1. หน้าที่ 37
2 1 1 2 1 2
8. กาหนด A =   , B=   , C=   จงหาค่าต่อไปนี้
3 4 3 4 0 2
( 1 ) det ( A ) = ………………………………………………………………….
det ( B ) = …………………………………………………………………
det ( A )  det ( B ) = …………………………………………………………………
( 2 ) AB =
( 3 ) det ( AB ) = …………………………………………………………………
( 4 ) BA =
( 5 ) det ( BA ) = …………………………………………………………………
( 6 ) ( AB ) C =
( 7 ) A- 1 =
det (A- 1 ) = …………………………………………………………………
( 8 ) det ( A )  det ( A- 1 ) = …………………………………………………………………
( 9) At =
det ( At ) = …………………………………………………………………
( 12 ) ( - A ) =
det ( - A ) = …………………………………………………………………
ข้ อสั งเกต ( 1 ) AB และ BA เป็ นเมตริ กซ์ที่เท่ากันหรื อไม่ ……………………………….
( 2 ) det ( AB ) และ det ( BA ) มีค่าเท่ากันหรื อไม่ …………………………..
( 3 ) มีผลลัพธ์ในข้อใดบ้างที่มีค่าเท่ากัน
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

2. หน้าที่ 38
คุณสมบัติของดีเทอร์ มนันต์
ิ
1. ถ้า A เป็ น n  n เมตริ กซ์ ซึ่งมีแถวใดแถวหนึ่ง ( หรื อหลักใดหลักหนึ่ง ) เป็ น 0 ทั้งแถว
่
( หรื อทั้งหลัก ) จะได้วา det ( A ) = 0
ตัวอย่าง 0 0
= 0 0 1
= 0
3 5 0 2
่
2. ถ้า A เป็ น n  n เมตริ กซ์ ซึ่งมีสองแถว ( หรื อสองหลัก ) ใด ๆ เท่ากัน จะได้วา det ( A ) = 0
1 2 3 1 1 5
ตัวอย่าง 1 5 1 = 0 2 2 3 = 0
1 2 3 3 3 4
3. ถ้าเมตริ กซ์ B เกิดจาก n  n เมตริ กซ์ A โดยการสลับแถวคู่ใดคู่หนึ่ง(หรื อสลับหลักคู่ใดคู่หนึ่ง )
จะได้ det ( B ) = - det ( A )
2 3 1 1 2 3
ตัวอย่าง 1 2 3 = - 20 แต่ 2 3 1 = 20
2 1 1 2 1 1
2
3
1
0
= -3 แต่ 1 2
= 3
0 3
4. ถ้าเมตริ กซ์ B เกิดจาก n  n เมตริ กซ์ A โดยการคูณแถวใดแถวหนึ่ง ( หรื อหลักใดหลักหนึ่ง )
ด้วยค่าคงตัว k จะได้ det ( B ) = k det ( A )
1 2 3 2(1) 2( 2) 2 ( 3)
ตัวอย่าง 4 5 6 = -3 แต่ 4 5 6 = -6
1 1 2 1 1 2
2
3
1
2
= 1 แต่ 5( 2)
5 ( 3)
1
2
= 5
5. ถ้าเมตริ กซ์ B เกิดจาก n  n เมตริ กซ์ A โดยการคูณแถวใดแถวหนึ่ง ( หรื อหลักใดหลักหนึ่ง )
่
ด้วยค่าคงตัวแล้วนาไปบวกกับแถวหนึ่ง ( หลักหนึ่ง ) จะได้วา det ( B ) = det ( A )
1 2 3 1 2 3
วิธีทา 4 5 6 = -3 แต่ 4 5 6 = -3
1 1 2 2(1)  1 2( 2)  1 2 ( 3)  2
5( 2)  1
2
3
1
2
= 1 แต่ 2
1 5 ( 3)  2
= 2
3
11
12
= 1
6. ถ้า A เป็ น n  n เมตริ กซ์ ซึ่งแถวที่ i ( หลักที่ i ) ของ A เท่ากับ ผลคูณของค่าคงตัว
่
กับแถวที่ j ( หลักที่ j ) จะได้วา det ( A ) = 0
1 2 3
ตัวอย่าง 3(1) 3( 2 ) 3( 3) = 0 และ 4
5
2( 4 )
2(5)
= 0
1 0 2
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

