1. Dokumen tersebut membahas tentang logika matematika, termasuk pengertian pernyataan, kalimat terbuka, negasi pernyataan, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. 2. Dibahas pula tabel kebenaran operasi logika seperti konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi serta contoh-contoh penerapannya. 3. Terdapat pula soal latihan tentang menentukan nilai keben

1. 1
LOGIKA MATEMATIKA
I
PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA SERTA INGKARANNYA
A. Pengertian Pernyataan
Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus
benar dan salah.
Contoh
Pernyataan
Bukan pernyataan
1. 2 bilangan prima ( benar )
2
2. Parabola y = x + 1 , terbuka
1. apakah 2 bilangan prima ?
2. selamat , kamu lulus
ke bawah ( salah )
B. Kalimat terbuka, peubah / variabel , Konstanta dan Penyelesaian Kalimat Terbuka.
Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang memuat peubah / variabel sehingga belum
dapat ditentukan benar atau salahnya.
Contoh
2
Kalimat terbuka x – x – 2 = 0 , x ∈R
X disebut variabel
- 2 disebut konstanta
kalimat terbuka di atas benar untuk nilai x = ....
2
x –x–2=0
( x – 2 )( x + 1 ) = 0
x = 2 atau x = - 1
jadi kalimat di atas benar untuk x = 2 atau x = - 1
2
x = 2 dan x = - 1 disebut penyelesaian kalimat terbuka x – x – 2 = 0, x ∈R
C. Himpunan Penyelesaian suatu kalimat terbuka
Contoh
2
Tentukan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka x – 3x – 10 = 0 , x ∈R
Jawab
2
X – 3x – 10 = 0
(x–5)(x+2)=0
x = 5 atau x = - 2
jadi himpunan penyelesaian {− 2,5}
D. Negasi atau Ingkaran suatu pernyataan.
Diketahui suatu pernyataan ” p ” maka negasinya disimbolkan ” p ” atau ” ~p” dibaca ”
non p ” atau ” bukan p ” atau ” tidak benar bahwa p ”
Untuk : jika p : 2 adalah bilangan prima maka p : 2 adalah bukan bilangan prima atau
tidak benar bahwa 2 adalah bilangan prima.
Jiak p bernilai benar maka p bernilai salah atau sebaliknya.
Logika Matematika

2. 2
II KONJUNGSI , DISJUNGSI , IMPLIKASI DAN BIIMPLIKASI.
A. Konjungsi.
Kongjungsi adalah operasi dalam logika dengan tanda hubung ” DAN ” yang disimbulkan
”∧”
Tabel kebenaran untuk konjungsi dua pernyataan
p
Q
p∧q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
Cara mengingat
Jika salah satu pernyataan bernilai salah maka konjungsi dari dua pernyataan itu bernilai
salah
B. Disjungsi.
Disjungsi adalah operasi dalam logika dengan tanda hubung ” atau ” yang disimbolkan ”
∨”
Tabel kebenaran untuk konjungsi dua pernyataan
p
Q
p∨q
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
Cara mengingat
Jika salah satu pernyataan bernilai benar maka disjungsi dari dua pernyataan itu bernilai
benar.
Menentukan nilai x agar kalimat ” p(x) ∧ q ” dan ” p(x) ∨ q ” bernilai ” benar atau salah ”
Contoh
1. tentukan nilai y agar pernyataan berikut bernilai benar : ” dua bukan bilangan
2
prima atau log y = 3 ”
jawab
2
2
3
Agar bernilai benar log y = 3 harus benar , log y = 3 benar untuk
y=2 =
8
2.
2
2
Tentukan nilai y agar pernyataan berikut bernilai salah : ” sin α + cos α = 1 dan
cos y = 0,5 , y di kuadaran IV ”
Jawab
Agar bernilai salah maka cos y = 0,5 harus bernilai salah , maka cos y = 0,5 yang
benar y = 300
0
Jadi agar salah maka y ≠ 300
0
Logika Matematika

3. 3
C. Implikasi ( pernyataan bersyarat ).
Diketahui dua pernyataan p dan q, implikasi dari p dan q disimbolkan dengan ” p→ q
”atau ” p ⇒ q ” ( p disebut sebab / alasan dan q disebut kesimpulan ).
Simbol / notasi ” p → q ” dibaca
1. jika p maka q
2. q jika p
3. p hanya jika q
4. p syarat cukup bagi q
5. q syarat perlu untuk p
Tabel kebenaran untuk implikasi ” p → q ”
P
Q
p→q
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Contoh
1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut :
2.
Tentukan nilai x yang menyebabkan implikasi ” jika 2x + 1 = x – 2 maka 3x + 2 < 2x ,
x ∈R ” bernilai benar
Jawab
3x + 2 < 2x ⇒ 3x – 2x < - 2 ⇒ x < - 2
catatan
jika p dan q masing – masing merupakan himpunan penyelesaian dari kalimat
terbuka p(x) dan q(x) pada himpunan semesta S, maka “ p(x) → q(x) bernilai benar
jika P ⊂ Q „
Implikasi Logis
Pada pernyataan majemuk “ p(x) → q(x) ” jika pada setiap pengantian nilai x yang
menjadikan kalimat p(x) benar akan menjadikan kalimat q(x) benar pula, maka
pernyataan majemuk ” p(x) → q(x) ” disebut implikasi logis.
Contoh
Jika x = 2 maka x – 2 = 0
D. Biimplikasi ( Implikasi dwiarah )
Diketahui pernyataan p dan q maka biimplikasi dari p dan q disimbolkan ” p⇔q ” atau ”
p↔q ” yang dibaca :
1. p jika dan hanya jika q
2.
jika p maka q dan jika q maka p disimbolkan ” (p→q) ∧(q → p) ”
3. p syarat perlu dan cukup bagi q
4. q syarat perlu dan cukup bagi p
Tabel kebenaran untuk ” p ↔ q ” adalah
P
Q
p↔q
Logika Matematika

