1. Батлав:................................ ПХТ-ийн эрхлэгч :/ Л. Батбилэг/
МТ102 Лекц-3 2012-2013 оны хаврын Б улирал
Хоёр хувьсагчийн функцийн Тейлорын томъёо
z=f(x,у) функц нь М(x,у) цэгийн орчинд (n+1) эрэмбийн тасралтгүй тухайн уламжлалтай
болог. Х хувьсагчид нь ∆ õ, ó õóâüñàã÷èä ∆ó өөрчлөлт тус бүр олгьё
( ) =f(x+t∆ + ∆ ) гэсэн туслах функц авч үзье. x,y,∆õ, ∆ó òîãòìîë ¿åä ( ) функц нь
t –ээс хамаарсан давхар функц болох ба t=0 цэгийн орчинд (n+1) хүртэлх эрэмбийн
уламлалууд нь мөн тасаралтгүй байг.
= x + t∆ , = + ∆ гэж үзээд φ(t)=f(u, )давхар фүнкцийн уламлалыг олъё
( ) = u
,
+ , ,
=f’x(x+t∆ , + ∆ )∆ + ′y(x+t∆ , + ∆ )∆ =
( + ∆ , ∆ = ( ∆ + ∆ )f( + ∆ , + ∆ )
,,
( )= ,,
( ,
) + ,, , ,
+ ,, , ,
+ ,,
( ,
) =
,,
( + ∆ , + ∆ )(∆ ) +2 ,,
( + ∆ , + ∆ )∆ ∆
+ ,,
( + ∆ , + ∆ )(∆ ) = ( + ∆ , + ∆ )=
( ∆ + ∆ )( )
( + ∆ , + ∆ )
… … … … … … … … … … ….
(ⁿ)( ) = ᵐ ( + ∆ , + ∆ ) = ∆ + ∆ ⁿ f(x+t∆ , + ∆ ) (
ⁿ )( ) =
( )
( , ) эндээс (0) = ( , )
(0) = ∆ + ∆ ( , )
,,(0) = ( ∆ + ∆ )( )
( , )
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
(
ⁿ)(0) = ∆ + ∆ ⁿ ( , )
(
ⁿ )( ) = ∆ + ∆ ⁿ ) ( + ∆ , + ∆ )

2. t=1үед (1)=f(x+t∆ , + ∆ )тул
f(x+∆x, y + ∆y) = f(x, y) + ∆x + ∆y f(x, y) + ¡
( ∆ + ∆ ( )
( , )+, … , +
1
¡
∆ + ∆
(
ⁿ) ( , ) +
1
( + 1)¡
∆ + ∆
(
ⁿ⁺¹ ∆ , ∆ ) 0 < < 1
Энэ томъёог хоёр хувьсагчийн функцийн Тейлорын томьёо гэнэ.
n=1 үед Тейлорын томъёог задалж бичвэл,
f(x+∆ , + ∆ ) = ( , ) + ′ ͓(x,y )+∆ + ͓( , )∆
+ !
[ ′xx(x+ ∆ , + ∆ )∆ + 2 ,,
(x + ∆ , + ∆ )∆ ∆ +
,,
(x + ∆ , + ∆ )∆ ], 0< < 1.
Одоо u=f(x1,x2,…,xn)) хувьсагчийн функцийн хувьд Тейлорын томъёог бичье.
Хэрэв u=f(M), (M(x1,x2,....,xn) функц M0(X0
1,x0
2…,x0
n) цэгийн B(M0, ) орчинд( n+1) удаа
дифференциалчлагдах уг орчны дурын M цэг дээр дараах томъёо хүчинтэй байна.
f (M)=f(M0)+df (M0)+ !
2
f(M0)+,…,+ !
(
ⁿ)
( 0)+( )!
(
ⁿ ) ( ),
Үүнд N нь B(M0, )орчны ямар нэг цэг.
dn
f = ( ₂
+ ₂
+, … , + )( )
f(M0)
Олон хувьсагчийн функцийн экстремум
Функцийн экстремум байх зайлшгүй ба хүрэлцээтэй нөхцөл
D муж дээр тодорхойлогдсон хоёр хувьсагчийн функц z=f(x,y) авч үзье.
Хэрэв M˳( ˳, ˳) ∈ цэгийн ямар нэг орчин олдох бөгөөд энэ орчны бүх цэгүүд дээрх
функцийн утга M˳( ˳, ˳) öýã äýýðõ óòãààñ èõã¿é áîë öýãèéã ôóíêöèéí максимумын цэг
гэж нэрлэнэ. Өөрөө хэлбэл,дараах тэнцэтгэл биш хүчтэй байна.
f(x,y)≤ ( ˳, ˳), ∀( , ) ∋ ( ˳ ) ∩ ,
B(M˳ ) = {(x,y) (x − x˳) + (y − y˳) < }