3. หน้าที่ 39
7. ถ้า A เป็ นเมตริ กซ์สามเหลี่ยม จะได้ det ( A ) เท่ากับผลคูณของสมาชิกเส้นทแยงมุมหลัก
2 0 0 1 4 6
ตัวอย่าง 1 3 0 = 30 และ 0 2 0 = 6
4 6 5 0 0 3
่
8. ถ้า A และ B เป็ น n  n เมตริ กซ์ จะได้วา det ( AB ) = ( det ( A ) ) ( det ( B ) )
9. เมตริ กซ์ A ซึ่งเป็ น n  n เมตริ กซ์ จะมีอินเวอร์ การคูณก็เมื่อ det ( A )  0
det ( A- 1 ) = 1
det ( A )
10. det (At ) = det ( A )
11. det ( 0 ) = 0

12. det ( In ) = 1
13. ถ้า A เป็ น n  n เมตริ กซ์ แล้ว det ( kA ) = kn det ( A ) เมื่อ k เป็ นจานวนจริ ง
 2 1
ตัวอย่าง A =   det ( A ) = 5
 3 4
 8 4
4A =   det ( 4 A ) = 80 = 42  5
 12 16 
3.9 การหาอินเวอร์ สการคูณของเมตริกซ์
จากสมบัติการคูณเมตริ กซ์และอินเวอร์สของ 2  2 เมตริ กซ์ จะมีสมบัติท่ีเกี่ยวกับการคูณดังนี้
1. เมตริ กซ์ A มิติ n  n เป็ นอินเวอร์สของการคูณเมตริ กซ์ B มิติ n  n ก็ต่อเมื่อ AB = BA = In
2. เมตริ กซ์ A มิติ n  n เป็ นอินเวอร์ สการคูณก็ต่อเมื่อ det ( A )  0 เรี ยกเมตริ กซ์ A ที่มี
อินเวอร์ สการคูณว่า นอนซิงกูลาร์ เมตริกซ์ เรี ยกเมตริ กซ์ A ที่ไม่มีอินเวอร์ สการคูณว่า ซิงกูลาร์ เมตริกซ์
( เมตริ กซ์เอกฐาน )
3. ถ้าเมตริ กซ์ A มิติ n  n มีอินเวอร์ ส จะมีได้เพียงเมตริ กซ์เดียวเท่านั้น
a b
4. ถ้า A =   โดยที่ det ( A )  0
c d
1  d  b
A- 1 =
ad  bc  c a 
 
ในการหาอินเวอร์สการคูณของ n  n เมตริ กซ์ จะอาศัยบทนิยามที่เกียวข้องดังนี้
บทนิยามโคแฟกเตอร์ เมตริกซ์
บทนิยาม กาหนด A = [ a ij ] n  n โดยที่ n  2 และ C i j แทนโคแฟกเตอร์ของ a ij
โคแฟกเตอร์เมตริ กซ์ ( Cofactor matorix ) ของ A คือ n  n เมตริ กซ์ ซึ่งสมาชิกในแถว
ที่ i และหลักที่ j คือ C i j
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

4. หน้าที่ 40
เขียนแทนโคแฟกเตอร์ของเมตริ กซ์ A ด้วยสัญลักษณ์ cof . A ดังนี้
 C11 C12 ... C1n 
 
 C 21 C 22 ... C 2n 
. 
cof . A =  
. 
. 
 
