лекц-10

1. 2.2. Регрессийн шугаман загварын параметрийн ач холбогдлыг шалгах
2.2.1. Регрессийн тэгшитгэлийн үнэмшлийн шинжилгээ
Хамгийн бага квадратын арга. Эх олонлогийн хоёр хувьсагчийн регрессийн загвар нь
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑖 + 𝑈𝑖 (1) байдаг. Эх олонлогийн загвар нь ажиглалтын буюу түүврийн үр
дүн биш учраас түүнийг ажиглалтын регрессийн тэгшитгэлээр үнэлдэг ба дараах
хэлбэрээр тодорхойлддог. 𝑌𝑖 = 𝛽1
̂ + 𝛽2
̂ 𝑋𝑖 + 𝑒𝑖 = 𝑌𝑖
̂ + 𝑒𝑖 (2).
Үүнд 𝑌𝑖
̂-нь ажиглалтын хувьсагчаас хамаарсан нөхцөлт дундаж бөгөөд регрессийн
шугаман дээрх утгыг илтгэнэ. Ажиглалтын регрессийн параметр үнэлгээг хийхийн тулд
(2)-ээс 𝑒𝑖-нь олбол:
𝑒𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌𝑖
̂ = 𝑌𝑖 − 𝛽1
̂ − 𝛽2
̂ 𝑋𝑖 (3) болно. Энд 𝑒𝑖-нь ажиглалтын бодит 𝑌𝑖 утга ба 𝑌𝑖
̂
үнэлсэн нөхцөлт зөрүүг илтгэж байна. Энэхүү 𝑒𝑖-г үлдэгдэл хувьсагч гэнэ. Энд 𝑌𝑖
̂-нь
𝑌𝑖 −ыг үнэлж байгаа учраас үлдэгдэл хувьсагч 𝑒𝑖-г аль болох бага байлгах шаардлага
тавигдана. 𝑌𝑖 утга ба регрессийн тэгшитгэлээр үнэлсэн 𝑌𝑖
̂ хоёрын зөрүүний
квадратуудын нийлбэр ∑ 𝑒𝑖
2
= ∑(𝑌𝑖 − 𝑌̂𝑖)2
-ийг (4) хамгийн бага байлгах
𝛽̂1 , 𝛽̂2параметрүүдийг үнэлэхэд илүү тохиромжтой. Эндээс үзэхэд үлдэгдэл
хувьсагчийн квадратуудын нийлбэр хамгийн бага байх нь бидний үнэлэх 𝛽̂1 , 𝛽̂2–
параметрийн утгаас хамаарч байна.
{
∑ 𝑌𝑖 = 𝑛𝛽1
̂ + 𝛽2
̂
∑ 𝑌𝑖 𝑋𝑖 = 𝛽1
̂ ∑ 𝑋𝑖 + 𝛽2
̂ ∑ 𝑋𝑖
2 (5) гэсэн системийг 𝛽̂1 , 𝛽̂2 хоёр параметрийг үнэлэх нормал
тэгшитгэлийн систем гэнэ. Энэхүү нормал тэгшитгэлийн шийдийг олбол:
𝛽̂2 =
𝑛 ∑ 𝑋 𝑖 𝑌𝑖− ∑ 𝑋 𝑖 ∑ 𝑌𝑖
𝑛 ∑ 𝑋𝑖
2−(∑ 𝑋 𝑖)2
=
∑(𝑋 𝑖−𝑋̅)(𝑌𝑖−𝑌̅)
(∑ 𝑋 𝑖−𝑋̅)2
=
∑ 𝑥 𝑖 𝑦 𝑖
∑ 𝑥 𝑖
2 (6) болно. Энд 𝑋̅ба 𝑌̅ нь n нэгж бүхий Y, X
шинж тэмдгүүдийн утга холбогдолд харгалзан дундаж 𝑥𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝑋̅ , 𝑦𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌̅(7) нь
X, Y-ийн i дахь утга нь түүний дунджаас хэлбэлзэх хэлбэлзэл байна. 𝛽̂1 −ыг үнэлбэл
𝛽̂1 =
∑ 𝑋𝑖
2 ∑ 𝑌𝑖−∑ 𝑋 𝑖 ∑ 𝑋 𝑖 𝑌 𝑖
𝑛 ∑ 𝑋𝑖
2−(∑ 𝑋 𝑖)
2 (8) үүний хёр талыг ажиглалтын хэсгийн нэгжийн тоонд
харьцуулбал 𝑌𝑖
̅ = 𝛽̂1 + 𝛽̂2 𝑋̅болох бөгөөд эндээс 𝛽̂1 = 𝑌𝑖
̅ − −𝛽̂2 𝑋̅болно. Үүнээс гадна (6)
томъёоноос 𝛽̂2–ыг тодорхойлох өөр нэг боломж нь 𝛽̂2 =
∑ 𝑥 𝑖 𝑦 𝑖
∑ 𝑥 𝑖
2 =
∑ 𝑥 𝑖 𝑌𝑖
∑ 𝑋𝑖
2−𝑛𝑋̅2
=
∑ 𝑦 𝑖 𝑋
∑ 𝑋𝑖
2−𝑛𝑋̅2
байна. Эдгээр 𝛽̂1 , 𝛽̂2-ийн үнэлгээнүүд нь ∑ 𝑒𝑖
2
-ийн хамгийн бага байх зарчимд
суурилсан учраас хамгийн бага квадратын үнэлгээ гэж нэрлэдэг.

