1. Dokumen tersebut membahas tentang garis dan bidang sejajar, termasuk membuktikan proposisi-proposisi geometri mengenai garis dan bidang sejajar melalui pembuktian langsung dengan contoh gambar.

1. 1
GARIS DAN BIDANG SEJAJAR
Perbatasan: Sebuah garis dan sebuah bidang yang tidak mempunyai titik persekutuan
disebut sejajar
1. Dalil 18: Garis g di luar bidang K akan sejajar dengan bidang K, jika garis g //
garis a yang terletak pada bidang K.
Ditentukan:
 garis g // a ; a berada pada bidang K
Buktikan:
 g // bidang K
Pembuktian:
 Pertama lukis sebuah bidang K, dimana dalam bidang K terdapat garis a
 Kedua buat garis g yang terletak di luar bidang K, kita sebut saja bahwa g
terletak pada bidang L, dengan syarat bahwa g // a.
 Untuk membuktikan bahwa garis g // dengan bidang K, maka terlebih
dahulu kita buktikan bahwa garis g // a.
 Kita asumsikan bahwa garis g tidak sejajar garis a (garis g memotong a),
dengan demikian g juga memotong bidang K.
 Hal ini berarti terjadi kontradiksi dengan apa yang diketahui. Maka dari itu
jelas bahwa g tidak akan memotong a, begitu juga halnya dengan g juga
tidak memotong bidang K, sehingga terbukti bahwa g // a, dan g juga
sejajar dengan bidang K. (Terbukti)
2. Dalil 19: Tiap bidang L yang melalui garis g yang sejajar dengan bidang K
memotong bidang K menurut sebuah garis yang sejajar dengan garis g.
Ditentukan:
 g // K. Bidang L melalui g dan memotong bidang K menurut garis a.
Buktikan:
 g //a
Gambar 1

2. 2
Pembuktian:
 Lukis sebuah bidang, sebut saja
bidang K
 lukiskan sebuah garis g yang
sejajar bidang K,
 Melalui garis g buat sebuah
bidang L yang memotong bidang K,
 Garis yang memotong bidang K dan bidang L, kita sebut garis a,
 Asumsikan a tidak sejajar g, maka g memotong a di titik P,
 Seperti yang terlihat pada gambar garis yang memotong a dititik P kita sebut
garis g’
 Karena a merupakan garis perpotongan dari bidang K dan bidang L, maka a
berada pada bidang K dan bidang L. Oleh karenanya, g tidak sejajar bidang K,
 Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui, maka haruslah a//g. (terbukti)
3. Dalil 20: Melalui sebuah titik P diluar bidang K dapat ditarik garis – garis tak
terhingga banyaknya yang sejajar dengan bidang K.
Pembuktian:
 Lukis sebuah bidang K.
 Tentukan titik P yang berada di luar bidang
K,
 Dalam bidang K, buat tak terhingga
banyaknya garis,
 Lukiskan garis-garis yang melalui titik P,
 Tiap garis melalui P yang sejajar dengan
salah satu garis di antara garis-garis itu
akan sejajar pula dengan bidang K. (terbukti)
Gambar 2
Gambar 3

3. 3
4. Dalil 21: Melalui sebuah titik P diluar garis g dapat dilukis bidang-bidang tak
terhingga banyaknya yang sejajar dengan garis g.
Bukti :
 Buatlah titik P di luar garis g.
 Tariklah sebuah garis a // g
melalui titik P, sehingga tiap-tiap
bidang yang dibuat melalui garis
a akan sejajar pula dengan garis
g.
 Maka, terbukti melalui sebuah titik P diluar garis g dapat dilukis bidang-bidang
tak terhingga banyakbanyaknya yang sejajar dengan garis g. (terbukti)
5. Dalil 22: Jika sebuah garis g sejajar dengan dua buah bidang yang berpotongan,
maka g sejajar dengan garis potong kedua bidang itu.
Ditentukan:
 g // bidang K ; g // bidang L.
Buktikan:
 g // garis potong (K,L).
Bukti :
 Buatlah sebuah garis g yang sejajar
dengan dua buah bidang sebutlah
(bidang K, bidang L).
 Ambilah titik P pada garis (K, L) dan buatlah melalui g dan P sebuah bidang,
sebutlah bidang M.
 Bidang M akan memotong bidang K (menurut garis melalui titik P yang sejajar
dengan garis g).
 Dan bidang M juga akan memotong bidang L (menurut sebuah garis melalui
titik P yang sejajar dengan garis g).
Gambar 4
Gambar 5