4. 4
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Biimplikasi dalam bentuk p(x) ↔ q(x)
Biimplikasi p(x) ↔ q(x) akan bernilai benar jika himpunan kalimat terbuka p(x) dan q(x)
adalah sama.
Contoh
Jika x = 1 maka 3x + 5 = 8 dan jika 3x + 5 = 8 maka x = 1
Biimplikasi logis
Biimplikasi logis p(x) ↔ q(x) disebut biimplikasi logis jika nilai x sehingga p(x) benar maka
q(x) juga benar dan sebaliknya
Contoh
x ≥ 3 jika dan hanya jika 2x + 1 ≥ 7
LEMBAR KEGIATAN SISWA ( PORTOFOLIO ).
Lengkapilah titik – titik berikut!
1. Tentukan nilai x agar pernyataan beikut benar !
a)
b)
2 −2
=−
log x = 4 atau 3 .9
3
1
9
cos π = 0 dan 2 sin x = 1 , 0 < x < 900
2
1
2
maka x − x − 2 ≥ 0
cos x
x +1
≤0
d) 36 kelipatan dari 3 jika dan hanya jika
2x − 6
c) jika sec x =
2
2
0
0
e) sin x – cos x = - 1 syarat prlu untuk tan x = 1 , 180 < x < 270
jawab
2 −2
=−
a) karena 3 .9
1
3
( salah ), maka log x = 4 harus benar. Agar benar
9
x =(.....)..... =......
b) Agar benar 2 sin x = 1 ( harus benar ).
Sin x = .....
x = ............
c)
Karena sec x =
1
2
( benar ) maka x – x – 2 ≥ 0 harus benar
cos x
2
Agar benar x – x – 2 ≥ 0
( x ..........)( x ...........) ≥ 0
jadi ......................
d) Karena 36 kelipatan dari 3 benar maka
Agar .................. ,
x +1
≤0
2x − 6
x +1
≤ 0 harus ...........
2x − 6
Harga nol : x = ............ atau x = ............
Jadi ............
2
2
e) Karena sin x – cos x = - 1 adalah ........... , tan x = 1 harus ...........
Logika Matematika

5. 5
Agar ……………. Tan x = 1 maka x ……………
2. Lengkapilah tabel berikut
a)
b)
p
B
B
S
S
p
B
B
S
S
c)
d)
e)
q
B
S
B
S
q
...
...
...
...
p
B
B
S
S
p
B
B
S
S
p
B
B
B
B
S
S
S
S
p ↔~ q
...
...
..
...
~q ∧ p
S
…
…
…
~q
S
…
…
…
~p
S
...
...
...
q
B
…
S
…
…
…
…
…
~p ∨ q
...
...
..
...
p →~ q
...
...
...
...
~q
S
...
...
...
q
B
S
B
S
q
B
S
B
S
~p ∧ q
...
...
...
...
~p
S
...
...
...
~q
r
…
S
…
…
B
…
…
…
~p∨ q
~q
~q → p
…
…
…
…
~p∧~q
p∨~q
(~q∧p)→~q
…
…
…
…
(~p∨q)↔(~p∧~q)
q∧r
(p∨~q)→(q∧r)
Logika Matematika

6. 6
3. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut
a)
2
log 8 = 3 atau 3 bilangan komposit
2
2
b) jika sin x + cos x = 1 maka sin 2 π = - 1
x–1
c) 8
= 4 , x = 5/3 dan
48 = 4 3
2
3
d) log a + log b = log ab jika dan hanya jika ( log 3 )( log2 ) = 1
e) 5 bilangan prima syarat cukup bagi 5 bilangan ganjil.
Jawab
a)
p ∨ q ( B ) jika salah satu benar
2
2
p : log 8 = log 2
2
...
= .....
jadi ......
2
b) p : sin x + cos x = 1 adalah pernyataan ………..
o
q : sin 2π = sin ( ….) = …… pernyataan ………..
jadi p → q adalah …………..
( ) x −1 = 2.... ⇒2....−.... = 2.... ⇒.... = ..... ⇒ x = ..... ( …)
c) p : 8 x −1 = 4 ⇒ 2 3
48 = (...)(....) =..... ..... ( …. )
q:
jadi pernyataan p ∧ q = ………
d) p : log a + log b = log ab ( ........)
2
3
....
q :( log 3 )( log 2 ) = log ........ = ...........( ..... )
jadi p↔q ( ......... )
e) p : 5 bilangan prima ( ......)
q : 5 bilangan ganjil ( ...... )
jadi p syarat cukup bagi q ( ...... )
E. Tugas
1. Buatlah lima contoh kalimat yang merupakan pernyataan dan tiga contoh kalimat yang
bukan pernyataan.
2. Buatlah masing – masing sebuah kalimat majemuk yang menggunakan operasi
kongjungsi , disjungsi, implikasi dan biimplikasi kemudian tentukan nilai kebenarannya!
UJI MATERI 1
A
Berilah tanda silang ( x ) pada huruf a, b , c , d atau e di depan jawaban yang tepat.
1
Kalimat berikut merupakan pernyataan kecuali ...
a) Matahari terbit dari barat
b) Bunga melati berwarna putih
c) Log 10 = 2
d) Kamu sangat hebat.
e) Ngawi berada di jawa
2
Diketahui pernyataan p,q,r dengan p(B) ,q(S) dan r(B), pernyataan majemuk berikut
benar kecuali ...
Logika Matematika

7. 7
a)
(p→q)∨r
b) ( ~ p → q ) ∧ r
c)
( p ↔ r )→ q
d) ( ~ p ∨ q )→ r
e)
3
( ~ r ∨ p )→ ~ q
diberikan empat pernyataan p, q , r dan s jika pernyataan p∨ q , q ↔ r dan r → s adalah
salah maka pernyataan berikut benar kecuali ...
a) ~s
b) ~p
c)
~p ∧~ q
d) p ↔ q
e)
4
~s∨~p
2
2
2
2
agar pernyataan berikut bernilai salah ” jika log a + log b = log ab maka x + 3x – 4 ≤ 0
” nilai x adalah ...
a) – 4 ≤ x ≤ 1
b) x ≤ - 4 atau x ≥ 1
c) x < - 4 atau x > 1
d) – 4 < x < 1
e) x < - 1 atau x > 4
5
jika p(B), ~ q (B) dan ~ r (S) maka pernyataan berikut yang bernilai benar adalah .
a)
(p∧q)∨r
b) ( p ∧ ~ q∨
c)
p∧(q∧r)
d) p ∨ ( q ∧ r )
e)
p ∨ ( ~ q ∧ ~r )
p
B
B
S
S
6
q
B
S
B
S
~p
~p ∨ q
Nilai kebenaran dari kolom ke 4 adalah ....
a. BBSB
b. BBBS
c.
BSBB
d. SBSB
e. SBBB
7
Diketahui pernyataan p bernilai benar dan q bernilai salah , maka :
1.
~p→q
2.
~p∨~q
3.
q∨p
4.
~q∧p
Pernyataan di atas yang benar adalah ...
Logika Matematika

