 + 𝐷)( 𝑥 + 3)( 𝑥2
+ 2) + ( 𝑀𝑥 +
𝑁)( 𝑥 + 3)
𝑥 = −3 бол 363 = 121𝐴 𝐴 = 3 болно. Цаашид энэ хоёр олон
гишүүнтийн 𝑥-ийн ижил зэргийн коэффициентүүдийг тэнцүүлвэл
2𝑥2
+ 7𝑥 + 3 = 𝐵𝑥4
+ 3𝐵 𝑥3
+ 2𝐵𝑥 + 6𝐵𝑥 + 𝐷𝑥3
+ 3𝐷𝑥2
+ 2𝐷𝑥 + 6𝐷 + 𝑀𝑥2
+
𝑁𝑥 + 3𝑀𝑥 + 3𝑁 болохоос 𝐵 = 0 𝐷 = 0 𝑀 = 2 𝑁 = 1 байх тул
∫
3𝑥4
+14𝑥2
+7𝑥+15
( 𝑥+3)∙( 𝑥2 +2)2
𝑑𝑥 = 3∫
𝑑𝑥
𝑥+3
+ 2 ∫
𝑥𝑑𝑥
( 𝑥2 +2)2
+ ∫
𝑑𝑥
( 𝑥2 +2)2
= 3 ln| 𝑥 + 3| −
1
𝑥2 +2
+
𝑥
4( 𝑥2 +2)
+
1
4√2
arctg
𝑥
√2
+ 𝐶 болно.
& 6. Тригнометрийн функцүүдийг интегралчлах аргууд
Тодорхойлолт:
а). 𝐶𝒰 𝑚
𝒱 𝑘
− ( 𝑚, 𝑘 нь натулал тоо, 𝐶 − нь дурны бодит тоо байх) -
хэлбэрийн нэмэгдэхүүнүүдийн төгсгөлөг нийлбэрийг 𝒰, 𝒱-ийн хувьд бүхэл
рациональ функц гэнэ.
b). 𝒰, 𝒱-ийн хувь дахь хоёр бүхэл рациональ функцийн харьцааг
рациональ функц гэнэ.
Жишээ:
sin3
𝑥+cos 𝑥
2 sin 𝑥 cos2 𝑥+4
нь cos 𝑥 , sin 𝑥-ийн хувьд рациональ функц юм.
( 𝑢 = cos 𝑥 , 𝑣 = sin 𝑥)
Цаашид 𝑢 ба 𝑣 -гээс хамаарсан рациональ функцийг 𝑅( 𝑢, 𝑣) гэж
тэмдэглэж байя.
Хэрэв 𝑅(−𝑢, 𝑣) = −𝑅( 𝑢, 𝑣) бол 𝑅( 𝑢, 𝑣)-г 𝑢-ийн хувьд сондгой функц гэнэ.
Хэрэв 𝑅(−𝑢, 𝑣) = 𝑅( 𝑢, 𝑣) бол 𝑅( 𝑢, 𝑣)-г 𝑢-ийн хувьд тэгш функц гэнэ. Үүнтэй
яг адилаар 𝑣-гийн хувьд тэгш, сондгой функцийг тодорхойлдог. Хэрэв
𝑅(−𝑢, −𝑣) = 𝑅( 𝑢, 𝑣) бол 𝑅( 𝑢, 𝑣)-г 𝑢 ба 𝑣 -гийн хувьд тэгш функц гэнэ.
Тригнометрийн дурын функцийг tg
𝑥
2
–ээр рациональ функцэд шилжүүлж
болдог тухайлбал
sin 𝑥 =
2 sin
𝑥
2
cos
𝑥
2
cos2 𝑥
2
+sin2 𝑥
2
=
2 tg
𝑥
2
1+tg2 𝑥
2

15. 15
cos 𝑥 =
cos2 𝑥
2
−sin2 𝑥
2
cos2 𝑥
2
+sin2 𝑥
2
=
1−tg2 𝑥
2
1+tg2 𝑥
2
байх тул tg 𝑥 , Ctg 𝑥 , cosec 𝑥-мөн л tg
𝑥
2
-ийн хувьд рационал функц байхаар
илэрхийлж болно.
1. ∫ 𝑅(sin 𝑥 , cos 𝑥) 𝑑𝑥 интегралыг 𝑡 = tg
𝑥
2
орлуулгаар 𝑡-ийн хувьд
рациональ функцээр илэрхийлж болно.
𝑡 = tg
𝑥
2
тул sin 𝑥 =
2𝑡
1+𝑡2
cos 𝑥 =
1−𝑡2
1+𝑡2
𝑥 = 2arctg 𝑡 𝑑𝑥 =
2𝑑𝑡
1+𝑡2
болох тул
∫ 𝑅(sin 𝑥 , cos 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑅 (
2𝑡
1+𝑡2 ,
1−𝑡2
1+𝑡2
)
2
1+𝑡2 𝑑𝑡 = ∫ 𝑟( 𝑡) 𝑑𝑡 болж 𝑡-ийн рациональ
функцийг интегралчлах өмнө үзсэн хэлбэрүүдэд шилжлээ.