2. Шугаман регрессийн тэгшитгэлийг тодорхойлж, уг тэгшитгэл тохирно гэж үзсэн бол
үнэмшлийн шинжилгээ хийнэ. Үүнд тэгшитгэлийн үнэмшил, түүний параметрүүдийн
үнэмшлийн асуудал хамаарна.
• Y- ДНБ-д төсвийн орлогын эзлэх хувийн жин
• 𝑋2- Нэгдсэн төсвийн орлогод татварын орлогын эзлэх хувь
• Үүний тулд регресийн тэгшитгэлийн 𝑌̂𝑖 = 𝛽̂1 + 𝛽̂2 𝑋𝑖 шугаман хэлбэрээр сонгоод
𝛽1, 𝛽2 параметрүүдийн хамгийн бага квадратын үнэлгээг эхлэн тодорхойлъё.
𝒀𝒊 𝑿𝒊 𝒀𝒊
𝟐
𝑿𝒊
𝟐 𝒀𝒊 𝑿𝒊
1991 23.81 68.89 566.92 4745.83 1640.27
1992 25.16 77.31 633.03 5976.84 1945.12
1993 28.13 79.01 791.30 6242.58 2222.55
1994 26.54 78.4 704.37 6146.56 2080.74
1995 24.77 77.4 613.55 5990.76 1917.20
1996 24.62 75.94 606.14 5766.88 1869.64
1997 27.34 76.49 747.48 5850.72 1869.64
1998 27.81 77.34 773.40 5981.48 2150.83
1999 27.53 77.82 757.90 6055.95 2142.38
2000 34.45 79.94 1186.80 6390.40 2753.93
2001 39.38 83.82 1550.78 7025.79 3300.83
2002 38.44 77.4 1477.63 5990.76 2975.26
2003 40.65 78.43 1652.42 6151.26 3188.18
Дүн 388.63 1008.19 12061.72 78315.82 30278.17

3. 𝒚𝒊 = 𝒀𝒊 − 𝒀̅ 𝒙𝒊 = 𝑿𝒊 − 𝑿̅ 𝒚𝒊
𝟐
𝒙𝒊
𝟐 𝒚𝒊 𝒙𝒊 𝒀̂ 𝒊 (𝒀𝒊 − 𝒀̂ 𝒊) 𝟐
1991 -6.08 -8.66 36.97 75.00 52.65 20.51 10.91
1992 -4.73 -0.24 22.37 0.06 1.14 29.63 19.99
1993 -1.76 1.46 3.10 2.13 -2.57 31.47 11.18
1994 -3.35 0.85 11.22 0.72 -2.85 30.81 18.25
1995 -5.12 -0.15 26.21 0.02 0.77 29.73 24.59
1996 -5.27 -1.61 27.77 2.59 8.48 28.15 12.44
1997 -2.55 -1.06 6.50 1.12 2.70 28.74 1.97
1998 -2.08 -0.21 4.33 0.04 0.44 29.66 3.44
1999 -2.46 0.27 5.57 0.07 -0.64 30.18 7.04
2000 4.56 2.39 20.79 5.71 10.90 32.48 3.88
2001 9.49 6.27 90.06 39.31 59.50 36.69 7.26
2002 8.55 -0.15 73.10 0.02 -1.28 29.73 75.89
2003 10.76 0.88 115.78 0.77 9.47 30.84 96.14
Дүн 0 0 444 128 138.71 388.63 292.97
Өмөнө нь олсон 𝛽̂1 , 𝛽̂2 параметр үнэлгээний бодит байдлыг тооцоход стандарт алдааг
үнэлгээ тус бүрт тооцдог.стандарт алдааг үнэлгээ тус бүрийн дисперсээсязгуур гарган
тодорхойлдог. Хамгийн бага квадратын үнэлгээний параметрүүдийн дисперсийн
стандарт алдааг дараах томъёонуудаар тодорхойлдог.
