Penarikan kesimpulan dari premis-premis p V q dan ~q menyimpulkan p.

1. 1

2. MATERI INTI :
I.Proposisi (pernyataan), perangkai kalimat,
ingkaran (negasi), operasi pada proposisi,
dan tabel kebenaran; invers, konvers,
kontraposisi; tautologi dan kontradiksi;
Penarikan kesimpulan
II. Metode deduksi : pembuktian langsung
dan tak langsung, pembuktian dengan
induksi matematik; kuantor universal dan
eksistensial; dan pengantar logika
aksiomatik.
2

3. MATERI I
3

4. Logika Matematika
Logika merupakan alat untuk
menarik kesimpulan yang
sahih (sah)
4

5. Pernyataan/Proposisi
Definisi : Suatu pernyataan
(statement) adalah suatu kalimat deklaratif
yang bernilai benar saja, atau salah saja,
tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
5

6. Pernyataan/Proposisi
Kalimat yang mempunyai salah satu
dari nilai benar atau salah
disebut proposisi atau pernyataan.
Pernyataan ditulis dengan
huruf kecil p, q, r dan seterusnya
6

7. Contoh :
1. 4 kurang dari 5
2. Indonesia terdiri atas 33 propinsi
3. 2 adalah bilangan prima yang genap
4. 3 adalah bilangan genap
dan tidak akan dibicarakan kalimat-kalimat seperti :
5. Berapa umurmu ? (Kalimat tanya)
6. Bersihkan tempat tidurmu ! (Kalimat perintah)
7. Sejuk benar udara di sini ! (Kalimat ungkapan
perasaan)
8. Mudah-mudahan terkabul cita-citamu. (Kalimat
pengharapan) 7

8. Dari contoh-contoh di atas,
: kalimat 1, 2, dan 3, bernilai benar,
: sedang kalimat 4 bernilai salah.
: Kalimat 5, 6, 7, dan 8, tidak dapat
ditentukan nilai benar atau salahnya.
: Nilai benar artinya ada kesesuaian antara
yang dinyatakan oleh kalimat itu dengan
keadaan sesungguhnya (realitas yang
dinyatakannya), yaitu benar dalam arti
matematis.
8

9. Ingkaran Pernyataan
Negasi atau ingkaran dari
pernyataan p, ditulis ~p
adalah pernyataan lain yang
menyangkal pernyataan yang
diberikan
9

10. Tabel Kebenaran Ingkaran
p ~p
B S
S B
Contoh:
p : hari ini hujan
~p : hari ini tidak hujan
atau
tidak benar hari ini hujan
10

11. Pernyataan Majemuk
adalah pernyataan baru yang
dibentuk dari beberapa pernyataan
tunggal (komponen) dengan
menggunakan kata hubung logika
Seperti: ‘dan’, ‘atau’, ‘jika…maka…’,
atau ‘…jika dan hanya jika…’
11

12. Nilai Kebenaran
Pernyataan Majemuk
tergantung:
▪ nilai kebenaran dari pernyataan
tunggalnya (komponennya)
▪ kata hubung logika yang digunakan
12

13. Konjungsi
Pernyataan majemuk yang dibentuk
dari pernyataan-pernyataan p dan q
dengan menggunakan
kata hubung logika ‘dan’.
Konjungsi “p dan q”
dilambangkan “p Λ q”
13

14. Tabel Kebenaran Konjungsi
p q pΛq
B B B
B S S
S B S
S S S
‘p Λ q’ bernilai benar hanya apabila
p dan q sama-sama bernilai benar
14

15. Disjungsi
Pernyataan majemuk yang dibentuk
dari pernyataan-pernyataan p dan q
dengan menggunakan
kata hubung logika ‘atau’.
Disjungsi “p atau q”
dilambangkan “p V q”
15

16. Tabel Kebenaran Disjungsi
p q pVq
B B B
B S B
S B B
S S S
‘p V q’ bernilai salah hanya apabila
p dan q sama-sama bernilai salah
16

17. Implikasi
Pernyataan majemuk yang disusun
dari pernyataan-pernyataan p dan q
dalam bentuk ‘jika p maka q’
Implikasi “Jika p maka q”
dilambangkan “p → q”
17

18. Tabel Kebenaran Implikasi
p q p→q
B B B
B S S
S B B
S S B
‘p → q’ bernilai salah apabila
p bernilai benar dan q bernilai salah
18

19. Biimplikasi
Pernyataan majemuk yang disusun
dari pernyataan-pernyataan p dan q
dengan kata hubung
‘jika dan hanya jika’
Biimplikasi “p jika dan hanya jika q”
dilambangkan “p ↔ q”
19