Жишээ: ∫
𝑑𝑥
9+8cos 𝑥+sin 𝑥
үүнд 𝑡 = tg
𝑥
2
гэвэл
∫
𝑑𝑥
9+8 cos 𝑥+sin 𝑥
= ∫
2𝑑𝑡
[9+
8(1−𝑡2)
1+𝑡2 +
2𝑡
1+𝑡2
](1+𝑡2 )
= 2 ∫
𝑑𝑡
𝑡2 +2𝑡+17
= 2 ∫
𝑑𝑡
( 𝑡+1)2+16
=
1
2
arctg
𝑡+1
4
+ 𝐶 =
1
2
arctg
tg
𝑥
2
+1
4
+ 𝐶
2. 𝑅(sin 𝑥 , cos 𝑥) функц нь cos 𝑥 -ийн хувьд сондгой байвал
∫ 𝑅(sin 𝑥 , cos 𝑥) 𝑑𝑥-интегралыг 𝑡 = sin 𝑥 орлуулгаар 𝑡-ийн хувьд
рациональ функцэд шилжүүлэн интегралчилж болно. Учир нь
𝑅(sin 𝑥 , cos 𝑥) нь cos 𝑥-ийн хувьд сондгой тул
𝑅(sin 𝑥,cos 𝑥)
cos 𝑥
нь cos 𝑥-ийн
хувьд тэгш болно. Өөрөөр хэлбэл cos 𝑥-ийн тэгш зэргүүдийг агуулна.
Түүнийг бүх –ээр илэрхийлж болно. Иймд
𝑅(sin 𝑥,cos 𝑥)
cos 𝑥
= 𝑟(sin 𝑥) болно.
∫ 𝑅(sin 𝑥 , cos 𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑅(sin 𝑥,cos 𝑥)
cos 𝑥
∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑟(sin 𝑥) cos 𝑥 𝑑𝑥 =
∫ 𝑟(sin 𝑥) 𝑑(sin 𝑥) = ∫ 𝑟( 𝑡) 𝑑𝑡 болж 𝑡-ийн хувьд рациональ функцийг
интегралчлах асуудалд шилжинэ.
3. ∫ 𝑅(sin 𝑥 , cos 𝑥) 𝑑𝑥-ийн 𝑅(sin 𝑥 , cos 𝑥) нь sin 𝑥-ийн хувьд сондгой байвал
𝑡 = cos 𝑥 орлуулгаар 𝑡-ийн хувьд рациональ функц болно. Учир нь
𝑅(sin 𝑥 , cos 𝑥) =
𝑅(sin 𝑥,cos 𝑥)
sin 𝑥
∙ sin 𝑥-ийн
𝑅(sin 𝑥,cos 𝑥)
sin 𝑥
нь sin 𝑥-ийн тэгш
зэргийг агуулна. Иймд түүнийг cos 𝑥-ээр илэрхийлж болох тул

16. 16
𝑅(sin 𝑥,cos 𝑥)
sin 𝑥
= 𝑟(cos 𝑥) болно. ∫ 𝑅(sin 𝑥 , cos 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫
𝑅(sin 𝑥,cos 𝑥)
sin 𝑥
sin 𝑥 𝑑𝑥 =
∫ 𝑟(cos 𝑥)sin 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑟(cos 𝑥) 𝑑(cos 𝑥) = − ∫ 𝑟( 𝑡) 𝑑𝑡 болж 𝑡-ийн хувьд
рациональ функц интегралчлах асуудалд шилжинэ.
Жишээ 1. ∫
cos3
𝑥
2+sin 𝑥
𝑑𝑥 интегралын доорхи функц нь cos 𝑥-ийн хувьд сондгой
функц тул ( 𝑡 = sin 𝑥 𝑑𝑡 = cos 𝑥 𝑑𝑥)
∫
1−sin2
𝑡
2+sin 𝑡
cos 𝑡 𝑑𝑡 = ∫
1−𝑡2
2 +𝑡
𝑑𝑡 = ∫ (−𝑡 + 2 −
3
2+𝑡
) 𝑑𝑡 = −
𝑡2
2
2𝑡 − 3ln|2 + 𝑡| + 𝐶 =
−
1
2
sin2
𝑥 + 2 sin 𝑥 − 3 ln|2 + sin 𝑥| + 𝐶
Зөвлөмж: ∫ 𝑅( 𝑠𝑖𝑛 𝑚
𝑥 , 𝑐𝑜𝑠 𝑛
𝑥) 𝑑𝑥 (m, 𝑛 −натурал тоо) байх интегралуудыг
бодоход 𝑚 ба n -ийн аль нэг нь сондгой тоо байхад 2.3 –тохиолдлууд
адилыг хэрэглэгдэнэ.
Жишээ: ∫ cos2
𝑥 ∙ sin5
𝑥 𝑑𝑥 бодоход интегралын доорхи функц нь sin 𝑥-ийн
хувьд сондгой учир 𝑡 = cos 𝑥 орлуулгыг 𝑡-ийн хувьд рациональ функцээс
авах интегралд шилжүүлж бодож болно.
