1. Батлав: .......................ПХТ-ийн эрхлэгч / Л.Батбилэг/
МТ102 Лекц -5
Хоёрлосон интегралын чанарууд
1. )y,x(f , )y,x( функцүүд S мужид интегралчлагддаг бол
dS)y,x(dS)y,x(fdS)]y,x()y,x(f[
SSS
   .
2. dS)y,x(fdS)y,x(f
SS
   .
3. )y,x(f , функцүүд S мужид интегралчлагддаг, S муж нь харилцан
огтлолцдоггүй 1S , 2S мужид хуваагддаг бол
dS)y,x(fdS)y,x(fdS)y,x(f
21 SSS
     .
4. )y,x(f , )y,x( функцүүд S мужид интегралчлагддаг, )y,x()y,x(f  бол
dS)y,x(dS)y,x(f
SS
  .
5. )y,x(f функц S мужид интегралчлагддаг бол )y,x(f функц мөн S мужид
интегралчлагддах бөгөөд
dS)y,x(fdS)y,x(f
SS
  .
6. S мужид M)y,x(fm  биелдэг бол
SMdS)y,x(fSm
S
  .
S -нь S мужийн талбайн хэмжээ.
Тэгш өнцөгт Дикартын координатаар
хоёрлосон интегралыг бодох нь
dyc,yxa  гэсэн илэрхийллээр тодорхойлогдох R тэгш өнцөгт талбайд
R
dxdy)y,x(f хоёрлосон интеграл нь .
  






b
a
d
cR
dxdy)y,x(fdxdy)y,x(f (6)
томъёогоор бодогдоно.

2.   




 d
c
b
a
b
a
d
c
dy)y,x(fdxdxdy)y,x(f (7)
хэлбэрээр бичиж болно. Мөн түүнчлэн
  






b
a
d
c
d
c
b
aR
dx)y,x(fdydydx)y,x(fdxdy)y,x(f (8)
илэрхийлэл биелнэ. (6)- (8)-өөс
 
b
a
d
c
d
c
b
a
dx)y,x(fdydy)y,x(fdx (9)
биелэх нь тодорхой.
Хоёрлосон интегралыг илүү ерөнхий тохиолдол авч үзэхийн тулд стандарт
мужийн тухай ойлголтыг тодорхойлъё.
ТОДОРХОЙЛОЛТ
Өгөгдсөн тэнхлэгтэй параллель татсан шулуун мужийг зөвхөн хоёр цэгээр
огтолдог бол уг мужийг тухайн тэнхлэгийн дагуух стандарт муж гэнэ.
Зааглагдсан S муж нь Oy тэнхлэгийн дагуух стандарт муж бөгөөд дээд талаасаа
)x(yy 22  , доод талаасаа )x(yy 11  функцээр зааглагддаг байг.
 dyc,bxaR  тэгш өнцөгт нь S мужийг багтаасан хамгийн бага тэгш өнцөгт
болно. Тэгвэл
 
)x(y
)x(y
b
aS
2
1
dy)y,x(fdxdxdy)y,x(f
томъёогоор бодно.

3. Хэрвээ зааглагдсан S муж нь Ox тэнхлэгийн дагуух стандарт муж бөгөөд
)y(xx)y(x,dyc 21  илэрхийллээр тодорхойлогддог бол
 
)y(x
)y(x
d
cS
2
1
dx)y,x(fdydxdy)y,x(f
томъёогоор бодогдоно.
Хоёрлосон интегралын хувьсагчийг солих. Туйлын координатад хоёрлосон
интегралыг бодох.
Oxy хавтгайд зааглагдсан гөлгөр муруйгаар хүрээлэгдсэн S мужийг авч үзье.
)y,x(v),y,x(u 1   нь S мужид нэгэн утгатай, тасралтгүй функц бөгөөд S мужийг
S мужид буулгадаг функцүүд. Тэдгээрийн урвуу функцүүд нь )v,u(y),v,u(x   гэж
үзвэл хоёрлосон интегралд y,x хувьсагчийг v,u хувьсагчаар солихдоо
     

SS
dudvIv,u,v,ufdxdy)y,x(f 
томъёог ашиглана.
Энд
v
y
v
x
u
y
u
x
vv
uuI




















матрицийн тодорхойлогч бөгөөд түүнийг функционал
тодорхойлогч буюу Якобиан хувиргагч гэж нэрлэдэг.
Тэгш өнцөгт координатын системээс туйлын координатын системд хувьсагчийг
шилжүүлье.
Туйлын координатад  siny,cosx  томъёогоор шилждэг бөгөөд   v,u
болох ба















cossin
sincos
v
y
v
x
u
y
u
x
I
байна.

4. Туйлын координатад хоёрлосон интеграл нь
 

SS
dd)sin,cos(fdxdy)y,x(f 
томъёогоор шилжин бодогдоно.
Хоёрлосон интегралын хэрэглээ
1. VdS)y,x(f
S
 -эзлэхүүн, mdS)y,x(f
S
 -ялтсын жин.

S
dxdyS , 
S
dSS -хавтгай дүрсийн талбай.
2. Хүндийн төв.
)y,x(pp  нягтралын тархалтын функцтэй Oxy хавтгайд хэвтэх S талбайтай нимгэн
ялтсын хүндийн төвийг





S
S
c
S
S
c
dxdy)y,x(p
dxdy)y,x(yp
y,
dxdy)y,x(p
dxdy)y,x(xp
x буюу
 
S
c
S
c dxdy)y,x(yp
m
1
y,dxdy)y,x(xp
m
1
x
томъёогоор бодох ба
 
S
x
S
y dxdy)y,x(yp
m
1
M,dxdy)y,x(xpM -ыг S ялтсын Oy , Ox тэнхлэгт
харгалзах статик момент гэнэ.
Хэрэв S ялтас нь нэгэн төрлийн жигд нягтралтай ө.х., const)y,x(p  байвал
 
S
c
S
c ydxdy
S
1
y,xdxdy
S
1
x
болно.
Инерцийн момент.
m жинтэй M материаллаг цэгийн O -харгалзах 0I инерцийн моментийг 2
0 mrI 
томъёогоор боддог. Энд )M,O(r  нь O , M цэгүүдийн хоорондын зай.
Өгөдсөн )y,x(pp  нягтралын тархалтын функцтэй ялтсын тэгш өнцөгт координатын
системийн эх O цэгт харгалзах инерцийн моментийг
 
S
22
0 dxdy)y,x(p)yx(I
томъёогоор бодно. Энэ ялтсын Oy , Ox тэнхлэгт харгалзах инерцийн момент нь

S
2
x dxdy)y,x(pyI , 
S
2
y dxdy)y,x(pxI
бодогдоно.