8. 8
a) 1,2 dan 3
b) 1 dan 3
c) 2 dan 4
d) 4 saja
e) semua benar
8
2
Agar pernyataan berikut bernilai benar ” 2 bilangan komposit atau x – 2x – 3 = 0 ” maka
nilai x = ....
a) 3 atau – 2
b) – 3 atau 2
c) 3 atau 2
d) 1 atau – 2
e) 3 atau – 1
9
jika pernyataan p benar, q salah dan s benar, maka pernyataan berikut yang bernilai
benar adalah ...
a)
(p∧q)→s
b) (~ p ∨ q ) ∧ s
c)
(p∨q)∧s
d) p → ( q ∨ ~ s )
e)
(q∧s)∨~p
10 Negasi dari pernyataan ” semua siswa SMA tidak suka belajar ” adalah ...
a) semua siswa SMA suka belajar
b) ada siswa SMA tidak suka belajar
c) Tidak semua siswa SMA suka belajar
d) Ada siswa SMA suka belajar
e) Tidak ada siswa SMA suka belajar
11 Jika pernyataan p(B) , q(B) dan r(S) maka pernyataan
(1) ( p ∧ q )→ r
(2) ( p ∨ ~q )↔ ~ r
(3) (r ∧ p )↔ ~ q
(4) ( q → r ) ∧ p
yang bernilai benar adalah ...
a) 1 , 2 dan 3
b) 1 dan 3
c) 2 dan 4
d) 4 saja
e) semua benar
12 jawaban kolom terakhir dari tabel dibawah ini adalah ...
p
B
B
S
S
q
B
S
B
S
~q
p→~q
Logika Matematika

9. 9
a) SBSB
b) SBBS
c) SBSS
d) BBBB
e) SBBB
3π
3
13 Agar pernyataan berikut ” sin 2 = −1 dan log ( x + 5 ) = 2 ” bernilai benar, nilai x = ...
a) 9
b) 6
c) 4
d) 3
e) 2
14
p
B
B
S
S
q
B
S
B
S
p∧q
p → (p∧q)
Nilai kebenaran pada kolom terakhir adalah ....
a) SSBB
b) BSSS
c) SSBS
d) SBSB
e) SBBB
15 Kalimat untuk kolom terakhir pada tabel di bawah adalah ....
p
B
B
S
S
a)
q
B
S
B
S
~p
….
B
B
B
S
p→q
b) ~ p → q
c)
~p→~q
d) ~ q → p
e)
B
q→~p
. Jawablah soal – soal berikut dengan benar!
1
Diketahui pernyataan p(B), ~q(B) dan r(S) tentukan nilai kebenaran dari pernyataan
majemuk berikut :
a)
( p ∧ q )→ ~ r
Logika Matematika

10. 10
b) ~ p ↔( q ∨ r )
c)
~r →( p → q )
d) ( q ↔ r ) ∧ p
e)
f)
2
( ~ q ∧ p )→( r ∨ q )
(p∧~q)∧r
Diketahui ketiga pernyataan berikut bernilai benar p → ~ q , q ∨ r dan r → s. Jika p
bernilai benar, maka tentukan nilai kebenaran dari
a) q
b) r
c) s
d) ~ r ∧ s
3
Tentukan nilai x agar pernyataan berikut benar !
a)
2
x
log 8 = 3 dan log 5 = 1
2
b) jika 25 bilangan kuadrat maka 2x – x – 1 = 0
c)
d)
6 adalah faktor dari 86 atau 2 sin x = 1 , 0 ≤ x ≤ π
sin π = 0 jika dan hanya jika 2log 32 = x
2
2
2
e) jika log 100 = 2 maka log log x = 2
4
Lengkapilah tabel berikut :
a)
p
B
B
S
S
q
...
...
...
...
~p
...
...
...
...
~p∨q
...
...
...
...
(~p∨q)↔p
...
...
..
...
b)
p
B
B
S
S
q
...
...
...
...
~q
p ↔~ q
...
...
...
...
q ∧( p ↔~ q )
...
...
..
...
p
B
B
B
B
S
S
S
S
q
...
...
...
...
...
...
...
...
r
...
...
...
...
...
...
....
....
c)
...
...
...
q→r
...
...
...
...
p ↔( q→ r )
...
...
..
...
...
...
...
....
Logika Matematika

11. 11
d)
p
B
B
B
B
S
S
S
S
p
B
B
S
S
e)
5
q
B
B
S
S
B
B
S
S
r
B
S
B
S
B
S
B
S
q
q↔r
...
...
...
...
~p
~q
p∧ ( q ↔ r )
...
...
..
...
q∨~p
p∧~q
(q∨~p)→(p∧~q)
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut !
a)
2
2
Sin π = 0 atau sin x – cos x = 1
b) Jika 5 bilangan komposit maka 5 bilangan ganjil
c) 15 kelipatan 5 jika dan hanya jika 15 bilangan prima
π
d) cos =1 dan log 10 = 1
2
e) jika log 1 = 0 maka log 0,1
III PERNYATAAN MAJEMUK.
A. Pengertian
Pernyataan majemuk adalah yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal
( komponen ) yang dipakai dengan menggunakan kata hubung logika.
Contoh
~p→q
(p∨q)↔r
B. Pernyataan majemuk yang ekuivalen.
Logika Matematika