20. Tabel Kebenaran Biimplikasi
p q p↔q
B B B
B S S
S B S
S S B
‘p ↔ q’ bernilai benar apabila
p dan q keduanya bernilai
benar atau salah
20

21. Contoh 1
Kalimat (p → q) → r bernilai benar
Jika
(1) p benar, q salah, r salah
(2) p salah, q benar, r salah
(3) p salah, q salah, r benar
(4) p salah, q salah, r salah
21

22. Jawab
Pernyataan p q (p →q ) r (p → q) → r
ke
1 B S S S B
2 S B B S S
3 S S B B B
4 S S B S
S
Jadi, pernyataan yang benar
adalah pernyataan (1) dan (3)
22

23. Contoh 2
Diberikan empat pernyataan p, q, r,
dan s. Jika pernyataan berikut benar
p ↔ q, q → r, r → s
dan s pernyataan yang salah,
maka di antara pernyataan berikut
yang salah adalah….
a. ~p b. ~r c. ~q
d. p Λ r e. p V ~r
23

24. Jawab
s pernyataan yang salah
r → s benar; berarti r salah
q → r benar; berarti q salah
p ↔ q benar; berarti p salah
Jadi, ~p benar; ~r benar; ~q benar
p Λ r salah; → jawaban d
p V ~r benar
24

25. NEGASI
dari
PERNYATAAN MAJEMUK
25

26. Ekivalensi
Pernyataan Majemuk
Dua pernyataan majemuk
yang ekivalen
adalah dua pernyataan majemuk
yang mempunyai nilai kebenaran
yang sama
26

27. Pernyataan Ekivalen
1. ~(p Λ q) ≡ ~p V ~q
2. ~(p V q) ≡ ~p Λ ~q
3. p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V (p Λ r)
4. p V (q Λ r) ≡ (p V q) Λ (p V r)
27

28. Pernyataan Ekivalen
5. p → q ≡ ~p V q
6. ~(p → q) ≡ p Λ ~q
7. p↔q ≡ (p → q) Λ (q → p)
≡ (~p V q) Λ (~q V p)
8. ~(p ↔ q) ≡ (p Λ ~q) V (q Λ ~p)
28

29. Contoh 1:
Ingkaran yang benar dari pernyataan
“Saya lulus Ujian Nasional dan saya
senang”
adalah….
29

30. (1). Saya tidak lulus Ujian Nasional
dan saya tidak senang
(2). Tidak benar bahwa saya lulus Ujian
Nasional dan saya senang
(3). Saya lulus Ujian Nasional dan
saya tidak senang
(4) Saya tidak lulus Ujian Nasional
atau saya tidak senang
30

31. Jawab:
Ingkaran p Λ q adalah
~(p Λ q) ≡ ~p V ~q
Jadi pernyataan yang benar
adalah
(2) Tidak benar saya lulus Ujian
nasional dan saya senang
(4) Saya tidak lulus Ujian Nasional
atau saya tidak senang
31

32. Contoh 2:
Ingkaran dari (p Λ q) → r adalah….
a. ~p V ~q V r b. (~p Λ ~q) V r
c. p Λ q Λ ~r d. ~p Λ ~q Λ r
e. (~p V q) Λ r
Jawab: ingat bahwa: ~(p→q) ≡ p Λ ~q
~[(p Λ q) → r] ≡ (p Λ q) Λ ~r
≡ p Λ q Λ ~r
Jadi, jawabannya adalah c
32

33. Contoh 3:
Ingkaran pernyataan:
“Jika guru tidak hadir maka semua
murid senang” adalah….
a. Guru hadir dan semua murid tidak
senang
b. Guru hadir dan ada beberapa murid
senang
c. Guru hadir dan semua murid senang
33

34. d. Guru tidak hadir dan ada beberapa
murid tidak senang
e. Guru tidak hadir dan semua murid
tidak senang
Jawab:
Ingat bahwa: ~(p → q) ≡ p Λ ~q
Jadi ingkaran dari “Jika guru tidak hadir
maka semua murid senang” adalah
“guru tidak hadir dan ada beberapa
murid tidak senang” → jawaban d
34

35. Konvers, Invers, dan
Kontraposisi
Jika diketahui implikasi p → q maka:
Konversnya adalah q→p
Inversnya adalah ~p → ~q
Kontraposisinya adalah ~q → ~p
Catatan: p → q ≡ ~q → ~p
35

36. Contoh 1:
~p → q mempunyai nilai kebenaran
sama dengan….
(1). p V q (2). p Λ q
(3). ~q → p (4). ~q Λ ~p
Jawab:
ingat bahwa: p → q ≡ ~p V ~q
≡ ~q → ~p
~p → q ≡ ~q → p… (3)
≡ p V q … (1)
36