 Cn 1
 Cn 2 ... C nn 

 1 1 0
ตัวอย่างที่ 1 กาหนดให้ A =  2 

3  2 จงหา cof . A
3
 0 4

วิธีทา C11 = ( - 1 ) 1 + 1 3 42
0
= ( 1 ) ( 12 – 0 ) = 12
2
C12 = ( - 1 ) 1 + 2 2
3 4
= (-1)(8–6) = -2
C13 = ( - 1 ) 1 + 3 2
3
3
0
= ( 1 ) (0 +9 ) = 9
1
C21 = ( - 1 ) 2 + 1 0
0
4
= ( -1 ) ( - 4 – 0 ) = 4
C22 = ( - 1 ) 2 + 2 1
3
0
4
= (1)(4–0) = 4
1
C23 = ( - 1 ) 2 + 3 1
3 0
= (-1)(0–3) = 3
1
C31 = ( - 1 ) 3 + 1 3
0
2
= (1)(2–0) = 2
C32 = ( - 1 ) 3 + 2 1
2
0
2
= (-1)(-2–0) = 2
1
C33 = ( - 1 ) 3+ 3 1
2 3
= ( 1 ) ( 3 + 2) = 5
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

5. หน้าที่ 41
บทนิยามของแอดจอยต์ เมตริกซ์ ( Adjoint matrix )
บทนิยาม กาหนด A = [ a ij ] n  n โดยที่ n  2
แอดจอยต์เมตริ กซ์ของเมตริ กซ์ A คือ ทรานสโพสของ cof . A
เขียนแทนแอดจอยต์เมตริ กซ์ของ A ด้วยสัญลักษณ์ adj . A
t
 C11 C12 ... C1n 
 C11 C12 ... C1n   
 
 C 21 C 22 ... C 2n   C21 C22 ... C2n 
 .  . 
จาก cof . A =   ่
จะได้วา adj . A =  
 .  . 
 .  . 
 
 Cn 1
 Cn 2 ... C nn 

 
 Cn1
 Cn 2 ... Cnn 

 1 1 0
 
ตัวอย่างที่ 2 กาหนด A =  2 3  2 จงหา adj . A
3
 0 4

่
วิธีทา จากตัวอย่างที่ 1 จะได้วา
 12 2 2
 
adj . A =  4 4 3
 2
 2 5

t
 12  2 2  12 4 2 
ดังนั้น adj . A = ( cof . A )t =  4 4 3
=   2 4 2
   
 2
 2 5 
  2 3 5
 
จากบทนิยามของโคแฟกเตอร์เมตริ กซ์และแอดจอยต์เมตริ กซ์ขางต้น นามาใช้ในการหาอินเวอร์สเมต
้
ริ กซ์ได้ดงนี้
ั
บทนิยาม กาหนด A = [ a ij ] n  n โดยที่ n  2
ถ้า det ( A )  0 จะได้วา A – 1 =
่ 1
det( A)
. adj . A
 1 1 0
 
ตัวอย่างที่ 3 กาหนด A =  2 3  2 จงหา A – 1
3
 0 4

1 1 0
วิธีทา det ( A ) = 2 3 2
3 0 4
่
จะได้วา det ( A ) =
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

6. หน้าที่ 42
= 12 + ( - 6 ) + 0 – 0 – 0 – ( - 8 ) = 14
12 4 2
จากตัวอย่างที่ 2 ; adj . A = 2 4 2
2 3 5
จากบทนิยาม ; A- 1 = 1
. adj . A
det( A)
 12 4 2
ดังนั้น -1
A = 1 2 4

2

14 
 2 3 5

โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

7. หน้าที่ 37
แบบฝึ กหัดที่ 10
1. เมตริ กซ์ต่อไปนี้มีอินเวอร์ สการคูณหรื อไม่ ถ้ามีจงหาอินเวอร์ สการคูณ
3 2 1
 
