Dokumen ini menjelaskan penyelesaian pertidaksamaan dan konsep nilai mutlak. Terdapat berbagai contoh yang menunjukkan cara menyelesaikan pertidaksamaan, interval dari solusi, serta penerapan teorema Pythagoras dan konsep geometri. Selain itu, dokumen juga mencakup cara menentukan persamaan garis, baik sejajar maupun tegak lurus, serta persamaan lingkaran.

1. 0.2 Pertaksamaan dan Nilai
Mutlak

2. 3x – 17 = 6 atau x2 – x – 6 = 0
3x – 17 < 6 atau x2 – x – 6 ≤ 0)?
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan berarti mencari
himpunan semua bilangan real yang membuat
pertidaksamaan tersebut benar.
Penyelesaian suatu pertidaksamaan biasanya berupa seluruh
interval bilangan atau, dalam beberapa kasus, gabungan dari
interval-interval tersebut.

3. Interval
Pertidaksamaan x yang sebenarnya merupakan dua
pertidaksamaan, a < x dan x < b, menggambarkan
INTERVAL TERBUKA yang terdiri dari semua bilangan
antara a dan b, tidak termasuk titik akhir a dan b.
Interval ini dilambangkan dengan
(a,b)

4. Interval
Sebaliknya, pertidaksamaan x menggambarkan
INTERVAL TERTUTUP yang bersangkutan, yang
mencakup titik akhir a dan b. Interval ini dilambangkan
dengan [a,b]

6. Menyelesaikan pertidaksamaan
CONTOH 1
Selesaikan pertidaksamaan 2x – 7 < 4x – 2
Jawab:
2x – 7 < 4x – 2
2x < 4x + 5 (tambah 7)
-2x <5 (tambah -4x)
X > − 5
2 (kalikan − 1
2)

7. Menyelesaikan pertidaksamaan
CONTOH 2
Selesaikan pertidaksamaan -5 ≤ 2x + 6 < 4
Jawab:
-5 ≤ 2x + 6 < 4
-11 ≤ 2x < -2 (tambah -6)
− 11
2 ≤ x < -1 (kalikan 1
2)

8. Menyelesaikan pertidaksamaan
Diketahui hasil kali (x-a)(x-b) dapat berubah dari
positif menjadi negatif, atau sebaliknya hanya
pada a atau b. Titik-titik yang faktornya nol
disebut TITIK PEMISAH (SPLIT POINTS)

9. Menyelesaikan pertidaksamaan
CONTOH 3
Selesaikan pertidaksamaan x2 – x < 6
x2 – x < 6
x2 – x- 6 < 0 (tambah -6)
(x – 3 )(x + 2) < 0 (faktorkan)
Titik pisahnya adalah 3 dan 2

10. Menyelesaikan pertidaksamaan
Untuk menemukan tanda di
setiap interval, kita menggunakan
TITIK UJI (TEST POINT) -3, 0, dan 5
(titik mana pun di ketiga interval
bisa digunakan)
Kita simpulkan bahwa himpunan
solusi untuk x adalah interval
(-2,3)

11. Menyelesaikan pertidaksamaan
CONTOH 4
Selesaikan pertidaksamaan 3x2 - x - 2 > 0
Jawab:
3x2 – x - 2 < 6
(3x2 + 2)- (x-1) < 0
3(x– 1 )(x +2
3)< 0
Titik pisahnya adalah 1 dan -2
3

12. Menyelesaikan pertidaksamaan
Titik ujinya 2, 0, dan 2
Sehingga himpunan penyelesaian pertidaksamaan
tersebut terdiri dari titik-titik di (-∞, -2
3) atau (1, ∞).
Dalam bahasa himpunan, himpunan solusinya adalah
UNION (disimbolkan dengan U) dari kedua interval
tersebut, yaitu (-∞, -2
3) U (1, ∞).

13. Menyelesaikan pertidaksamaan
CONTOH 5
Selesaikan pertidaksamaan
𝑥−1
𝑥+2
≥ 0
Titik pisahnya adalah 1 dan -2
Titik ujinya adalah -3, 0, dan 2
Simbol u artinya hasil bagi tidak
terdefinisi pada -2
Himpunan solusinya
(-∞, -2) U [1, ∞).

