Teori otomata dan Bahasa penjelasan tentang : - Himpunan & Relasi -Logika GRaph

1. Matematika Dasar
Teori Himpunan
Relasi
Logika
Graph
kelompok : Hilyas Nugraha 12651081
Valdi Adrian Abrar 12651086
Nur Rohman 12651102

2. Teori Himpunan
 Himpunan adalah kumpulan dari obyek. Contoh :
kumpulan dari 4 huruf a,b,c dan d merupakan
himpunan, dimana ditulis sbb:
L = { a, b, c, d }
Untuk mengindikasikan bahwa x merupakan
anggota dari himpunan S, kita tulis x ∈ S,
sedang y bukan merupakan anggota himpunan S,
kita tulis y ∉ S

3. Cara Penulisan Himpunan
 Mendaftarkan semua anggotanya
Contoh:
A = {a,e,i,o,u}
B = {2,3,5,7,11,13,17,19}
 Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya
Contoh:
A = Himpunan vokal dalam abjad latin
B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20
 Menggunakan notasi pembentuk himpunan
Contoh:
P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}
(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14})
Q = { t | t biangan asli}
(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}

4. Definisi – Definisi dari Teori
Himpunan
Himpunan Universal : seluruh elemen yang mungkin
ada U = { 1 , … , 10 }

5. Definisi-definisi pada Teori
Himpunan
 Himpunan bagian (subset)
Jika setiap anggota himpunan A juga merupakan
anggota dari himpunan B, maka dapat dikatakan
bahwa A merupakan ‘himpunan bagian’ dari B, maka
ditulis A ⊆ B.
 Contoh : A = {1,3,5} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka A⊆B.

6. Definisi-definisi pada Teori
Himpunan
 Himpunan disjoint
Jika setiap anggota himpunan A bukan
merupakan anggota dari himpunan B, maka dapat
dikatakan bahwa A bukan merupakan ‘himpunan
bagian’ dari B
 Contoh : A = {1,2,3} dan B = {5,6}. Maka A B = ∅

7. Definisi-definisi pada Teori
Himpunan
 Himpunan Kosong
Merupakan himpunan yang tidak mempunyai
anggota, dilambangkan dengan “∅” atau { }
∅ = {}
S ∪ ∅ = S
S ∩ ∅ = ∅ ∅ = Universal set
S - ∅ = S
∅ - S = ∅

8. Definisi-definisi pada Teori
Himpunan
 Cardinalitas Himpunan
Untuk himpunan yang mempunyai nilai akhir
A = { 2, 5, 7 }
|A| = 3
(ukuran set/himpunan)

9. Definisi-definisi pada Teori
Himpunan
 Powersets
Powerset adalah Himpunan dalam himpunan
S = { a, b, c }
Powerset dari S = himpunan dari seluruh subsets S
Observasi:
2s ={Ø,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

10. Operasi Himpunan
 Gabungan (Union)
Gabungan himpunan A dan B ditulis dengan A ∪
B adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di
A atau berada di B.
Jadi A ∪ B = { x | x ∪ A atau x ∪ B }
 Contoh:
A = {1,2,3} dan B = {2,3,4,5}. Maka A ∪ B = {1,2,3,4,5}

11. Operasi Himpunan
 Irisan (Intersection)
Irisan himpunan A dan B ditulis dengan A B adalah
suatu himpunan yang anggotanya berada di A dan juga
berada di B.
Jadi A ∩ B = { x | x ∩ A dan x ∩ B }
Contoh:
A = {1,2,3} dan B = {2,3,4,5}. Maka A ∩ B = {2,3}

12. Operasi Himpunan
 Selisih (Difference)
Selisih himpunan antara himpunan A dan
himpunan B ditulisdengan A–B, dimana himpunan
yang terdapat pada himpunan A tetapi tidak terdapat
pada himpunan B.
Jadi A-B = { x | x ∈ A atau x ∉ B }
Contoh :
A = {1,2,3} dan B = {2,3,4,5}. Maka A-B = {1}

