Dokumen tersebut membahas tentang logika matematika yang mencakup konsep-konsep seperti pernyataan, kalimat terbuka, variabel, konstanta, penyelesaian kalimat terbuka, negasi pernyataan, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, negasi pernyataan majemuk, pernyataan berkuantor, konvers, invers, kontraposisi, dan penarikan kesimpulan melalui modus ponens dan modus tollens.

1. LOGIKA MATEMATIKA

2. Tahukah kamu ?
 Aristoteles adalah ahli filsafat pertama
yang mengembangkan logika pada
jaman Yunani kuno, sekitar tahun 400
SM. Kala itu logika dikenal dengan
istilah Logika Tradisional.

3. A. Pernyataan (Proposisi)
 adalah suatu kalimat yang
bernilai benar atau salah tetapi
tidak sekaligus benar dan salah.
Contoh : a. Rasa air laut asin.
b. 2 adalah bilangan prima
c. Jakarta adalah ibukota
Jawa Timur

4. • Pernyataan yang menyatakan pikiran
tunggal disebut pernyataan sederhana
(seperti contoh di atas), sedangkan
pernyataan yang terdiri dari beberapa
pernyataan sederhana dengan
bermacam-macam kata hubung
disebut pernyataan majemuk.
• Contoh : Jakarta terletak di Pulau Jawa
dan ibukota RI. (pernyataan majemuk)

5.  Lambang-lambang yang umumnya dipakai
untuk menyatakan suatu pernyataan dalam
logika adalah :
 Huruf p, q, r , … untuk menyatakan suatu
pernyataan. Contoh => p : Hari ini cerah
q : 2 + 3 = 5
 B, T atau 1 untuk menyatakan nilai benar
 S, F atau 0 untuk menyatakan nilai salah

6. B. Kalimat Terbuka, Peubah (Variabel),
Konstanta dan Penyelesaian Kalimat
Terbuka
 Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat
variabel dan menjadi pernyataan jika
variabel tersebut diganti konstanta dalam
himpunan semestanya
Contoh : a. Kota P merupakan daerah wisata
b. 2 + x = 88

7.  Variabel adalah lambang untuk
menunjukkan anggota sebarang dari
himpunan semesta
Contoh : x – 2 = 5 (x adalah variabel)
• Konstanta adalah lambang untuk menunjukkan anggota
tertentu dalam himpunan semesta
Contoh : x – 2 = 5
Jika x diganti dengan 7 maka pernyataan 7 – 2 = 5 bernilai
benar dan 7 disebut konstanta

8. Himpunan Penyelesaian Suatu Kalimat
Terbuka
 Contoh : 2x – 1 < 5, x { 1, 2, 3, 4, 5 }
Kalimat tersebut menjadi pernyataan yang
benar jika x diganti 0, 1, 2.
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
{ 0, 1, 2 }

Jadi penyelesaian suatu kalimat terbuka adalah
konstanta-konstanta pengganti variabel yang menyebabkan
kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan yang
benar

9. C. Ingkaran atau Negasi Suatu Pernyataan
 Jika p adalah suatu pernyataan maka ingkarannya
dinotasikan sebagai –p atau
 Apabila pernyataan p bernilai benar, maka
pernyataan –p bernilai salah. Sebaliknya bila
pernyataan p bernilai salah maka pernyataan –p
bernilai benar.
p
Contoh : p : Putri memakai baju putih
- p : Tidak benar bahwa putri memakai baju
putih
- p : Putri tidak memakai baju putih

10. Contoh : q : 3 + 2 = 7 ……………. (S)
-q : 3 + 2 ≠ 7 ……………. (B)
r : 5 + 6 ≥ 10 ……………. (B)
- r : 5 + 6 < 10 …………….(S)
 Definisi :
 Ingkaran atau negasi suatu pernyataan p adalah pernyataan
–p yang bernilai benar jika p bernilai salah dan bernilai
salah jika p bernilai benar
p -p
B S
S B
TABEL KEBENARAN

