Хялбар рациональ бутархайг интегралчлах арга

1. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга
Интеграл тоолол
Д. Баттөр1
1Department of Computer Science
Ulaanbaatar University
2010 оны 2-р сарын 2
МАТЕМАТИК-2

2. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга
Агуулга
1 Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга
Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
МАТЕМАТИК-2

3. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Агуулга
1 Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга
Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
МАТЕМАТИК-2

4. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Хялбар рациональ бутархайнууд
1
A
(x − a)
A
x−a dx = A · dx
x−a = A d(x−a)
x−a =
A ln |x − a| + C
2
A
(x − a)k
, (k > 1, k ∈ N)
A
(x−a)k dx = A dx
(x−a)k =
A d(x−a)
(x−a)k = − A
(k−1)(x−a)k−1 + C, (k = 1);
МАТЕМАТИК-2

5. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Хялбар рациональ бутархайнууд
1
A
(x − a)
A
x−a dx = A · dx
x−a = A d(x−a)
x−a =
A ln |x − a| + C
2
A
(x − a)k
, (k > 1, k ∈ N)
A
(x−a)k dx = A dx
(x−a)k =
A d(x−a)
(x−a)k = − A
(k−1)(x−a)k−1 + C, (k = 1);
МАТЕМАТИК-2

6. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Хялбар рациональ бутархайнууд
1
A
(x − a)
A
x−a dx = A · dx
x−a = A d(x−a)
x−a =
A ln |x − a| + C
2
A
(x − a)k
, (k > 1, k ∈ N)
A
(x−a)k dx = A dx
(x−a)k =
A d(x−a)
(x−a)k = − A
(k−1)(x−a)k−1 + C, (k = 1);
МАТЕМАТИК-2

7. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Хялбар рациональ бутархайнууд
1
Ax + B
x2 + px + q
2
Ax + B
(x2 + px + q)k
, (k > 1, k ∈ N)
МАТЕМАТИК-2

8. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Хялбар рациональ бутархайнууд
1
Ax + B
x2 + px + q
2
Ax + B
(x2 + px + q)k
, (k > 1, k ∈ N)
МАТЕМАТИК-2

9. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Хялбар рациональ бутархайнууд
1
Ax + B
x2 + px + q
2
Ax + B
(x2 + px + q)k
, (k > 1, k ∈ N)
МАТЕМАТИК-2

10. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = 0
a) Интегралын дорхи бутархайн хуваарьт байгаа квадрат
гурван гишүүнт бодит язгуургүй гэж үзээд, уг квадрат
гурван гишүүнтээс бүтэн квадрат ялгаж, улмаар
шугаман орлуулга хийх замаар энэ бутархайн интеграл
авагдана.
Ax + B
x2 + px + q
dx =
Ax + B
(x + p
2 )2 + (q − p2
4 )
dx =




x + p
2 = t,
x = t − p
2 ,
dx = dt;
q − p2
4 = α2



 =
A(t − p
2 ) + B
t2 + α2
dt =
At + (B − Ap
2 )
t2 + α2
dt =
МАТЕМАТИК-2

11. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = 0
a) Интегралын дорхи бутархайн хуваарьт байгаа квадрат
гурван гишүүнт бодит язгуургүй гэж үзээд, уг квадрат
гурван гишүүнтээс бүтэн квадрат ялгаж, улмаар
шугаман орлуулга хийх замаар энэ бутархайн интеграл
авагдана.
Ax + B
x2 + px + q
dx =
Ax + B
(x + p
2 )2 + (q − p2
4 )
dx =




x + p
2 = t,
x = t − p
2 ,
dx = dt;
q − p2
4 = α2



 =
A(t − p
2 ) + B
t2 + α2
dt =
At + (B − Ap
2 )
t2 + α2
dt =
МАТЕМАТИК-2

12. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = 0
a) Интегралын дорхи бутархайн хуваарьт байгаа квадрат
гурван гишүүнт бодит язгуургүй гэж үзээд, уг квадрат
гурван гишүүнтээс бүтэн квадрат ялгаж, улмаар
шугаман орлуулга хийх замаар энэ бутархайн интеграл
авагдана.
Ax + B
x2 + px + q
dx =
Ax + B
(x + p
2 )2 + (q − p2
4 )
dx =




