8. Мөнгө, сангийн бодлогын харилцан үйлчлэлийн динамик
2009 он
Энэ хэсэгт бид зарим алгебрийн удирдлагын шинжүүр ба үндсэн
ойлголтыг оруулсан.
1.2.1
Тасралтгүй
чанар
хугацааны
системийн
удирдагдах
Тодорхойлолт 1.2.1
.
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t )
y(t ) = Cx(t ) + Du (t )
(1.2.1)
Энэ системийг удирдагддаг гэж нэрлэх ба хэрэв u(t) ,
0 ≤ t ≤ t1
оролтын хувьсагчийн сонголтоор ямар нэг анхны төлөв x (0) -оос
эхлэн t1 төгсгөлөг хугацаанд ямар нэг эцсийн төлөв x1 = x (t1 )
хүртэл системийг жолоодож болно.
Тайлбар: (1.2.1) системийн
удирдирдагдах чанар нь
үргэлж ( A, B ) хосын удирдагдах чанар байх шалтгаан нь доорх
теоремоос тодорхой болно.
Теорем 1.2.1 (Тасралтгүй хугацааны удирдагдах чанарын
шалгуур)
n×n
ба
B∈¡
(i)
A∈ ¡
(1.2.1) систем нь удирдагддаг байна.
n×m
( m ≤ n). Дор дурдсан зүйлүүд эквивалент
байна.
n × nm хэмжээст
(ii)
матрицын бүтэн ганк n байна.
t1
(iii)
CM = ( B, AB, A2 B,..., An−1 B)
WC = ∫ e At BBT e A t dt
T
матриц нь ямар ч
0
t1 > 0 үед сингуляр биш байна.
(iv)
Хэрэв AT -ийн хувийн хос
хэлбэл xT A = λ xT бол xT B ≠ 0 .
(v)
A -ийн
A − λ I , B ) = n байна.
λ
хувийн
утга
(λ , x) өөрөөр
болгонд
Rank(
9. Мөнгө, сангийн бодлогын харилцан үйлчлэлийн динамик
2009 он
(vi)
A − BK -ийн хувийн утгууд нь (хосмог
хосын хувийн утгууд болж гарна ) K -ийн сонголтоор хэд
л бол хэдэн удаа тавигддаг.
Тодорхойлолт
1.2.2
CM = ( B, AB, A2 B,..., An−1 B )
удирдагдах чанарын матриц гэж нэрлэдэг.
1.3
матрицыг
Буцах холбооны төлвийн тогтворжилт
Энэ хэсэгт
.
x(t ) = Ax(t ) + Bu(t )
y(t ) = Cx(t ) + Du (t )
(1.3.1)
шугаман системийг тогтворжуулдаг бодлогыг авч үзъе.
x(t ) -ийн төлөв мэдэгдэж байгаа гэж үзээд
u (t ) = v(t ) − Kx(t )
(1.3.2)
гэж сонгоцгооё. Энд K нь тогтмол матриц ба v(t ) нь оролтын
вектороос хамаардаг.
Тэгвэл энэ оролтын вектор u (t ) -г өгч систем дотор буцвал
.
x(t ) = ( A − BK ) x(t ) + Bv(t )
y(t ) = (C − DK ) x(t ) + Dv(t )
(1.3.3)
систем олж авна. (1.3.1) системийн тогтворжуулдаг бодлого нь
(1.3.3) систем тогтвортой болж байх үед K ололтын бодлого
болно. Буцах холбооны төлвийн тогтворжилтын бодлого нь
дараах байдлаар томъёологддог.
( A, B ) матрицын хос өгөгдсөн ба
матрицыг олох юм
A − BK тогтвортой байх
K
Буцах холбооны төлвийн бодлогын график нь доорх байдлаар
дүрслэгдсэн байна.
10. Мөнгө, сангийн бодлогын харилцан үйлчлэлийн динамик
Зураг 1 :
2009 он
Буцах холбооны төлөвийн гадаад хэлбэр
Дараагийн дэд хэсэгт бид
K матриц олдож байх доорх
нөхцлүүдэд судална.