11. LATIHAN 1
1. Manakah yang merupakan kalimat pernyataan, bukan
pernyataan atau kalimat terbuka dari kalimat-kalimat
berikut : a. G. Semeru terletak di Jawa Barat.
b. Tokyo ibukota Jepang
c. Pergilah engkau sekarang.
d. x adalah bil.prima kurang dari 20
e. 7 adalah faktor dari 63
f. 5 + 3 = 10
g. 6 + a < 8
h. 75 habis dibagi 4
2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut :
a. 2 adalah bilangan prima genap

12. b. √67 adalah bilangan rasional
c. 2 + (3 + 8) = (2 + 3) + 8
d. Sungai Kapuas adalah sungai terpanjang di
dunia.
e. Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan
ganjil
f. 49 adalah bilangan kuadrat sempurna
g. Jepang adalah negara berkembang
h. Danau Toba terletak di Pulau Flores
i. Sin 30o = cos 60o
3. Tentukan himpunan penyelesaian kalimat terbuka di bawh ini
agar menjadi pernyataan yang benar :
a. 4p – 1 = 41

13. b. k adalah bilangan prima kurang dari
30
c. Untuk p dan q bilangan asli, p + q = 12
d. 3a + 1 = 7, a bilangan prima genap
e. y adalah bilangan kelipatan 3 dan
kelipatan 5 yang kurang dari 100
f. X2 – 4 > 0
4. Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut ini serta
tentukan pula nilai kebenarannya :
a. 5 + 6 = 11
b. Bunga mawar berwarna merah

14. c. Ali mempunyai adik.
d. Segitiga lancip adalah segitiga yang
salah satu sudutnya kurang dari atau
sama dengan 90o
e. 5z + 32 = 0 adalah persamaan kuadrat
f. √625 bukan termasuk bentuk akar
g. Sin 235o bernilai negatif
h. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat
2x2 – 8x + 21 = 0 adalah 4

15. D. Konjungsi
Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan
kata penghubung dan.
1. Lambang yang digunakan adalah Λ (dan)
p Λ q ( dibaca p dan q)
2. Kata-kata yang membentuk konjungsi selain
dan adalah meskipun, tetapi, sedangkan,
padahal, sambil, yang, juga, walaupun.

16. Tabel Kebenaran Konjungsi
p q p Λ q
B B B
B S S
S B S
S S S

17. Contoh :
p : Bung Hatta lahir di Sumatra Barat (B)
q : Bung Hatta meninggal di Jakarta (B)
p Λ q : Bung Hatta lahir di Sumatra Barat dan
meninggal di Jakarta (B)
p : Sekarang hari Rabu (S)
q : Saya belajar matematika (B)
p Λ q : Sekarang hari Rabu dan saya belajar
matematika (S)

18. Tentukan nilai kebenaran dari kalimat :
“ 2 + 3 = 5 walaupun Jakarta bukan
Ibukota RI “ Gini aja kok
nggak bisa …
Jawab :
P : 2 + 3 = 5 ……………………………..(B)
q : Jakarta bukan Ibukota RI ……….(S)
Jadi 2 + 3 = 5 dan Jakarta bukan Ibukota RI bernilai salah

19. Tentukan nilai x agar kalimat :
“(2x + 1 = 11) Λ 5 adalah bilangan prima”
bernilai benar
p : 2x + 1 = 11
q : 5 adalah bilangan prima
Agar kalimat p Λ q bernilai benar maka p harus
benar.
p : 2x + 1 = 11
2x = 10 → x = 5
Untuk x = 5 maka p : 2x + 1 = 11 bernilai benar,
sehingga p Λ q bernilai benar.

