คณิตสาระ ม. ปลาย ฟังก์ชัน ฟังก์ชันพหุนาม ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ฟังก์ชันลอการิทึม

1. ฟังก์ชน
ั
บทที่ 0
เสียงร้องของจิงหรีดขึนอยูกบอุณหภูมิ ในบทเรียนนีจะตังกฎบางประการเกียวกับสมการซึงจะ
้ ้ ่ั ้ ้ ่ ่
ช่วยให้คำนวณได้วา จิงหรีดส่งเสียงร้องกีครังในแต่ละอุณหภูมิ
่ ้ ่ ้

2. 12 คณิตสาระ
ยังจำได้ไหม ถึงคราวต้องใช้
จงบวก
0. − 4 + 0 1. − 2 + (− 7)
2. − 2.7 + (− 3.5) 3. 15 + (− 8)
4. − 8.1 + 2.4 5.
จงหาค่าแต่ละนิพจน์เมือ x = − 2, y = 3 และ z = − 4
่
6. y − xz 7. 3x + 2y − z
จงแก้สมการ
8. x + 8 = − 12 9. 3x = 21
10. 4x − 5 = 11 11. 9x − 2x = 21
12. 7x − 4 + 2x = − 8 − 3x + 6 13. =
≤ 12
≥x
r+
2+
( )
11 3 5 3
− 13 −
1
6 126 5
3
7 5
3
14. 5t = − 12 15. = 16
16. − 4y − 3y = 28 17. 8 − 5x = x − 14
18. 8a = 3(a + 5)
จงแก้อสมการ
19. x + 2 < 6 20. y − 8 0
21. 4y 8 22. − 5x > 10
23. 3x − 1 > 8 24. 2 + 7y 3
25. 4y − 1 < y + 2 26. x − 6 3x − 10
คำตอบ
0. − 4 1. − 9 2. − 6.2 3. 7 4. − 5.7 5. 151
6. − 5
7. 4 8. − 20 9. 7 10. 4 11. 3 12. 13.
14. 15. 24 16. − 4 17. 18. 3 19. x < 4
20. y 8 21. y 2 22. x < − 2 23. x > 3
24. y 25. y < 1 26. x 2

3. ฟังก์ชน
ั 13
จะได้เรียนอะไรบ้าง
0. ผลคูณคาร์ทเี ซียน 0.0 ความสัมพันธ์และคูอนดับ
่ ั
1. สมาชิกของความ
สัมพันธ์
2. โดเมนและเรนจ์ของ
ความสัมพันธ์
3. สัญกรณ์สร้างเซต
4. สมมาตร คูอนดับ (ordered pairs)
่ั
. . . และทำไม
เพื่อพร้อมที่จะเรียน
พิจารณาเซต 2 เซตต่อไปนี้
กราฟ A = {ทิม, ทัศน์, สุ} B = {กางเกง, เสือยืด}
้
จากเซตทังสองนี้ สามารถทำเป็น คูอนดับ ได้โดยเลือกสมาชิกทีหนึงจากเซต A
้ ่ั ่ ่
และสมาชิกทีสองจากเซต B เขียนลงในวงเล็บเล็ก ( ) และคันระหว่างสิง 2 สิง
่ ่ ่ ่
ด้วยจุลภาค (,) โดยคำนึงถึงลำดับก่อนหลังของสิงทังสองนันเป็นสำคัญ
่ ้ ้
{(ทิม, กางเกง), (ทิม, เสือยืด),
้
(ทัศน์, กางเกง), (ทัศน์, เสือยืด),
้
∈
×
(สุ, กางเกง), (สุ, เสือยืด)}
้
ผลคูณคาร์ทเี ซียน (Cartesian product)
เซตของคู่อันดับทั้งหมดที่ได้จากการจับคู่แบบข้างบนเรียกว่า ผลคูณ
คาร์ทเี ซียน เขียนแสดงโดย A × B อ่าน A B ว่า “เอ ครอส บี” โดยทัวไป A B
่
จะไม่ได้เซตของคูอนดับเดียวกันกับ B A
่ั
บทนิยาม
ผลคูณคาร์ทเี ซียน ของเซต 2 เซต A และ B, เขียนแสดงโดย A B, คือ เซตของ
คูอนดับทังหมดทีมสมาชิกทีหนึงจากเซต A และสมาชิกทีสองจากเซต B
่ั ้ ่ ี ่ ่ ่
ข้อตกลง A B = {(x, y) | x A และ y B}
ตัวอย่าง 0 ให้ A = {1, 2} และ B = {3, 4, 5} จงหา A B และ B A
คำเฉลย
ผลคูณคาร์ทเี ซียน A B = {1, 2}{3, 4, 5}
= {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), 2, 5)}
ผลคูณคาร์ทเี ซียน B A = {3, 4, 5}{1, 2}
= {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2),(5, 1), (5, 2)}