оршин
байх
үед
түүнийг
буцах
холбооны
K матриц
тогтворжуулдаг матриц гэж нэрлэдэг ба энэ тохиолдолд ( A, B)
хосыг тогтворжуулагчтай хос гэж нэрлэдэг. (1.3.3) системийг
битүү хүрээний систем гэх ба A − BK матрицыг битүү хүрээний
матриц гэж нэрлэдэг.
Бид Ляпуновын матрицан тэгшитгэлүүдийн тусламжтайгаар буцах
холбооны тогтворжуулдаг матрицыг байгуулах алгоритм ба
тогтворжуулгчийн энгийн шалгуурыг гаргана.
1.3.1
Тогтворжуулагч ба Удирдагдах чанар
Энэ хэсэгт бид өгөдсөн ( A, B ) хос тогтворжуулагчтай хос
байх зайлшгүй ба хүрэлцээтэй нөхцлийг тодорхойлно.
Теорем 1.3.1 ( Тасралтгүй хугацааны тогтворжуулагч чанарын
тодорхойлолт)
Дор дурдсан зүйлүүд эквивалент байна.
(i)
( A, B ) нь тогтворжуулагчтай
(ii)
Бүх Re(λ ) ≥ 0 үед
rank( A − λ I , B ) = n .
Өөрөөр хэлбэл A -ийн тогтворгүй хэлбэр нь удирдагддаг.
11. Мөнгө, сангийн бодлогын харилцан үйлчлэлийн динамик
(iii)
x* A = λ x* ба Re(λ ) ≥ 0 байх бүх
байвал x* B ≠ 0 .
2009 он
λ ба x ≠ 0
Өгүүлбэр 1.3.1 Хэрэв ( A, B ) хос нь удирдагддаг бол тэр
нь тогтворжуулагчтай байх ёстой.
Баталгаа: Хэрэв ( A, B ) нь удирдагддаг бол удирдагдах
чанарын шалгуур хувийн утгаар дахин λ болгонд rank( A − λ I , B
) = n байна. Цаашилбал Re(λ ) ≥ 0 байх λ болгонд rank( A − λ I , B
) = n байна. Эдгээрээс ( A, B) нь тогтворжуулагчтай байна.
Дээрх үр дүнгээс удирдагдах чанар нь тогтворжуулагч
чанарыг харуулдаг гэж бидэнд хэлж байна. Хэдий тийм боловч
эсрэг нь үнэн биш байна. Тогтворжуулагч чанар нь урт удаан
хугацааны турш тогтворгүй хэлбэрүүд нь удирдагддаг байна гэж
батлагдсан.
Доорх
энгийн
жишээн
дээр
гол
утгыг
нь
тайлбарлъя.
1 1 1
A = 0 2 1 ÷,
÷
0 0 −3 ÷
1
b = −1 ÷ .
÷
0÷
( A, b) нь удирдагддаггүй ; rank( (b, Ab, A2b) ) = 2.
Хэдий тийм боловч A − bf T хувийн утгууд нь { − 10, ±11.4891 j , −3 }
байх f T = (−126.5, −149.5, 0) мөр вектор байна. Иймээс A − bf T нь
тогтвортой гэдэг нь ( A, b) нь тогтворжуулагчтай байна.
1.4 Илрүүлэгч чанар
Тодорхойлолт 1.4.1 Хэрэв A − LC тогтвортой байх L матриц
оршин байвал ( A, C ) хос нь илрүүлэгчтэй байна. Теорем 1.3.1
–ийн хоердмол шинжээр доорх үр дүнгээр томъёолж болно.
Теорем 1.4.1 ( Тасралтгүй хугацааны илрүүлэгч
тодорхойлолт) Доорх нөхцлүүд эквивалент байна.
чанарын
12. Мөнгө, сангийн бодлогын харилцан үйлчлэлийн динамик
2009 он
(i) ( A, C ) нь илрүүлэгчтэй.
A − λI
матрицын бүх Re(λ ) ≥ 0 үед бүтэн
C ÷
(ii)
багана рангтай байна.
(iii) Ax = λ x ба Re(λ ) ≥ 0 байх бүх
байвал Cx ≠ 0 байна.
λ ба x ≠ 0
(iv) ( AT , C T ) нь тогтворжуулагчтай байна.