13. Operasi Himpunan Komplemen
Komplemen dari A ditulis dengan “A“ adalah
himpunan yang anggotanya berada dalam himpunan
semesta tetapi bukan berada di A.
Jadi A = { x | x ∈ S, x ∉ A }
U={1,2,3,...7}. Jika A = {1,2,3} maka A = {4,5,6,7}

14. Cartesian Product
 Perkalian antar himpunan
A = { 2, 4 } B = { 2, 3, 5 }
A X B = { (2, 2), (2, 3), (2, 5), ( 4, 2), (4, 3), (4, 5) }
| A X B |= |A|.|B| → 2 . 3 → 6

15. Relasi
 Relasi antar himpunan S dan T adalah himpunan dari
pasangan berurutan (s,t)
dimana:
s ∈ S (s Anggota dari S)
t ∈ T
 Himpunan dari elemen pertama di sebut “DOMAIN”
dari relasi.
 Himpunan dari elemen kedua disebut “RANGE” dari
relasi.

16.  • Misal S={a,b,c,d,e} dan
 T={w,x,y,z}
 • Relasi yang terjadi:
 R={(a,y),(c,w),(c,z),(d,y)}

17. Logika adalah suatu metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan
penalaran (pemikiran yang masuk akal).
Logika matematika adalah ilmu yang digunakan untuk menentukan nilai
kebenaran dari suatu pernyataan atau penarikan kesimpulan berdasarkan aturan-
aturan dasar yang berlaku.
Logika
Dalam logika Matematika dikenal istilah:
• Kalimat pernyataan
• Kalimat bukan pernyataan
• Kalimat terbuka

18. Operasi logika & PERNYATAAN MAJEMUK
Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan
tunggal yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung dalam suatu operasi
logika. Beberapa operasi logika tersebut adalah :
a. Negasi (ingkaran/ tidak)
b. Disjungsi (atau)
c. Konjungsi (dan)
d. Implikasi (jika... maka...)
e. Biimplikasi (... jika dan hanya jika ...)
NEGASI
BIIMPLIKASI
DISJUNGSI
KONJUNGSI
IMPLIKASI

19. negasi
p ~p
B
S
S
B
Contoh:
p: 7 adalah bilangan prima , maka ~p: 7 bukan bilangan prima
q : 3+2 sama dengan 6 , maka ~q: 3+2 tidak sama dengan 6
Tabel kebenarannya :
Jika p merupakan sebuah pernyataan, maka ingkaran atau negasi dari p ditulis
dengan lambang ~p.

20. DISJUNGSI
p q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
B
B
S
qp
Disjungsi adalah gabungan dari dua pernyataan yang dirangkai dengan
menggunakan kata hubung atau.
Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q, ditulis dengan lambang:
Disjungsi p ν q bernilai benar jika salah satu p atau q atau keduanya adalah benar;
disjungsi bernilai salah hanya jika p dan q bernilai salah. Tabel kebenaran disjungsi
sebagai berikut:
qp
dibaca p atau q

21. CONTOH disjungsi
p : Saya rajin belajar
q : Saya lulus UN
pvq : Saya rajin belajar atau saya lulus UN
p : 2 adalah bilangan prima
q : 2 adalah bilangan genap
pvq : 2 adalah bilangan prima atau 2 adalah bilangan genap
p : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15
q : 15 adalah bilangan prima
pvq : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15 atau 15 adalah bilangan prima
p : 15 adalah bilangan prima
q : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15
pvq : 15 adalah bilangan prima atau faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15
p : 9 adalah bilangan prima
q : 9 adalah bilangan genap
pvq : 9 adalah bilangan prima atau 9 adalah bilangan genap
(benar)
(benar)
(benar)
(benar)
(salah)
(benar)
(salah)
(benar)
(benar)
(salah)
(salah)
(salah)
1.
2.
3.
4.
5.