Жишээ: 2 (sin 𝑥 − ийн хувьд сондгой cos2
𝑥 ∙ sin5
𝑥) функцийн хувьд
∫ cos2
𝑥 ∙ sin5
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cos2
𝑥 (1 − cos2
𝑥)2
sin 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ cos2
𝑥 (1 −
cos2
𝑥)2
𝑑 cos 𝑥 = − ∫ 𝑡2(1 − 𝑡2)2
𝑑𝑡 = − ∫( 𝑡2
− 2𝑡4
+ 𝑡6) 𝑑𝑡 = − [
𝑡3
3
− 2
𝑡5
5
+
𝑡7
7
] +
𝐶 = − [
cos3
𝑥
3
− 2
cos5
𝑥
5
+
cos7
𝑥
7
] + 𝐶
Жишээ 3. ∫ cos7
𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − sin2
𝑥)3
cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − sin2
𝑥)3
𝑑 sin 𝑥 =
∫ (1 − 3sin2
𝑥 +
3
5
sin5
𝑥 −
1
7
sin7
𝑥) + 𝐶
4. Хэрэв 𝑅(sin 𝑥 , cos 𝑥) функц нь sin 𝑥 ба cos 𝑥 –ийн хувьд тэгш функц
байвал sin2
𝑥 =
1
2
(1 − cos 2𝑥) ( 𝐴) cos2
𝑥 =
1
2
(1 + cos 2𝑥) ( 𝐵)
Томъёог ашиглах зэргийг бууруулж бодож болохоос гадна 𝑡 = tg 𝑥
орлуулгаар 𝑡-гийн хувьд рациональ функц рүү шилжүүлэн бодож болно
учир нь 𝑅(sin 𝑥 , cos 𝑥) = 𝑅(tg 𝑥 ∙ cos 𝑥 , cos 𝑥) гэж хувиргаж болох ба энэ нь
cos 𝑥 -ийн хувьд тэгш функц тул cos2
𝑥 =
1
sec2 𝑥
=
1
1+tg2 𝑥
болно. Иймд

17. 17
∫ 𝑅(sin 𝑥 , cos 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑟(tg 𝑥) 𝑑𝑥
( 𝑡 = tg 𝑥 𝑑𝑡 = sec2
𝑥 𝑑𝑥) байхаас = ∫
𝑟(tg 𝑥)
1+tg2 𝑥
sec2
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑟( 𝑡) 𝑑𝑡.
Жишээ 4:
∫
𝑑𝑥
sin2 𝑥+6 sin 𝑥∙cos 𝑥−16 cos2 𝑥
=
Интегралын доорхи илэрхийлэл нь sin 𝑥 баcos 𝑥-ийн хувьд тэгш функц тул
үүний хүртвэр хуваарийг cos2
𝑥-д хураавал
∫
𝑑𝑥
sin2 𝑥+6sin 𝑥∙cos 𝑥−16 cos2 𝑥
= ∫
sec2
𝑥𝑑𝑥
tg2 𝑥+6 tg 𝑥−16
болно. Үүнд 𝑡 = tg 𝑥 орлуулга
хэрэглэвэл ∫
sec2
𝑥𝑑𝑥
tg2 𝑥+6 tg 𝑥−16
= ∫
𝑑𝑡
𝑡2 +6𝑡−16
=
∫
𝑑( 𝑡+3)
( 𝑡+3)3−25
=
1
10
ln|
𝑡+3−5
𝑡+3+5
| =
1
10
ln |
tg 𝑥−2
tg 𝑥+8
| + 𝐶
Жишээ 5: ∫ sin2
7𝑥 𝑑𝑥 бодохдоо ( 𝐴) томъёогоор
∫ sin2
7𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
(1 − cos 14𝑥) 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥 −
1
28
sin14𝑥 + 𝐶
Жишээ 6: ∫ cos4
5𝑥 𝑑𝑥 =
1
4
∫(1 + cos 10𝑥 )2
𝑑𝑥 =
1
4
∫(1 + 2cos 10𝑥 +
cos2
10𝑥 ) 𝑑𝑥 =
1
4
∫ (1 + 2cos 10𝑥 +
1
2
+
1
2
cos 20𝑥) 𝑑𝑥 =
3
8
𝑥 +
1
20
sin10𝑥 +
1
100
sin10𝑥 + 𝐶
Жишээ 7: ∫(sin2
3𝑥 , cos2
3𝑥) 𝑑𝑥 =
1
4
∫ sin2
6𝑥 𝑑𝑥 =
1
8
∫(1 − cos12𝑥 ) 𝑑𝑥 =
1
8
( 𝑥 −
1
12
sin12𝑥) + 𝐶
Зөвлөмж: Хэрэв интегралын доорхи илэрхийлэл нь tg 𝑥 ба Ctg 𝑥-ийн хувьд
нэгээс их бүхэл зэрэгтэй sec 𝑥 ба cosec 𝑥-ийн хувьд эерэг тэгш зэрэгтэй
байвал tg2
𝑥 = sec2
𝑥 − 1 Ctg2
𝑥 = cosec2
𝑥 − 1 томъёог ашиглан бодох нь
тохиромжтой байдаг.
Жишээ 8: ∫ tg4
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ tg2
𝑥 (sec2
𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = ∫ tg2
𝑥 sec2
𝑥 𝑑𝑥 − ∫ tg2
𝑥 𝑑𝑥 =
∫ tg2
𝑥 sec2
𝑥 𝑑𝑥 − ∫ sec2
𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 =
1
3
tg3
𝑥 − tg 𝑥 + 𝑥 + 𝐶
Жишээ 9: ∫ Ctg3
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ Ctg 𝑥 (cosec2
𝑥 − 1) 𝑑𝑥 =
∫ Ctg 𝑥 cosec2
𝑥 − ∫ Ctg 𝑥 𝑑𝑥 =болно. (Үүнд 𝑡 = Ctg 𝑥 орлуулга хэрэглэвэл
𝑑𝑡 = − cosec2
𝑥 𝑑𝑥 болно.)

