2. Fungsi Periodik
Suatu fungsi f(x) dikatakan mempunyai
periode T atau periodik dengan periode T
jika untuk setiap x berlaku f(x+T)=f(x),
dimana T=konstanta positif.
Nilai positif terkecil T dinamakan periode
terkecil atau disingkat periode f(x).
3. Contoh :
Fungsi sin x mempunyai periode 2π, 4π,
6π,… karena sin(x+2π), sin(x+4π),
sin(x+6π),… sama dengan sin x.
2π merupakan periode terkecil atau periode
sin x.
Periode fungsi sin nx atau cos nx, dimana
n=bilangan bulat positif, adalah 2π/n.
Periode tan x adalah π.
4. Deret Fourier
Misalkan f(x) didefinisikan pada selang (-L,L) dan
di luar selang ini oleh f(x+2L)=f(x), yaitu
diandaikan bahwa f(x) mempunyai periode 2L.
Deret Fourier yang bersesuaian dengan f(x)
ditentukan oleh :
a0 ∞
nπx
nπx
+ ∑ (an . cos
+ bn .sin
)
2 n =1
L
L
(1)
5. dimana :
1
nπx
an = ∫ f ( x). cos
dx
L −L
L
L
1
nπx
bn = ∫ f ( x).sin
dx
L −L
L
L
n = 0, 1, 2,…
(2)
6. Jika f(x) mempunyai periode 2L, maka :
1
an =
L
c+2L
1
bn =
L
c+2L
∫
c
∫
c
nπx
f ( x). cos
dx
L
f ( x).sin
nπx
dx
L
dimana : c = bilangan riil
(3)
7. Sedangkan :
L
1
a0 = ∫ f ( x)dx
L −L
Rata-rata f(x) pada suatu periodenya :
L
a0
1
=
∫L f ( x)dx
2 2L −
Jika L= π, maka fungsi mempunyai periode 2π.
8. Syarat Dirichlet
Andaikan bahwa :
f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal,
kecuali mungkin di sejumlah berhingga
titik pada (-L,L)
f(x) periodik di luar (-L,L) dengan periode
2L
f(x) dan f’(x) kontinu bagian demi bagian
pada (-L,L)
9. Maka deret (1) dengan koefisien (2) atau
(3) konvergen ke :
f(x), jika x adalah suatu titik
kekontinuannya.
f ( x + 0) + f ( x − 0)
2
jika x adalah suatu titik ketakkontinuannya.
10. Fungsi Ganjil dan Genap
Fungsi f(x) dinamakan ganjil jika
f(-x) = -f(x)
Contoh : x3; x5-3x3+2x; sin x; tan 3x
Fungsi f(x) dinamakan genap jika
f(-x) = f(x)
Contoh : x4; 2x6-4x2+5; cos x; ex+e-x
11. Dalam deret Fourier yang berkaitan
dengan suatu fungsi ganjil, hanya sukusuku sinus yang dapat disajikan.
Dalam deret Fourier yang berkaitan
dengan suatu fungsi genap, hanya sukusuku cosinus yang dapat disajikan.
12. Deret Fourier Sinus atau Cosinus
Separuh Jangkauan
Adalah suatu deret dimana yang disajikan hanya
suku-suku sinus atau suku-suku cosinus.
Untuk separuh jangkauan deret sinus
2
nπx
an = 0; bn = ∫ f ( x).sin
dx
L0
L
L
Untuk separuh jangkauan deret cosinus
2
nπx
bn = 0; an = ∫ f ( x). cos
dx
L0
L
L
