Dokumen tersebut membahas tentang proyeksi titik dan garis pada bidang, serta jarak antara berbagai benda geometri seperti titik-bidang, garis-bidang, dan bidang-bidang. Definisi proyeksi dan jarak dijelaskan beserta bukti-bukti matematika untuk menunjukkan sifat-sifat geometris yang terkait.

1. 1
A. PROYEKSI
Definisi (Proyeksi Titik pada Bidang): Proyeksi dari sebuah titik P pada
sebuah bidang K ialah titik kaki garis tegak lurus yang ditarik dari P ke bidang K.
Definisi (Proyeksi Garis pada Bidang): Proyeksi dari sebuah garis g pada
sebuah bidang K adalah tempat kedudukan titik – titik kaki garis – garis tegak lurus
yang ditarik dari titik – titik pada g ke bidang K.
Sifat Proyeksi Garis g pada Bidang K: proyeksi dari sebuah garis lurus g pada
bidang K pada umumnya juga berupa garis lurus.
Bukti:
 Buat sebuah bidang K dan sebuah bidang L, dimana bidang L tegak lurus
dengan bidang K.
 Buat sebuah garis lurus pada bidang L yang dilalui oleh titik A, B, C, D, dan
E.
 Melalui titik A, B, C, D, dan E buat garis – garis tegak lurus pada bidang K,
maka 'AA // 'BB // 'CC // 'DD // 'EE . Sesuai dengan dalil 9 “semua garis –
garis yang memotong sebuah garis yang diketahui dan masing – masing
sejajar dengan sebuah garis lain , terletak pada sebuah bidang” maka garis –
garis itu semua terletak pada sebuah bidang L. Titik – titik 'A , 'B , 'C , 'D ,
dan 'E , semuanya terletak pada bidang K, tetapi juga terletak pada bidang L.
Jadi terletak pada garis potong K dan L.
Gambar 1

2. 2
Sehingga dapat ditarik sebuah kesimpulan: proyeksi sebuah garis lurus
merupakan garis lurus pula.
Penjelasan: Garis – garis 'AA , 'BB , 'CC , 'DD , 'EE disebut garis – garis pembuat
proyeksi atau proyektor. Titik 'A , 'B , 'C , 'D , 'E disebut titik – titik kaki
proyektor atau disebut pula proyektor tegak orthogonal atau proyeksi siku – siku
dari titik – titik A, B, C, D, dan E Bidang L disebut bidang pembuat proyeksi.
Definisi( Sudut antara Garis g dengan Bidang K): Sudut antara garis lurus g
dengan bidang K ialah sudut yang dibentuk oleh g dengan proyeksi g pada bidang K.
Dalil 29: Sudut antara garis g dengan bidang K lebih kecil dibandingkan sudut antara
garis g dengan garis – garis lain pada bidang K.
Diketahui: PP   bidang K QP' = proyeksi PQ pada K.
Buktikan: 'PQP < PQS .
Bukti:
 Buat sebuah bidang K.
 Melalui titik P yang
terletak di luar bidang K,
tarik garis yang tegak
lurus dengan bidang K,
kita sebut garis PP .
 Melalui titik P tarik sebuah garis yang berpotongan di titik Q, yang
menyebabkan
QP' sebagai proyeksi dari PQ
 Dari titik Q tarik sebuah garis yang kita sebut garis QS.
 Tentukan sebuah titik yang terletak pada QS yang kita sebut titik R,
sedemikian sehingga QR= 'QP
 Hubungkan titik P dengan R sehingga didapat  RPP' yang siku – siku pada
RPP' hingga PR > PP 
Gambar 2