4. 4
 Karena melalui sebuah titik hanya ada sebuah garis saja yang dapat dilukis
sejajar dengan garis g, maka garis itu tidak lain dari pada garis (K, L)=a
(karena titik P berada pada a). Secara sederhana terbukti apabila: g // L, dan g
// K maka g // a = (K,L). (terbukti)
6. Dalil 23: melalui sebuah titik P hanya dapat dibuat sebuah bidang yang sejajar
dengan dua buah garis yang arahnya tidak sama.
Ditentukan:
 Titik P
Dibuktikan:
 Bahwa melalui sebuah titik P hanya
dapat dibuat sebuah bidang yang
sejajar dengan dua buah garis yang
arahnya tidak sama
Bukti:
 Lukislah dua garis yang arahnya tidak sama yaitu garis a dan b
 Lukislah garis a’ sehingga a//a’ dan lukislah garis b’ sehingga b//b’ dimana a’
dan b’ berpotongan di titik P
 Melalui dua garis yang berpotongan maka dapat dibuat sebuah bidang saja.
(terbukti).
Gambar 6

5. 5
PERPOTONGAN TIGA BUAH BIDANG
1. Buktikanlah bahwa tiga buah bidang umumnya ketiganya melalui satu titik,
ketiganya sejajar atau ketiganya melalui sebuah garis!
Pembuktian:
a) Umpamakan ada tiga buah
bidang K, L dan M. Bidang-bidang K dan L
berpotongan menurut garis AB, maka garis
potong AB ini memotong bidang M pada titik
P ini berarti bahwa ketiga garis potong bidang
K, L dan M melalui sebuah titik. (perhatikan
gb.7)
b) Umpamakan ada tiga buah bidang K, L dan M.
Bidang-bidang K dan L berpotongan menurut
garis AB, maka garis potong AB ini sejajar
dengan bidang M. Bidang K melalui AB dan
memotong bidang M. Karena AB // bidang M,
maka garis potong K dengan M sejajar dengan
AB, dan garis potong L dengan M sejajar pula
dengan AB. Kesimpulan: Ketiga garis potong itu
sejajar.(perhatikan gb.8)
c) Umpamakan ada tiga buah
bidang K, L dan M. Bidang K dan bidang L
berpotongan menurut garis AB, dan dimana
garis potong AB ini juga terletak pada bidang
M; ini berarti bahwa ketiga bidang melalui
sebuah garis. (perhatikan gb.9)
Gambar 7
Gambar 8
Gambar 9

6. 6
DUA BIDANG SEJAJAR
1. Dalil 24: Dua buah bidang akan sejajar jika keduanya tegak lurus pada sebuah garis
lurus atau pada garis-garis lurus sejajar.
Ditentukan :
 Apabila bidang K  garis g, dan
bidang L garis g.
Buktikan:
 Bidang K// bidang L
Pembuktian:
 Buat dua buah bidang, yaitu bidang K dan bidang L. Ditentukan garis g 
bidang K dan garis g  bidang L.
 Andaikan bidang K tidak sejajar dengan bidang L, maka kedua bidang itu
akan mempunyai sebuah titik persekutuan A. Ini berarti, bahwa dari sebuah
titik diluar garis g kita dapat melukiskan dua buah bidang yang tegak lurus
pada garis g.
 Hal Ini bertentangan dengan dalil 16 yang berbunyi “Melalui sebuah titik
diluar sebuah garis dapat dilukiskan sebuah bidang saja yang tegak lurus
pada garis itu, jadi bidang K haruslah // bidang L. (terbukti)
2. Dalil 25: dua buah bidang akan sejajar jika sepasang garis berpotongan pada
bidang yang satunya sejajar dengan garis berpotongan pada bidang lainnya.
Diketahui:
 Garis a dan garis b berpotongan dan keduanya padang bidang K, garis a’
dan garis b’ berpotongan dan keduanya pada bidang L. Garis a// garis a’
dan garis b// garis b’.
Gambar 10