12. 12
Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika untuk semua kemungkinan nilai
kebenaran komponen – komponen selalu mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Contoh
Perhatikan tabel berikut !
p
q
~p
~p∨q
p→q
B
B
S
B
B
B
S
S
S
S
S
B
B
B
B
S
S
B
B
B
Kolom 3 dan 4 bernilai sama sehingga ( ~ p ∨ q ) ekuivalen dengan p → q yang ditulis ( ~
p∨q)≡p→q
Sifat – sifat operasi dalam logika
1.
Komutatif
:p∨q≡q∨p
p∧q≡q∧p
2.
Assosiatif
:p∨(q∨r)≡(p∨q)∨r
p ∧( q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∧ r
3.
Distributif
:p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r)
p ∨( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )
4.
De Morgan : ~ ( p ∨ q ) ≡ ~ p ∧ ~ q
~(p∧q)≡~p∨~q
5.
Ingkaran rangkap : ~ ( ~ p ) ≡ p
6.
Idempoten : p ∨ p ≡ p
p∧p≡p
7.
Identitas
:p∨B≡B
p∨S≡p
p∧B≡p
p∧S≡S
8.
Kesetaraan: ( ~ p ∨ q ) ≡ p → q
p ↔ q ≡ ( p → q )∧( q → p )
9.
Komplemen
:p∨~p≡B
p∧~p≡S
10. Tautologi
Sebuah kalimat majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai
kebenaran
Contoh
( p ∧ q ) → p selalu bernilai B
11. Kontradiksi
Sebuah kalimat yang benilai salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran
misalnya ~ p ∧ ~ ( p → q )
C. Ingkaran / negasi Konjungsi , Disjungsi , Implikasi dan Biimplikasi.
1.
~(p∨q)≡~p∧~q
2.
~(p∧q)≡~p∨~q
Logika Matematika

13. 13
3.
~ ( p → q )≡ p ∧ ~ q
4.
~ ( p ↔q ) ≡ ( p ∧ ~ q )∨( q ∧ ~ p )
IV HUBUNGAN KONVERS , INVERS DAN KONTRAPOSISI.
Jika diketahui implikasi p → q maka :
1. Konvers
:q→p
2. Invers
:~p→~q
3. Kontraposisi
:~q→~p
p
q
p→ q
q→p
~p→~q
~q→~p
B
B
B
B
B
B
B
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
S
B
B
B
B
Dari di atas disimpulkan bahwa
p→q≡~q→~p
~p→~q≡q→p
contoh
1. tentukan negasi dari invers implikasi ” jika ibu pergi ke pasar maka adik menangis”
jawab
invers ” Jika ibu tidak pergi ke pasar maka adik menangis ”
Negasinya ” Ibu tidak pergi ke pasar dan adik tidak menangis ”
2. Tentukan kontraposisi dari konvers implikasi ” p →( q ∨ ~ r ) ”
Jawab
Konvers ( q ∨ ~ r )→ p
Kontraposisi dari konversnya ~ p → ( ~ q ∧ r )
Ternyata kontraposisi dari konvers implikasi sama dengan invers dari implikasi tersebut
V
PERNYATAAN BERKUANTOR.
A. Kuantor universal ( umum )
Kata yang digunakan : semua , setiap , seluruhnya
Simbol yang dipakai ” Ax ” atau ” ∀x ” dibaca ” setiap x ”
Contoh semua siswa SMA berseragam OSIS
B. Kuantor eksistensial ( khusus )
Kata yang digunakan : ada , beberapa , sebagian , terdapat
Simbol yang dipakai ” Ex “ atau “ ∃x “ dibaca “ ada x “
Contoh ada bilangan prima yang genap
C. Negasi pernyataan berkuantor.
1.
Diketahui pernyataan p : ” ∀x P(x) ” dibaca ” setiap x berlaku sifat P(x) ” maka ~ p : Ex
~P(x) dibaca ” ada x yang tidak berlaku sifat P(x) ”
Logika Matematika

14. 14
2. Diketahui pernyataan q : ”Ex Q(x) ” dibaca ” ada x berlaku sifat Q(x) ” maka ~ q : ” A x
~Q(x) ” dibaca ” setiap x berlaku sifat bukan Q(x) ”
Contoh
p : semua warga menginginkan pemimpin yang tidak korupsi
~ p : ada warga yang menginginkan pemimpin yang korupsi
q : Beberapa bilangan ganjil habis dibagi 3
~ q : semua bilangan ganjil tidak habis dibagi 3
LEMBAR PORTOPOLIO
1. Tentukan konvers , invers dan kontraposisi dari implikasi
a) Jika bulan bersinar terang maka langit cerah sekali
b) ( p ∧ q )→ r
c)
cos 3π = 0,5 atau nilai maksimum y = cos ax adalah 1
2
d) ~ p ∨ q
jawab
a) konvers
invers
kontraposisi
b) konvers r →( p ∧ q )
invers
kontraposisi
3π
c) diubah dulu menjadi : jika cos 2 ≠ 0,5 maka ......
konvers
invers
kontraposisi
d) diubah dulu menjadi : ~ p ∨ q ≡ ....→ .......
konvers
invers
kontraposisi
2. Tentukan nilai dari pernyataan majemuk berikut !
a)
q→~p
b) ~ q → ( ~ q ∨ p )
c)
(p∧q)↔~p
d) ( p ∨ ~ r ) → q
jawab
a) karena ada 2 pernyataan maka tabelnya terdiri 4 baris
p
q
B
B
B
S
S
B
S
~p
q→~p
S
Logika Matematika

15. 15
b)
p
B
B
~q∨p
~q→(~q∨p)
~q∨p
q
~q→(~q∨p)
B
S
c)
p
B
q
S
d) Karena ada 3 pernyataan maka tabelnya terdiri 8 baris
p
B
B
B
B
S
S
S
S
q
B
B
...
..
B
..
..
S
r
B
S
..
..
..
..
..
..
3. Tunjukkan pernyataan majemuk berikut, apakah merupakan tautologi , kontradiksi atau
bukan keduanya.
a)
q→(p∨q)
b) (( p ∨ q ) ∧ ~ p )→ q
c)
( p ∨ q )→ p
d) ( p ∨ q ) ∧( ~ p ↔ q )
jawab
a)
q→(p∨q)
cara 1
dengan sifat – sifat operasi logika
q→(p∨q)≡~p∨(p∨q)
≡ ( ~ p ∨ p ) ∨ ...
≡ B ∨ ...
≡ ....
cara 2
dengan tabel kebenaran
p
B
B
S
S
q
p∨q
q→(p∨q)
Logika Matematika

16. 16
Karena kolom terakhir bernilai ........... semua maka tautologi
b) (( p ∨ q ) ∧ ~ p )→ q
dengan tabel kebenaran
p
B
B
S
S
c)
q
~p
p∨q
(p ∨ q ) ∧~ p
(( p ∨ q ) ∧ ~ p )→ q
( p ∨ q )→ p
dengan tabel kebenaran
p
B
B
S
S
p ∨q
q
( p ∨ q )→ p
d) ( p ∨ q ) ∧( ~ p ↔ q )
dengan tabel kebenaran
p
B
B
S
S
q
(~p↔q)
( p ∨ q ) ∧( ~ p ↔ q )
4. Tentukan negasi dari pernyataan
a) Jika semua bilangan prima ganjil maka 2 bukan bilangan prima
b) Gajah tidak punya taring dan kucing mengeong
c) Bulan bersinar di malam hari atau 4 faktor dari 24
d) ( ~ p ∧ q )→ r
e)
p↔q
jawab
a)
Negasi dari p → q adalah ...
Jadi negasi pernyataan di atas adalah ....
Logika Matematika