Теорем
1.4.2
(Илрүүлэгч
ба
тогтвортой
чанар)
( A, C ) байх
илрүүлэгчтэй байг бас Ляпуновын тэгшитгэл XA + AT X = −C T C
эерэг хагас тодорхойлогдсон X шийдтэй байг . Тэгвэл A нь
тогтвортой матриц байна.
1.5
Тасралтгүй
хугацааны
тогтворжуулагч (LQR ) бодлого
Q áà R
шугаман
квадрат
өгөгдсөн матрицууд.
.
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t )
x(0) = x0
∞
квадрат
олох
J c ( x) = ∫ xT (t )Qx (t ) + u T (t ) Ru (t ) dt
0
өртгийн функц хамгийн бага байх u (t ) удирдах
дохиог
Q áà R
матрицууд төлөв ба удирдах векторуудын нөлөөллийг
харгалзан гаргадаг.
xT Qx квадрат хэлбэр нь анхны төлөвөөс x төлөвийн хазайлтыг
гаргадаг.
uT Ru гишүүн нь удирдлагын “өртөг” -ийг гаргадаг.
Q áà R
матрицуудыг тодорхой загварын шаардлагаар сонгох
хэрэгтэй.
u удирдах дохионы
Тэмдэглэл R ийг
тохиромжтой
сонгохоор
хэмжигдэхүүн зөв удирдагдсан болно. Үнэндээ
R -ийг их
сонгохоор u (t ) хүсүүштэй бага гарах болно.
Q -ийн сонголт нь ямар төлөвүүдэд хамаарах нь хадгалалт
бага байна. Харамсалтай нь дахин Q áà R -ийг яаж сонгоx
13. Мөнгө, сангийн бодлогын харилцан үйлчлэлийн динамик
2009 он
тодорхой заавар тавих хэцүү. Эдгээр тоо хэмжээний сонголт нь
дахин шинжлэх ухаанаас илүү урлагын байна. (Kailath (1980),
pp. 219). Чухал ач холбогдолтой оптимацийн бодлогын хувьд Q
нь симметр эерэг хагас тодорхойлогдсон ба R нь симметр эерэг
тодорхойлогдсон.
Өөрөөр
сануулсангүй
бол
эдгээр
таамаглалуудыг бүлгийн төгсгөлд хийх болно.
Дээрх бодлогын шийдийг алгебрийн Риккатийн тэгшитгэл гэж
нэрлэдэг
квадрат
матрицан
тэгшитгэлийн
шийдийн
тусламжтайгаар
олох
болно
гэдгийг
дараах
үр
дүнгээр
үзүүлнэ.
Теорем 1.5.1 ( Тасралтгүй хугацааны LQR теорем) ( A, B) хос
нь тогтворжуулагчтай ба ( A, Q) нь илрүүлэгчтэй гэж үзье.
Тэгвэл J c ( x) хамгийн бага байх цорын ганц оновчтой удирдлага
u 0 (t ) оршин байна. u 0 (t ) вектор нь u 0 (t ) = − Kx (t ) -ээр өгөгдсөн,
энд K = R −1 BT X ба X нь
XA + AT X + Q − XBR −1BT X = 0
(1.5.1)
Риккатийн Матрицан Тэгшитгэлийн (РМТ) шийд цорын ганц эерэг
хагас тодорхойлогдсон байна. Үүнээс гадна битүү хүрээний
матриц A − BK нь тогтвортой ба J c ( x) -ийн хамгийн бага утга
нь x0T Xx0 -тэй тэнцүү байна, энд x0 = x (0) .
Тодорхойлолт 1.5.1 Алгебрийн Риккатийн тэгшитгэл
XA + AT X + Q − XSX = 0
(1.5.2)
энд S = BR −1 B T ийг Тасралтгүй хугацааны алгебрийн Риккатийн
тэгшитгэл буюу товчоор РМТ гэж нэрлэдэг.
Тодорхойлолт 1.5.2
тодорхойлогдсон H матриц нь
A −S
H =
T ÷
−Q − A
-ээр
(1.5.2) CARE-тэй нэгтгэсэн Гамильтоны матриц байна.
