turunan-turunan fungsi aljabar

1. TURUNAN FUNGSI ALJABAR
Rumus-Rumus Turunan Fungsi
Oleh : Agus Setiawan, S.Pd

2. Rumus Turunan Fungsi
1. f (x) = k
2. f (x) = x
3. f (x) = k.x
4. f (x) = xn
5. f (x) = k.xn
6. f (x) = g(x) + h(x)
7. f (x) = g(x) – h(x)
Bagaimana turunan dari bentuk perkalian atau pembagian
dua fungsi?
f /
(x)  0
f /
(x)  1
f /
(x)  k
f /
(x)  nxn -1
f /
(x)  k nxn -1
f /
(x)  g/
(x)  h/
(x)
f /
(x)  g/
(x)  h/
(x)

3. Contoh Soal dan Penyelesaian
6. Tentukan turunan pertama dari
x5
1. Tentukanlah turunan pertama dari fungsi f (x)  3
2. Tentukan turunan pertama f (x)  5x
3. Tentukanlah turunan pertama dari fungsi f (x) 
1
4. Turunan pertama dari fungsi f (x)  3x4
 2x3
5 adalah...
5. Tentukan turunan pertama dari f (x) 
1
x5

4
x3
5x  3
5 3
f (x)  5
x  x

4. Contoh Soal dan Penyelesaian
3. f
f (
/
(xx))
1
 5x6
x6
 
5
x6
5
Jadi turunan pertamanya adalah f /
(x)  
1. Diketahui f (x)  3
Turunan pertama dari f(x) adalah f /
(x)  0
2. Diketahui f (x)  5x
Turunan pertama dari fungsi f(x) adalah f /
(x)  5
x5
5

 xx

5
5
1

5. Contoh Soal dan Penyelesaiannya
4. Diketahui f (x)  3x4
 2x3
5
Maka, f /
(x)  3.4x41
 2.3x31
 0
 12x3
 6x2
Jadi f /
(x)  12x3
 6x2
5. Diketahui f (x) 
1
x5

4
x3
5x  3
5 3
Maka, f /
(x) 
1
.5x51

4
.3x31
5 0
5 3
 x4
 4x2
5
Jadi turunan pertamanya adalah x4
 4x2
5

6. Contoh Soal dan Penyelesaiannya
Jadi turunan pertamanya adalah
6. f (x)  5
x  x
1
1
2
5
4
2
1 

x 

1
4
2x 2
1
5x5
1


2 x
1
1
5 5
x4


2 x
1
1
5 5
x4

1
5
5
1
5
f /
(x) 
1 1
5
1
2
 x
x  x
1
2
x
2
1 1

7. Aturan Rantai
Jika y = f (x)  Un
, dimana U adalah fungsi dalam x dan n adalah
bilangan real.
Maka, turunan pertama dari f (x) dapat dinyatakan sebagai berikut.
dy

dy
.
dU
dx dU dx
Rumus diatas sering dikenal dengan Aturan Rantai.
Sehingga jika y = f (x)  Un
, maka turunan pertamanya adalah
dx dU dx
dy d(U ) dU
n
 .
 nUn1
.U/
Jadi turunan pertama dari f(x)  Un
adalah
f /
(x)  nUn1
.U/

8. Contoh Soal dan Penyelesaian
3)3
Contoh :
Tentukan turunan pertama dari f (x)  (2x2
Jawab :
f(x)  (2x2
3)3
3) U/
 4x
 3(2x2
3)31
.4x
12x(2x2
3)2
12x(4x4
12x2
 9)
 48x5
144x3
108x
Misal : U = (2x2
f(x)  Un
f /
(x)  nUn1
.U/

9. Turunan Kedua Suatu Fungsi
Notasi turunan kedua dari suatu fungsi dapat dituliskan sebagai
berikut.
Turunan kedua dari fungsi f (x) adalah hasil penurunan fungsi f (x)
terhadap x sebanyak 2 kali secara berurutan
// //
dx2
dx2
d2
f d2
y
f (x)  y  

10. Contoh Soal dan Penyelesaian
Contoh :
Jawab:
5

4
x3
5x  3
3
Tentukan turunan kedua dari fungsi f (x) 
1
x5
3
f (x) 
1
1
x
x5
5

4
x3
5x  3
3
1
5
5
f /
(x)  .5 
4
.3x31
5  0
 x4
 4x2
5
f //
(x)  4x41
 4.2x21
 0
 4x3
8x
Jadi turunan kedua dari f(x) adalah f //
(x)  4x3
8x

11. Turunan Hasil Kali dan Hasil Bagi Dua Fungsi
Andaikan u(x) = U dan v(x) = V masing-masing mempunyai turunan
u/(x) = U/ dan v/(x) = V/, maka
8. f (x) = U . V
9. f (x) = f /
(x) 
V
U
f /
(x)  U/
.V  U.V/
V2
U/
.V  U.V/

12. Contoh Soal dan Penyelesaiannya
Contoh :
Tentukan turunan pertama dari f(x) = (3x2 + 5)(3x – 4)
Jawab :
Misal : U = (3x2 + 5)
V = (3x – 4)
f(x) = U.V
f /(x) = U/.V + U.V/
= 6x(3x – 4) + (3x2 + 5).3
= 18x2 – 24x + 9x2 + 15
= 27x2 – 24x + 15
Jadi turunan pertama dari f(x) adalah f /(x) = 27x2 – 24x + 15
U/ = 6x
V/ = 3

13. Jawab :
Misal : U = (x – 2)
V = (x2 + 3)
Contoh Soal dan Penyelesaiannya
Contoh :
(x2
3)
Tentukan turunan pertama darif(x) 
(x  2)
U/ = 1
V/ = 2x
2
/
V
U/
V  UV/
f (x) 
(x2
3)2

1(x 3) (x  2)2x
2
(x2
3)2

(x 3)(2x  4x)
2 2
 x2
 4x  3
(x2
 3)2

Jadi turunan pertamanya adalah
/
(x2
 3)2
 x2
 4x  3
f (x) 

14. Latihan Soal
Kerjakan secara berkelompok soal-soal berikut ini.
6. Tentukan turunan pertama dari
 2x3
5
Tentukan turunan pertama dari fungsi f (x)  3x4
x5
1.
2. Tentukan turunan pertama dari f (x) 
1
3. Tentukan turunan pertama dari fungsi
3
5
f (x) 
1
x5

4
x3
5x 3
x2
4. Tentukan turunan pertama dari f (x)  5
 x
5. Tentukan turunan pertama dari f (x)  (2x3
1)(4x  3)
f (x)

x 1
2
3x  4
7. Tentukan turunan pertama dari f (x)  (x 3)(x 1)5
8. Tentukan turunan kedua dari f (x) 
2
x6
 2x5
3x4

1
x3
3 3