17. 17
b) ~ ( p ∧ q ) = ....
jadi negasinya ...
c)
~ ( p ∨ q ) ≡ ...
jadi negasinya
d) ~ (( ~ p ∧ q )→ r ) = ......
e)
~ (p ↔ q ) = .....
UJI MATERI 2
A. Berilah tanda silang pada huruf a , b , c , d atau e pada jawaban yang benar !
1. Negasi dari pernyataan p ∧ ~ q adalah ..
a)
p∨q
b) ~ p ∨ ~ q
c)
~p∧q
d) p → ~q
e)
p→q
2. Ingkaran dari pernyataan ” semua siswa SMA 1 teladan tidak suka membolos ”
a) Tidak ada siswa SMA 1 teladan suka membolos
b) Ada siswa SMA 1 teladan tidak suka membolos
c) Semua siswa SMA 1 teladan suka membolos
d) Ada siswa SMA 1 teladan suka membolos
e) Semua siswa SMA 1 teladan rajin belajar
3. invers dari konvers implikasi ( ~ p ∨ q ) → r adalah ...
a)
( p ∧~q )→ ~ r
b) r → ( ~ p ∨ q )
c)
~r→(~p∨~q)
d) ~ r → ( p ∧ ~ q )
e)
~r→(~p∧~q)
4. Bentuk p→ ( q∨ ~ p ) ekuivalen dengan :
1.
(~q∧p)→~p
2.
~p∨(q∨~p)
3.
~p∨q
4.
~p→(~q∧p)
pernyataan yang benar adalah ...
a) 1 , 2 dan 3
b) 1 dan 3
c) 2 dan 4
d) 4
e) semua salah
5. Negasi kontraposisi implikasi : jika rina sakit maka semua orang susah adalah ...
a) Jika rina tidak sakit maka semua orang tidak susah
b) Jika rina sakit maka ada orang tidak susah
c) Ada orang susah dan rina tidak sakit
d) Ada orang tidak susah dan rina sakit
Logika Matematika

18. 18
e) Semua orang tidak susah atau rina sakit
6. konvers dari implikasi ” ( ~ p ∨ q ) →~q ” adalah ..
a)
( p ∧`~ q ) → q
b) ( p ∧`~ q ) → ~ q
c)
~(~ p ∨ q ) ∨ q
d) ~ p ∨ q
e)
p∨q
7. pernyataan berikut yang bernilai salah adalah ...
a)
~ ( p ∧ ~q ) ≡ ~ p ∨ q
b) ~( p → ~ q )≡p ∧ ~ q
c)
( p∨ q)∧ ~ q ≡ p ∧ ~ q
d) ( p ∧ ~ q ) ∨ p ≡ p ∧ ( p ∨ ~ q)
e)
~p → q ≡ p ∨ q
8. pernyataan majemuk berikut yang merupakan kontradiksi adalah ...
a)
( p ∧ q )→ ( p ↔ q )
b) p ∨ ( ~ p → q )
c)
(p→q)∧p
d) q ∧ ( p ∧ ~ q )
e)
(p∨~q)→p
9. negasi dari invers implikasi ” ~ p → q ” adalah ...
a)
~p∧~q
b) ~ p ∧ q
c)
~p∨q
d) p ∨ q
e)
p∧q
10. Negasi dari pernyataan “ jika Nafila tidak rajin belajar maka semua temannya tidak
senang “ adalah ....
a) Jika nafila belajar maka semua temannya senang
b) Jika nafila tidak rajin belajar maka ada temannya senang
c) Nafila rajin belajar dan ada temannya senang
d) Nafila tidak rajin belajar dan ada temannya senang
e) Nafila tidak rajin belajar atau ada temannya senang
11. pernyataan ( p → q ) ∨ ( ~ q ∧ p ) memiliki nilai kebenaran yang sama dengan ...
a) BBSS
b) BBBS
c) SSBB
d) Tautologi
e) Kontradiksi
12. invers dari ” ( p ∨ ~ q ) → ~ p ” adalah ...
a)
(p∨~q)→p
b) ( p ∧ ~ q ) → p
c)
~p∨q
d) p ∧ ~ q
Logika Matematika

19. 19
e)
p∨~q
13. negasi dari ~ p → ( ~ q ∨ r ) adalah ...
a)
p→(q∧~r)
b) p ∧ ( q ∧ ~ r )
c)
~p∧(q∧~r)
d) ~ p ∨ ( q ∧ ~ r )
e)
p∨(~q∧r)
14. diketahui tiga pernyataan berikut bernilai benar p ∧ q , q → ~ r dan ~ r → s. Jika nilai
kebenaran p benar, maka pernyataan berikut yang bernilai benar adalah ...
a)
r∧s
b) p → r
c)
r→p
d) r ∨ ~ q
e)
q→r
15. konvers dari pernyaaan p ∨ q adalah ...
a)
~p∨q
b) p → q
c)
~p→q
d) q → ~ p
e)
~q→~p
16. pernyataan berikut bernilai benar kecuali ...
a)
~(p∧q)≡~p∨~q
b) ( p ∨ q ) ∧ ~ q ≡ p ∧ ~ q
c)
~(p∨~q)≡~p∧~q
d) ~ ( p → q ) ≡ p ∧ ~ q
e)
~(p∧~q)≡p→q
17. jika pernyataan p(B ) dan p ∧ ~ q ( S ) maka pernyataan berikut :
1.
p→q
2.
~ p ∨ ~q
3.
~p↔~q
4.
(p∧q)→~p
yang benar adalah ...
a) 1 , 2 , 3
b) 1 , 3
c) 2 , 4
d) 4
e) semua benar
18. Pernyataan p → ( ~ p ∧ q ) ekuivalen dengan ...
a)
~p∧(~p∧q)
b) p ∧ ( p ∧ ~ q )
c)
~ p ∨( ~ p ∨ q)
d) ~ p ∧ ( ~ p ∨ q )
e)
p∧(~p∨q)
Logika Matematika