22. p q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
Konjungsi
Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan yang dirangkai
dengan kata hubung dan.
Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q, ditulis dengan lambang:
qp Dibaca p dan q
Konjungsi bernilai benar jika p dan q keduanya adalah benar; konjungsi bernilai
salah jika salah satu p atau q (atau keduanya) adalah salah. Tabel kebenarannya
adalah:
qp

23. CONTOH Konjungsi
p : Pagi ini udaranya segar
q : Matahari bersinar terang
p˄q : Pagi ini udaranya segar dan matahari bersinar terang
p : 2 adalah bilangan prima
q : 2 adalah bilangan genap
p˄q : 2 adalah bilangan prima dan 2 adalah bilangan genap
p : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15
q : 15 adalah bilangan prima
p˄q : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15 dan 15 adalah bilangan prima
p : 15 adalah bilangan prima
q : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15
p˄q : 15 adalah bilangan prima dan faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15
p : 9 adalah bilangan prima
q : 9 adalah bilangan genap
p˄q : 9 adalah bilangan prima dan 9 adalah bilangan genap
(benar)
(benar)
(benar)
(benar)
(salah)
(salah)
(salah)
(benar)
(salah)
(salah)
(salah)
(salah)
1.
2.
3.
4.
5.

24. IMPLIKASI
p q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
qp
Implikasi atau Kondisional adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua
pernyataan p dan pernyataan q dalam bentuk jika p maka q.
Implikasi jika p maka q ditulis dengan lambang:
qp
Dibaca jika p maka q atau
p hanya jika q
q jika p
p syarat cukup bagi q
q syarat perlu bagi p
Tabel kebenaran implikasi
adalah sebagai berikut:

25. CONTOH Implikasi
p : Kamu lulus ujian
q : Kamu diberi hadiah
: Jika kamu lulus ujian maka kamu diberi hadiah
p : 2 adalah bilangan genap
q : 2 + 3 adalah 5
: Jika 2 adalah bilangan genap maka 2 + 3 adalah 5
p : 2 adalah bilangan genap
q : 2 + 3 adalah 7
: Jika 2 adalah bilangan genap maka 2 + 3 adalah 7
p : 2 + 3 adalah 7
q : 2 adalah bilangan genap
: Jika 2 + 3 adalah 7 maka 2 adalah bilangan genap
p : 2 + 3 adalah 7
q : 2 adalah bilangan ganjil
: Jika 2 + 3 adalah 7 maka 2 adalah bilangan ganjil
(benar)
(benar)
(benar)
(benar)
(salah)
(salah)
(salah)
(benar)
(benar)
(salah)
(salah)
(benar)
1.
2.
3.
4.
5.
qp
qp
qp
qp
qp

26. BIIMPLIKASI
p q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
B
qp
Biimplikasi atau disebut juga Bikondisional adalah hubungan pernyataan-
pernyataan p dan q yang dituliskan sebagai berikut:
qp
dibaca :
p jika dan hanya jika q
Jika p maka q dan jika q maka p
p syarat perlu dan cukup bagi q
q syarat perlu dan cukup bagi p
Tabel kebenaran

27. CONTOH biImplikasi
p : Kucing termasuk karnivora
q : Kucing pemakan daging
: Kucing termasuk karnivora jika dan hanya jika kucing pemakan daging
(benar)
(benar)
(benar)
(benar)
(salah)
(salah)
(salah)
(benar)
(salah)
(salah)
(salah)
(benar)
1.
2.
3.
4.
5.
p : 2 adalah bilangan genap
q : 2 x 3 = 6
: 2 adalah bilangan genap jika dan hanya jika 2 x 3 = 6
p : 2 adalah bilangan genap
q : 2 x 3 = 5
: 2 adalah bilangan genap jika dan hanya jika 2 x 3 = 5
p : 2 adalah bilangan ganjil
q : 2 x 3 = 6
: 2 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 2 x 3 = 6
p : 2 adalah bilangan ganjil
q : 2 x 3 = 5
: 2 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 2 x 3 = 5
(benar)
(benar)
(benar)qp
qp
qp
qp
qp