18. 18
∫ Ctg3
𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑡𝑑𝑡 − ∫ Ctg 𝑥 𝑑𝑥 = −
1
2
Ctg2
𝑥 − ln|cos 𝑥| + 𝐶
Жишээ 10: ∫ sec8
𝑥 𝑑𝑥 ∫(1 + tg2
𝑥)3
sec2
𝑥 𝑑𝑥 болох ба үүнд 𝑡 = tg 𝑥 орлуулга
хэрэглэвэл 𝑑𝑡 = sec2
𝑥 𝑑𝑥 болно. Иймд ∫ sec8
𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 + 𝑡2)3
𝑑𝑡 = ∫(1 +
3𝑡2
+ 3𝑡4
+ 𝑡6
) 𝑑𝑡 = 𝑡𝑔𝑥 + 𝑡𝑔3
𝑥 +
3
5
𝑡𝑔5
𝑥 +
1
7
𝑡𝑔7
𝑥 + 𝑐
5. Өөр өөр аргуметтай синус , косинусуудын үржварийг
интегралчлах.
sin 𝑝𝑥 ∙ cos 𝑞𝑥 ; sin 𝑝𝑥 ∙ sin 𝑞𝑥 ; cos 𝑝𝑥 ∙ cos 𝑞𝑥
үржвэрүүдээс интеграл авахдаа үржвэрүүдийг нийлбэр болгон задалж
нэмэгдэхүүн тус бүрээс интеграл авна.
∫ 𝑠𝑖𝑛𝑝𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑞𝑥𝑑𝑥 =
1
2
∫ sin( 𝑝 + 𝑞) 𝑥 +
1
2
∫ sin( 𝑝 − 𝑞) 𝑥 𝑑𝑥 = −
1
2(𝑝+𝑞)
cos( 𝑝 +
𝑞) 𝑥 −
1
2(𝑝+𝑞)
cos( 𝑝 − 𝑞) 𝑥 + 𝐶 үүнтэй адилаар:
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑝𝑥𝑐𝑜𝑠𝑞𝑥𝑑𝑥 =
1
2
∫ cos( 𝑝 + 𝑞) 𝑥𝑑𝑥 +
1
2
∫ cos( 𝑝 − 𝑞) 𝑥𝑑𝑥 =
1
2(𝑝+𝑞)
− sin(𝑝 +
𝑞)𝑥 +
1
2(𝑝−𝑞)
− sin( 𝑝 − 𝑞) 𝑥 + 𝐶
Жишээ11. ∫ 𝑠𝑖𝑛7𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠5𝑥𝑑𝑥 −
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠9𝑥𝑑𝑥 =
1
10
𝑠𝑖𝑛5𝑥 −
1
18
𝑠𝑖𝑛9𝑥 + 𝑐
Жишээ12. ∫ 𝑠𝑖𝑛10𝑥𝑐𝑜𝑠7𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑑𝑥 =
∫ sin10𝑥 [cos7𝑥 cos 4𝑥] 𝑑𝑥 =
1
2
∫ sin10𝑥 [cos 11𝑥 + cos 3𝑥] 𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑠𝑖𝑛10𝑐𝑜𝑠11𝑥𝑑𝑥 +
1
2
∫ 𝑠𝑖𝑛10𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑑𝑥 =
1
4
∫ sin21𝑥 𝑑𝑥 −
1
4
∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 +
1
4
∫ sin13𝑥 𝑑𝑥 +
1
4
∫ sin7𝑥 = −
1
84
cos21𝑥 +
1
4
cos 𝑥 −
1
54
cos13𝑥 −
1
28
cos 7𝑥 + 𝐶
& 7. Зарим хялбар иррационал функцуудыг интегралчлах
1. ∫ 𝑅(𝑥, √
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
𝑛
)𝑑𝑥 (n-натурал тоо)

19. 19
Үүнийг бодохдоо √
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
𝑛
= 𝑡 орлуулга хийж бодно. √
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
𝑛
= 𝑡 𝑛
эндээс 𝑥 =
𝑡 𝑛
−𝑏
𝑎−𝑐𝑡 𝑛 𝑑𝑥 = (
𝑡 𝑛
−𝑏
𝑎−𝑐𝑡 𝑛
)′𝑑𝑡 тул ∫ 𝑅(𝑥, √
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
𝑛
)𝑑𝑥 =
∫ 𝑅 [(
𝑡 𝑛
−𝑏
𝑎−𝑐𝑡 𝑛
), 𝑡] (
𝑡 𝑛
−𝑏
𝑎−𝑐𝑡 𝑛
)
′
𝑑𝑡 = ∫ 𝑟( 𝑡) 𝑑𝑡 нь 𝑡-ийн рациональ функцийг
интегралчлах болно.
∫ 𝑅(𝑥, √𝑎𝑥 + 𝑏
𝑛
)𝑑𝑥 нь √𝑎𝑥 + 𝑏
𝑛
= 𝑡 орлуулгаар рационалчлагдах болно.
2. ∫ 𝑅 [(
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
)
𝑝
𝑞
, (
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
)
𝑟
𝑠
, ⋯, (
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
)
𝑘
𝑚
] 𝑑𝑥 байгаад 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, ⋯ , 𝑘, 𝑚-нь бүхэл тоо
байхад
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
= 𝑡 𝑛
гэж орлуулан бодно.
𝑛- нь 𝑞, 𝑠, ⋯ , 𝑚 тоонуудын хамгийн бага хуваагдагч
Жишээ. ∫
√𝑥−1
3
+ √𝑥−1
4
( 𝑥−1)(1+ √𝑥−1
6
)
𝑑𝑥 3.4.6 тоонуудын хамгийн бага ерөнхий
хуваагдагч нь 12 тул 𝑥 − 1 = 𝑡12
орлуулга хийнэ.