x + p
2 = t,
x = t − p
2 ,
dx = dt;
q − p2
4 = α2



 =
A(t − p
2 ) + B
t2 + α2
dt =
At + (B − Ap
2 )
t2 + α2
dt =
МАТЕМАТИК-2

13. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = 0
a) A
tdt
t2 + α2
+ (B −
Ap
2
)
dt
t2 + α2
Баруун талд байгаа эхний интеграл
tdt
t2 + α2
=
t2 + α2 = τ
tdt = dτ
2
=
1
2
dτ
τ
=
1
2
ln τ + C =
=
1
2
ln(t2
+ α2
) + C, гарах ба хоёрдахь интеграл
dt
t2 + α2
=
1
α
arctg
t
α
+ C. Иймд Ax+B
x2+px+q
dx =
A
2 ln(x2 + px + q) + (B − Ap
2 ) 1
q−p2
4
arctg
x+p
2
q−p2
4
+ C,
(энд байгаа q − p2
4 > 0)
МАТЕМАТИК-2

14. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = 0
a) A
tdt
t2 + α2
+ (B −
Ap
2
)
dt
t2 + α2
Баруун талд байгаа эхний интеграл
tdt
t2 + α2
=
t2 + α2 = τ
tdt = dτ
2
=
1
2
dτ
τ
=
1
2
ln τ + C =
=
1
2
ln(t2
+ α2
) + C, гарах ба хоёрдахь интеграл
dt
t2 + α2
=
1
α
arctg
t
α
+ C. Иймд Ax+B
x2+px+q
dx =
A
2 ln(x2 + px + q) + (B − Ap
2 ) 1
q−p2
4
arctg
x+p
2
q−p2
4
+ C,
(энд байгаа q − p2
4 > 0)
МАТЕМАТИК-2

15. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = 0
a) A
tdt
t2 + α2
+ (B −
Ap
2
)
dt
t2 + α2
Баруун талд байгаа эхний интеграл
tdt
t2 + α2
=
t2 + α2 = τ
tdt = dτ
2
=
1
2
dτ
τ
=
1
2
ln τ + C =
=
1
2
ln(t2
+ α2
) + C, гарах ба хоёрдахь интеграл
dt
t2 + α2
=
1
α
arctg
t
α
+ C. Иймд Ax+B
x2+px+q
dx =
A
2 ln(x2 + px + q) + (B − Ap
2 ) 1
q−p2
4
arctg
x+p
2
q−p2
4
+ C,
(энд байгаа q − p2
4 > 0)
МАТЕМАТИК-2

16. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = 0
a) A
tdt
t2 + α2
+ (B −
Ap
2
)
dt
t2 + α2
Баруун талд байгаа эхний интеграл
tdt
t2 + α2
=
t2 + α2 = τ
tdt = dτ
2
=
1
2
dτ
τ
=
1
2
ln τ + C =
=
1
2
ln(t2
+ α2
) + C, гарах ба хоёрдахь интеграл
dt
t2 + α2
=
1
α
arctg
t
α
+ C. Иймд Ax+B
x2+px+q
dx =
A
2 ln(x2 + px + q) + (B − Ap
2 ) 1
q−p2
4
arctg
x+p
2
q−p2
4
+ C,
(энд байгаа q − p2
4 > 0)
МАТЕМАТИК-2

17. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = (x − α)(x − β)
б) Хэрэв өгөгдсөн интегралын дорхи бутархайн хуваарьт
байгаа (x2 + px + q)- квадрат гурван гишүүнт нь α = β
бодит язгууруудтай байвал x2 + px + q = (x − α)(x − β)
үржигдэхүүнд задарна.
Ax + b
(x − α)(x − β)
=
M
x − α
+
N
x − β
тэнцэтгэл биелэгдэж байхаар M, N тоонуудыг
M + N = A,
−Mβ − Nα = B;
тэгшитгэлүүдийн системээс олно.
МАТЕМАТИК-2

18. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = (x − α)(x − β)
б) Хэрэв өгөгдсөн интегралын дорхи бутархайн хуваарьт
байгаа (x2 + px + q)- квадрат гурван гишүүнт нь α = β
бодит язгууруудтай байвал x2 + px + q = (x − α)(x − β)
үржигдэхүүнд задарна.
Ax + b
(x − α)(x − β)
=
M
x − α
+
N
x − β
тэнцэтгэл биелэгдэж байхаар M, N тоонуудыг
M + N = A,
−Mβ − Nα = B;
тэгшитгэлүүдийн системээс олно.
МАТЕМАТИК-2

19. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = (x − α)(x − β)
б) Хэрэв өгөгдсөн интегралын дорхи бутархайн хуваарьт
байгаа (x2 + px + q)- квадрат гурван гишүүнт нь α = β
бодит язгууруудтай байвал x2 + px + q = (x − α)(x − β)
үржигдэхүүнд задарна.
Ax + b
(x − α)(x − β)
=
M
x − α
+
N
x − β
тэнцэтгэл биелэгдэж байхаар M, N тоонуудыг
M + N = A,
−Mβ − Nα = B;
тэгшитгэлүүдийн системээс олно.
МАТЕМАТИК-2

20. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = (x − α)(x − β)
б)
Ax + B
x2 + px + q
dx =
M
x − α
+
N
x − β
dx
= M
dx
x − α
+ N
dx
x − β
= M
d(x − α)
x − α
+ M
d(x − β)
x − β
=
= M · ln |x − α| + N · ln |x − β| + C;
МАТЕМАТИК-2

21. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = (x − α)(x − β)
Жишээ
x3+x+1
x2−1
dx = x +
2x + 1
x2 − 1
dx
= xdx +
2x + 1
x2 − 1
dx
=
x2
2
+
2x + 1
x2 − 1
dx
Сүүлчийн интегралын дорхи зөв рациональ бутархайн
хуваарь x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) хялбар үржигдэхүүнд
задрах учраас уг бутархай
2x + 1
x2 − 1
=
A
x − 1
+
B
x + 1
хэлбэрт тавигдна.
МАТЕМАТИК-2

22. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = (x − α)(x − β)
Жишээ
x3+x+1
x2−1
dx = x +
2x + 1
x2 − 1
dx
= xdx +
2x + 1
x2 − 1
dx
=
x2
2
+
2x + 1
x2 − 1
dx
Сүүлчийн интегралын дорхи зөв рациональ бутархайн
хуваарь x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) хялбар үржигдэхүүнд
задрах учраас уг бутархай
2x + 1
x2 − 1
=
A
x − 1
+
B
x + 1
хэлбэрт тавигдна.
МАТЕМАТИК-2

23. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = (x − α)(x − β)
Жишээ
x3+x+1
x2−1
dx = x +
2x + 1
x2 − 1
dx
= xdx +
2x + 1
x2 − 1
dx
=
x2
2
+
2x + 1
x2 − 1
dx
Сүүлчийн интегралын дорхи зөв рациональ бутархайн
хуваарь x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) хялбар үржигдэхүүнд
задрах учраас уг бутархай
2x + 1
x2 − 1
=
A
x − 1
+
B
x + 1
хэлбэрт тавигдна.
МАТЕМАТИК-2

24. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = (x − α)(x − β)
Жишээ
x3+x+1
x2−1
dx = x +
2x + 1
x2 − 1
dx
= xdx +
2x + 1
x2 − 1
dx
=
x2
2
+
2x + 1
x2 − 1
dx
Сүүлчийн интегралын дорхи зөв рациональ бутархайн
хуваарь x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) хялбар үржигдэхүүнд
задрах учраас уг бутархай
2x + 1
x2 − 1
=
A
x − 1
+
B
x + 1
хэлбэрт тавигдна.
МАТЕМАТИК-2

25. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = (x − α)(x − β)
Жишээ
x3+x+1
x2−1
dx = x +
2x + 1
x2 − 1
dx
= xdx +
2x + 1
x2 − 1
dx
=
x2
2
+
2x + 1
x2 − 1
dx
Сүүлчийн интегралын дорхи зөв рациональ бутархайн
хуваарь x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) хялбар үржигдэхүүнд
задрах учраас уг бутархай
2x + 1
x2 − 1
=
A
x − 1
+
B
x + 1
хэлбэрт тавигдна.
МАТЕМАТИК-2

26. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = (x − α)(x − β)
Жишээ
x3+x+1
x2−1
dx = x +
2x + 1
x2 − 1
dx
= xdx +
2x + 1
x2 − 1
dx
=
x2
2
+
2x + 1
x2 − 1
dx
Сүүлчийн интегралын дорхи зөв рациональ бутархайн
хуваарь x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) хялбар үржигдэхүүнд
задрах учраас уг бутархай
2x + 1
x2 − 1
=
A
x − 1
+
B
x + 1
хэлбэрт тавигдна.
МАТЕМАТИК-2

27. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = (x − α)(x − β)
Жишээ
x1
x0
A + B = 2
A − B = 1;
системд хүрэх ба шийд A = 3
2, B = 1
2 ; Ийнхүү,
x3+x+1
x2−1
dx = x +
2x + 1
x2 − 1
dx
= xdx +
2x + 1
x2 − 1
dx
=
x2
2
+ (
3
2
x − 1
+
1
2
x + 1
)dx
=
x2
2
+
3
2
dx
x − 1
+
1
2
dx
x + 1
=
x2
2
+
3
2
ln |x − 1| +
1
2
ln |x + 1| + C
МАТЕМАТИК-2

28. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = (x − α)(x − β)
Жишээ
x1
x0
A + B = 2
A − B = 1;
системд хүрэх ба шийд A = 3
2, B = 1
2 ; Ийнхүү,
x3+x+1
x2−1
dx = x +
2x + 1
x2 − 1
dx
= xdx +
2x + 1
x2 − 1
dx
=
x2
2
+ (
3
2
x − 1
+
1
2
x + 1
)dx
=
x2
2
+
3
2
dx
x − 1
+
1
2
dx
x + 1
=
x2
2
+
3
2
ln |x − 1| +
1
2
ln |x + 1| + C
МАТЕМАТИК-2

29. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = (x − α)(x − β)
Жишээ
x1
x0
A + B = 2
A − B = 1;
системд хүрэх ба шийд A = 3
2, B = 1
2 ; Ийнхүү,
x3+x+1
x2−1
dx = x +
2x + 1
x2 − 1
dx
= xdx +
2x + 1
x2 − 1
dx
=
x2
2
+ (
3
2
x − 1
+
1
2
x + 1
)dx
=
x2
2
+
3
2
dx
x − 1
+
1
2
dx
x + 1
=
x2
2
+
3
2
ln |x − 1| +
1
2
ln |x + 1| + C
МАТЕМАТИК-2

30. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = (x − α)(x − β)
Жишээ
x1
x0
A + B = 2
A − B = 1;
системд хүрэх ба шийд A = 3
2, B = 1
2 ; Ийнхүү,
x3+x+1
x2−1
dx = x +
2x + 1
x2 − 1
dx
= xdx +
2x + 1
x2 − 1
dx
=
x2
2
+ (
3
2
x − 1
+
1
2
x + 1
)dx
=
x2
2
+
3
2
dx
x − 1
+
1
2
dx
x + 1
=
x2
2
+
3
2
ln |x − 1| +
1
2
ln |x + 1| + C
МАТЕМАТИК-2

31. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = (x − α)(x − β)
Жишээ
x1
x0
A + B = 2
A − B = 1;
системд хүрэх ба шийд A = 3
2, B = 1
2 ; Ийнхүү,
x3+x+1
x2−1
dx = x +
2x + 1
x2 − 1
dx
= xdx +
2x + 1
x2 − 1
dx
=
x2
2
+ (
3
2
x − 1
+
1
2
x + 1
)dx
=
x2
2
+
3
2
dx
x − 1
+
1
2
dx
x + 1
=
x2
2
+
3
2
ln |x − 1| +
1
2
ln |x + 1| + C
МАТЕМАТИК-2

32. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Ax+B
x2+px+q
-г интегралчлах, x2
+ px + q = (x − α)(x − β)
Жишээ
x1
x0
A + B = 2
A − B = 1;
системд хүрэх ба шийд A = 3
2, B = 1
2 ; Ийнхүү,
x3+x+1
x2−1
dx = x +
2x + 1
x2 − 1
dx
= xdx +
2x + 1
x2 − 1
dx
=
x2
2
+ (
3
2
x − 1
+
1
2
x + 1
)dx
=
x2
2
+
3
2
dx
x − 1
+
1
2
dx
x + 1
=
x2
2
+
3
2
ln |x − 1| +
1
2
ln |x + 1| + C
МАТЕМАТИК-2

33. Рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга Хялбар рациональ бутархайнуудын интеграл
Жишээ
1
x2(x−1)
dx;
Интегралын дорхи зөв бутархай нь
1
x2(x − 1)
=
A
x
+
B
x2
+
C
x − 1
хэлбэрт задрана. Одоо хуваариас чөлөөлвөл
1 = Ax · (x − 1) + B(x − 1) + C · x2
тэнцэтгэлээс
x1
x
x0



A + C = 0
−A + B = 0,
C = 1;
; C = 1, A = −1, B = 1
1
x2(x − 1)
dx = −
1
x
+
1
x2
+
1
x − 1
dx = − ln |x| −
1
x
+ ln |x − 1| + C;
МАТЕМАТИК-2