14. Menyelesaikan pertidaksamaan
CONTOH 5
Selesaikan pertidaksamaan
𝑥−1
𝑥+2
≥ 0
Titik pisahnya adalah 1 dan -2
Titik ujinya adalah -3, 0, dan 2
Simbol u artinya hasil bagi tidak
terdefinisi pada -2
Himpunan solusinya
(-∞, -2) U [1, ∞).

15. Menyelesaikan pertidaksamaan
CONTOH 6
Selesaikan pertidaksamaan (x+1)(x-1)2 (x-3) ≤ 0
Titik pisahnya adalah 1, 1 dan 3
Titik ujinya -2, 0, 2, dan 4
Himpunan solusinya [-1,3]

16. Menyelesaikan pertidaksamaan
CONTOH 7
Selesaikan pertidaksamaan 2.9 < 1
𝑥 < 3.1
Jawaban
 x < 1
2.9 dan 1
3.1 < x
 1
3.1 < x < 1
2.9
 10
31 < x < 10
29
 2.9 < 1
𝑥 < 3.1
 2.9x < 1< 3.1x
 2.9x < 1 dan 1 < 3.1x

17. Menyelesaikan pertidaksamaan
Titik pisahnya adalah 10
31 dan 10
29
Himpunan solusinya [10
31, 10
29]

18. Nilai Mutlak
Nilai mutlak sebuah bilangan real x, dinotasikan 𝑥
didefinisikan sebagai
𝒙 = x jika x ≥ 0
𝒙 = -x jika x < 0

19. Sifat-sifat Nilai Mutlak
1. ab = a b
2.
a
b
=
a
b
3. a + b ≤ a + b (Pertaksamaan Segitiga)
4. a − b ≥ a − b

20. Pertaksamaan Melibatkan Nilai Mutlak
Ketika a > 0
(1) 𝑥 < 𝑎 ⇔ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎
𝑥 > 𝑎 ⇔ 𝑥 < −𝑎 atau 𝑥 > 𝑎

21. Menyelesaikan pertidaksamaan
CONTOH 8
Selesaikan pertidaksamaan x − 4 < 2 dan tunjukkan
himpunan penyelesaiannya. Interpretasikan nilai
mutlak sebagai jarak
Jawab:
Dari persamaan (1), mengganti x dengan x − 4 ,
diperoleh
𝑥 − 4 < 2⇔ −2 < 𝑥 − 4 < 2
⇔ 2 < 𝑥 < 6

22. Menyelesaikan pertidaksamaan
Pertidaksamaan tersebut
menjelaskan jarak antara x dan 4
adalah lebih kecil dari 2.
Himpunan penyelesaiannya
2 < x < 6

23. Menyelesaikan pertidaksamaan
CONTOH 9
Selesaikan pertidaksamaan 3x − 5 ≤ 1
Jawab:
3x − 5 ≤ -1 atau 3x − 5 ≥ 1
3x ≤ 4 atau 3x ≥ 6
x ≤
4
3
atau x ≥ 2
Solusi himpunan yaitu (-∞,
4
3
) U [2, ∞)

24. Menyelesaikan pertidaksamaan
CONTOH 10
Misalkan ε (epsilon) adalah bilangan positif. Tunjukkan
x − 2 <
ε
5
⇔ 5x − 10 < ε
Jawab
x − 2 <
ε
5
⇔ 5 x − 2 < ε (kalikan 5)
⇔ 5 x − 2 < ε ( 5 =5)
⇔ 5(x − 2) < ε ( 𝑎 𝑏 = 𝑎𝑏 )
⇔ 5x − 10 < ε

25. CONTOH 11
Misalkan ε adalah bilangan positif. Carilah bilangan
positif δ (delta) sedemikian hingga
x − 3 < δ⇒ 6x − 18 < ε
Jawab
6x − 18 < ε ⇔ 6(x − 3) < ε (kalikan 5)
⇔ 6 x − 3 < ε ( 𝑎 𝑏 = 𝑎𝑏 )
⇔ x − 3 <
ε
6
(kalikan
1
6
)
Oleh sebab itu, dipilih δ/6. Sehingga
x − 3 < δ⇒ x − 3 <
ε
6
⇒ 6x − 18 < ε

