2. Зарим арифметик функцүүд
0≤ 𝑛 ∈ ℤ өгөгдсөн байг. Тэгвэл n тооны натурал тооны хувааагчдын тоог ( )n гэе.
Харин натурал хуваагчуудын нийлбэрийг ( )n гэе. Жишээ нь:
1) n=3 үед (3) =2 (3) =4
2) n=6 үед (6) =4 (6) =12
3) n=12 үед (12) =6 (12) =28
4) n=1000 үед (1000) =? (1000) =? Энэ тохиолдолд натурал хуваагчдын тоо
болон тэдгээрийн нийлбэрийг олоход хүндрэлтэй. Тиймээс энэ асуудлыг
шиидвэрлэе.
Өгүүлбэр 1. 1<n ϵ Z , n= 1 2
1 2 ......... naa a
kp p p - каноник бичиглэл
5) ( )n = 1 2( 1)( 1)......( 1)na a a
6)
1 2 11 1
1 2
( )
1 2
( 1)( 1) ( 1)
.......
1 1 1
kaa a
k
n
k
pp p
p p p
Баталгаа.
1) m/n байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь
1 2
1 2 ... ,0 , 1,2,3,.....,kbb b
k i im p p p b a i k
m/n- тоо бүрт 1 2(b , ,..., )kb b эрэмбэлэгсэн хосыг харгалзуулна. Энэ харгалзаа нь
харилцан нэг утгатай байна. Нийт эрэмблэгдсэн хосын тоо 1 2(b , ,..., )kb b .
Нийт эрэмблэгдсэн хосын боломжийн тоо үржвэрийн дүрэм ёсоор
1 2( 1) (a 1) ... ( 1)ka a (байр солих бүрт сонгогдох үржвэр)
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
/ 0 0 0 0
2 2 2
1 2 1 2 2 2
11 1
1 2
1 2
2) ... ( ) ( ) ... ( )
(1 ... ) (1 ... ) ... (1 ... )
( 1( 1) ( 1)
.......
1 1
k k
i i i i i i i i
k
k
b ab b b b
n k k
m n b a b a b a b a
aa a
k k k
aa a
k
m p p p p p p
p p p p p p p p p
pp p
p p
)
.
1kp
Одоо n=1000 тохиолдолд (1000) =? , (1000) =? эдгээрийг олоход хялбархан боллоо.
Өгүүлбэр 1 ёсоор 1000 гэсэн тооны каноник бичиглэл нь 1000=23
∙ 53
юм. Эндээс
(1000) (3 1)(3 1) 4 4 16 ,
4 4
(1000)
2 1 5 1 15 624
( ) ( ) 15 156 2340
2 1 5 1 1 4
.
3. ( )n функц нь дараах асуудалтай холбогддог.
1. ( )n =2n байх n тоог төгс тоо гэнэ
(6) (28)12, 56 6 ба 28 төгс тоо.
2.2m+1
-1 тоо анхны тоо бол n=2m
(2m+1
-1) тоо төгс тоо
22+1
-1=7 анхны тоо n=22
∙ 7=28 (төгс тоо)
Аливаа төгс тоо бүр 2m
(2m+1
-1) хлбэртэй байна. (Эйлер)
2m+1
-1 хэлбэрийн анхны тоог Мерсенний тоо гэнэ.
Сондгой төгс тоо оршин байх уу? . ( )n =2n байх n сондгой тоо олдох уу? Энэ асуудлууд
одоог хүртэл шийдэгдээгүй байна.
Мёбицсийн функц
1 n Z байг. ( )ni ( )n {
1 , хэрэв 𝑛 = 1
0 , хэрэв 𝑝2
/𝑛
(−1) 𝑘
, хэрэв 𝑛 = 𝑝1 ∙ 𝑝2 ∙ … ∙ 𝑝 𝑘
Энэ функцийг Мёбицсийн
функц гэнэ.
Жишээ нь: (1) (2) (3) (4) (6)1, 1, 1, 0, 1
Өгүүлбэр 2. Хэрэв 1<n ϵ Z бол ( )
/
0d
d n
байна.
Жишээ нь: n=12 үед (1,2,3,4,6,12) гэсэн 6 ширхэг хуваагчтай.
( ) (1) (2) (3) (4) (6) (12)
/
1 ( 1) ( 1) 0 1 0 0d
d n
Баталгаа. 1 2
1 2 ... kaa a
kn p p p байг.
1 2 1 2
( ) 1 2 1 2
/ 0 0 1
1 2 2
( ... ) ( ... )
1 C ( 1) ( 1) ... ( 1) 1 ( 1) 0.
k k
i i i
b eb b e e
d k k
d n b a e
k k k
k k k
p p p p p p
C C
f ба g нь: : , :f g
Z Z буулгалт
Z ={0,1,2,…,} :f g
Z буулгалтыг
n
Z хувьд
1 2
1 2( ) ( ) ( ) ( )
d d n
f g n f d f d
-ийн дүрмээр тодорхойльё.
f g буулгалтыг Дирихлейн үржвэр гэж нэрлэдэг.
4. Жишээ нь:
1 2
(1) (12) (2) (6) (3) (4) (4) (3) (6) (2) (12) (1)
( )(12) ( ) ( )d d
ийм хэлбэрээр Дирихлейн
үржвэрийг тодорхойлно.
