1. ใบความร้ ูที 4.1
เรือง การหารจํานวนเชิ งซ้ อน
ํ ่ ่ ั
เมือกาหนดจํานวนเชิงซ้อนทีไมเทากบ (0,0) มาให้ จะหาตัวผกผันการคูณของจํานวน
เชิงซ้อนนี% ได้เสมอ ดังนั% นอาจนิยามการหารจํานวนเชิงซ้อน z ด้วย w เมือ w ≠ (0,0) โดยอาศัย
ตัวผกผันการคูณของจํานวนเชิงซ้อนทีเป็ นตัวหารได้ดงนี% ั
บทนิยาม z ÷ w = zw −1 สําหรับจํานวนเชิงซ้อน z, w ใดๆ
z
ซึ ง w ≠ (0,0) และอาจเขียนแทน z÷w ด้วย
w
จากบทนิยาม ถ้า z = a + bi และ w = c + di
z  c − di 
แล้ว = (a + bi) 2 2 
w c +d 
(a + bi)(c − di)
=
c2 + d2
(ac + bd ) + (bc − ad )i
=
c2 + d 2
่
ตัวอย่ าง จงหาผลหารของจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี%
(3,2)
1.
(4,3)
 4 3 
วิธีทา หาตัวผกผันการคูณของ (4,3) คือ
ํ  ,− 
 25 25 
(3,2)  4 3 
= (3,2) ,− 
(4,3)  25 25 
 3(4) 2(−3) 3(−3) 2(4) 
= − , + 
 25 25 25 25 
 12 6 9 8 
=  + ,− + 
 25 25 25 25 
 18 1 
=  ,− 
 25 25 
ดังนั% น (3,2) =  18 ,− 1 
 
(4,3)  25 25 

2. 8 + 3i
2.
2+i
2−i
วิธีทา
ํ ตัวผกผันการคูณของ 2+i คือ
5
8 + 3i ( 2 − i)
= (8 + 3i)
2+i 5
(8 + 3i)(2 − i)
=
5
8(2 − i) + 3i(2 − i)
=
5
16 − 8i + 6i − 3i 2
=
5
16 − 2i − 3(−1)
=
5
16 − 2i + 3
=
5
19 − 2i
=
5
19 2
= − i
5 5
ดังนั% น 8 + 3i = 19 − 2 i
2+i 5 5
− 3 + 2i
3.
2 + 2i
2 − 2i 1 − i
วิธีทา
ํ ตัวผกผันการคูณของ 2 + 2i คือ =
8 4
− 3 + 2i 1− i 
= (−3 + 2i) 
2 + 2i  4 
(−3 + 2i)(1 − i)
=
4
− 3(1 − i) + 2i(1 − i)
=
5
− 3 + 3i + 2i − 2i 2
=
5
− 3 + 5i + 2
=
5
− 1 + 5i
=
5
− 3 + 2i 1
ดังนั% น = − +i
2 + 2i 5

3. แบบฝึ กทักษะที 4.1
่
จงหาผลหารของจํานวนเชิงซ้อนตอไปนี%
(3,−5)
1.
(4,−7)
(3,8)
2.
(−4,−5)
(3,−7)
3.
(−4,−5)
5−i
4.
6 + 8i
−2−i
5.
12 − 5i
3+i
6.
3−i

4. ใบความร้ ูที 4.2
เรือง สั งยคของจํานวนเชิ งซ้ อน
ุ
บทนิยาม ่
ให้ z = a + bi เป็ นจํานวนเชิงซ้อน จะเรี ยกจํานวนเชิ งซ้อน a − bi วา
เป็ นสังยุค (conjugate) ของ z และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ z นันคือ
z = a + bi = a − bi
สมบัติของสั งยคของจํานวนเชิ งซ้ อน
ุ
่
ให้ z, z1 และ z 2 เป็ นจํานวนเชิงซ้อน จะได้วา
1 1
1. Re(z) = (z + z) และ Im(z) = (z − z)
2 2i
2. z=z
1 1
3. ถ้า z≠0 แล้ว = 
z z
4. z 1 + z 2 = z1 + z 2
5. z1 − z 2 = z1 − z 2
6. z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2
 z1  z1
7. 
z =
 z เมือ z2 ≠ 0
 2  2
ํ
ตัวอย่ างที 1 กาหนด z = a + bi จงหา
1. z + z
วิธีทา z + z = (a + bi) + (a − bi)
ํ
= a + bi + a − bi
= 2a
ดังนั% น z + z = 2a
2. z − z
วิธีทา z − z = (a + bi) − (a − bi)
ํ
= a + bi − a + bi
= 2bi
ดังนั% น z − z = 2bi