7. 7
Buktikan:
 Bidang K // bidang L.
Pembuktian:
 Buat dua buah bidang, yaitu bidang K dan bidang L. Buat garis a yang
berpotongan dengan garis b pada bidang K. Dan buat garis a’ yang
berpotongan dengan garis b’ pada bidang L.
 Ditentukan garis a//a’ dan garis b//b’. Tariklah garis g tegak lurus pada
bidang K, maka g a dan g b. Karena garis a//a’ dan garis b//b’ maka K
 g dan L g, sehingga bidang K // bidang L sesuai dengan dalil 24 yang
berbunyi dua buah bidang akan sejajar, jika kedua garis itu tegak lurus
pada sebuah garis lurus atau garis-garis lurus sejajar. (terbukti)
3. Dalil 26: Semua garis-garis melalui titik P diluar bidang K dan yang sejajar dengan
bidang K terletak pada sebuah bidang L yang sejajar dengan bidang K.
Ditentukan:
 a,b, dan c melalui titik P, a//K, b//K, c//K
Dibuktikan;
 a, b, c terletak pada sebuah bidang L
yang sejajar dengan bidang K.
Gambar 11
Gambar 12

8. 8
Pembuktian:
 Lukiskan sebuah bidang yang kita sebut bidang K,
 Dalam bidang K kita tentukan titik Q,
 Melalui titik Q, kita tarik sebuah garis QP yang tegak lurus dengan bidang
K,
 Melalui titik P, dan titik Q buat sebuah bidang M yang tegak lurus bidang K
dan melalui garis a, b, dan c yang sejajar bidang K,
 Karena bidang M memotong bidang K pada garis a′, b′, dan c′ maka
menurut dalil 19 a//a′, b//b′, c//c′,
 Di awal kita telah menyatakan bahwa garis PQ ⟘ bidang K, maka PQ tegak
lurus dengan semua garis yang ada di bidang K,
 Hal ini mengakibatkan PQ ⟘ a′, PQ ⟘ b′, PQ ⟘ c′ dan karena a//a′ maka
PQ ⟘ a, PQ ⟘ b, PQ ⟘ c juga,
 Dari pernyataan tersebut dapat ditarik sebuah kesimpulan bahwa a, b, c
berada pada suatu bidang yakni bidang L (dijamin oleh dalil 12),
 Karena PQ ⟘ a′, PQ ⟘ b′, PQ ⟘ c′, maka PQ ⟘ bidang K,
 PQ ⟘ a, PQ ⟘ b, PQ ⟘ c, maka PQ ⟘ bidang L,
 Karena PQ ⟘ bidang K dan bidang L maka K//L. (terbukti)
4. Dalil 27: Melalui titik P diluar bidang K hanya dapat dilukiskan sebuah bidang saja
yang sejajar dengan bidang K.
Ditentukan:
 Bidang L melalui titik P di luar
bidang K
Dibuktikan:
 L//K
Pembuktian:
 Buat sebuah bidang K, yang di dalamnya kita tentukan titik Q,
 Dari titik QP tarik garis yang tegak lurus bidang K,
Gambar 13

9. 9
 Melalui titik P tersebut dapat dibuat sebuah bidang L yang melalui titik P dan
tegak lurus garis PQ (hal ini dijamin oleh dalil 15),
 Karena PQ ⟘ K dan PQ ⟘ L, maka menurut dalil 24 K//L. (terbukti)
5. Dalil 28:Jika dua buah bidang sejajar dipotong oleh bidang ketiga, maka garis-garis
potongnya akan selalu sejajar.
Ditentukan:
 K//L, M memotong K dan L
Buktikan:
 (K, M) // (L,M).
Pembuktian:
 Lukiskan dua buah bidang sejajar yang
kita sebut bidang K dan L,
 Potong K dan L itu dengan sebuah bidang M,
 Garis yang memotong bidang K oleh bidang M kita sebut (K,M) dan garis
yang memotong bidang L oleh bidang M kita sebut (L, M),
 Kita asumsikan bahwa (K, M) tidak sejajar (L,M), dari asumsi tersebut maka K
dan L berpotongan,
 Terjadi kontradiksi, karena K//L sehingga haruslah (K,M) // (L,M). (terbukti)
Gambar 14