20. E. Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan
kata penghubung atau.
Lambang yang digunakan adalah ν (atau)
p ν q (di baca p atau q)

21. Tabel Kebenaran Disjungsi
p q p ν q
B B B
B S B
S B B
S S S

22. CONTOH :
Tentukan nilai x agar kalimat :
x2 – 4 = 0 ν 1 – (-1) = 0 bernilai salah
Jawab :
p : x2 - 4 = 0
(x – 2) (x + 2) = 0
x = 2 atau x = -2
q : 1 – (-1) = 0 …………….(S)
Kalimat p ν q bernilai salah jika p bernilai salah
Jadi agar x2 - 4 = 0 bernilai salah maka x ≠ ± 2

23. F. Implikasi
Implikasi adalah dua pernyataan p dan q yang
dinyatakan dalam bentuk kalimat “ jika p maka q ”,
dan dilambangkan sebagai p → q
1. p → q dibaca : Jika p maka q ; p hanya jika q ; q jika p atau
p berimplikasi q ; q asal saja p
2. Pernyataan p disebut antesenden/hipotesa/sebab dan q
disebut konsekuen/konklusi/akibat.
3. q merupakan syarat perlu bagi p dan p merupakan syarat
cukup bagi q
4. Bermakna bahwa “ tidak benar bahwa p terjadi tetapi q
tidak terjadi “, ditulis dengan lambang – (p Λ –q)

24. Tabel Kebenaran Implikasi
p q p → q
B B B
B S S
S B B
S S B
Jadi dua pernyataan p → q bernilai salah hanya jika p bernilai
benar disertai q bernilai salah.
Buktikan bahwa p → q Ξ – (p Λ – q)

25. Implikasi Logis
1. p(x) implikasi logis q(x) jika dan hanya jika
untuk setiap x memenuhi p(x) juga
memenuhi q(x)
2. Implikasi yang berbentuk p(x) → q(x) yang
selalu bernilai benar atau suatu tautologi
disebut implikasi logis.

26. Contoh :
Tunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa :
(p → q) → p implikasi logis p
Jawab :
Harus ditunjukkan bahwa ((p → q) → p) → p adalah tautologi
p q p → q (p →q) → p ((p →q) → p)→ p
B B B B B
B S S B B
S B B S B
S S B S B
TAUTOLOGI

27. G. Biimplikasi
Biimplikasi adalah dua pernyataan p dan q
yang dinyatakan dengan lambang p ↔ q
(dibaca p jika dan hanya jika q).
p ↔ q mengandung makna bahwa p → q benar
dan juga q → p benar.
Dengan kata lain p ↔ q merupakan singkatan
dua implikasi p → q dan q → p

28. Tabel Kebenaran Biimplikasi
p q p ↔ q
B B B
B S S
S B S
S S B
Jadi dua pernyataan p ↔ q bernilai BENAR jika p dan q
mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Buktikan bahwa p ↔ q Ξ (p → q) Λ (q → p)

29. Biimplikasi Logis
1. p(x) biimplikasi logis q(x) jika dan hanya jika
untuk setiap x memenuhi p(x) juga
memenuhi q(x), dan sebaliknya untuk setiap
x memenui q(x) juga memenuhi p(x)
2. p(x) biimplikasi logis q(x) selalu bernilai
benar atau suatu tautologi.

30. H. Negasi dari Pernyataan
Majemuk
 Negasi konjungsi : – (p Λ q) ≡ – p ν – q
 Negasi disjungsi : ─ (p ν q) ≡ – p Λ – q
 Negasi implikasi : ─ (p → q) ≡ p Λ – q
 Negasi biimplikasi : ─ (p ↔ q) ≡ p ↔ ─ q ≡
─ p ↔ q

31. Contoh :
Tentukan ingkaran dari “Jika saya rajin belajar
maka saya naik kelas. “
Jawab :
Negasi implikasi : ─ (p → q) ≡ p Λ – q
Jadi Ingkarannya adalah “Saya rajin
belajar tetapi tidak naik kelas”