20. 20
19. Pernytaan berikut selalu bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran kecuali ...
a)
P∨~p
b) ~ ( p ∧ ~ p )
c)
(p∧q)→p
d) ~ p ∧ ~ ( p → q )
e)
(p∧~q)→~q
20. Negasi dari pernyataan ” jika Khurin pandai menyanyi maka semua orang senang”
adalah ...
a) Jika khurin tidak pandai menyanyi maka semua orang tidak senang
b) Jika khurin tidak pandai menyanyi maka ada orang yang senang
c) Jika semua orang tidak senang maka khusin pandai menyanyi
d) Khurin pandai menyanyi dan ada orang tidak senang
e) Khurin tidak pandai menyanyi dan semua orang senang
B. Jawablah soal berikut dengan benar !
1. Tentukan konvers , invers dan kontraposisi dari
a)
(p∧q)→~r
b) ~ p ∨ q
c) jika semua siswa naik kelas maka ada guru yang tidak senang
d) Harminingsih suka menyanyi atau semua orang senang
2. Manakah yang merupakan tautologi, kontradiksi atau bukan keduanya dari kalimat
majemuk berikut ?
a)
(~p→q)∨~p
b) ( p ∧ q ) ∧ ( ~ p ↔ q )
c)
(p∧~q)→q
d) p → ( ~ q ∧ p )
e)
(p→q)∨~q
f)
(p∧~q)∨(q∧~p)
g) ~ p ∧ ~ ( p → q )
3. Tentukan negasi dari invers implikasi berikut :
a) Jika 4 + 3 > 5 maka semua bilangan prima adalah ganjil
b) ( p ∧ ~ q ) → ~ p
c) Taufik menang lomba jika ia bersemangat tinggi
4. Buktikan ekuivalen berikut !
a)
(p∧q)→r≡(p→r)∨(q→r)
b) p → ( q → r ) ≡ ( p ∧ q ) → r
c)
( p → q ) ∨ ( p → r ) ≡ p → ( ~ q→ r )
d) ( p ∧ ~ q ) → ~ p ≡ p → q
e)
p↔~q≡(p→~q)∧(q∨p)
5. tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut :
a)
(~p∨q)→(p∧q)
b) p ↔ ( ~ q ∨ p )
c)
(~p∧q)→r
Logika Matematika

21. 21
d) ( p ∨ ~ q ) ↔ ( ~ r ∧ q )
VI PENARIKAN KESIMPULAN.
Penarikan kesimpulan dai suatu argumen didasarkan dari beberapa pernyataan yang benar
( disebut premis ) sehingga didapatkan suatu kesimpulan ( konklusi ) yang benar.
Suatu argumen dikatakan sah ( valid ) jika dapat dibuktikan konjungsi dari premis –premisnya
adalah benar atau merupakan sebuah tautologi.
Cara sederhana untuk membukikan suatu argumen itu sah ( valid ) atau tidak adalah dengan
bantuan tabel kebenaran
Contoh
Selidiki apakah penarikan kesimpulan berikut valid
Luthfi tidak rajin belajar atau ia naik kelas
Luthfi rajin belajar
Kesimpulan luthfi naik kelas
Jawab
Misal
p = luthfi rajin belajar
q = luthfi naik kelas
sehingga kalimat di atas dapat disimbolkan
premis 1
:~p∨q
(B)
premis 2
:p
(B)
konklusi
:q
(B)
Perhatikan tabel kebenaran ( ( ~ p ∨ q ) ∧ p ) → q berikut !
p
q
~p
(~p∨q)
(~p∨q)∧p
((~p∨q)∧p)→q
B
B
S
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
B
B
B
S
B
S
S
B
B
S
B
Dari tabel terlihat bahwa ( (~ p ∨ q )∧ p )→ q merupakan tautologi jadi kesimpulan dari di
atas valid
Berbagai pola penarikan kesimpulan
A
Modus ponen
Premis 1
Premis 2
:p
(B)
Konklusi
B
:p→q (B)
:q
(B)
Modus tollens.
Premis 1
Premis 2
:~q
(B)
Konklusi
C
:p→q (B)
:~p
(B)
Silogisma.
Premis 1
:p→q (B)
Premis 2
:q→r
(B)
Logika Matematika

22. 22
Konklusi
D
:p→r
(B)
Silogisme disjungtif
Premis 1
(B)
Premis 2
:~q
(B)
Konklusi
E
:p∨q
:p
(B)
Kombinasi dua argumen modus ponens ( dilema konstruktif ).
Premis 1
Premis 2
:p∨r
(B)
Konklusi
F
: (p→q)∧(r→s)( B )
:q∨s
(B)
Kombinasi dua argumen modus tollens ( dilema destruktif ).
Premis 1
Premis 2
:~q∨~s
(B)
Konklusi
:~p∨~r
(B)
Premis 1
:p
(B)
Premis 2
:q
(B)
Konklusi
G
: (p→q)∧(r→s)( B )
:p∧q
(B)
Konjungsi.
H
Addition ( penambahan )
Premis 1
:p
(B)
Konklusi
:p∨q
(B)
Catatan
Untuk membuktikan suatu argumen dari beberapa premis, bentuklah ke pola- pola penarikan
kesimpulan diatas, jika ternyata sulit gunakan tabel kebenaran
Contoh
Apakah penarikan kesimpulan berikut valid ?
Premis 1
:~p∧q
Premis 2
:p→q (B)
Konklusi
:q
(B)
(B)
Bukti dengan tabel
p
B
B
S
S
q
B
S
B
S
~p
S
S
B
B
~p ∧ q
S
S
B
S
p→ q
B
S
B
B
q
B
S
B
S
((~p∧q)∧(p→q))→q
B
B
B
B
Pada tabel diatas pada kolom terakhir menunjukkan tautologi karena nilai kebenaran B
semua sehingga argumen valid
VII BUKTI LANGSUNG DAN TAK LANGSUNG.
Logika Matematika