(1) A = 5 6 2
1
 0  3

…………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
 1 3 2
 
(2) B = 4 2 0
 1
 3 2

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………..
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

8. หน้าที่ 38
3.10 การแก้ระบบสมการเชิงเส้ นโดยใช้ เมตริกซ์ และดีเทอร์ มินันต์
พิจารณาระบบสมการเชิงเส้นที่มีจานวนตัวแปรเท่ากับจานวนสมการ เช่น
3x + 2y = 5
5x + 3y = 8
สามารถเขียนแทนระบบนี้ดวยเมตริ กซ์ โดยอาศัยบทนิยามการเท่ากันของเมตริ กซ์
้
 3x  2y  5 
  =  
 5x  3y  8
 3x  2y   3 2  x 
แต่  
 3y 
=    
 5x  5 3  y 
ดังนั้น เขียนแทนระบบสมการด้วยเมตริ กซ์ ดังนี้
3 2  x  5 
    =  
5 3  y  8
สาหรับระบบสมการเชิงเส้นโดยทัวไป ซึ่ งมี n ตัวแปร และ n สมการ
่
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a12x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
.
.
am1x1 + an2x2 + … + an2xn = bn
่
เปลี่ยนให้อยูในรู ปเมตริ กซ์ได้ดงนี้
ั
การหาคาตอบของระบบสมการโดยใช้เมตริ กซ์มีวธีดาเนินการได้หลายวิธี ดังนี้
ิ
3.10.1 การหาคาตอบโดยใช้ เมตริกซ์ ผกผันของเมตริกซ์ สัมประสิ ทธิ์
ให้ A, B, X เป็ นเมตริ กซ์ โดยที่ A เป็ นนอนซิงกูลาร์เมตริ กซ์
กาหนดโดย AX = B
A- 1 ( AB ) = A- 1 B
( A- 1 A ) X = A - 1 B
I X = A- 1 B
ดังนั้น X = A- 1 B
นันคือ ถ้า A X = B แล้ว X = A- 1 B เมื่อ A เป็ นนอนซิงกูลาร์เมตริ กซ์
่
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

9. หน้าที่ 39
ตัวอย่างที่ 1 จงแก้ระบบสมการ 3x + 2y = 5
5x + 3y = 8
วิธีทา เขียนสมการเมตริ กซ์แทนระบบสมการได้ดงนี้
ั
3 2  x  5 
    =  
5 3  y  8
1
x 3 2 5 
ดังนั้น   =    
y 5 3 8
x  3  2  5 
  = 1
  
y 9  10   5 3  8 
x   1  1
  = (-1)   =  
y   1  1
ดังนั้น x = 1 และ y = 1
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

10. หน้าที่ 37
แบบฝึ กหัดที่ 11
จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้โดยใช้เมตริ กซ์ผกผันของเมตริ กซ์สัมประสิ ทธิ์
( 1 ) 4x + 3y = 1
2x + 5y = 11
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
( 2) x + y +z = 6
2x - y - z = - 3
x – 3y + 2z = 1
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

11. หน้าที่ 38
่
ในหัวข้อ 3.10.1 จะเห็นว่าระบบสมการที่มี 3 ตัวแปร วิธีแก้ระบบสมการจะมีความยุงยาก
เกี่ยวกับการหาอินเวอร์ สการคูณเมตริ กซ์ ดังนั้นอาจจะหลีกเลี่ยงไปใช้วธีอื่นดังนี้
ิ
3.10.2 การแก้ระบบสมการโดยใช้ กฎของคราเมอร์ ( Cramer , s rule )
ทฤษฎีบทที่ 4 ( กฎของคราเมอร์ )
ถ้า A เป็ นเมตริ กซ์มิติ n  n โดยที่ det ( A )  0 แล้วระบบสมการที่เขียนในรู ปสมการเมตริ กซ์
A X = B เมื่อตัวไม่ทราบค่าคือ x1, x2 , … xn และ b1, b2, … bn เป็ นค่าคงตัว
 x1   b1 
   
 x2   b2 
.  . 
โดยที่ x=   , B=  
.  . 
.  . 
   
