1. Батлав: .......................ПХТ-ийн эрхлэгч / Л.Батбилэг/
МТ102 Лекц -15
Тэгш ба сондгой функцүүдийн Фурье цуваа
Хэрвээ )(xf функц нь тэгш функц бол     

aa
a
adxxfdxxf
0
)0(2
Сондгой функц бол   )0(0 
adxxf
a
a
Тэгш хоёр функцийн үржвэр функц нь тэгш, сондгой хоёр функцийн үржвэр функц
нь тэгш функц болохыг хялбархан харуулж болно.Тэгш функцийг сондгой функцээр
үржүүлэхэд үүсэх функц сондгой функц байна. nxsin нь сондгой, nxcos нь тэгш функц.
Лемма
Хэрвээ )(xf функц нь тэгш функц бол түүний фурье цувааны коэффициентүүд
  0;...,2,1,0,cos)(
2
0
  nn bndxnxxfa


(11)
Байх бөгөөд  , хэрчим дээр хэсэгчлэн-дифференциальчлагддаг )(xf функцийн
тасралтгүйн цэг  ,x дээр




1
0
cos
2
)(
n
n nxa
a
xf (12)
байна.
Хэрвээ )(xf функц нь сондгой функц бол түүний фурье цувааны коэффициентүүд
   ...,2,1,sin)(
2
;...,2,1,0,0
0
  ndxnxxfbna nn


(13)
Байх бөгөөд  , хэрчим дээр хэсэгчлэн-дифференциальчлагддаг )(xf функцийн
тасралтгүйн цэг  ,x дээр




1
sin)(
n
n nxbxf (14)

2. байна.
4.  ll, хэрчим дээр тодорхойлогдсонфункцийнФурьецуваа
 ll, хэрчимдээртодорхойлогдсонхэсэгчлэн-дифференциальчлагддаг )(xf функц
өгөгдсөн байг.
l
x
t

 (15)
Хэлбэрээр өгөгдөх шинэ t хувьсагчийг авч үзье. Уг хувьсагчийн хувьд
dx
l
dtdt
l
dx
lx
x


 ,, байх нь тодорхой.
Хэрвээ  llx , бол  ,t байна.Тэгвэл
   t
lt
fxf 







 (16)
Гэж бичигдэх  t  ,t функцийн Фурье цувааны утгыг тасралтгүйн цэг дээр




1
0
)sincos(
2
)(
n
nn ntbnta
a
t (17)
...),2,1,0(,sin)(
1
,cos)(
1






ndtnttb
dtntta
n
n








(18)
томъёогоор, тасралтын цэгдээр (7) –оор тодорхойлно. t хувьсагчаас x хувьсагч руу
шилжин (17), (18)-ийг бичвэл




1
0
)sincos(
2
)(
n
nn
l
xn
b
l
xn
a
a
xf

(19)
...),2,1,0(,sin)(
1
,cos)(
1






ndx
l
xn
xf
l
b
dx
l
xn
xf
l
a
l
l
n
l
l
n


(20)

3. ТОДОРХОЙЛОЛТ.
(20) томъёогоор тодорхойлогдсон nn ba , коэффициенттэй (19) цувааг ll, хэрчим дээр
тодорхойлогдсон )(xf функцийн Фурье цуваа гэнэ.
)(xf функцийн Фурье цуваа нийлэх тухай теорем нь Теорем 2 –ийн адил
томъёологдоно. )(xf функцийн Фурье цувааны утга тасралтгүйн цэг дээр (19),
тасралтын цэгүүд дээр (7) томъёогоор бодогдоно.
ТЕОРЕМ 3 (Үндсэн теорем)
Өгөгдсөн )(xf функц нь
  ll, хэрчим дээр хэсэгчлэн-дифференциальчлагддаг,
 l2 үет функц
Бөгөөд түүнийг бүх шулууны хувьд үргэлжлүүлэн бичье.
Тэгвэл дурын   ,x цэг дээр уг функцийн Фурье цуваа нийлэх ба утга нь
     
2
00 

xfxf
xS
томъёогоор, x нь )(xf функцийн тасралтгүйн цэг байх тухайн тохиолдолд




1
0
)sincos(
2
)(
n
nn nxbnxa
a
xf
байна. Хэрчмийн захын цэгүүд дээрх утгыг
     
2
00 

lflf
lS
Томъёогоор бодно.
ТЕОРЕМ 4
Өгөгдсөн )(xf функцнь ll, хэрчим дээр
 тасралтгүй,
 хэсэгчлэн-дифференциальчлагддаг,
    lflf 