Тодорхойлолт 1.5.3
A − SX нь тогтвортой байх
симметр шийд X -ийг тогтворжуулдаг шийд гэдэг.
CARE-ийн
14. Мөнгө, сангийн бодлогын харилцан үйлчлэлийн динамик
Гамильтоны
холбоо
матриц
ба
Риккатийн
тэгшитгэлүүдийн
2009 он
хоорондох
Доорх теоремоор (1.5.2) CARE ба (1.5.3) Гамильтоны матрицын
хоорондох маш чухал холбоо оршин байна гэж үзүүлнэ.
( A, B ) нь
( A, Q)
Теорем
1.5.2
тогтворжуулагчтай
ба
илрүүлэгчтэй байг.Тэгвэл Гамильтоны матриц H -ийн n хувийн
утгууд нь сөрөг бодит хэсгүүдтэй, хувийн тэнхлэгүүд дээр
n хувийн утгууд нь эерэг бодит
хувийн
утгуудгүй ба
хэсгүүдтэй. Энэ тохиолдолд (1.5.2) CARE нь цорын ганц
тогтворжуулдаг шийд X байна. Үүнээс гадна битүү хүрээний
хувийн утгууд нь A − BK -ийн хувийн утгууд , H -ийн хувийн
утгууд тогтвортой байна.
CARE –ийн шийд дээрх тэмдэглэл:
(1.5.2) –ийн цорын ганц тогтворжуулдаг шиидийг (1.5.3) –ийн
Гамильтоны
матриц
H -ийн тогтвортой хувийн утгуудтай
харгалзах инвариант дэд огторгуй байгуулахаар олохыг бүлэг
13 –д үзүүлнэ. Онцгойлон хэрэв H нь ямар нэг хуурмаг хувийн
X1
÷ нь H -ийн тогтвортой хувийн утгуудад
X2
утгууд байхгүй ба
харгалзах хувийн векторуудын нийлмэл багануудтай матриц бол
X 1 нь сингуляр биш , X = X 2 X 1−1 матриц нь CARE-ийн цорын
ганц тогтворжуулдаг шийд гэж гаргадаг. Matlab-ийн функц
care нь CARE-ийг боддог. CARE-д S матриц нь сөрөг биш
тодорхойлогдсон гэж үзнэ.
Тасралтгүй хугацааны LQR загварын алгоритм
Теорем 1.5.1-ээс доорх LQR загварын алгоритмыг шууд ойлгоно.
Алгоритм
1.5.1
(
Тасралтгүй
хугацааны
LQR
загварын
алгоритм)
Оруулах: A, B, Q, R, ба x (0) = x0 .
Гаргах:
X -CARE-ийн шийд
K -LQR буцах холбооны матриц
J c min -Өртгийн функц J c ( x) -ийн хамгийн
бага утга
Таамаглал:
1. ( A, B ) нь тогтворжуулагчтай ба ( A, Q ) нь илрүүлэгчтэй.
2. Q нь симметр эерэг хагас тодорхойлогдсон ба R нь симметр
эерэг тодорхойлогдсон.
1-р алхам
CARE-ийн тогтворжуулдаг шийд X -ийг тооцоолох
нь:
15. Мөнгө, сангийн бодлогын харилцан үйлчлэлийн динамик
2009 он
XA + AT X − XSX + Q = 0
S = BR −1 BT .
2-р алхам
LQR буцах холбооны матрицыг тооцоолох нь:
3-ралхам
J c ( x) -ийн хамгийн бага утгыг тооцоолох нь:
K = R −1 BT X
J c min = x0T Xx0
CARE –ийн симметр эерэг хагас тодорхойлогдсон тогтворжуулдаг
шийдүүд
Теорем 1.5.3 (тогтворжуулдаг шийдийн оршин байх ба цорын
ганц байх чанар)
R ≥ 0 áà Q ≥ 0,Q ≠ 0 гэж үзье. Тэгвэл доорх нөхцлүүд эквивалент
байна.
1. Тасралтгүй хугацааны алгебрийн Риккатийн тэгшитгэл
XA + AT X − XBR −1 BT X + Q = 0
нь цорын ганц эерэг хагас тодорхойлогдсон тогтворжуулдаг X
шийдтэй байна.