𝑑𝑥 = 12𝑡11
𝑑𝑡
∫
√𝑥−1
3
+ √𝑥−1
4
( 𝑥−1)(1+ √𝑥−1
6
)
𝑑𝑥 = 12 ∫
𝑡11 ( 𝑡4 +𝑡3 ) 𝑡12
𝑡12 (1+𝑡2 )
𝑑𝑡 = 12 ∫ ( 𝑡 + 1 −
𝑡+1
𝑡2 +1
) 𝑑𝑡 = 6 √𝑥 − 1
6
+
12 √𝑥 − 1
12
− 6 ln|√𝑥 − 1
6
| − 12 arctg √𝑥 − 1
12
+ 𝐶
3. аргумент 𝑥-ийн хувьд рациональ ба квадрат язгуурын доор
квадрат гурван гишүүнтийг агуулсан функцийг интегралчлах,
өөрөөр хэлбэл:
∫ 𝑅(𝑥, √𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑑𝑥 хэлбэрийн интегралыг бодох
A. Тригнометрийн орлуулгаар рациональ функцийг интегралчлах
байдалд шилжүүлэх арга.
Энэ аргыг хэрэглэхийн тулд 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 квадрат гурван гишүүнтээс бүтэн
квадрат ялгана.

20. 20
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = (√𝑎𝑥 +
𝑏
2√𝑎
)
2
+ ( 𝐶 −
𝑏2
4𝑎
) хэлбэрт бичээд (√𝑎𝑥 +
𝑏
2√𝑎
) = 𝑢 гэж
орлуулбал квадрат гурван гишүүнт нь ±𝑢2
± 𝑚2
хэлбэрийн аль нэгд
шилжинэ хэрэв уул интеграл нь:
1. ∫ 𝑅( 𝑢, √𝑚2 − 𝑢2) 𝑑𝑢 болвол 𝑢 = 𝑚 sin 𝑡 эсвэл ( 𝑢 = 𝑚 cos 𝑡) орлуулгыг
дахин хэрэглэж sin 𝑡 ба cos 𝑡-ийн хувьд рациональ функцээс авах
интегралд шилжүүлнэ. Жишээ: ∫ 𝑥, √𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥 бодохын тулд 𝑥 = 𝑎 sin 𝑡
орлуулга хэрэглэвэл 𝑑𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 𝑑𝑡 болж 𝑡 = arcsin
𝑥
𝑎
∫ 𝑥,√𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑎 sin 𝑡 √𝑎2 − 𝑎2 sin2 𝑡 ∙ 𝑎 cos 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎3 ∫ sin 𝑡 cos2
𝑡 𝑑𝑡 =
−𝑎3 ∫ cos2
𝑡 𝑑(cos 𝑡) = −𝑎3 cos3
𝑡
3
+ 𝐶 = −
𝑎3
3
[√1 − sin2 (arcsin
𝑥
𝑎
)]
3
=
−
𝑎3
3
[√1 −
𝑥2
𝑎2
]
3
= −
( 𝑎2−𝑥2 )√ 𝑎2−𝑥2
3
+ 𝐶 болно.
2. Хэрэв ∫ 𝑅( 𝑢, √𝑚2 + 𝑢2) 𝑑𝑢 болвол 𝑢 = 𝑚 tg 𝑡 (эсвэл 𝑢 = 𝑚 Ctg 𝑡)
орлуулгын аль нэгээр sin 𝑡 , cos 𝑡-ийн хувьд рациональ функцээс авах
интегралд шилжүүлэн бодно.
Жишээ: ∫
𝑑𝑥
𝑥4 √ 𝑎2+𝑥2
бодохын тулд 𝑥 = 𝑎 tg 𝑡 орлуулга хэрэглэвэл 𝑑𝑥 =
𝑎
cos2 𝑡
𝑑𝑡 √𝑎2 + 𝑥2 =
1
cos 𝑡
𝑡 = arctg
𝑥
𝑎
буюу sin 𝑡 =
𝑥
√ 𝑎2+𝑥2
болохоос
∫
𝑑𝑥
𝑥4 √ 𝑎2+𝑥2
= ∫
𝑎 sec2 𝑡
𝑎4 tg4 𝑡
∙
𝑑𝑡
𝑎 sec 𝑡
=
1
𝑎4
∫
cos3 𝑡
sin4 𝑡
𝑑𝑡 =
1
𝑎4
∫
(1−sin2 𝑡)
sin4 𝑡
𝑑(sin 𝑡) = −
1
3𝑎4 sin3 𝑡
+
1
𝑎4 sin 𝑡
+ 𝐶 = −
( 𝑎2+𝑥2 )
3
2
3𝑎4 𝑥3
+
√ 𝑎2+𝑥2
𝑎4 𝑥
+ 𝐶
3. ∫ 𝑅( 𝑢, √𝑢2 − 𝑚2 ) 𝑑𝑢 бол 𝑢 = 𝑚 sec 𝑡 (эсвэл 𝑢 = 𝑚 𝑐𝑜sec 𝑡) орлуулгын аль
нэгээр sin 𝑡 , cos 𝑡-ийн хувьд рациональ функцийн интегралд
шилжүүлэн бодно.