26. CONTOH 12
Sebuah gelas kimia berukuran
1
2
liter
(500 cm3) mempunyai jari-jari dalam 4
cm. Seberapa dekat kita harus
mengukur tinggi h air di dalam gelas
kimia untuk memastikan bahwa kita
mempunyai
1
2
liter air dengan
kesalahan kurang dari 1%, yaitu
kesalahan kurang dari 5 sentimeter
kubik?

27. Jawab
V= π r2 h
V=π 16 h. Kita ingin V − 500 < 5, atau, sama dengan
π 16 h − 500 < 5. Maka
π 16 h − 500 < 5 ⇔ 16π(ℎ −
500
16π
) < 5
⇔ 16π ℎ −
500
16π
< 5
⇔ ℎ −
500
16π
<
5
16π
⇔ ℎ − 9.947 < 0.09947 ≈ 0.1
Jadi, kita harus mengukur tingginya dengan ketelitian sekitar 0,1
sentimeter, atau 1 milimeter

28. Rumus Kuadrat
Solusi dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 sebagi
berikut
Bilangan d = b2 -4ac disebut DISKRIMINAN persamaan
kuadrat.

29. CONTOH 13
Selesaikan x2 -2x – 4 ≤ 0
Jawab:
dan
Sehingga,
x2 -2x – 4 ≤ 0 = (x- 𝑥1)(x- 𝑥2) = (x-1 + 5)(x-1 − 5)

30. CONTOH 13
Titik pisah 1 − 5 dan 1 + 5. Ketika titik uji -2, 0, dan 4, diperoleh bahwa
solusi himpunan dari x2 -2x – 4 ≤ 0 adalah [1 − 5 dan 1 + 5]

31. Kuadrat
Perhatikan bahwa
dan

32. CONTOH 14
Selesaikan pertaksamaan 3x + 1 < 2 x − 6
Jawab:
3x + 1 < 2 x − 6 ⇔ 3x + 1 < 2x − 12
⇔ (3x + 1)2 < (2x − 12)2
⇔ 9𝑥2 + 6𝑥 + 1 < 4𝑥2 - 48𝑥 + 144
⇔ 5𝑥2 + 54𝑥 + 143 < 0
⇔ (x + 13)(5x-11) < 0
Titik pisahnya adalah -13 dan
11
55
. Ketika digunakan titik uji -14, 0, dan 3,
diperoleh solusi himpunan adalah (-13,
11
5
)

33. 0.3 Sistem Koordinat
Persegi Panjang

35. Rumus Jarak
Berdasarkan Teorema
Pythagoras yang menyatakan
bahwa jika a dan b mengukur
dua kaki suatu segitiga siku-
siku dan c mengukur sisi
miring

36. Rumus Jarak
Ketika menerapkan
Teorema Pythagoras
maka akan diperoleh
Rumus Jarak

37. Contoh 1
Tentukan jarak antara
(a) P (-2,3) dan Q (4,-1) (b) P ( 2, 3) dan Q (π, π)
Jawab

38. Persamaan Lingkaran
Misalkan (x,y) menunjukkan sebarang titik
pada lingkaran. Dengan Rumus Jarak
Dengan melakukan kuadrat kedua sisi
Secara umum, lingkaran dengan jari-jari r
dan pusat (h,k) memiliki persamaan
(1)
Persamaan ini disebut dengan persamaan
standar lingkaran

39. Contoh 2
Tentukan persamaan standar lingkaran yang berjari-jari 5
dan pusat (1,-5). Tentukan juga koordinat y dari dua titik
pada lingkaran ini dengan koordinat x 2.
Jawab
Persamaan yang diinginkan adalah
Untuk menyelesaikan tugas kedua, kita substitusikan x = 2
ke dalam persamaan dan selesaikan y

40. Contoh 2
Jika kita memperbesar dua kuadrat dalam kotak
persamaan (1) dan menggabungkan konstanta, maka
persamaan tersebut akan berbentuk