3. Мөн үүнтэй ижилээр функцийн орчны минимумын цэг M(x∗, ∗)тодорхойлогдоно.
∃ ̅ >: ∀( , ) ∈́ ∩ ( ˳, ) ( , ) ≥ ( ∗ ∗)
Функцийн орчны минмумын ба максимумын цэгүүд дээрхи утгуудыг функцийн экстрмум
гэж нэрлэнэ. Орчны минимум ба максимумын цэгүүдийг экстремум олох бодлогыг
томъёолж тэмдэглэвэл:
f(x)→ min(max) , ∈ (1)
хэлбэртэй болно.D= бол дээрхи нөхцөлт биш экстрмумын бодлого болно . Энэ
бодлогыг томъёолбол:
f(x,y)→ min( ) , ( , ) (2)
Tеорем 1
(Экстремум болох зайлшгүй нөхцөл ) f(x,y) фүнкц нь (M˳(x˳,y˳) цэг дээр
дифференциалчлагддаг бөгөөд цэг нь (2) бодлогын хувьд функцийн экстремумын цэг
болог. Тэгвэл
( ˳, ˳)
=
( ˳, ˳)
= 0 (3)
байна
Теорем2
(Экстремум байх хүрэлцээтэй нөхцөл )
∆= − áîëîã
а. Хэрэв ∆> 0¿åä ˳( ˳, ˳) цэг нь экстремумын цэг болох ба А> 0 ¿åä ìèíèìóìûí ,
À < 0 ¿åä ìàêñèìóìûí öýã áîëнî.
б . Хэрэв ∆< 0 áîë Ì˳( ˳, ˳)öýã íü ýêñòðåìóìûí öýã áîëæ ÷àäàõã¿é.
Хамгийн бага квадратын арга
М1(x1,y1),M2( ),…, , öýã¿¿ä íü áàðàã íýã øóëóóí äýýð áàéðëàñàí ãýæ ¿çüå.
ªºðººð õýëáýë , ýíý íü у ба х-ийн хамаарал шугаман y=ax+b функцээр ойролцоогоор
тодорхойлогдоно гэсэн үг юм. a.b параметрүүдийг энэ шулуун
M ( ¡ , ¡ )öýã á¿ðò àëü áîëîõ õàìãèéí îéð áàéõààð òîäîðõîéëú¸. = + ãýâýë

4. − − èéã − ¡ цэг дээрх хазайлт гэж нэрлэнэ. Үүнд нь цэг дээрх туршилтын үр
дүн. Хамгийн бага квадратын аргын гол зарчим нь эдгээр хайзалтуудын квадратуудын
нийлбэр нь хамгийн бага бага байхаар y=ax+b шулууныг байгуулахад оршдог. Өөрөөр
хэлбэл,a.b параметрүүдийг дараах бодлого бодож олон гэсэн үг
F(a,b)=∑ ( + − ) →
Теорем3
(Экстремум байх зайлшгүй нөхцөл )
f(x)функц нь x*∈ ⁿ öýã äýýð äèôôåðåíöèàë÷ëàãääàã áîëîã. Õýðýâ õ*-нь f(x)→ ,
x бодлогын хувьд экстремумын цэг бол
( ∗)
=
( ∗)
= ⋯ =
( ∗)
= 0
áàéíà.