 xn 
   bn 
 
มีคาตอบคือ x1 = det ( A1 )
det ( A )
, x2 = det ( A2 )
det ( A )
, … , xn = det ( An )
det ( A )
เมื่อ A i คือ เมตริ กซ์ที่ได้จากการแทนหลักที่ i ของ A ด้วยหลักของเมตริ กซ์ B
ตัวอย่างที่ 2 จงหาคาตอบของระบบสมการที่กาหนดโดยใช้กฎของคราเมอร์
x+y+z = 6
2x - y - z = - 3
x - 3y + 2z = 1
วิธีทา เขียนสมการเมตริ กซ์ได้ดงนี้
ั
1 1 1 x  6
     
2 1  1 y =   3
1
 3 2 z
   1
 
1 1 1
 
ให้ A = 2 1  1 จะได้ det ( A ) = - 15 ่
โดยกฎของคราเมอร์ จะได้วา
1
 3 2
 6 1 1 
   15
A1 =   3  1  1  det ( A 1 ) = - 15 ดังนั้น x = det ( A1 )
det ( A )
=  15
=1
 1 3
 2
1 6 1 
   30
A2 =  2  3  1  det ( A 2 ) = - 30 ดังนั้น y = det ( A2 )
det ( A )
=  15
=2
1
 1 2
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

12. หน้าที่ 39
 1 1 6
   45
A3 = 2 1  3  det ( A 3 ) = - 45 ดังนั้น z = det ( A3 )
= =3
 1
det ( A )  15
 3 1

คาตอบของระบบสมการ คือ x1 = 1 , y = 2 , และ z = 3
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

13. หน้าที่ 37
แบบฝึ กหัดที่ 12
จงแก้ระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้โดยใช้กฎของคราเมอร์
( 1 ) x - 2y – 3z = 3
x+y-z = 2
2x - 3y = 5z + 5
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
( 2 ) x1 + x2 + x3 = 0
x2 - x3 + x4 = 5
x2 + x3 - x4 = - 7
2x 2 - x 3 + 2x 4 = 6
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

14. หน้าที่ 38
จากแบบฝึ กหัด 12 จะเห็นว่า เมื่อระบบสมการมีตวแปรมากกว่า 3 ตัวแปร การหาค่า
ั
ั ุ่
ดีเทอร์ มินนต์เพื่อใช้กฎของคราเมอร์ เป็ นวิธีการที่ยงยาก ดังนั้นอาจจะใช้วธีการอื่น เช่น การแปลงเมตริ กซ์
ิ
โดยใช้วธีการดาเนินการตามแถว ( row operation )
ิ
3.10.3 การแก้ระบบสมการโดยใช้ การแปลงเมตริกซ์
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีพีชคณิ ตธรรมดานั้น มีวธีการสร้างระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้
ิ
เครื่ องมือ 3 วิธีการ ซึ่ งทาให้คาตอบของระบบสมการไม่เปลี่ยนแปลง
เครื่องมือ 3 วิธีการดังกล่าว คือ
1. การสลับที่ระหว่างสมการสองสมการใด ๆ ในระบบ
2. การใช้ค่าคงตัวที่ไม่ใช่ศูนย์ คูณทุก ๆ พจน์ของจานวนทั้งสองข้างของเครื่ องหมายเท่ากับของสมการ
่
3. การเปลี่ยนสมการใดสมการหนึ่งในระบบ โดยใช้คาคงตัวที่ไม่ใช่ศูนย์คูณทุก ๆ พจน์ของจานวนทั้ง
สองข้างของเครื่ องหมายเท่ากับ ในสมการที่ตองการเปลี่ยนแปลงสมการอื่นอีกสมการหนึ่งในระบบ ( ใช้ค่าคง
้
ตัวคนละจานวน ) เเล้วนามาบวกหรื อลบกัน เป็ นสมการใหม่ที่ใช้เเทนสมการเดิม
ตัวอย่างเช่ น ระบบสมการ x - 2y = 3 ………… ( 1 )
x + 3y = 8 ………… ( 2 )
ระบบสมการ ( 1 ), ( 2 ) จะมีคาตอบเหมือนกับระบบสมการ x - 2y = 3 ………… ( 3 )
5y = 5 ………… ( 4 )
ระบบสมการ ( 3 ), ( 4 ) จะมีคาตอบเหมือนกับระบบสมการ x - 2y = 3 ………… ( 5 )
y =1 ………… ( 6 )
ในทานองเดียวกัน ระบบสมการ ( 5 ), ( 6 ) จะมีคาตอบเหมือนกับระบบสมการ x = 5 ………… ( 7 )
y = 1 ………… ( 8 )
เราสามารถนาวิธีการข้างต้นนี้มาใช้แก้ระบบสมการ โดยจัดให้อยู๋ในรู ปของเมตริ กซ์ แล้วปรับให้
เมตริ กซ์ของสัมประสิ ทธิ์ ที่ได้จากระบบสมการเป็ นเมตริ กซ์ของเอกลักษณ์การคูณได้ ซึ่ งมีข้ นตอนการ
ั
ดาเนินงานดังนี้
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