𝑉𝑎𝑟(𝛽̂2) =
𝜎2
∑ 𝑥 𝑖
2 ; 𝑆𝑒(𝛽̂2) =
𝜎
√∑ 𝑥 𝑖
2
; 𝑉𝑎𝑟(𝛽̂1) =
∑ 𝑋 𝑖
2
∗𝜎2
𝑛 ∑ 𝑥 𝑖
2 ; 𝑆𝑒(𝛽̂1) =
√∑ 𝑋 𝑖
2
√𝑛 ∑ 𝑥 𝑖
2
𝜎
Энд Var нь 𝛽̂1, 𝛽̂2үнэлгээний дисперс, 𝑆𝑒 нь стандарт алдаа ба 𝜎2
нь 𝑈𝑖үлдэгдэл
хувьсагчийн гомоскедастик дисперс буюу тогтол хэмжигдэхүүн хэмжигдэхүүн. Эх
олонлогийн үл мэдэгдэх дисперсийн оронд хамгийн бага квадратын 𝜎̂2
=
∑ 𝑒𝑖
2
𝑛−2
үнэлгээг
ашигладаг. ∑ 𝑒𝑖
2
- нь үлдэгдэл хувьсагчуудын квадратуудын нийлбэр, 𝑛 − 2 нь чөлөөний

4. зэргийн тоо юм. Үлдэгдэл хувьсагчуудын квадратуудын нийлбэр ∑ 𝑒𝑖
2
-ийг бага зэрэг
хувиргавал: ∑ 𝑒𝑖
2
= ∑(𝑌𝑖 − 𝑌̂𝑖)2
= ∑ 𝑦𝑖
2
− 𝛽̂2
2 ∑ 𝑥𝑖
2
болно.
𝛽̂2 =
∑ 𝑥 𝑖 𝑦 𝑖
∑ 𝑥 𝑖
2 =
∑ 𝑥 𝑖 𝑌𝑖
∑ 𝑋𝑖
2−𝑛𝑋̅2
=
∑ 𝑦 𝑖 𝑋
∑ 𝑋𝑖
2−𝑛𝑋̅2
байдгийг ажиглавал ∑ 𝑒𝑖
2
= ∑ 𝑦𝑖
2
− (∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖)2
болно.
𝛽̂1, 𝛽̂2 параметрын дисперсийг үнэлэхэд гарч болох өөрчлөлтийн дараах тэмдэглэгээ
хийж болно.
1. 𝛽̂1үнэлгээний дисперс нь 𝜎2
-тай шууд, харин ∑ 𝑥𝑖
2
-тай урвуу хамааралтай байна.
Эндээс Х үл хамааран хувьсагчийн дисперс нь бага харин 𝜎2
нь их байвал
дисперс нь их утга хүлээн авах талтай.
2. 𝛽̂1үнэлгээний дисперс нь 𝜎2
ба ∑ 𝑥𝑖
2
-тай шууд, харин түүвэр ажиглалтын хэмжээ
n ба ∑ 𝑥𝑖
2
-тай урвуу хамааралтай байна.
3. 𝑐𝑜𝑣(𝛽̂1, 𝛽̂2) = −𝑋̅ (
𝜎2
∑ 𝑥 𝑖
2)
Энд 𝛽̂2-ийн дисперс дандаа эерэг утга хүлээж авах учраас 𝛽̂1 ба 𝛽̂2 хоорондох
ковариацын тэмдэг нь 𝑋̅–ийн тэмдгээс хамаарна. Иймд 𝛽̂1 ба 𝛽̂2-ийн ковариац нь
үргэлж сөрөг утга хүлээн авна.