23. 23
Sebuah rumus / dalil / teorema dapat dibuktikan kebenarannya dengan mengambil
kesimpulan yang didasarkan pada pernyataan – pernyataan yang benar ( misalnya definisi ,
aksioma atau sifat ) dan dari dalil – dalil lain yang telah dibuktikan benar.
A
Bukti langsung.
Cara penarikan kesimpulan dengan silogisma , modus ponen , modus tollen dan lain –
lain seperti di atas merupakan contoh – contoh bukti langsung
Contoh
2
2
Buktikan bahwa untuk semua a dan b ∈ R maka berlaku ( a – b ) = a – 2ab + b
2
Jawab
2
( a – b ) = ( a – b )( a – b )
( definisi perpangkatan )
= a(a - b) – b( a – b ) ( distributif perkalian )
2
2
( distributif perkalian )
2
2
( komutatif pekalian )
= a – ab – ba + b
= a – ab – ab + b
2
= a – 2ab + b
B
2
( definisi penjumlahan )
Bukti tak langsung.
Jika akan membuktikan kebenaran sebuah pernyataan tunggal p maka dilakukan dengan
cara kontradiksi yaitu dengan membuktikan ~ p salah. Karena
~ p salah maka p
haruslah benar.
Contoh
Dengan bukti tak langsung buktikan kebenarannya :
1.
3 adalah bilangan irrasional
jawab
misal p :
3 adalah bilangan irasional
~ p:
3 bukan bilangan irasional
~ p bernilai salah jadi pastilah p benar
2.
2
jika n genap maka n genap n ∈ bilangan bulat.
Jawab
Misal p : n genap
2
q : n genap
jadi p → q ( implikasi )
akan dibuktikan kontraposisinya ~ q → ~ p benar
2
yaitu jika n bukan bilangan genap maka n bukan bilangan genap
jelas bahwa ~ q → ~ p benar jadi p → q benar
VIII
BUKTI DALAM MATEMATIKA DENGAN INDUKSI MATEMATIKA
1. pengertian induksi matematika.
Induksi matematika adalah proses pembuktian teorema / pernyataan dari kasus-kasus
khusus yang harus berlaku untuk setiap bilangan asli.
2. Langkah – langkah pembuktian dengan induksi matematika
a) Dibuktikan apakah benar teorema tersebut berlaku untuk n = 1 ( bilangan asli terkecil
) pada kasus tertentu pengambilan n tidak harus 1
b) Dianggap teorema tersebut benar untuk n = k , k ∈ A
Logika Matematika

24. 24
c) Dibuktikan apakah teorema tersebut benar untuk n =k+ 1 jika benar maka
disimpulkan teorema tersebut berlaku untuk semua nilai n.
Contoh
2
Dengan induksi matematika buktikan bahwa untuk n∈A berlaku 2 + 4 + 6 + ..+ 2n = n +
n
Jawab
•
untuk n = 1
ruas kiri 2n = 2.1 = 2
2
ruas kanan n + n = 1 + 1 = 2 jadi benar
2
•
untuk n = k dianggap benar, sehingga berlaku 2 + 4 + 6 + ...+ 2k = k +k
•
akan dibuktikan apakah benar untuk n = k + 1
2
2 + 4 + 6 + ....+ 2k + 2 ( k + 1 )
=k +k+2(k+1)
2
= k + k + 2k + 2
2
= k + 3k + 2
2
= k + 2k + 1 + k + 1
2
=(k+1) +(k+1)
2
jadi terbukti benar untuk 2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2 ( k+1 ) = ( k + 1) + ( k+ 1 )
LEMBAR PORTOFOLIO
A
isilah titik – titik di bawah dengan jawaban yang benar!
1
Dari premis-premis berikut, tentukan kesimpulannya
p→ ~ q
(B)
q
a)
(B)
.....
b) ~ p ∨ q
~r→~q
≡ ..........
kesimpulan ................
≡ ..........
................
p
p
...............................
c)
( p ∨ q ) → r ≡ ..........
................
kesimpulan ............
~s→~r
............
s ∨t
2
≡ ..........
≡ ..........
.............
dengan induksi matematika buktikan bahwa yang berikut berlaku untuk semua x bilangan
asli
a) 3 + 6 + 9 + 12 + .........+ 3n = ½ n (3 + 3n )
4n
b) 3 – 1 habis dibagi 80
n
c) 2 > n
jawab
a) 3 + 6 + 9 + ....+ 3n = ½ n ( 3 + 3n )
* untuk n = 1
ruas kiri 3n = 3 . 1 = 3
ruas kanan ½ n ( 3 + 3n ) = ½ ( 3 + ........) = ........
Logika Matematika

25. 25
jadi benar
* dianggap benar untuk n = k
jadi 3 + 6 + 9 + ..........+ ........= ½ k ( ........... )
* apakah benar untuk n = k + 1
3 + 6 + 9 + ..........+ 3k + 3( k+1 ) = ½ ( k + 1 )( ....... + .........)
ruas kiri
3 + 6 + 9 + ..........+ 3k + 3( k+1 )
½ k ( .......... + ...........) + 3 ( k+1 )
...................................................
...................................................
................................................... = ruas kanan
4n
b) 3 – 1 habis dibagi 80
4
•
untuk n = 1 maka 3 – 1 = 80 habis dibagi 80
•
dianggap benar untuk n = k jadi 3 – 1 habis ...............
•
akan ditunjukkan apakah benar untuk n = k + 1
4k
4( k + 1 )
3
3
.....
– 1 apakah habis dibagi 80 ?
–1 =(3
......
- 1 ) - ...........
...................... = ............................
jadi ................
n
c) 2 > n
•
untuk n = 1 →
•
dianggap benar untuk n = k jadi 2 > k
•
apakah benar untuk n = k + 1 → 2
k
bukti 2
•
k+1
=2
....
.....
2
....
k+1
> ..........
k
> 2k karena 2 > k
....
2 2 > k + k ≥ k + 1 karena k ≥ 1
jadi ................
3
Buktikan sah atau tidak penarikan kesimpulan berikut :
~q→~p
(B)
~q→r
a)
(B)
∴p → r
(B)
b) p ↔ q ( B )
q
∴p
c) p ∨ q ( B )
(B)
(B)
~p
∴ ~q
(B)
(B)
jawab
a.
~ q → ~ p ≡ p → ..... silogisme
~q∨r
≡ ....→ .....
sehingga
p →r (B)
b. dengan tabel
p
q
p↔q
B
B
( p ↔ q ) ∧→ q
p↔ q ∧→ p
B
B
S
S
b) p ∨ q ( B )
Logika Matematika