4. Нөхцлийг хангадаг бол дурын  llx , цэг дээр уг функцийн Фурье цуваа жигд нийлэх ба
утга нь )(xf утгатай тэнцүү байна.
ТОДОТГОЛ
(20) томъёог (23.6) томъёоны адил гарган авч болно.Үүний тулд функцийн тригонометрийн
ерөнхий систем
- ,...sin,cos...,,
2
sin,
2
cos,sin,cos,1
l
xn
l
xn
l
x
l
x
l
x
x
l
x 
(21)
Авч үзнэ.
 ll, хэрчим дээр тодорхойлогдсон функцийн тригонометрийн ерөнхий систем (21) нь  ,
хэрчим дээр тодорхойлогдсон (2) тригонометрийн үндсэн системтэй нэг адил шинжтэй байна.
Ө.х.
,...);3,2,1,(0cossin
);(0sinsin);(0coscos
;0cos1cos1;0sinsin1









nmdx
l
xn
l
xò
nmdx
l
xn
l
xò
nmdx
l
xn
l
xò
dx
l
xn
dx
l
xn
dx
l
xò
dx
l
xò
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l



(22)
,cossin;21 222


  
l
l
l
l
l
l
dx
l
xm
dx
l
xm
ldx (23)
байна.
5. Дурын ортогональ системд бичигдэх функцийн Фурье цуваа.
ТОДОРХОЙЛОЛТ.
 ba, хэрчим дээр тодорхойлогдсон  xxf ),( функцүүдийн хувьд
    ;0
b
a
dxxxf  (24)
Нөхцөл биелж байвал тэдгээрийг тухайн хэрчим дээрх ортогональ функцүүд гэнэ.

5. ТОДОРХОЙЛОЛТ.
 ba, хэрчим дээр интегралчлагддаг       ...,,...,, 21 xxx n (25)
Функцийн системийн хувьд
   ...),...,,2,1( nkxk  функцүүд нь  ba, хэрчим дээр тасралтгүй бөгөөд
  ...),...,,2,1(,0 nkxk  байдаг,
     )(;0 kmdxxx
b
a
òk   (26)
   ...),2,1(;02
 kdxx
b
a
k (27)
Нөхцөл биелж байвал уг системийг тухайн хэрчим дээрх өгөгдсөн функцүүдийн
ортогональ систем гэнэ.
Өгөгдсөн )(xf функц нь (25) ортогональ системийн цуваанд
   



1n
nn xcxf  (28)
Хэлбэрээр задарч бичигддэг байг.
 ba, хэрчим дээр (28) цуваа жигд нийлдэг гэж үзээд (26), (27) нөхцлүүдийг ашиглан
              





1
2
1 n
b
a
kk
b
a
knn
b
a n
knn
b
a
k dxxcdxxxcdxxxcdxxxf 
Гэсэн илэрхийллийг гарган авч болно. Эндээс
      ...),3,2,1(2
















  kdxxdxxxfc
b
a
k
b
a
kk  (29) болно.
ТОДОРХОЙЛОЛТ.
Коэффициентүүд нь (29)-оор тодорхойлогдсон (28) цувааг )(xf функцийн Фурьегийн
өргөтгөсөн цуваа, kc -г түүний коэффициентүүд гэнэ.

6. 6. Фурье цувааны комплекс хэлбэрийн бичиглэл.
 , хэрчим дээр хэсэгчлэн-дифференциальчлагддаг )(xf функцийн Фурье цуваа




1
0
)sincos(
2
)(
n
nn nxbnxa
a
xf , (30)
 
...),2,1(,sin)(
1
...,2,1,0,cos)(
1






ndxnxxfb
ndxnxxfa
n
n






Хэлбэрээр бичигдсэн байг.
Тэгвэл дараах Эйлерийн томъёо
22
sin,
2
cos
inxinxinxinxinxinx
ee
i
i
ee
nx
ee
nx







ашиглан



















 





 






 



1
0
1
0
222
222
)(
n
inxnninxnn
n
inxinx
n
inxinx
n
e
iba
e
ibaa
ee
ib
ee
a
a
xf
Бичиж болно.
2
,
2
,
2
0
0
nn
n
nn
n
iba
c
iba
c
a
c



 
Тэмдэглэгээ ашиглан
  



n
inx
necxf , (31)
    
  ,
2
1
sincos
2
1
2
dxexf
dxnxxfinxxf
iba
c
inx
nn
n
















7.    ...,3,2,1,
2
1
 
 ndxexfc inx
n



Хэлбэрт шилжүүлнэ.
Энэ томъёог
   ...,2,1,0,
2
1
 

ndxexfc inx
n



(32)
Хялбарчлан бичиж болно.
(30) хэлбэрээр бичигдсэн Фурье цувааны комплекс хэлбэр нь (31) болох ба түүний
коэффициентүүд нь (31) томъёогоор тодорхойлогдоно.
(23.19) Фурье цувааны хувьд түүний комплекс хэлбэр нь






 



 l
ecxnbxnaa
n
xin
nn
n
n

 
,sincos
2
1
1
0 (33)
я
   ...,2,1,0,
2
1
 

ndxexf
l
c
l
l
xin
n

(34)
болно.