Тэгшитгэлийн үнэмшлийг Фишерийн F-шалгуураар тодорхойлно. Үүний тулд
регрессийн коэффициент 0-тэй тэнцүү учир хүчин зүйл нь үр дүнд нөлөөлөхгүй байна
гэсэн H0-таамаглал дэвшүүлж, F-шалгуурын бодит утгыг тодорхойлохын тулд
дисперсийн шинжилгээ хийнэ. ∑(𝑦 − 𝑦̅)2
= ∑(𝑦𝑥 − 𝑦̅)2
+ ∑(𝑦 − 𝑦𝑥)2
Энд, Үр дүнгийн утгууд дундажаасаа холдож буй хазайлтын квадратуудын нийлбэр,
хүчин зүйлийн нөлөөллөөс шалтгаалсан хэлбэлзлийн квадратуудын нийлбэр,
үлдэгдэл хэлбэлзлийн квадратуудын нийлбэр.
Шугаман хамаарлын үед үл хамаарах хувьсагчийн тоо 2 тул хүчин зүйлийн чөлөөт
зэрэг нь 1=(2-1) байна. Бусад нь үлдэгдэл хүчин зүйлүүдийн чөлөөт зэрэг болох тул n-2
=(n-1-1) болно. Дээрх хэлбэлзлийн квадратуудыг чөлөөт зэргийн тоонд хуваахад
хэлбэлзлийн дундаж квадрат буюу нэг чөлөөт зэрэгт оногдох дисперс /𝜎2
/ гарна.
• Ерөнхий дисперс 𝜎2
ер =
∑(𝑦−𝑦̅)2
𝑛−1
;
• Хүчин зүйлийн дисперс 𝜎2
х/з =
∑(𝑦 𝑥−𝑦̅)2
1
;

5. • Үлдэгдэл дисперс 𝜎2
үлд =
∑(𝑦−𝑦 𝑥)2
𝑛−2
Үүний дараа F-шалгуурын бодит утга 𝐹бодит =
𝜎2
х/з
𝜎2
үлд
олно.
F-шалгуурын бодит утга детерминацийн коэффициенттой уялдаатай. Учир нь:
∑(𝑦𝑥 − 𝑦̅)2
= 𝑟2
∙ 𝜎 𝑦
2
∙ 𝑛; ∑(𝑦 − 𝑦𝑥)2
= (1 − 𝑟2) ∙ 𝜎 𝑦
2
∙ 𝑛 тул 𝐹бодит =
𝑟2
1−𝑟2
∙ (𝑛 − 2)
болно. F-шалгуурын бодит утгыг тооцохдоо энэ томъёог мөн ашиглаж болно.
Хэрэв 𝐹бодит > 𝐹онол бол H0-таамаглал хүчингүй болж, регрессийн тэгшитгэл
үнэмшилтэй байна, хүчин зүйл үр дүнд нөлөөлж байна гэсэн дүгнэлт гарна.
Английн статистикч Снедекор H0-таамаглалыг тодорхой магадлалын түвшинд
шалгахад зориулсан F-шалгуурын байж болох хамгийн их утгуудын хүснэгтийг
зохиосон байдаг.
2.2.2. Регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийн үнэмшлийн шинжилгээ
Эх олонлогийн хувьд судалж буй шинж тэмдгүүдийн хоорондох зүй тогтол нь 𝑦𝑖 =
𝛽2 + 𝛽2*𝑥2𝑖+………+𝛽 𝑘 ∗ 𝑋 𝑘𝑖 + 𝑈𝑖( i =1,𝑚)̅̅̅̅ (1) тодорхойлогддог гэж үзье. Түүвэр
судалгааны үр дүнг эх олонлогийн параметрийн цэгэн үнэлэлт гэж нэрлэдэг. Үүнд:
𝑏𝑖нь эх олонлогийн 𝛽𝑖параметрийн цэгэн үнэлэлт.
Регрессийн шугаман тэгшитгэлийн 𝑏1, 𝑏2, … . 𝑏 𝑘параметрүүд зөвхөн 𝑛ширхэг түүвэр
утгын хувьд тооцогдсон бөгөөд энэ үр дүн нь нийт эх олонлогийн хувьд тохирох
эсэхийг шалгах шаардлагатай юм. Үүний тулд дараах таамаглалыг дэвшүүлдэг.
Нэг : 𝛼 зөвшөөрөгдөх түвшний хувьд:
H0: βi = 0; H1: βi ≠ 0
Энэ таамаглалыг шалгахын тулд t-шинжүүрийг ашиглая.
Ажиглалтын t утгыг (tаж) дараах байдлаар олно.