( A, B ) нь тогтворжуулагчтай ба харгалзах Гамельтоны
2.
матриц H цэвэр хуурмаг биш хувийн утгуудтай байна.
1.6 Тогтворжилтыг удирдах загвар
Бодлогын чухал зүйл нь системийн тогтворжилтыг аль болох
хүсэн хүлээж буй замдаа ойрхон байлгах юм. Илүү нарийн өгсөн
систем нь
.
x = A(t)x(t)+ B(t)u(t)
(1.6.1)
Энд
x ∈ R n , u ∈ R r ,(r ≤ n), зорилго нь
удирдлагыг хамгийн бага байлгах юм.
Шугаман тогтворжуулагч бодлогын хувьд
u*
гэсэн
зохимжтой
16. Мөнгө, сангийн бодлогын харилцан үйлчлэлийн динамик
2009 он
1
1T T
T
J = x(T ) Sx(T ) + ∫ ( x Qx + u T Ru )dt
2
20
(1.6.2)
Энд Q ба R нь эерэг тодорхойлогдсон матрицууд
Гамильтоны функц нь:
1
H = ( xT Qx + u T Ru ) + pT ( t )( A( t )x( t ) + B( t )u( t ))
2
0 = H u = R u( t ) + BT ( t ) p( t ) ⇒ u ∗ = − R − 1 B T ( t )p( t )
(1.6.3)
(1.6.4)
g
x = H p = A x + B u ∗ = A x − B R − 1BT p
g
p = − H x = −Q x − AT p
p(T)=Sx(T)
Өөрөөр хэлбэл
g
x A − B R − 1 BT
g =
p −Q − AT
x
p
(1.6.5)
p( t ) = K x( t )
(1.6.6)
Энд K( t ) нь (1.6.5)-ийн шилжилтийн матрицын урвуу хэсэг
(1.6.6)-г (1.6.4)-д орлуулбал
u ∗ ( t ) = − R − 1BT K x( t )
(1.6.7)
(1.6.7)-г (1.6.1)-д орлуулбал
g
x( t ) = ( A − B R − 1 BT X )x( t )
(1.6.8)
p( t ) = K( t )x( t ) үүнийг дифференциалчилж (1.6.8)-г орлуулбал
g
g
g
g
p (t ) = K (t ) x(t ) + K (t ) x(t ) = [ K + K ( A − B R − 1B T K ) ] x (t ) (1.6.9)
Мөн (1.6.5) ба (1.6.6)-аас
g
p( t ) = −( Q + AT K )x( t )
(1.6.10)
(1.6.9) , (1.6.10)-ийг тэнцүүлбэл
g
[ K + K A + AT K − K B R − 1 BT K + Q ] x (t ) = 0
(1.6.11)
(1.6.11) нь x0 -ийн бүх дурын сонголтын хувьд K (t ) нь x0 -оос
үл хамаарах ба (1.6.11) –ийн матриц тэг болно.
17. Мөнгө, сангийн бодлогын харилцан үйлчлэлийн динамик
2009 он
g
K = − K A − AT K + K B R − 1 B T K − Q
(1.6.12)
p (T ) = S x(T ) ба
(1.6.6)-аас
K (T ) = S
(1.6.13)
захын нөхцөлтэй болно.
Теорем 1.6 (1.6.1) систем ба (1.6.2) функционал өгөгдсөн энд
u (t ) нь зааглагдаагүй,
S , Q нь эерэг хагас
T өгөгдсөн ба
тодорхойлогдсон
ба
эерэг
тодорхойлогдсон,
энд
R
∗
−1 T
u ( t ) = − R B ( t )K( t )x( t ) буцах холбооны удирдлага цор ганц
оршин байх бөгөөд энд K (t ) нь (1.6.13) захын нөхцлийг
хангадаг (1.6.12) Риккатийн тэгшитгэлийн цор ганц шийд
байна.
Жишээ 4 ( жишээ1-д удирдлага оруулж ирж тогтворжуулах )
.