28. Graph
Secara matematis, graph didefinisikan sebagai berikut:
Graph G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) yang
dalam hal ini:
V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (vertices atau
node) = {v1,v2, ... , vn}
E = himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan
sepasang simpul = {e1,e2, ..., en} atau dapat ditulis singkat notasi
G = (V,E)
Menyatakan bahwa V tidak boleh kosong, sedangkan E
boleh kosong. Jadi, sebuah graph dimngkinkan tidak
mempunyai sisi satu buah pun. Tetapi simpulnya harus
ada, minimal satu. Graph yang hanya mempunyai satu buat
simpul tanpa sebuah sisi pun dinamakan graf trivial.

29. Simpul pada graph dapat dinomori dengan huruf
seperti a, b, c, ..., dengan bilangan asli 1, 2, 3, ..., atau
gabungan keduanya. Sedangkan sisi yang menghubungkan
simpul vi dengan simpul vj dinyatakan dengan pasangan
(vi, vj) atau dengan lambang e1, e2, ... Dengan kata ain jika
e adalah sisi yang menghubungkan simpul vi dengan
vj, maka e dapat ditulis sebagai: e = (v1,vj)
Tiga buah graph (a) graph sederhana , (b) graph ganda dan
(c)graph semu

30. Gambar di atas memperlihatkan tiga buah graph G1,G2, dan G3. G1
adalah graph dengan himpunan simpul V dan himpunan E adalah
V = {1,2,3,4}
E = {(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4)}
G2 adalah graph dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E adalah:
V = {1,2,3,4}
E = {(1,2),(2,3),(1,3),(1,3),(2,4),(3,4),(3,4)} -> Himpunan Ganda
= {e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}
G3 adalah graph dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E adalah:
V = {1,2,3,4}
E = {(1,2),(2,3),(1,3),(1,3),(2,4),(3,4),(3,4),(3,3)} -> Himpunan ganda
= {e1,e2,e3,e3,e4,e5,e6,e7,e8}
Pada G2, sisi e3 = (1,3) dan sisi e4 = (1,3) dinamakan sisi-ganda karena kedia sisi
ini menghubung dua buah simpul yang sama, yaitu simpul 1 dan simpul 3.
pada G3, sisi e8 = (3,3) dinamakan gelang atau loop karena ia berawal dan
berakhir pada simpul yang sama

32. Contoh Graph
 Misalkan :
V = {1,2,3,4} dan E = {e₁, e₂, e₃, e₄, e₅}
dengan ℓ didefinisikan sbb:
ℓ (e₁) = ℓ (e₅) = {1,2}
ℓ (e₂) = {4,3}
ℓ (e₃) = {1,3}
ℓ (e₄) = {2,4}

33. • Graph untuk G ={V,E} sbb:

34. Definisi-definisi dalam Graph
 Derajat dari node: derajat dari suatu node dihitung
dari jumlah busur yang terhubung dengan node itu.
Contoh derajat node 1 adalah 3.
 Grap terhubung: jika setiap pasang simpul x dan y,
terdapat lintasan dari simpul x ke simpul y.
 Panjang lintasan: banyaknya sisi yang dilalui lintasan
tsb.

35. Definisi-definisi dalam Graph
 Lintasan: urutan node, atau sisi yang dibentuk dari
satu simpul ke simpul yang lain (rangkaian node yang
terhubung dengan busur).

36. Definisi-definisi dalam Graph
 Path: lintasan dimana tidak ada node yang diulang

37. Definisi-definisi dalam Graph
 Sirkuit/cycle: lintasan yang memiliki node awal dan
node akhir yang sama (lintasan yang kembali ke node
awal).