𝑡аж =
𝛽1
̂
𝑆 𝛽1
̂
Стьюдентийн t тархалтын хүснэгтээс n-2 чөлөөний зэрэг, 𝛼 зөвшөөрөгдөх түвшин
бүхий (2 талт критик мужаас)tkpутгыг сонгон авч 𝑡ажутгатай харьцуулахад: |tаж |≥ tkp

6. бол H0 таамаглалыг хүлээн зөвшөөрөхгүй. Энэ нь 𝛽1
̂ параметрийн утга ач
холбогдолтойг харуулж байна.Эсрэг тохиолдолд |tаж |≤ tkpбол H0 таамаглалыг хүлээн
зөвшөөрөх буюу 𝛽1параметрийн утга ач холбогдолгүй. Энэ нь регрессийн тэгшитгэлд
тогтмол коэффицент төдийлөн байх шаардлагагүйг харуулж байна.
Хэрэв H0 таамаглалыг хүлээн зөвшөөрөх буюу 𝛽1параметрийн утга ач холбогдолтой
байгаа тохиолдолд b1параметрийн итгэх завсарыг дараах байдлаар тодорхойлно.
𝛽1
̂ − 𝑡 𝑘𝑝 ∙ 𝑆 𝛽1
̂ < 𝛽1 < 𝛽1
̂ + 𝑡 𝑘𝑝 ∙ 𝑆 𝛽1
̂
Үүнээс гадна b1параметр ач холбогдолтой тохиолдолд ямар нэгэн тодорхой утгатай
тэнцүү юу гэсэн таамаглалыг шалгаж болно.
H0: β1 = γ1H1: β1 ≠ γ1
Энд 𝛾1 нь таамаглаж буй утга.
Хэрвээ H0 таамаглалыг хүлээн зөвшөөрсөн тохиолдолд регрессийн тэгшитгэл дэх
параметрийн утгыг таамаглаж буй утгаар сольж загварыг сайжруулж болно. Эсрэг
тохиолдолд таамаглаж буй утгаа өөрчлөх замаар таамаглалыг цааш үргэлжлүүлж
болно. Энэ таамаглалыг t шинжүүрийн тусламжтай шалгана. Ажиглалтын t утгыг
дараах байдлаар олно.
tаж=
𝛽1
̂−𝛾1
𝑆 𝛽1̂
Стьюдентийн t тархалтын хүснэгтээс n-2 чөлөөний зэрэг, 𝛼 зөвшөөрөгдөх түвшин
бүхий tkp утгыг сонгон авч 𝑡аж утгатай харьцуулахад:
|tаж |≥ tkp бол H0 таамаглалыг хүлээн зөвшөөрөхгүй. Харин H1 таамаглалыг хүлээн
зөвшөөрнө.
Хоёр:𝛽2
̂параметрын хувьд.
H0: 𝛽2
̂ = 0; H1: 𝛽2
̂ ≠ 0
Энэ таамаглалыг шалгахын тулд t-шинжүүрийн тусламжтай шалгая.
Ажиглалтын t утгыг (tаж) дараах байдлаар олно.
𝑡аж =
𝛽2
̂
𝑆 𝛽2
̂

7. Стьюдентийн t тархалтын хүснэгтээс n-2 чөлөөний зэрэг, 𝛼 зөвшөөрөгдөх түвшин
бүхий (2 талт критик мужаас)tkpутгыг сонгон авч 𝑡ажутгатай харьцуулахад:
|tаж |≥ tkp
бол H0 таамаглалыг хүлээн зөвшөөрөхгүй. Энэ нь 𝛽2
̂параметрийн утга ач
холбогдолтойг харуулж байгаа бөгөөд нөгөө талаас 𝑦𝑖ба 𝑥𝑖хувьсагчууд шугаман
хамааралтай байж болно гэдгийг нотолж байна.Эсрэг тохиолдолд |tаж |≤ tkpбол H0
таамаглалыг хүлээн зөвшөөрөх буюу b2параметрийн утга ач холбогдолгүй. Энэ нь 𝑦𝑖ба
𝑥𝑖 хувьсагчдын хоорондох хамаарлыг шугаман тэгшитгэлээр илэрхийлэх боломжгүйг
харуулж байгаа юм.
Хэрэв H0 таамаглалыг хүлээн зөвшөөрөх буюу 𝛽2
̂параметрийн утга ач холбогдолтой
байгаа тохиолдолд 𝛽2
̂параметрийн итгэх завсарыг дараах байдлаар тодорхойлно.