Чанар 1
1 2 3
1 2 3(( ) )(n) ( ( ))(n) ( ) ( ) ( )
d d d n
f g h f g h f d g d h d
үүнийг шалгаж болно.
Өөрөөр хэлбэл ( ) ( )f g h f g h - ассоциатив хууль биелнэ.
1<n ϵ Z хувьд ( )ni {
1, хэрэв 𝑛 = 1
0, хэрэв 𝑛 > 1
ийм функцийг ( )ni гэж тэмдэглэе.
Чанар 2
f i i f f ийм болохыг шалгаж болно. Энд i нь Дирихлейн үржвэрийн хувьд нэгж
элемент юм.
n
Z хувьд ( ) 1n функцийг тодорхойлъё.
Чанар 3
/
( )( ) ( )( ) ( )
d n
f n f n f d үүнийг шалгаж болно.
Лемм
i ( -ийн урвуу функц функц юм. )
Теорем (Мёбицсийн функцийн урвуу хувиргалтын тухай )
/
( ) ( )
d n
F n f d байг. Тэгвэл
/
( ) ( ) ( )
d n
n
f n d f
d
байна.
5. Баталгаа
/
( ) ( )
d n
F n f d чанар 3 ёсоор ( )( )f n гэж бичиж болно. F авч үзье.
( ) ( )F f f f i f
1 2 1 2
1 2
/
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
d d n d d
n
f n F n d F d d F
d
Эйлерийн функц
1 n Zбайг. ( )n -ээр n-тэй харилцан анхны, n-ээс үл хэтрэх натурал тоонуулыг
тэмдэглэе.
Жишээ нь: n=6 (6) =?
1. (1,6)=1
2. (2,6)=2
3. (3,6)=3 (6) =2
4. (4,6)=2
5. (5,6)=1
6. (6,6)=6
n=p (p) =p-1
(100) =? Яаж олох вэ? Энэ талаар судлая.
Өгүүлбэр 1.
/
( )
d n
d n
Баталгаа
1 2 3
, , ,..., 1
n
n n n n
(n ширхэг бутархай) Эдгээрийг үл хураагдах бутархай болгон хураая.
n=6 үед
1 2 3 4 5 6 1 1 1 2 5 1
, , , , , , , , , ,
6 6 6 6 6 6 6 3 2 3 6 1
(үл хураагдах бутархай)
Энэ үл хураагдах бутархайн хуваарь нь n тооны хуваагч байна.
6. d/n байг. d хуваарьтай үл хураагдах бутархай тоо нийлж ( )d ширхэг байна.
/
( )
d n
d n .
/
( ) (1) (2) (3) (6) 1 1 2 2 6
d n
d
Өгүүлбэр 2.
1 2
1 2 ... kaa a
kn p p p каноник бичиглэлтэй байг. Тэгвэл
1 2
1 1 1
( ) (1 )(1 )...(1 )
k
n n
p p p
томьёо биелнэ.
Баталгаа
/
( ) ( )
d n
d n id n Мёбицсын теорем ёсоор
1 2
1 2
1 2
/ / 1 2
2
1 1 , 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ... )
...
1 1 1
( 1) ( 1) ... ( 1) (1 )(1 )...(1 ).
...
k
k
ee e
k ee e
d n d n k
k
k
i i j ki i j k k
n n
n d id n d p p p
d p p p
n n n
n n
p p p p p p p p p
Одоо (100) ? үүнийг бодоцгооё.
2 2
(100) 2 5
1 1 1 4
(100) 100 (1 )(1 ) 100 40
2 5 2 5
7. Бодлого ба дасгал
1. ?x (1001) ?
Бодолт: 1001=7 ∙ 11 ∙ 13 каноник бичиглэлтэй. Өгүүлбэр 2 ёсоор
(1001)
1 1 1
1001 (1 ) (1 ) (1 ) 720
7 11 13
2. ( ) 14x ?x
1 2
1 2 ... kaa a
kx p p p 1 2
1 2 ... kaa a
kx p p p бол
1 2 11 1
( ) 1 2 1 2
1 2
1 1 1
(1 )(1 )...(1 ) ... ( 1)( 1)...( 1)kaa a
x k k
k
x p p p p p p
p p p
14 2 7 ( )7 / 7 1 6x i ip p ( )6 / 14x
Ашигласан ном
Г.А.Кудреватов “ Тооны онолын бодлогууд”
К.Айерлэнд, М.Роузен “Классическое введение в современнуя теорию
чисел”
Дүгнэлт
Би энэхүү сэдвийг судалснаараа Мерсений тоо, Мёбицсийн функц,
Дирихлейн үржвэр, Эйлерийн функц болон эдгээр сэдэвтэй холбогдолтой
теорем,лемм, чанар гэх мэтчилэн маш олон зүйлийг мэдэж авлаа. Эдгээр
зүйлүүдийг мэдэж авснаараа ямар нэг n гэсэн тооны натурал хуваагч мөн
тэдгээрийн нийлбэр, мөн n-тэй харилцан анхны n-ээс хэтрэхгүй хичнээн
ширхэг тоо байгааг хялбархан олж чаддаг боллоо. Энэхүү бие даалтыг хийж
буй явцад гарсан хүндрэлтэй асуудлууд нь энэ сэдвийн талаархи ном мөн
жишээ бодлого олоход бэрхшээлтэй байсан.