(4.1)
x=Ax+B u
2 1
Энд A =
÷
1 2
1 0
B=
÷
0 1
1 0
Q=
÷
0 1
1 0
R=
÷
0 1
1. XA + AT X − XSX + Q = 0
S = BR −1 BT
Матлав дээрх функцийг хэрэглэж CARE –ийн шийд X-ийг олбол
4.2882 1.8740
X =
÷
1.8740 4.2882
2. Теорем 1.5.1
болно.
ёсоор
u = − K x (t )
болно.
Үүнийг ( 4.1 )-д орлуулбал
4.2882 1.8740
÷
1.8740 4.2882
энд K =
.
x(t ) = ( A − BK ) x(t )
-2.2882 -0.8740
A − BK =
÷ матрицын хувийн утгыг олбол
-0.8740 -2.2882
-2.2882-λ
-0.8740
=0
-0.8740 -2.2882-λ
Re(λ1 ) = -1.4142<0 Re(λ2 ) = -3.1623<0
c( λ ) =
буюу
18. Мөнгө, сангийн бодлогын харилцан үйлчлэлийн динамик
2009 он
1
0
5
0
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
Улсын өрийн тогтворжилт. Улсын өр
x(t ) нь
шинээр
зээлэх u (u>0) буюу эргүүлж төлөх u (u<0)
зардлын хүүгээр хуримтлагддаг. Өөрөөр хэлбэл
болон
ax( t )
Жишээ 5
.
x = a x( t ) + u ( t )
;
x( 0 ) = x0
Зорилго
нь
J=
1 ∞
2
2
∫0 ( q x + r u )d t
2
олох.
Энд q,r > 0 . Энэ тохиолдолд
Гамильтоны функц нь:
функционалийн
минимумыг
S = 0, A = a, B = b = 1, Q = q, R =r ба
1
H = ( qx 2 + r u 2 ) + p( t )( ax( t ) + u( t ))
2
p
K
0 = H u = r u + p ⇒ u* = − = −( )x( t )
r
r
K тогтмол байхад (12) нь
k 2 − 2rak − rq = 0
β= a 2 + q / r
k = ar ± a 2 r 2 + r q = ar ± r a 2 r + 1 / r
k = ( a + β )r
Оновчтой улс төрийн бодлого нь
u ∗ ( t ) = −( a + β )x( t )
g
x = ax( t ) + u( t ) = − β x( t )
x∗ ( t ) = x0 e − β t оновчтой эргүүлж төлөх улс төрийн бодлогын шийд
19. Мөнгө, сангийн бодлогын харилцан үйлчлэлийн динамик
2009 он
u ∗ ( t ) = −( a + β )x0e − β t Эцсийн үр дүнд β -ийн хэмжээнээс улсын
өр багасдаг.
Жишээ 6 ( Үржүүлэгч хурдасгагч тогтворжилтын загвар)
Үржүүлэгч хурдасгагч загварын төлөөлөгч Samuelson(1939)Hicks(1950)- ийг авч үзье.
g
I (t ) = υY + G
S (t ) = s Y (t )
g
Y = h[ I (t ) − S (t ) ] = −
s
1
Y (t ) +
G (t )
1− υ
1− υ
g
буюу y (t ) = a y (t ) + b g (t )
Зорилго нь J =
энд
I (t ) =нийт
1 ∞
2
2
∫0 (q y + r g )d t → min
2
хөрөнгө
оруулалтын
эрэлт
нь
хувийн
g
υ Y ( υ =тогтмол хурдасгагч) ба
засгийн газрын хөрөнгө оруулалт G хоёрын нийлбэр. S =нийт
хадгаламж нь Y =GNP, y (t ) ≡ Y (t ) − Y * , g (t ) ≡ G (t ) − G *
энд Y * , G *
оруулагдсан хөрөнгө оруулалт
нь оновчтой бүтэн ажил эрхлэлт GNP ба засгийн газрын
a ≡ − s / (1 − υ) , b ≡ 1/ (1 − υ) , q, r =эерэг
зарцуулалт
,
тогтмол
жингүүд.
Гамильтоны функц нь
1
b
b
H = ( qy 2 + r g 2 ) + p( ay + bg ),H g = 0 ⇒ g = − ÷ p = − ( ky + υ )
2
r
r
энд l i m k (t ) = k , ямар нэг тогтмол.(1.6.12) тэгшитгэл
t →∞
k 2 − 2(a r / b 2 )k − r q / b 2 = 0
буюу
k = ( r / b 2 ) (a + a 2 + q b 2 / r ) .