Жишээ: ∫
𝑑𝑥
𝑥( 𝑥2 −4)
5
2
үүнийг бодохын тулд 𝑥 = 2sec 𝑡 орлуулга хэрэглэвэл:
𝑑𝑥 = 2tg 𝑡 ∙ sec 𝑡 𝑑𝑡 √𝑥2 − 4 = 2 tg 𝑡 болох тул

21. 21
∫
𝑑𝑥
𝑥( 𝑥2 −4)
5
2
= ∫
2 tg 𝑡∙ sec 𝑡𝑑𝑡
2 sec 𝑡∙25 tg5 𝑡
=
1
32
∫ Ctg4
𝑡 𝑑𝑡 =
1
32
∫ Ctg2
𝑡 (cosec2
𝑡 − 1) 𝑑𝑡 = −
1
32
∫ Ctg2
𝑡 𝑑(Ctg 𝑡) −
1
32
∫ cosec2
𝑡 𝑑𝑡 +
1
32
∫ 𝑑𝑡 = −
1
96
Ctg3
𝑡 +
1
32
Ctg 𝑡 +
1
32
𝑡 +
𝐶 𝑥 = 2 sec 𝑡-ээс 𝑡 = arccos
2
𝑥
Ctg 𝑡 =
2
√ 𝑥2 −4
тул
∫
𝑑𝑥
𝑥( 𝑥2 −4)
5
2
= −
1
12( 𝑥2 −4)
3
2
+
1
16√ 𝑥2 −4
+
1
32
arccos
2
𝑥
+ 𝐶
B. ∫ 𝑅( 𝑥, √𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) 𝑑𝑥 хэлбэрийн интегралуудыг бодох Эйлерийн
орлуулгууд
1. Хэрэв 𝑎 > 0 бол √𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑡 ± √𝑎𝑥 орлуулгаар
2. Хэрэв 𝑎 < 0 ба 𝑐 > 0 бол √𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑡𝑥 ± √𝑐 орлуулгаар
3. Хэрэв 𝑎 < 0 ба 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎( 𝑥 − 𝑥1
)( 𝑥 − 𝑥2
) үржигдэхүүнд
задардаг бол √𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑡( 𝑥 − 𝑥1
) орлуулгаар тус тус
рациональ функцээс авах интегралд шилждэг.
C. ∫ 𝑅( 𝑥, √𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) 𝑑𝑥 интегралын бодох тодорхойгүй
коэффициентийн арга
∫ 𝑅( 𝑥, √𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) 𝑑𝑥 интегралыг бодох нь
𝐼. ∫
𝑃( 𝑥) 𝑑𝑥
√ 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐
𝐼𝐼. ∫ 𝑃( 𝑥)√𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑑𝑥 𝐼𝐼𝐼. ∫
𝑑𝑥
( 𝑥−𝑎) 𝑛√ 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐
хэлбэртэй интегралуудын аль нэгийг бодох асуудалд шилждэг 𝑃( 𝑥) нь
𝑛-зэргийн олон гишүүнт юм. ( 𝑛 > 1) 𝐼𝐼 ба 𝐼𝐼𝐼 –ийг 𝐼 рүү шилжүүлж
болдог. Тухайлбал 𝐼𝐼-ийг 𝐼 рүү шилжүүлье.
∫ 𝑃( 𝑥)√𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑑𝑥 = ∫
𝑃( 𝑥)( 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐)
√ 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐
= ∫
𝑃1( 𝑥) 𝑑𝑥
√ 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐
болж нэг рүү шилжлээ.
𝐼𝐼𝐼-ийг нэг рүү шилжүүлэхдээ.
𝑥 − 𝑎 =
1
𝑣
орлуулга хэрэглэвэл 𝑑𝑥 = −
𝑑𝑣
𝑣2
𝑥 =
1+𝑎𝑣
𝑣
болох тул
∫
𝑑𝑥
( 𝑥−𝑎) 𝑛√ 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐
= − ∫
𝑣4
𝑑𝑣
𝑣2 √ 𝑎(1+𝑎𝑣)2
𝑣2 +
𝑏(1+𝑎𝑣)
𝑣
+𝑐
= ∫
𝑃2
( 𝑣) 𝑑𝑣
√ 𝑎𝑣2 +𝑏𝑣+𝑐1
болж 𝑣-ийн
хувьд 𝐼 рүү шилжлээ.

22. 22
Иймд 𝐼-ийг бодох тодорхойгүй коэффициентийн аргыг авч үзэхэд
хангалттай юм.
∫
𝑃( 𝑥) 𝑑𝑥
√ 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐
= 𝑄( 𝑥)√𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 + 𝜆 ∫
𝑑𝑥
√ 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐
( 𝐶)
Үүнд 𝑄( 𝑥) нь 𝑃( 𝑥)-ээс нэг зэргээр дутуу тодорхойгүй коэффициенттай
олон гишүүнт
𝜆 – нь тодорхойгүй коэффициент
байхаар бичиж болдог.
𝜆 болон 𝑄( 𝑥)-ийн тодорхойгүй коэффициентуудыг олохын тулд ( 𝐶)-ийн
хоёр талаас уламжлал аваад гарсан тэгшитгэлийн хоёр талыг
√𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 -ээр үржвэл тэнцүү хоёр олон гишүүнт гарна. Эдгээрийн
адил зэргийн коэффициентуудыг тэнцүүлж тодорхойгүй
коэффициентуудыг олдог. Үүнийг жишээгээр авч үзье.
∫
3𝑥3 −7𝑥2 +1
√ 𝑥2 −2𝑥+5
𝑑𝑥 = ( 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐)√𝑥2 − 2𝑥 + 5 + 𝜆 ∫
𝑑𝑥
√ 𝑥2 −2𝑥+5
байна гэвэл
үүний хоёр талаас уламжлал авбал
3𝑥3
−7𝑥2
+1
√ 𝑥2 −2𝑥+5
= (2𝑎𝑥 + 𝑏)√𝑥2 − 2𝑥 + 5 +
( 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐)
√ 𝑥2 −2𝑥+5
( 𝑥 − 1) +
𝜆
√ 𝑥2 −2𝑥+5
болно. Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг √𝑥2 − 2𝑥 + 5 -аар үржвэл
3𝑥3
− 7𝑥2
+ 1 = 2𝐴𝑥3
+ 𝐵 𝑥2
− 4𝐴𝑥2
− 2𝐵𝑥 + 10𝐴𝑥 + 5𝐵 + 𝐴𝑥3
+ 𝐵𝑥2
+ 𝐶𝑥 −
𝐴𝑥2
− 𝐵𝑥 − 𝐶 + 𝜆 үүнээс тодорхойгүй коэффициентуудыг олвол
𝐴 = 1, 𝐵 = −1, 𝐶 = −13, 𝜆 = −7 тул
∫
3𝑥3
−7𝑥2
+1
√ 𝑥2 −2𝑥+5
𝑑𝑥 = ( 𝑥2
− 𝑥 − 13)√𝑥2 − 2𝑥 + 5 − 7 ∫
1
√( 𝑥−1)2 +4
𝑑( 𝑥 − 1) =
( 𝑥2
− 𝑥 − 13)√𝑥2 − 2𝑥 + 5 − 7 ln| 𝑥 − 1 + √𝑥2 − 2𝑥 + 5| + 𝐶 болно.