5. ํ
ตัวอย่ างที 2 กาหนด z1 = 3 − i และ z 2 = −5 + 2i จงหา
1. z1 ⋅ z 2
วิธีทา z1 ⋅ z 2 = (3 − i)(−5 + 2i)
ํ
= 3(−5 + 2i) − i(−5 + 2i)
= −15 + 6i + 5i − 2i 2
= 15 + 11i − 2(−1)
= 15 + 11i + 2
= 17 + 11i
ดังนั% น z1 ⋅ z 2 = 17 − 11i
2. z1 (z 2 + z 2 )
วิธีทา ํ z 2 + z 2 = (−5 + 2i) + (−5 − 2i)
= −5 + 2i − 5 − 2i
= −10
z 1 (z 2 + z 2 ) = (−5 + 2i)(−10)
= 50 − 20i
ดังนั% น z 1 (z 2 + z 2 ) = 50 − 20i
3. z 2 − z1
วิธีทา z 2 − z1 = (−5 + 2i) − (3 − i)
ํ
= −5 + 2i − 3 + i
= −8 + 3i
ดังนั% น z 2 − z 1 = −8 − 3i

6. แบบฝึ กทักษะที 4.2
ํ
1. กาหนดให้ z1 = 2 − i และ z 2 = −3 + 2i จงหา
1.1 z1
1.2 z 2
1.3 z1z 2
1.4 z1z 2
1.5 z1 ⋅ z 2
1.6 z1 + z 2
1.7 z1 + z 2
1.8 z1 + z 2
่
2. ถ้า z = 2 − 4i จงเขียนจํานวนในข้อตอไปนี% ในรู ป x + yi เมือ x, y ∈ R
2.1 z
2.2 z ⋅ z
2.3 z + z
2.4 z(z + z)
2.5 z − z
2.6 (z − z)i
2.7 z −1
2.8 z
i

7. ใบความร้ ูที 4.3
เรือง การหารจํานวนเชิ งซ้ อนโดยใช้ สังยคตัวหาร
ุ
ํ
กาหนด z = a + bi และ z = a − bi จะได้
z ⋅ z = (a + bi)(a − bi)
= a (a − bi) + bi(a − bi)
= a 2 − abi + abi − b 2 i 2
z ⋅ z = a2 + b2
่
ตัวอย่ างที 1 จงใช้สังยุคของตัวหารชวยในการหาผลหารของการหาร 2 − i ด้วย 3 + 2i
2−i 2 − i 3 − 2i
วิธีทา
ํ = ×
3 + 2i 3 + 2i 3 − 2i
(2 − i)(3 − 2i)
=
(3 + 2i)(3 − 2i)
2(3 − 2i) − i(3 − 2i)
=
32 + 2 2
6 − 4i − 3i + 2i 2
=
9+4
6 − 7i − 2
=
13
4 − 7i
=
13
4 7
= − i
13 13
ตัวอย่ างที 2 จงหาจํานวนเชิงซ้อน z ทีสอดคล้องสมการ (2 + 3i)z = −1 − 2i
วิธีทา จาก (2 + 3i)z = −1 − 2i จะได้
ํ
− 1 − 2i
z=
2 + 3i
− 1 − 2i 2 − 3i
= ×
2 + 3i 2 − 3i
(−1 − 2i)(2 − 3i)
=
(2 + 3i)(2 − 3i)
− 1(2 − 3i) − 2i(2 − 3i)
=
2 2 + 32
− 2 + 3i − 4i + 6i 2
=
4+9
−8−i
=
13

8. แบบฝึ กทักษะที 4.3
่
1. จงเขียนจํานวนในข้อตอไปนี% ในรู ป x + yi เมือ x, y ∈ R
2−i
1.1
4+i
3 + 2i
1.2
2 − 3i
4 + 3i
1.3
1+ i
2 − 2i
1.4
4i
1
1.5
2 − 3i
i
1.6
2 + 6i
่ ่
2. จงหาจํานวนเชิงซ้อน z ทีสอดคล้องแตละสมการในข้อตอไปนี%
2.1 (2 − i)z = 4 + 2i
2.2 (3 − i)z = 6 − 7i
2.3 (1 + 3i)z = −2 − i
2.4 (3i + 5)z = 1 + i
2.5 2(4 − 7i)z = 5 + 2i
2.6 z(1 + i) = 4
2.7 (2 + i)z + i = 3
2.8 (1 − i)z − 2i = 5