𝛽2
̂ − 𝑡 𝑘𝑝 ∙ 𝑆 𝛽2
̂ < 𝛽2 < 𝛽2
̂ + 𝑡 𝑘𝑝 ∙ 𝑆 𝛽2
̂
Мөн 𝛽2
̂параметр ач холбогдолтой тохиолдолд ямар нэгэн тодорхой утгатай тэнцүү юу
гэсэн таамаглалыг шалгаж болно.
H0: β2 = 𝛾2H0: β2 ≠ 𝛾2
Энд 𝛾2 нь таамаглаж буй утга.
Хэрвээ H0 таамаглалыг хүлээн зөвшөөрсөн тохиолдолд регрессийн тэгшитгэл дэх
параметрийн утгыг таамаглаж буй утгаар сольж загварыг сайжруулж болно. Эсрэг
тохиолдолд таамаглаж буй утгаа өөрчлөх замаар таамаглалыг цааш үргэлжлүүлж
болно. Энэ таамаглалыг t шинжүүрийн тусламжтай шалгана. Ажиглалтын t утгыг
дараах байдлаар олно.
tаж=
𝛽2
̂ −𝛾2
𝑆 𝛽2̂
Стьюдентийн t тархалтын хүснэгтээс n-2 чөлөөний зэрэг, 𝛼 зөвшөөрөгдөх түвшин
бүхий tkp утгыг сонгон авч 𝑡аж утгатай харьцуулахад:
|tаж |≥ tkp бол H0 таамаглалыг хүлээн зөвшөөрөхгүй. Харин H1 таамаглалыг хүлээн
зөвшөөрнө.

8. Өмнөх лекцийн жишээг үргэлжлүүлбэл:
𝑌𝑖 𝑋𝑖 𝑌𝑖
2
𝑋𝑖
2
𝑌𝑖 𝑋𝑖
1991 23.81 68.89 566.92 4745.83 1640.27
1992 25.16 77.31 633.03 5976.84 1945.12
1993 28.13 79.01 791.30 6242.58 2222.55
1994 26.54 78.4 704.37 6146.56 2080.74
1995 24.77 77.4 613.55 5990.76 1917.20
1996 24.62 75.94 606.14 5766.88 1869.64
1997 27.34 76.49 747.48 5850.72 1869.64
1998 27.81 77.34 773.40 5981.48 2150.83
1999 27.53 77.82 757.90 6055.95 2142.38
2000 34.45 79.94 1186.80 6390.40 2753.93
2001 39.38 83.82 1550.78 7025.79 3300.83
2002 38.44 77.4 1477.63 5990.76 2975.26
2003 40.65 78.43 1652.42 6151.26 3188.18
Дүн 388.63 1008.19 12061.72 78315.82 30278.17
үргэлжлэл
𝑦𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌̅ 𝑥𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝑋̅ 𝑦𝑖
2
𝑥𝑖
2
𝑦𝑖 𝑥𝑖 𝑌̂𝑖 (𝑌𝑖 − 𝑌̂𝑖)2
1991 -6.08 -8.66 36.97 75.00 52.65 20.51 10.91
1992 -4.73 -0.24 22.37 0.06 1.14 29.63 19.99
1993 -1.76 1.46 3.10 2.13 -2.57 31.47 11.18
1994 -3.35 0.85 11.22 0.72 -2.85 30.81 18.25
1995 -5.12 -0.15 26.21 0.02 0.77 29.73 24.59
1996 -5.27 -1.61 27.77 2.59 8.48 28.15 12.44
1997 -2.55 -1.06 6.50 1.12 2.70 28.74 1.97
1998 -2.08 -0.21 4.33 0.04 0.44 29.66 3.44
1999 -2.46 0.27 5.57 0.07 -0.64 30.18 7.04
2000 4.56 2.39 20.79 5.71 10.90 32.48 3.88
2001 9.49 6.27 90.06 39.31 59.50 36.69 7.26
2002 8.55 -0.15 73.10 0.02 -1.28 29.73 75.89
2003 10.76 0.88 115.78 0.77 9.47 30.84 96.14
Дүн 0 0 444 128 138.71 388.63 292.97
Эндээс 𝛽̂2 =
∑ 𝑥1 𝑦1
∑ 𝑥 𝑖
2 =
138.71
128.0
= 1.0837

9. болох ба 𝛽̂1 = 𝑌̅ − 𝛽̂2 𝑋̅ = 29,8946 − 1.0837 ∗ 77.553 = −54.1496 болно. Иймд
регрссийн шугаман тэгшитгэл нь 𝑌̂𝑖 = −54.1496 + 1.0837 𝑋𝑖болно.