4. 14 คณิตสาระ
เซตทังสองทีใช้หาคาร์ทเี ซียนอาจเป็นเซตเดียวกันก็ได้
้ ่
ตัวอย่าง 1 จงหาผลคูณคาร์ทเี ซียน Q × Q เมือ Q = {2, 3, 4, 5}
่
คำเฉลย
ผลคูณคาร์ทเี ซียน Q Q = {2, 3, 4, 5}{2, 3, 4, 5}
= {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),
(3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5),
(4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5),
(5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}
ตัวอย่าง 2 ให้ A = {− 1, 0, 1} และ B = {1, 2} จงหา
ก. A B ข. B A ค. A A ง. B B
คำเฉลย
ก. A B = {− 1, 0, 1}{1, 2}
= {(− 1, 1), (− 1, 2), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2)}
ข. B A = {1, 2}{− 1, 0, 1}
= {(1, − 1), (1, 0), (1, 1), (2, − 1), (2, 0), (2, 1)}
ค. A A = {− 1, 0, 1}{− 1, 0, 1}
= {(− 1, − 1), (− 1, 0), (− 1, 1), (0, − 1), (0, 0), (0, 1), (1, − 1), ×
<
(1, 0), (1, 1)}
ง. B B = {1, 2}{1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
ลองทำ
0. จงหา A B และ B A เมือ A = {d, e} และ B = {1, 2}
่
1. จงหา C C เมือ C = {x, y, z}
่
2. ให้ A = {1, 2} และ B = {− 1, 0, 1} จงหา
ก. A B ข. B A ค. A A ง. B B
ในผลคูณคาร์ทเี ซียนบางอัน เราสามารถเลือกคูอนดับให้มความสัมพันธ์
่ั ี
ร่วมกันได้ เช่น ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง 3 ในผลคูณคาร์ทเี ซียน { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}
จงเลือกเซตของคูอนดับซึงสมาชิกทีหนึงน้อยกว่าสมาชิกทีสอง
่ั ่ ่ ่ ่
คำเฉลย
เซตของคูอนดับซึงสมาชิกทีหนึงน้อยกว่าสมาชิกทีสอง คือ
่ั ่ ่ ่ ่
{(1, 2), (1, 3), (2, 3)}
เซตของคูอนดับนี้ คือ ความสัมพันธ์ น้อยกว่า บนเซต {1, 2, 3}
่ั