37. Contoh 2:
Pernyataan berikut yang ekivalen
dengan:
“Jika p benar maka q salah” adalah….
a. p benar atau q salah
b. Jika q salah maka p benar
c. Jika p salah maka q benar
d. Jika q benar maka p salah
e. Jika q benar maka p benar
37

38. Jawab:
Implikasi p → q ekivalen dengan
Kontraposisi ~q → ~p dan ~p V q
Jadi “Jika p benar maka q salah”
ekivalen dengan
“Jika q benar maka p salah”
atau
“p salah atau q salah”
38

39. Penarikan Kesimpulan
menentukan pernyataan nilai
(konklusi) dari pernyataan-
pernyataan (premis) melalui
aturan tertentu
39

40. Suatu kesimpulan (konklusi)
dianggap sah jika:
▪ implikasi dari konjungsi premisnya
dengan konklusinya adalah tautologi
(selalu benar untuk semua kondisi)
▪ Konjungsi semua premisnya
benar maka konklusinya benar
40

41. Penarikan Kesimpulan
yang sah
Di dalam logika matematika ada
beberapa penarikan kesimpulan
yang sah, di antaranya adalah
41

42. 1. Modus Ponens:
p → q (premis 1 = benar)
p (premis 2 = benar)
∴
q (konklusi benar)
Contoh:
Jika hujan lebat maka terjadi banjir
∴ ini hujan lebat
Hari
Terjadi banjir 42

43. 2. Modus Tollens:
p → q (premis 1 = benar)
~q (premis 2 = benar)
∴
~p (konklusi benar)
Contoh:
Jika BBM naik maka ongkos bis naik
∴
Ongkos bis tidak naik
BBM tidak naik 43

44. 3. Silogisme:
p → q (premis 1 = benar)
q → r (premis 2 = benar)
∴
p → r (konklusi benar)
Contoh:
Jika Budi rajin belajar maka lulus UN
Jika lulus UN maka orangtua senang
∴Jika Budi rajin belajar maka
orangtua senang
44

45. Soal 1:
Diketahui pernyataan p dan q
Argumenatsi: ~p → q
~r → ~q
∴ r→p
disebut….
a. Implikasi b. Kontraposisi
c. Modus ponens d. Modus tollens
e. silogisme
45

46. Bahasan
Argumentasi:
~p → q ~p → q
~r → ~q ≡ q → r (kontraposisi)
∴ ~r → p ∴~p → r
≡ ~r → p (kontraposisi)
Jadi, disebut silogisme
jawaban e
46

47. Soal 1:
Diketahui pernyataan p dan q
Argumenatsi: ~p → q
~r → ~q
∴ r→p
disebut….
a. Implikasi b. Kontraposisi
c. Modus ponens d. Modus tollens
e. silogisme
47

48. Soal 2
Penarikan kesimpulan dari premis-
premis: p V q
~q
∴ ….
a. p
b. ~p
c. q
d. ~(p V q)
e. ~ q
48

49. Bahasan
p V q ≡ ~p → q (ekivalensi)
~p → q ≡ ~q → p (kontraposisi)
dengan demikian
pVq
~q
berarti: ~q → p
~q Modus ponens
∴p
Jawabannya a
49

50. Soal 2
Penarikan kesimpulan dari premis-
premis: p V q
~q
∴ ….
a. p
b. ~p
c. q
d. ~(p V q)
e. ~ q
50

51. Soal 3
Penarikan kesimpulan dari
1. p V q 2. p → q 3. p → ~q
~p q → ~r qVr
∴q ∴~r → ~p ∴p → r
yang sah adalah….
a. hanya 1 b. hanya 1 dan 2
c. hanya 3 d. hanya 1 dan 3
e. hanya 2 dan 3
51

52. Bahasan
1. p V q ≡ ~p → q (ekivalen)
~p ~p
∴q ∴q
argumenatsi nomor 1 di atas sah
karena merupakan modus ponens
52

53. Bahasan
2. p → q p→q
q → ~r q→ ~r
∴~r → ~p ∴ p→ ~r
p→ ~r ≡ r→ ~p (kontraposisi)
argumenatsi nomor 2 di atas
tidak sah karena bukan silogisme
53

54. Bahasan
3. p → ~q p → ~q
qVr ≡ ~q → r (ekivalensi)
∴p → r ∴ p→r
argumentasi nomor 3 di atas
sah karena merupakan silogisme
Jadi, jawabannya hanya 1 dan 3 → d
54

55. Soal 3
Penarikan kesimpulan dari
1. p V q 2. p → q 3. p → ~q
~p q → ~r qVr
∴q ∴~r → ~p ∴p → r
yang sah adalah….
a. hanya 1 b. hanya 1 dan 2
c. hanya 3 d. hanya 1 dan 3
e. hanya 2 dan 3
55

56. SELAMAT BELAJAR
56