32. I. Pernyataan Berkuantor
Ada dua macam kuantor yaitu :
a. Kuantor universal dilambangkan dengan
(dibaca untuk setiap atau untuk semua)
b. Kuantor eksistensial dilambangkan dengan
(dibaca terdapat atau ada beberapa)



33. Contoh :
x Є R, x2 ≥ 0, artinya untuk setiap
x Є R berlaku x2 ≥ 0

Contoh :
x Є R, x + 5 < 1 , artinya terdapat x Є R
berlaku x + 5 < 1


34. Negasi Pernyataan Berkuantor
 Negasi dari adalah sedangkan kalimat
terbukanya menjadi ingkaran.
 Negasi dari adalah sedangkan kalimat
terbukanya menjadi ingkaran.

 
 

35. J. Konvers, Invers dan
Kontraposisi
Dari suatu implikasi p → q dapat dibentuk
pernyataan majemuk :
a. q → p disebut konvers
b. ─ p → ─ q disebut invers
c. ─ q → ─ p disebut kontraposisi

36. CONTOH :
Buatlah konvers, invers, kontraposisi
dan ingkaran dari implikasi :
“Jika hari hujan, maka matahari tidak
bersinar.”

37. Jawab :
p = hari hujan, - q = matahari tidak bersinar,
sehingga implikasi semula p → -q
• Konvers – q → p : “Jika matahari tidak
bersinar maka hari hujan”
• Invers –p → q : “ Jika hari tidak hujan maka
matahari bersinar”
• Kontraposisi q → -p : “Jika matahari bersinar
maka hari tidak hujan”
• Ingkarannya p Λ q : “Hari hujan dan matahari
bersinar”

38. K. PENARIKAN KESIMPULAN
a. MODUS PONENS
Premis (1) : p → q (B)
Premis (2) : p (B)
Konklusi : q (B)

39. CONTOH :
Jika tengah malam hujan, maka lapangan basah.
Tengah malam hujan.
Jadi, Lapangan basah.

40. b. MODUS TOLLENS
Premis (1) : p → q (B)
Premis (2) : ─ q (B)
Konklusi : ─ p (B)

41. CONTOH :
1) Jika sekarang hujan, maka saya memakai jas
hujan
2) Saya tidak memakai jas hujan.
Jadi, sekarang tidak hujan.

42. c. SILOGISME
Premis (1) : p → q (B)
Premis (2) : q → r (B)
Konklusi : p → r (B)

43. CONTOH :
Jika rajin belajar, maka nilai ulangan bagus
Jika ulangan bagus, maka naik kelas.
Jadi, jika rajin belajar, maka naik kelas.

44. CONTOH :
Periksa sah atau tidak argumentasi berikut ini :
Jika hari sedang turun hujan, maka pejalan kaki
memakai payung.
Pejalan kaki memakai payung.
Jadi, Hari sedang hujan.

45. Jawab :
p q p → q
B B B
B S S
S B B
S S B
p → q (B)
q (B)
p (S) (tidak sah)

46. CONTOH :
Periksa sah atau tidak argumentasi berikut ini :
Jika Alex orang Eropa, maka rambutnya pirang.
Aleks berambut hitam
Jadi, Alex bukan orang Eropa.

47. Jawab :
− p − q p → q
S S B
S B S
B S B
B B B
p → q (B)
− q (B)
− p (B) (sah)

48. CONTOH :
Periksa sah atau tidak argumentasi berikut ini :
p v q
p
q

49. Jawab :
p q p v q
B B B
B S B
S B B
S S S
p v q (B)
p (B)
q (S) (tidak sah)

50. CONTOH :
Periksa sah atau tidak argumentasi berikut ini :
─ p Λ q
─ p
─ q

51. Jawab :
─ p Λ q (B)
─ p (B)
─ q (S) (tidak sah)
p q ─ p ─ q ─ p Λ q
B B S S S
B S S B S
S B B S B
S S B B S