Энэ
g
нь
бараг
жишээ1-
тэй
адилхан.
Эцсийн
шийд
нь
y = a y + b g * = (a − b 2 k / r ) y ≡ m y
энд m ≡ a − b 2 k / r = −( s + q / r )1/ 2 / (1 − υ) 2 < 0 , ба y * (t ) = y0 e m t , өөрөөр
хэлбэл t → ∞ үед Y (t ) → Y * байна.
Жишээ 7 (Кейнсийн динамик IS-LM загвар)
20. Мөнгө, сангийн бодлогын харилцан үйлчлэлийн динамик
2009 он
Улсын орлого ( Y ) өргөн хэрэглээний зүйлийн эрэлтийн
үлдэгдлийг
үнэлэх
хялбарчилсан
Кейнсийн
загварыг
авч
үзье.Өөрөөр хэлбэл ( I ) хөрөнгө оруулалтын илүүдэл дээр
хадгаламж ( S ) ба хүүгийн хэмжээ хоёрыг үлдэгдэл мөнгөний
эрэлт L(Y , r ) -ээр үнэлэх мөн өр төлөх давуу эрх гэж нэрлэдэг,
системийн гадна тодорхойлогдсон мөнгөний нийлүүлэлт ( M )
өөрөөр хэлбэл
g
Y = h1 ( I − S )
g
r = h2 [ L(Y , r ) − M ]
энд I = I 0 − α r = хөрөнгө оруулалтын функц
S = S p + S g ≡ s (Y − T ) + (T − G ) = хадгаламжийн функц
S p = хувийн хадгаламж = a ганц удаагийн орлого (Y − T ) -ийн s
( 0 < s < 2 ) тогтмол харьцаа ба
S g = засгийн газрын хадгламж = Татвар (T ) хасах зардал (G),
хоёулаа системийн гадна өгөгдсөн
hi = тохиргооны эерэг тогтмол хурдууд ( i =1,2)
( энгийн чанарын хувьд h1 = 1 = h2 )
L(Y , r ) = өр төлөлтийн функц = ажил хэрэг явуулах эрэлт (k Y )
ба алдагдалтай
эрэлт ( − β r )
M = системийн гадна тодорхойлогдсон мөнгөний нийлүүлэлт.
Бүх коэффициентууд α , β , k , s нь эерэг тогтмолууд.
Хоёр нэгдүгээр эрэмбийн шугаман орлуулалт өгөх тухайлбал
−s
g
T
x = A x − b энд x = (Y , r ) , A ≡
k
g −s
Y ÷=
g
r ÷ k
−α
÷
−β÷
-α Y (1 − s )T − G
−
− β r
M
c ( λ ) = λ 2 − τ λ + δ ≡ λ 2 + ( s + β )λ + ( s β + α k ) = 0
энд τ ≡ t r ( A) ; δ ≡ d e t A .
1
1
1
λ = (τ ± τ 2 − 4δ ) ≡ [−( s + β ) ± (− s − β ) 2 − 4( s β + α k )] = [− β − s ± ∆ ]
2
2
2
2
энд ∆ ≡ ( β − s ) − 4α k .
Шийд нь
x (t ) = e a t ( x 0 − x ε ) + x = P e t P − 1 ( x 0 − x ε ) + x ε
34. Мөнгө, сангийн бодлогын харилцан үйлчлэлийн динамик
2009 он
Ном зүй
1. Marek SZYDLOWSKI and Adam Krawiec, The Kaldor-Kalecki
Model of Business Cycle as a two-Dimensional Dynamical
System.
2. Ц.Батсүх “Эдийн засгийн мөнгөний талыг загварчлах онол
практикийн асуудлууд”
3. Hale J K and Verduyn Lunel S M, Introduction to
Functional Differential Equations, Springer-Verlag,
New York, 1993
4. Biswa Nath Datta, Numerical Methods for Linear Control
System
5. Prof.Dr. Pierre N.V.Tu, Dynamical System: An
Introduction with Applications in Economics and
Biology, Springer-Verlag, 1994 Heidelberg