41. Contoh 3
Tunjukkan bahwa persamaan
Menggambarkan sebuah lingkaran, dan cari pusan dan jari
jari.
Jawab
Tambahkan ke dan tambahkan
ke dan tambahkan pada sisi kanan persamaan

42. Contoh 3
Diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat (1,-3) dan
jari-jari 2. Jika, hasil dari perhitungan, kita mendapatkan
bilangan negatif di sisi kanan persamaan akhir,
persamaan tersebut tidak akan mewakili kurva apa pun.
Jika kita menghasilkan nol, persamaannya akan mewakili
satu titik (1,-3)

43. Formula Titik Tengah
Titik tengah ruas garis yang
menghubungkan
dan adalah

44. Contoh 4
Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki segmen
dari (1,3) sampai (7,11) sebagai diameter
Jawab
Pusat lingkaran berada di titik tengah diameternya,
sehingga pusatnya mempunyai koordinat
Panjang diameter yang didapat dari rumus jarak adalah
jadi jari-jari lingkarannya adalah 5. Persamaan
lingkarannya adalah

45. Garis
Untuk garis melalui A(x1, y1)
dan B(x2,y2), dimana 𝑥1 ≠ 𝑥2,
didefinisikan SLOPE m dari
garis dengan

46. Bentuk Titik-Slope
Garis yang melewati titik (x1,y1), dengan slope m memiliki
persamaan
kita sebut ini dengan titik slope dari persamaan sebuah
garis.

47. Contoh 5
Carilah persamaan garis yang melalui (-4,2) dan (6,-1)
Jawab
Slope . Maka, menggunakan (-4,2) sebagai
titi point, maka diperoleh persamaan

48. Bentuk Slope-Intercept
Pilih (0,b) sebagai (x1,y1) dan
terapkan pada bentuk titik-
slope, maka diperoleh
y - b = m(x - 0)
yang dapat ditulis

49. Persamaan Garis Vertikal
Persamaan garis vertikal
apa pun dapat berbentuk
x = k, dengan k adalah
konstanta. Perlu
diperhatikan bahwa
persamaan garis horizontal
dapat ditulis dalam bentuk
y = k

50. Bentuk Ax + By + C = 0
Semua bentuk
Ax + By + C = 0, A dan B tidak 0
Persamaan ini disebut persamaan linier umum

51. Garis Parallel
Dua garis yang tidak mempunyai titik persekutuan
dikatakan sejajar

52. Contoh 6
Temukan persamaan garis melalui (6,8) yang parallel
pada garis dengan persamaan 3x – 5y = 11
Jawab
Ketika menyelesaikan 3x – 5y = 11 untuk y, diperoleh
y = 3
5
x- 11
5
, sehingga slope dari garis adalah 3
5
. Maka
persamaan yang diinginkan adalah
y – 8 = 3
5
(x - 6)
atau, sama dengan, y = 3
5
x- 22
5
.

53. Garis Tegak Lurus
Untuk membuat bukti geometri bahwa dua garis
(nonvertikal) tegak lurus jika dan hanya jika
𝑚2 = −1/𝑚1

54. Contoh 7
Carilah persamaan garis
yang melalui titik potong
garis dengan persamaan 3x
+ 4y = 8 dan 6x - 10y = 7
yang tegak lurus garis
pertama kedua garis
tersebut

55. Contoh 7
Jawab
Untuk mencari titik potong kedua garis, kita kalikan
persamaan pertama dengan -2 dan tambahkan ke
persamaan kedua

56. Contoh 7
Mengganti 𝑦 =
3
5
ke salah satu persamaan awal akan
menghasilkan x = 2. Titik potongnya adalah (2, 1
2
). Saat
kita menyelesaikan persamaan pertama untuk y (untuk
memasukkannya ke dalam bentuk perpotongan
kemiringan), kita mendapatkan 𝑦 = −
3
4
𝑥 + 2 . Sebuah
garis yang tegak lurus terhadapnya mempunyai
kemiringan −
4
3
. Persamaan garis yang diperlukan adalah
y −
1
2
=
4
3
(𝑥 − 2)