5. ฟังก์ชน
ั 15
ลองทำ
3. ในผลคูณคาร์ทเี ซียน {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)} จงเลือก
เซตของคู่อันดับซึ่งสมาชิกที่หนึ่งเหมือนกันกับสมาชิกที่สอง นี่คือ
ความสัมพันธ์เท่ากัน บนเซต {1, 2, 3}
ความสัมพันธ์ (relation)
เซตของคูอนดับใด ๆ ทีเ่ ลือกจากผลคูณคาร์ทเี ซียน คือ ความสัมพันธ์
่ั
บทนิยาม
ความสัมพันธ์ จากเซต A ถึงเซต B คือ เซตของคูอนดับใด ๆ ใน A × B
่ั
สำหรับความสัมพันธ์จากเซต A ถึงเซต B เรียกสัน ๆ ว่า ความสัมพันธ์บนเซต A
้
โดเมน (domain) และเรนจ์ (range)
บทนิยาม
<
> เซตของสมาชิกทีหนึงทังหมดของความสัมพันธ์เรียกว่าโดเมนของความสัมพันธ์
่ ่ ้
เซตของสมาชิกทีสองทังหมดของความสัมพันธ์เรียกว่า เรนจ์ ของความสัมพันธ์
่ ้
ตัวอย่าง 4 จงเขียนโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ ในตัวอย่าง 3
คำเฉลย
โดเมน คือ {1, 2} เรนจ์ คือ {2, 3}
ลองทำ
4. ก. จงเขียนโดเมนและเรจน์ของความสัมพันธ์ใน {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (e, 2)}
ข. จงเขียนโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ใน {(2, 2), (1, 1), (1, 2), (1, 3)}
สัญกรณ์สร้างเซต (set-builder notation)
ในเซตหรือความสัมพันธ์ บ่อยครังด้วยกันทีตองการอ้างถึงเซตหรือกลุมของ
้ ่้ ่
สมาชิกทีสอดคล้องเงือนไขบางประการ อย่างเช่นในเซต {1, 2, 3, 4, 5, 6} อาจ
่ ่
กล่าวถึงเซตของ x ทังหมดในเซตนันซึง x มากกว่า 3 จำนวน 4, 5 และ 6 สอดคล้อง
้ ้ ่
กับเงือนไขนี้ ดังนัน จึงเขียน { x | x 3} = { 4, 5, 6} เป็นสัญกรณ์สร้างเซต
่ ้

6. 16 คณิตสาระ
ตัวอย่าง 5 ใช้เซต {1, 2, 3, 4, 5, . . ., 10} เพือหา { x | 2
่ x 8}
คณิตอ่าน
คำเฉลย
เส้นแนวดิ่ง | ที่ใช้ใน
สัญกรณ์สร้างเซตเพื่อ จำนวน 3, 4, 5, 6 และ 7 สอดคล้องกับเงือนไขทังสอง คือ x 8 และ x 2
่ ้
แยกตัวแปรกับคำพรรณนา ดังนัน { x | 2 x 8} = {3, 4, 5, 6, 7}
้
นันอ่านว่า “ซึง” จึงอ่าน
้ ่
{ x | x 3} ว่า “เซตของ ตัวอย่าง 6 ใช้ความสัมพันธ์ Q Q เมือ Q = {2, 3, 4, 5} เพือหา
่ ่
สมาชิก (หรือจำนวน) x
ซึง x น้อยกว่า 3”
่ {(x, y) | y x + 1}
คำเฉลย
ตรวจสอบคูอนดับทุกอันทีสอดคล้องกับ y x + 1 จะได้
่ั ่
{(x, y) | y x + 1} = {(2, 4), (2, 5), (3, 5)}
ลองทำ
5. ใช้เซต {1, 2, 3, . . ., 10} เพือหา { x | 5 x 7}
่
6. ใช้เซต Q Q เมือ Q = {2, 3, 4, 5} เพือหา {(x, y) | x 2 และ y 3}
่ ่
×
<
>
≤
แบบฝึกหัด 0.0 ความสัมพันธ์และคูอนดับ
่ั
0. จงหาผลคูณคาร์ทเี ซียน A × B เมือ
่
A = {chili, pizza, salad} และ B = {cheese, onions, peppers}
1. จงหาผลคูณคาร์ทเี ซียน B C เมือ B = {x, y, z} และ C = {1, 2}
่
2. จงหาผลคูณคาร์ทเี ซียน D D เมือ D = {5, 6, 7, 8}
่
พิจารณาความสัมพันธ์ E E เมือ E = {− 7, − 3, 1, 2, 5} จงเขียนเซตของ
่
คูอนดับจากความสัมพันธ์
่ั
3. (น้อยกว่า) 4. (น้อยกว่าหรือเท่ากับ)
5. = (เท่ากับ)
จงหาโดเมนและเรนจ์ของแต่ละความสัมพันธ์ตอไปนี้
่
6. {(5, 6)} 7. {(7, 1), (8, 2), (9, 5)}
8. {(6, 0), (7, 5), (8, 5)} 9. {(8, 1), (8, 1), (5, 1)}