1. KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena
berkat rahmat dan karunia-Nya jualah kami dapat menyelesaikan tugas makalah
ini dengan tepat waktu.
Makalah ini merupakan salah satu tugas kelompok yang berisi
pembahasan materi tentang Limit Ketakhinggaan dan Limt Tak terhingga .
Dengan tujuan agar para mahasiswa dapat lebih memahami mata kuliah ini.
Dalam menyelesaikan makalah ini penulis banyak sekali mendapat
bantuan dari berbagai pihak, untuk itu kami mengucapkan terima kasih atas
bantuan tersebut.
Dalam menyelesaikan makalah ini kami telah berusaha semaksimal
mungkin namun kami pun menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari
kesempurnaan untuk itu kami mengucapkan mohon maaf apabila dalam
penyelesaian makalah ini masih banyak terdapat kekurangan. Oleh karena itu
kami sangat mengharapkan saran dan kritik dari para pembaca sekalian demi
perbaikan di masa yang akan datang.
Kami berharap semoga perangkat pembelajaran ini dapat berguna bagi
segenap mahasiswa/i Universitas PGRI Palembang pada khususnya dan juga para
guru dan calon guru serta masyarakat pada umumnya
Palembang, Oktober 2011
Penyusun
Kelompok 7
2. DAFTAR ISI
Kata Pengantar ............................................................................ i
Daftar Isi ..................................................................................... ii
Limit Ketakhinggan .................................................................... 1
Limit Tak Terhingga................................................................... 1
Contoh Soal ................................................................................ 2
Hubungan Terhadap Asimtot .................................................... 4
Soal-soal Latihan ....................................................................... 5
Kunci Jawaban ............................................................................ 7
Daftar Pustaka .......................................................................... 14
3. LIMIT DIKETAKHINGGAAN DAN LIMIT TAK HINGGA
LIMIT KETAKHINGGAAN
Definisi
(Llimit jika ) Andaikan f terdefinisi pada ,c untuk wsuatu
bilangan c , kita katakan bahwa lim
x
)(xf L jika untuk masing-masing
> 0, terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga
Mx Lx f ) ( <
Definisi
( Limit jika x ) Andaikan f terdefinisi pada c , untuk suatu
bilangan c kita katakan bahwa lim
x
f (x) L jika untuk masing-masing
, 0 terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga
x M f (x) L
Dengan telah diberikannya definisi-definisi dari limt-limit yang baru
ini, kita harus menghadapi pertanyaan apakah Teorema Limit Utama berlaku
untuk mereka ,jawabannya adalah ya serta pembuktian serupa dengan yang
asli.
LIMIT TAK TERHINGGA
Definisi
lim
x c
( limit-limit tak terhingga ) kita katakan bahwa
jika untuk
tiap bilangan positif M, berpadanan suatu 0 sedemikian sehingga
4. 0 x c f (x) M
Terdapat definisi-definisi yang berpadanan dari
lim f ( x ) ,lim f ( x ) , dan lim f ( x
)
. 4
x c x c x c
Contoh soal
x
1. Buktikan bahwa 2 1 lim x
x
0
Penyelesaian :
disini kita memakai akal baku: membagi pembilang dan penyebut dengan
pangkat x tertinggi yang muncul di penyebut,yakni 2 x .
1
1
1
x
x
lim 2 lim lim
1 1
2
2
2 2
x
x
x
x
x
x
x x x
0
0
0 1
lim
x
1
1
x
lim 2
lim1
x
x x
2
2 3
x x
lim x x
2. cari 2
x
7 4 5
penyelesaian :
lagi-lagi kita bagi pembilang dan penyebut dengan 2 x
2
2 / 3/ 1
x x
lim lim
x x
7 / 4 / 5
2 3
7 4 5
2
2
2
x x
x x
x x
=
1
5
0 0
1
0 0 5
2
x x
(2 / 3/ 1
2
lim
(7 / 4/ 5)
lim
x x
x
x
5. 3. Cari asimtot-asimtot vertikal dan horizontal dari grafik y f (x) jika
1
2
( )
x
x
f x
4
3
1
-2 -1 2 3 4
Kita harapkan sebuah asimtot vertikal pada titik yang penyebutnya nol,
2
lim
x
dan kita benar karena
1 x
1
x
2
lim
x
dan
1x
1
x
sebaliknya
2
2
1 1/
x
1
2
lim lim
x x
x x
x
dan 2
1
2
lim
x
x
sehingga 2 y adalah
asimtot horisontal. Grafiknya y 2x /(x 1) yang tlah diperlihatkan pada
gambar.
1
1
lim dan
lim x
4. Cari 2
1
2
( x 1()
x x
1 ( 1)
penyelesaian :
6. y
4
3
2
1
1
Grafik 2 ) 1/(1) ( x x f diperlihatkan p[ada gambar. Kita pikirkan cukup
1
lim x x
jelas bahwa
2
1 ( 1)
1
li mx x
2
1 ( 1)
karena kedua limit
1
lim x x
adalah , kita dapat juga menuliskan
2
1 ( 1)
5. Cari
1
x
lim
5 6
2
2
x x
x
penyelesaian :
1
x
x x
( 3)( 2)
1
lim lim
5 6
2
2
2
2x
x x
x x
Sehingga 2x , kita lihat bahwa , 1 3 , 3 1 x x dan x 20 ,
jadi pembilang mendekati 3, tetapi penyebut adalah negatif dan mendekati
1
x
0.kita simpulkan bahwa
( 3)(
2)
lim
2x x
x
HUBUNGAN TERHADAP ASIMTOT
Garis x c adalah asimtot vertikal dari grafik y f (x) jika salah satu dari
pernyatan-pernyatan berikut ini benar.
limf (x)
x c
1)
limf (x)
x c
2)
2 ) 1 (
( )
x
f x
7. 3)
limf (x)
x
c
4)
limf (x)
x
c
Jadi dalam contoh 4, garis 1 x adalah asimtot tegak. Sama halnya, garis-garis
2 x dan 3 x adalah asimtot vertikal dalam contoh 5.
Dalam napas yang serupa, garis b y adalah asimtot horizontal dari grafik
lim ( ) atau f x b
y f (x) jika f x b
x
lim ( )
x
Garis 0 y adalah asimtot horizontal dalam contoh 4
Soal-soal Latihan
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
8. 14.
15.
16.
17.
18.
19. Tentukan
20. Tentukan
21. Cari
22. Cari astimtot miring untuk f(x) =
23. Garis y = ax + b di sebut asimtot miring terhadap grafik y= f(x)
JIka =atau
=0
Cari asimtot miring untuk f(x) =
9. DAFTAR PUSTAKA
Edwin J.Purcell, Dale Varberg. 1987. Edisi Kelima Jlid 1. Jakarta : Erlangga.
Soedyarto Nugroho, Maryanto. 2008. Matematika. Sumatera Selatan : Dinas
Pendidikan Nasional.
Widia Ratna, Nike Ardila, dkk. 2010. Diklat Kalkulus. Palembang : Universitas
PGRI.
Purcell Edwin J. Varberg D. dan Ringdom, S.E. 2003. Kalkulus 1.Ciracas,Jakarta:
Erlangga.