15. หน้าที่ 39
(1) ่
จัดระบบสมการให้อยูในรู ป
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a22x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
.
.
.
an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn
่
แล้วจัดให้อยูในรู ปสมการเมตริ กซ์ AX = B ดังนี้
( 2 ) เขียนเมตริ กซ์ใหม่ในรู ปเมตริ กซ์ [ A :B ] ซึ่ งเรี ยกว่า เมตริ กซ์แต่งเติม ( augmented matrix )
( 3 ) ใช้การดาเนินการตามแถว ( row operation ) เพื่อเปลี่ยนรู ปเมตริ กซ์แต่งเติมชุดเดิม [ A : B ]
ให้เป็ นเมตริ กซ์แต่งเติมชุดใหม่ในรู ปของ [ I : D ] ดังนี้
1. สลับทีระหว่างสองแถวใด ๆ ในเมตริกซ์ แต่ งเติม
่
ใช้ สัญลักษณ์ รหัส R ij หมายถึง การสลับที่แถวที่ i และแถวที่ j โดยแถวอื่น ๆ คงเดิม
2. คูณสมาชิ กทุกตัวในแถวใดแถวหนึ่งด้ วยค่ าคงตัวทีไม่ ใช่ ศูนย์
่
ใช้ สัญลักษณ์ รหัส cR i หมายถึง การคูณสมาชิกแถวที่ i ด้วย c  0
2. เปลียนแปลงแถวใดแถวหนึ่งด้ วยการคูณสมาชิ กทุกตัวในแถวอืน ( แถวเดียว ) ด้ วยค่ าคงตัว
่ ่
c แล้วนาผลคูณที่ได้มาบวกกับสมาชิกทุกตัวในลาดับเดียวกันของแถวที่ตองการเปลี่น
้
ใช้ สัญลักษณ์ R i + c R
การใช้การดาเนินการตามแถวบนเมตริ กซ์ [ A : B ] ให้อยูในรู ปเมตริ กซ์ [ I : D ] จะได้ค่า [ A : B ] สมมูล
่
แบบแถว [ I : D ] และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [ A : B ] ~ [ I : D ]
1 0 .. . 0 d1
0 1… 0 d2
โดยที่ [ I : D ] = . . . . .
0 0 1 dn
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