Жишээ 2: ∫(4𝑥2
− 6𝑥)√𝑥2 + 3 𝑑𝑥 = ∫
(4𝑥2 −6𝑥)( 𝑥2 +3)
√ 𝑥2 +3
𝑑𝑥 = ( 𝐴𝑥3
+ 𝐵𝑥2
+ 𝐶𝑥 +
𝐷)√𝑥2 + 3 + 𝜆 ∫
𝑑𝑥
√ 𝑥2 +3
𝑑𝑥 болно. Үүний хоёр талаас уламжлал авбал
(4𝑥2 −6𝑥)( 𝑥2 +3)
√ 𝑥2 +3
= (3𝐴𝑥2
+ 2𝐵𝑥 + 𝐶)√𝑥2 + 3 +
( 𝐴 𝑥3 +𝐵𝑥2 +𝐶𝑥 +𝐷) 𝑥
√ 𝑥2 +3
+
𝜆
√ 𝑥2 +3
энэ
тэгшитгэлийн хоёр талыг √𝑥2 + 3 -аар үржүүлбэл

23. 23
4𝑥4
− 6𝑥3
+ 12𝑥2
− 18𝑥 = 3𝐴𝑥4
+ 2𝐵 𝑥3
+ 𝐶𝑥2
+ 9𝐴𝑥2
+ 6𝐵𝑥 + 3𝐶 + 𝐴𝑥4
+
𝐵𝑥3
+ 𝐶𝑥2
+ 𝐷𝑥 + 𝜆 тэнцэтгэлийн зүүн гар талыг эмхэтгэж хоёр талын
ижил зэргүүдийн коэффициентуудыг тэнцүүлж тодорхойгүй
коэффициентуудыг олвол
𝐴 = 1, 𝐵 = −2, 𝐶 =
2
3
, 𝐷 = −6, 𝜆 = −4,5 болох тул
∫(4𝑥2
− 6𝑥)√𝑥2 + 3 𝑑𝑥 = = ( 𝑥3
− 2𝑥2
+
2
3
𝑥 − 6) √𝑥2 + 3 − 4,5 ∫
𝑑𝑥
√ 𝑥2 +3
=
( 𝑥3
− 2𝑥2
+
2
3
𝑥 − 6) √𝑥2 + 3 − 4,5 ln| 𝑥 + √𝑥2 + 3 | + 𝐶
Жишээ 3: ∫
4𝑑𝑥
𝑥3 √4𝑥2 −1
үүнийг бодохын тулд 𝐼 хэлбэр рүү урьдаар
шилжүүлнэ. Үүний тулд: 𝑥 =
1
𝑣
орлуулга хэрэглэвэл ( 𝑣 =
1
𝑥
) 𝑑𝑥 = −
𝑑𝑣
𝑣2
байхаас
∫
4𝑑𝑥
𝑥3 √4𝑥2 −1
= − ∫
4𝑣3
𝑑𝑥
𝑣2 √
4
𝑣2−1
= − ∫
4𝑣2
𝑑𝑥
√4−𝑣2
;
− ∫
4𝑣2
𝑑𝑣
√4−𝑣2
= ( 𝐴𝑣 + 𝐵)√4 − 𝑣2 + 𝜆 ∫
𝑑𝑣
√4−𝑣2
Үүний хоёр талаас уламжлал авбал
−
4𝑣2
√4−𝑣2
= 𝐴√4 − 𝑣2 +
( 𝐴𝑣+𝐵)(−𝑣)
√4−𝑣2
+
𝜆
√4−𝑣2
Хоёр талыг нь √4 − 𝑣2 -аар үржиж тэнцэтгэлийн хоёр талыг 𝑣-ийн ижил
зэргийн коэффициентуудыг тэнцүүлж тодорхойгүй коэффициентуудыг
олвол
𝐴 = 2, 𝐵 = 0, 𝜆 = −8 болохоос
∫
4𝑑𝑥
𝑥3 √4𝑥2 −1
= 2𝑣√4 − 𝑣2 − 8arcsin
1
2𝑥
+ 𝐶 болно.
& 8. Бином дифференциалыг интегралчлах
Тодорхойлолт: 𝑥 𝑚( 𝑎 + 𝑏𝑥 𝑛) 𝑃
𝑑𝑥 -илэрхийллийн 𝑚, 𝑛, 𝑝 нь рациональ тоо
байвал уул илэрхийллийг бином дифференциал гэнэ.
∫ 𝑥 𝑚( 𝑎 + 𝑏𝑥 𝑛) 𝑃
𝑑𝑥 интеграл нь

24. 24
1. 𝑝 бүхэл бол 𝑥 = 𝑡 𝜆
(𝜆-нь 𝑚, 𝑛-ийн ерөнхий хуваарь) орлуулгаар
рациональ функцийн интегралд шилжин бодогдоно.