26. 26
~p
(B)
∴~q (B)
akan dibuktikan apakah ( p ∨ q )∧ ( ~ p )→ ~ q merupakan tautologi
( p ∨ q ) ∧ ~ p → ~q
( p ∧ ~ p ) ∨ ( q ∧ ...... ) → ~ q
............... ∨ ( q ∧ ........ ) → ~ q
.............................. → ~ q
~ ( ....................... ) ∨ ~ q
............................. ∨ ~ q
..........................................
jadi .............................
UJI MATERI 3
A
Berilah tanda silang ( x ) pada huruf a , b , c , d atau e di depan jawaban yang benar!
1
Diketahui 3 premis seperti berikut
1) p → q ( B )
2) ~ q ∨ r ( B )
3) ~ r
(B)
kesipulan dari 3 premis di atas adalah ...
a) p
b) p → ~ r
c) q
d) ~ p
e) ~ q
2
Diketahui premis – premis ” jika amerika marah maka dunia geger, ternyata amerika
marah ” maka kesimpulan yang dapat diambil adalah ..
a) Dunia marah
b) Dunia tidak geger
c) Jika dunia geger maka amerika marah
d) Dunia geger
e) Dunia tidak marah
3
Argumen berikut yang tidak sah adalah ...
a)
p→q
p
q
b) ~ p ∨ q
~p
~p
c)
p∨q
q
p
d) p → q
q→~r
Logika Matematika

27. 27
p→~r
e)
p∨q
q→r
~p→r
4
jika premis 1 : ( p → q ) ∧ ( r →s ) ( B )
jika premis 2 : p ∨ r
(B)
maka konklusinya adalah ....
a)
p∨q
b) p ∨ r
c)
q∨s
d) q ∧ s
e)
5
q∨r
Diketahui premis 1 : ~ p → q ( B )
Premis 2 : ~ p ∨ r
(B)
Premis 3 : ~ ( ~ s ∨ r ) ( B )
Konklusinya adalah …
a) ~ s
b) ~ q → ~ s
c)
q→s
d) q → ~ s
e)
6
~q→s
diketahui premis – premis berikut :
premis 1
:(p→q)∧(r→s)
(B)
premis 2
: p∨r
(B)
premis 3
: ~q
(B)
kesimpulan dari ketiga premis di atas adalah ...
a)
p→q
b) ~ p
c) ~ s
d) s
e)
7
p→~s
diketahui penarikan kesimpulan :
premis 1
:~p∨(q∧r)
premis 2
:q∨~r
konklusi
: p
akan benar jika , jika
1. q diganti ~ q pada premis 2
2. ~ r diganti r pada premis 2
3. p diganti ~ p pada konklusi
4. ~ diganti p pada premis 1
jawaban yang tepat adalah ...
a. 1 , 2 , 3
b. 1 , 3
Logika Matematika

28. 28
c.
2,4
d. 4
e. semua
8
Ali jago tinju atau ia jago gulat, ternyata ali tidak jago tinju. Kesimpulan dari pernyataan di
atas adalah ...
a) Ali tidak jago tinju
b) Ali jago tinju
c) Ali tidak jago gulat
d) Ali jago gulat
e) Ali jago tinju dan gulat
9
Diketahui beberapa premis berikut :
(1) Jika ifah terlambat masuk sekolah maka pak guru marah
(2) Pak guru tidak marah atau semua siswa takut
(3) Ada siswa tidak takut
Kesimpulan dari premis (1 ) , ( 2 ) dan ( 3 ) adalah ...
a. ifah terlambat masuk sekolah
b. jika ifah terlambat masuk sekolah maka semua siswa takut
c.
pak guru marah
d. ifah tidak terlambat masuk sekolah
e. ifah tidak takut
10 diketahui p dan q adalah suatu pernyataan dari penarikan kesimpulan berikut :
1 p→q
2 p→q
~q
p→r
~p
q→r
3 p→q
p
q
yang sah adalah ...
a) 1 saja
b) 1 dan 2
c) 1 dan 3
d) 2 dan 3
e) 1 , 2 dan 3
B
Jawablah soal – soal di bawah ini dengan singkat dan benar !
1
Buktikan sah atau tidak penarikan kesimpulan berikut
a)
p∨q
(B)
~q (B)
p
(B)
b) p ↔ q
(B)
q
(B)
p
(B)
p→q
(B)
~q→r
(B)
~r
(B)
c)
~p (B)
d) q ↔ ~ p
(B)
Logika Matematika

29. 29
q
p
(B)
(B)
(B)
p→~s
(B)
p↔q
(B)
q↔r
(B)
p↔r
2
~p∨q
r∨~s
f)
(B)
r→~q
e)
(B)
(B)
dengan induksi matematika buktikan pernyataan berikut !
a)
1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + .....+ n . ( n + 1 ) = 1/3 n ( n + 1 )(n + 2 ) n ∈ A
n
b)
c)
∑4 k −1 = 1 (4 n −1), n ∈ A
3
k =1
n
∑(n +1).2 n −1 = n.2 n , n ∈ A
k =1
2
d) k + 1 habis dibagi 2 , k ∈ bilangan ganjil
e)
n ( n + 1 ) habis dibagi 2 . n ∈ A
f)
1.2.3 + 2 .3 . 4 + 3.4.5 + ...+ n (n+1)(n+2)= 4 n ( n+1 )( n + 2 )( n + 3 )
1
n
g)
3
∑2n +1 = n 2 + 2n
k =1
dengan menggunakan bukti langsung, buktikan kebenaran tiap pernyataan berikut:
a)
2
2
untuk semua a dan b ∈ R maka ( a – b ) = a – 2ab + b
2
2
b) jika 3x – 2 = 1 maka x + 4x – 5 = 0 , x ∈R
c) untuk semua sudut x maka a + cos x > 0
4
Tentukan kesimpulan dari premis – premis berikut
p∨~q
(B)
q
a)
(B)
b) p→ ~ q
(B)
p∨r
~r
c)
(B)
(B)
(q∨~r)→p
(B)
~p
d) p → ~ q
(B)
q∨r
(B)
s→~r
5
(B)
(B)
dengan menggunakan bukti tak langsung atau langsung , buktikan tiap pernyataan
berikut !
2
a) ( cos x + sin x ) = 1 + 2 sin x cos x
2
b) jika n bilangan bulat genap maka n bilangan genap
c) buktikan bahwa
2 adalah irrasional
2
d) jika x + 3x – 4 < 0 maka – 4 < x < 1
Logika Matematika