16. หน้าที่ 40
่
ซึ่ งเมื่อเปลี่ยนรู ปให้อยูในรู ปของสมการ จะได้รูปแบบระบบสมการเป็ น
x 1 = d1
x2 = d2
.
xn = dn
นั้นคือ คาตอบของระบบสมการคือ x 1 = d 1, x 2 = d 2, … , x n = d n
ตัวอย่างที่ 3 จงแก้ระบบสมการ x - 2y - 3z = 3
x+y-z = 2
2x - 3y = 5z + 5
วิธีทา จงเขียนเมตริ กซ์แต่งเติมจากระบบสมการได้ดงนี้
ั
1  2  3 3
 
[ A : B] = 1 1 1 2
2  3  5
 5

ใช้การดาเนินการตามแถว ( row operation ) ได้ดงนี้
ั
1  2  3 3 
[A:B] ~  
2 1  R2-R1
0 3
0  5  3 1 
  R3-2R2
 5 7
1 0  3 3
R1 + (2/3)R2
 
 1
~ 0 1
2
3
 
3
(1/3)R2
 
0 0 1 
2

 3 3 R3 + (5/3)R2
1 0 0  1 R1 + 5R3
 
~ 0 1 0 1  R2 – 2R3
0 0 1
  2
 3R3
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

17. หน้าที่ 41
จะได้ระบบสมการที่มีคาตอบเท่ากับระบบสมการเดิม ดังนี้
x + 0y + 0z = - 1
0x + y + 0z = 1
0x + 0y + z = - 2
ดังนั้น คาตอบของระบบสมการคือ x = - 1, y = 1 และ z = - 2
3.10.4 การหาเมตริกซ์ ผกผันของการคูณเมตริกซ์ โดยใช้ การดาเนินการตามแถว
์
การดาเนินการตามแถวของเมตริ กสามารถนาไปใช้หาเมตริ กซ์ผกผันสาหรับการคูณของเมตริ กซ์
นอนซิ งกูลาร์ ได้ดงนี้
ั
กาหนด A = [ a ij ] n  n ซึ่งเป็ นนอนซิงกูลาร์เมตริ กซ์ จะหา A- 1 โดยใช้วธีดาเนินการตามแถว
ิ
( row operation ) ดังนี้
่
1. เขียนเมตริ กซ์ให้อยูในรู ป [ A I n ] ซึ่งเป็ นเมตริ กซ์ n  2n โดยการเขียนเมตริ กซ์ A ต่อด้วย
เมตริ กซ์ I n
2. ใช้การดาเนินการตามแถวบน [ A I n ] สร้างเมตริ กซ์ใหม่ จนกระทังเมตริ กซ์ใหม่อยู๋ในรู ป I n B |
่
ซึ่งมี I n เป็ นส่ วนแรก และตามด้วยเมตริ กซ์ B
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

18. หน้าที่ 37
วิธีการนี้ใช้ได้เฉพาะกับเมตริ กซ์ A ซึ่ งเป็ นนอนซิ งกูลาร์ เมตริ กซ์เท่านั้น
ข้อสอบ O-NET 2549
1. ถ้า x, y ,z สอดคล้องกับระบบสมการ
x + 2y – 2z = -2
2x + y + 2z = 5
x – 3y – 2z = 3
2 1 3
แล้ว ดีเทอร์มิแนนต์ 2 2 2 มีค่าเท่ากับข้อใด
x  2 y 2x  y x  3 y
1.. 60 2. 75 3. 90 4. 105
ตอบ 60
2.
3 x 3 
กาหนดให้ A = 2 0 9 เมื่อ
  x เป็ นจานวนจริ ง
1 1 2 
 
3 x 3 : 1 0 0  1 0 0 : 9 5  36
ถ้า  2 0 9 : 0 1 0 ~ 0 1 0 :  5  3 21  แล้ว x มีค่าเท่ากับเท่าใด
   
1 1 2 : 0 0 1
  0 0 1 :  2  1 8 
 
ตอบ x = 4
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32