Эх функц ба тодорхой биш интеграл

1. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Интеграл тоолол Д. Баттөр1 1Department of Computer Science Ulaanbaatar University 2010 оны 1-р сарын 25 МАТЕМАТИК-2

2. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Агуулга 1 Интегралчлах үйлдэл Эх функц Тодорхой биш интеграл 2 Интегралчлалын дүрмүүд Интегралын үндсэн чанар Үндсэн интегралуудын жагсаалт 3 Интегралчлалын үндсэн аргууд Задлах арга МАТЕМАТИК-2

3. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Эх функц Тодорхой биш интеграл Агуулга 1 Интегралчлах үйлдэл Эх функц Тодорхой биш интеграл 2 Интегралчлалын дүрмүүд Интегралын үндсэн чанар Үндсэн интегралуудын жагсаалт 3 Интегралчлалын үндсэн аргууд Задлах арга МАТЕМАТИК-2

4. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Эх функц Тодорхой биш интеграл Математикт ямар нэгэн үйлдлийг судлах явцад энэ үйлдлийн урвуу үйлдлийн тухай асуудал ямагт тавигддаг. Дифференциалчлалын урвуу үйлдэл, тухайлбал, өгөгдсөн уламжлалаар нь функцийг олох үйлдэл бол интегралчлал (буюу интегралчлах үйлдэл) гэж нэрлэгддэг. Интеграл тооллын үндсэн ухагдахуун нь функцийн эх функц, тодорхой биш интеграл ба тодорхой интеграл бөгөөд эдгээр нь функцийн хязгаар ба уламжлалын тусламжтайгаар тодорхойлогддог. МАТЕМАТИК-2

5. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Эх функц Тодорхой биш интеграл Математикт ямар нэгэн үйлдлийг судлах явцад энэ үйлдлийн урвуу үйлдлийн тухай асуудал ямагт тавигддаг. Дифференциалчлалын урвуу үйлдэл, тухайлбал, өгөгдсөн уламжлалаар нь функцийг олох үйлдэл бол интегралчлал (буюу интегралчлах үйлдэл) гэж нэрлэгддэг. Интеграл тооллын үндсэн ухагдахуун нь функцийн эх функц, тодорхой биш интеграл ба тодорхой интеграл бөгөөд эдгээр нь функцийн хязгаар ба уламжлалын тусламжтайгаар тодорхойлогддог. МАТЕМАТИК-2

6. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Эх функц Тодорхой биш интеграл Эх функц, түүний гол чанар (a, b) завсар дээр f(x), F(x) функцүүд тодорхойлогдсон бөгөөд F(x) нь дифференциалчлагдах функц гэж үзье. Тодорхойлолт Хэрэв (a, b) завсар дээр F (x) = f(x), эсвэл dF(x) = f(x)dx тэнцэтгэл биелэгдэж байвал F(x)-г f(x) функцийн эх функц гэнэ. Ийнхүү, өгөгдсөн f(x) функцийн хувьд F (x) = f(x) тэнцэтгэлийг хангах F(x) функцийг олох бодлого тавигдаж байгаа бөгөөд энэ бодлого нь дифференциалчлалын урвуу үйлдэлд хүргэж байгаа юм. МАТЕМАТИК-2

9. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Эх функц Тодорхой биш интеграл Жишээ F(x) = sin x функц нь f(x) = cos x функцийн эх функц юм.Учир нь: F (x) = sin x = cos x = f(x); F(x) = x3 бол f(x) = 3x2 функцийн эх функц F (x) = (x3 ) = 3x2 = f(x); F(x) = √ 1 − x2 бол f(x) = − x√ 1−x2 функцийн эх функц байна. F (x) = ( 1 − x2) = −2x 2 √ 1 − x2 = − x √ 1 − x2 = f(x); МАТЕМАТИК-2

15. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Эх функц Тодорхой биш интеграл Интегралчлал нь нэгэн утгатай биш үр дүнг өгнө гэдгийг шууд тогтоож болно. Тухайлбал, хэрэв F(x) нь f(x) функцийн эх функц бол дурын C = const авахад [F(x) + C] нийлбэр нь мөн f(x) функцийн эх функц байна.Учир нь, [F(x) + C] = F (x) = f(x) Теорем Хэрэв F(x) ба G(x) функцүүд нь f(x) функцийн дурын хоёр эх функц бол тэдгээрийн ялгавар нь тогтмол, өөрөөр хэлбэл, эх функцүүд нь хоорондоо зөвхөн тогтмол нэмэгдэхүүнээр ялгагдана. Баталгаа F(x) − G(x) = Φ(x) гэж тэмдэглэвэл Φ (x) = [F(x) − G(x)] = F (x) − G (x) = f(x) − f(x) = 0 тэнцэтгэл биелэгдэнэ. Ийм учраас Φ(x) = C = const буюу F(x) = G(x) + C, (C = const) болно. МАТЕМАТИК-2

19. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Эх функц Тодорхой биш интеграл Агуулга 1 Интегралчлах үйлдэл Эх функц Тодорхой биш интеграл 2 Интегралчлалын дүрмүүд Интегралын үндсэн чанар Үндсэн интегралуудын жагсаалт 3 Интегралчлалын үндсэн аргууд Задлах арга МАТЕМАТИК-2

20. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Эх функц Тодорхой биш интеграл Тодорхой биш интеграл (a, b) завсар дээр өгөгдсөн f(x) функцийн тодорхой биш интеграл гэж f(x) функцийн ямар нэгэн эх функц F(x) ба ∀C = const утганд [F(x) + C] нийлбэрийг нэрлэнэ. Энэ тохиолдолд f(x)dx = F(x) + C гэж тэмдэглэн бичдэг ба зүүн талд байгаа илэрхийллийг интеграл эф-икс дэ икс гэж уншина. Энэ бичлэгт орсон -интегралын тэмдэг; f(x)dx-интегралын дорхи илэрхийлэл; f(x)-интегралын дорхи функц гэж тус тус нэрлэгдэнэ. Өгөгдсөн f(x) функцийн дурын эх функц, эсвэл тодорхой биш интегралыг бодож гаргах үйлдэл нь интегралчлал юм. МАТЕМАТИК-2

21. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Эх функц Тодорхой биш интеграл Жишээ cos xdx = sin x + C; sin xdx = − cos x + C x2 dx = x3 3 + C; ex dx = ex + C Санамж Дифференциал тооллыг судлах явцад (a, b) завсар дээр өгөгдсөн функц энэ завсрын зарим нэгэн цэгүүд((a, b) завсар) дээр дифференциалчлагдахгүй (уламжлал оршин байхгүй) байж болохыг ажигласан. Ийм учраас, (a, b) дээр өгөгдсөн функц бүр эх функцтэй байх нь албагүй. МАТЕМАТИК-2

26. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Эх функц Тодорхой биш интеграл Зарим элементар функцийн интегралыг элементар функцүүдээр илэрхийлэх боломжгүй байдаг бөгөөд тийм интегралууд нь авагдахгүй интегралууд гэж нэрлэгддэг. Авагдахгүй интегралын сонгомол жишээ: Френель-ийн интегралууд : sin x2dx; cos x2dx; Пуассоны интеграл : e−x2 dx; Интеграл синус : sin x x dx; Интеграл косинус : cos x x dx; Интеграл логарифм : dx ln x ; МАТЕМАТИК-2

27. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Интегралын үндсэн чанар Үндсэн интегралуудын жагсаалт Агуулга 1 Интегралчлах үйлдэл Эх функц Тодорхой биш интеграл 2 Интегралчлалын дүрмүүд Интегралын үндсэн чанар Үндсэн интегралуудын жагсаалт 3 Интегралчлалын үндсэн аргууд Задлах арга МАТЕМАТИК-2

28. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Интегралын үндсэн чанар Үндсэн интегралуудын жагсаалт 1 f(x)dx = f(x) ба d f(x)dx = f(x)dx. Учир нь, f(x)dx = [F(x) + C] = F (x) = f(x), d f(x)dx = f(x)dx dx = f(x)dx; 2 f (x)dx = f(x) + C ба df(x) = f(x) + C. Учир нь, f (x)dx = df(x) тул f (x)dx = df(x) = f(x) + C МАТЕМАТИК-2

32. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Интегралын үндсэн чанар Үндсэн интегралуудын жагсаалт 3 ∀α = const = 0 утганд [α · f(x)]dx = α · f(x)dx 4 [f(x) ± g(x)]dx = f(x)dx ± g(x)dx 5 Хэрэв f(x)dx = F(x) + C байвал ∀a, b = const хувьд f(ax + b)dx = 1 a · F(ax + b) + C Баталгаа Өгөгдсөн ёсоор F (x) = f(x) учраас [1 a · F(ax + b) + C] = 1 a · F (ax + b)(ax + b) = F (ax + b) = f(ax + b) байна. МАТЕМАТИК-2

36. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Интегралын үндсэн чанар Үндсэн интегралуудын жагсаалт Агуулга 1 Интегралчлах үйлдэл Эх функц Тодорхой биш интеграл 2 Интегралчлалын дүрмүүд Интегралын үндсэн чанар Үндсэн интегралуудын жагсаалт 3 Интегралчлалын үндсэн аргууд Задлах арга МАТЕМАТИК-2

37. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Интегралын үндсэн чанар Үндсэн интегралуудын жагсаалт 1. xαdx = xα+1 α+1 + C, (α = −1). 2. dx x = ln |x| + C, (x = 0.) 3. dx√ x = 2 √ x + C, (x > 0). 4. dx x2 = − 1 x + C, (x = 0). 5. ex dx = ex + C; 6. ax dx = ax ln a + C, (a > 0) 7. sin xdx = − cos x + C; 8. cos xdx = sin x + C; 9. dx cos2 x = tg x + C; 10. dx sin2 x = − ctg x + C; 11. dx√ 1−x2 = arcsin x + C; − arccos x + C; 12. dx 1+x2 = arctg x + C; − arctg x + C; 13. sh xdx = ch x + C; 14. ch xdx = sh x + C; 15. dx ch 2x = th x + C; 16. dx sh 2x = − cth x + C; 17. dx 1−x2 = 1 2 ln 1+x 1−x + C; 18. dx√ 1+x2 = ln x + 1 + x2 + C 19. dx√ x2−1 = ln x + x2 − 1 + C (|x| > 1); Хүснэгт: Үндсэн интегралууд МАТЕМАТИК-2

38. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Интегралын үндсэн чанар Үндсэн интегралуудын жагсаалт Жишээ dx 2x+3 = 1 2 d(2x+3) 2x+3 = 1 2 ln |2x + 3| + C √ x − 2dx = √ x − 2d(x − 2) = (x−2) 3 2 3 2 + C = 2 3 (x − 2) 3 2 + C sin 5xdx = sin 5x d(5x) 5 = 1 5 sin 5xd(5x) = −1 5 cos 5x + C tg xdx = sin x cos x dx = − d(cos x) cos x = − ln | cos x| + C МАТЕМАТИК-2

42. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Задлах арга Агуулга 1 Интегралчлах үйлдэл Эх функц Тодорхой биш интеграл 2 Интегралчлалын дүрмүүд Интегралын үндсэн чанар Үндсэн интегралуудын жагсаалт 3 Интегралчлалын үндсэн аргууд Задлах арга МАТЕМАТИК-2

43. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Задлах арга Задлах арга Интегралчлалын туйлын зорилго нь өгөгдсөн интегралыг ямар нэгэн аргаар үндсэн интегралуудад шилжүүлэхэд оршдог. Интегрлчлах үндсэн алхмууд 1 Өгөгдсөн f(x)dx интегралын дорхи f(x) функцийг зохих хувиргалт ба томьёо ашиглах замаар хялбар интегралчлагдах функцүүдийн нийлбэрт задлана 2 Интегралын үндсэн чанаруудыг ашиглан задлаж хялбарчилна 3 Хялбар интегралуудын эх функцийг үндсэн интеграл ашиглан бичнэ. 4 Төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэнэ. МАТЕМАТИК-2

48. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Задлах арга Жишээ (1 − √ x)2 dx = (1 − 2 √ x + x)dx = dx − 2 √ xdx + xdx = x − 2x 3 2 3 2 + x2 2 + C = x − 4 3 x √ x + x2 2 + C x4 + 9x − 5 x2 dx = (x2 + 9 x − 5 x2 )dx = x2dx + 9 dx x − 5 dx x2 = x3 3 + 9 ln |x| + 5 x + C МАТЕМАТИК-2

56. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Задлах арга Жишээ tg2 xdx = sin2 x cos2 x dx = 1−cos2 x cos2 x dx = ( 1 cos2 x − cos2 x cos2 x )dx = ( 1 cos2 x − 1)dx = dx cos2 x − dx = tg x − x + C sin2 xdx = 1 − cos 2x 2 dx = 1 2 (1 − cos 2x)dx = 1 2 dx − 1 2 · 2 cos 2xd(2x) = x 2 − 1 4 sin 2x + C МАТЕМАТИК-2

67. Интегралчлах үйлдэл Интегралчлалын дүрмүүд Интегралчлалын үндсэн аргууд Задлах арга Жишээ sin x · cos 3xdx = 1 2 (sin 4x − sin 2x)dx = 1 2 · 4 sin 4xd(4x) − 1 2 · 2 sin 2xd(2x = 1 8 cos 4x + 1 4 cos 2x + C 1 sin2 x · cos2 x dx = sin2 x + cos2 x sin2 x cos2 x dx = 1 cos2 x + 1 sin2 x dx = tg x − ctg x + C МАТЕМАТИК-2

Эх функц ба тодорхой биш интеграл

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Эх функц ба тодорхой биш интеграл

Similar to Эх функц ба тодорхой биш интеграл (14)

More from Battur

More from Battur (14)

Эх функц ба тодорхой биш интеграл