2.
𝑚+1
𝑛
-бүхэл тоо бол √𝑎 + 𝑏𝑥 𝑛𝑠
= 𝑡 (𝑠-нь 𝑝-ийн хуваарь) орлуулгаар
рациональ функцийн интегралд шилжин бодогдоно.
3.
𝑚+1
𝑛
+ 𝑝 -бүхэл тоо бол 𝑏 + 𝑎𝑥−𝑛
= 𝑡 (𝑠-нь 𝑝-ийн хуваарь) орлуулгаар
рациональ функцэд шилжин бодогдоно. Энэ гурван тохиолдлоос
бусад тохиолдолд ∫ 𝑥 𝑚( 𝑎 + 𝑏𝑥 𝑛) 𝑃
𝑑𝑥 -нь элементар функцээр
интегралчлагдахгүй гэдгийг П.Л.Чебышев баталсан байна.
& 9. Элементар функцээр интегралчлагдахгүй зарим функцийн жишээ
Өмнөх бодлогуудад бид тодорхойгүй интеграл нь элементар функцээр
илэрхийлэгддэг функцүүдийн интегралыг бодох аргуудыг авч үзсэн гэтэл
интеграл нь элементар функцүүдээр илэрхийлэгдэхгүй элементар
функцүүд байдаг. Жишээлбэл: ∫ 𝑅 ( 𝑥, √𝑃( 𝑥)) 𝑑𝑥 интегралын 𝑃( 𝑥) нь гурав
ба дөрөвдүгээр зэргийн олон гишүүнт байвал уул интеграл элементар
функцээр илэрхийлэгдэхгүй. Ийм интегралуудыг эллипслэг интегралууд
гэнэ. Хэрэв 𝑃( 𝑥) -ийн зэрэг 4-өөс их бол хэт эллипслэг интеграл гэж
нэрлэнэ. Үүнээс гадна ∫ 𝑒−𝑥2
𝑑𝑥 (Пуссоноы интеграл)
∫ sin 𝑥2
𝑑𝑥 ∫ cos 𝑥2
𝑑𝑥 (Фрешлийн интеграл)
∫
𝑑𝑥
ln 𝑥
; ∫
𝑒 𝑥
𝑥
𝑑𝑥; ∫
sin 𝑥
𝑥
𝑑𝑥; ∫
cos 𝑥
𝑥
𝑑𝑥
гэх мэт олон интеграл элементар функцүүдээр интегралчлагддаггүй.
& 10. Гипербол функцүүдийг интегралчлах
1. ∫ 𝑅(sh 𝑥 , ch 𝑥) 𝑑𝑥 энд 𝑅( 𝑢, 𝑣) 𝑢, 𝑣-ийн хувьд рациональ функц бол
th
𝑥
2
= 𝑡 орлуулгаар бодно.
Энэ орлуулгаар sh 𝑥 =
2𝑡
1−𝑡2
; ch 𝑥 =
1+𝑡2
1−𝑡2
; 𝑑𝑥 =
𝑑𝑡
2(1−𝑡2 )
болох тул

25. 25
∫ 𝑅(sh 𝑥 , ch 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑅 (
2𝑡
1−𝑡2
,
1+𝑡2
1−𝑡2
) ∙
𝑑𝑡
2(1−𝑡2)
𝑡-ийн хувьд рациональ бутархайг
интегралчлах хэлбэрт шилжинэ. Үүнээс гадна 𝑡 = th 𝑥 , 𝑡 = sh 𝑥 , 𝑡 = ch 𝑥
Орлуулгуудыг интегралын доорхи функцийн өгөгдсөн байдлаас
хамааруулан хэрэглэж болно.
2. Интегралын доорхи функцийг (адилтгалаар) хувиргах замаар
гипербол функцийг таблицын интегралд шилжүүлж бодож болно.
3. Хэсэгчлэн интегралчлах аргыг хэрэглэж болно.
Жишээ: ∫
1
sh 𝑥 + ch 𝑥
𝑑𝑥
th
𝑥
2
= 𝑡 гэж орлуулбал sh 𝑥 =
2𝑡
1−𝑡2
; ch 𝑥 =
1+𝑡2
1−𝑡2
; 𝑑𝑥 =
𝑑𝑡
2(1−𝑡2 )
байх тул
∫
1
sh 𝑥 + ch 𝑥
𝑑𝑥 = ∫
1
2𝑡
1−𝑡2+
1+𝑡2
1−𝑡2
∙
𝑑𝑡
2(1−𝑡2 )
= ∫
1
(1+𝑡)2
(1−𝑡2)
∙
𝑑𝑡
2(1−𝑡2)
=
1
2
∫
𝑑𝑡
(1+𝑡)2
=
1
2
∫(1 +
𝑡)−2
𝑑(1 + 𝑡) = −
1
2
∙
1
1+𝑡
+ 𝐶 = −
1
2(1+th
𝑥
2
)
+ 𝐶
Бодит аргументтай комплекс утгатай функцийн тодорхой бус интеграл
Хэрэв 𝑍( 𝑥) = 𝑢( 𝑥) + 𝑖𝑣( 𝑥) комплекс функц өгөгдсөн бол
∫ 𝑍( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫[ 𝑢( 𝑥) + 𝑖𝑣( 𝑥) ] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢( 𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑖 ∫ 𝑣( 𝑥) 𝑑𝑥 гэж бодно.
𝑍( 𝑥) = ( 𝑥2
+ 𝑖 sin 𝑥) бол
∫ 𝑍( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 + 𝑖 ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥3
3
+ 𝑖 cos 𝑥 + 𝐶