3. 3
 Bandingkan  QPP  dan PRQ, diperoleh QRQP ' dan PP  PR ,
sehingga menurut planimetrie PQR  'PQP
Tinjauan: Jika pada bidang K dibuat lingkaran dengan Q sebagai pusat dan PQ 
sebagai jari – jari maka sudut ''QPP makin lama makin besar. Pada saat RQ
QP' , maka PQR = 90 . Sudut 'PQP mencapai harga terbesar jika QR
terletak pada perpanjangan garis QP' .
B. JARAK
Definisi jarak:
Jarak antara dua benda adalah panjang garis hubung terpendek antara kedua benda
tersebut.
Jarak antara:
a) Titik P dan bidang K : adalah panjangnya garis tegak lurus dari P ke bidang K.
Garis ini adalah garis yang terpendek.
Pembuktian:
 Diketahui:
Garis yang tegak lurus dari P
ke bidang K adalah PP′
 Dibuktikan:
panjang garis PP′ < garis-garis
lainnya.
 Bukti:
1. Buat sebuah bidang yang kita sebut bidang K, di luar bidang K tentukan
titik P,
2. Melalui titik P, tarik garis yang selanjutnya kita sebut garis PP′ yang
tegak lurus bidang K,
Gambar 3

4. 4
3. Karena PP′ ⟘ bidang K, maka QPP  adalah sudut siku-siku yang
mengakibatkan PQ adalah garis miring sehingga PQ > PP′
4. Tentukan garis-garis yang berasal dari titik P ke sembarang titik pada
bidang K, misalnya kita sebut garis- garis tersebut adalah PP′1, PP′2, PP′3,
…, PP′n,
5. Karena QPP  adalah sudut siku-siku maka panjang garis PP′1, PP′2,
PP′3, …, PP′n > PP′
6. Jadi, dapat disimpulkan bahwa PP′ adalah garis yang paling pendek
dibandingkan garis-garis lain yang berasal dari titik P ke bidang K.
(terbukti)
b) Jarak antara garis g dengan bidang K di mana g//K adalah panjang garis tegak
lurus dari sembarang titik pada g ke bidang K.
 Diketahui:
g//K,
PP′ ⟘ bidang K
 Dibuktikan:
PP′ adalah jarak dari garis g
dan bidang K.
 Bukti:
1. Lukis sebuah bidang K,
2. Tentukan garis g di luar bidang K yang sejajar bidang K,
3. Tentukan sembarang titik pada garis g, misalnya kita sebut titik tersebut
sebagai titik P,
4. Melalui titik P tarik garis tegak lurus bidang K yang kita sebut PP′,
5. Melalui titik P′ tarik garis yang berada pada bidang K, kita sebut garis
tersebut sebagai garis P′Q,
6. Karena PP′ ⟘ bidang K, maka QPP  adalah sudut siku-siku yang
menyebabkan PQ merupakan sisi miring dari segitiga PP′Q,
Gambar 4

5. 5
7. Dari pernyataan tersebut, jelaslah PQ > PP′,
8. Tentukan garis-garis yang berasal dari titik P ke sembarang titik pada
bidang K, misalnya kita sebut garis- garis tersebut adalah PP′1, PP′2, PP′3,
…, PP′n,
9. Karena QPP  adalah sudut siku-siku maka garis PP′1, PP′2, PP′3, …,
PP′n > PP′
10. Jadi, dapat disimpulkan bahwa PP′ adalah garis yang paling pendek
dibandingkan garis-garis lain yang berasal dari titik P ke bidang K
11. Karena PP′ adalah garis yang paling pendek, maka jelaslah bahwa PP′
adalah jarak dari garis g dan bidang K. (terbukti).
c) Jarak bidang yang sejajar adalah panjangnya garis tegak lurus di antara kedua
bidang tersebut.
 Diketahui:
K // L,
PP′ ⟘ L, PP′ ⟘ K,
 Dibuktikan:
PP′ adalah jarak dari bidang
L dan bidang K
 Bukti:
1. Lukislah sebuah bidang yang kita sebut bidang K,
2. Lukislah sebuah bidang L yang sejajar bidang K,
3. Dari bidang L tentukan sebah titik yang kita sebut titik P,
4. Melalui titik P tarik garis yang tegak lurus bidang K, kita misalkan garis
tersebut adalah garis PP′ sehingga PP′ ⟘ bidang K, PP′ ⟘ bidang L,
5. Melalui titik P′ tarik garis yang berada pada bidang K, kita sebut garis
tersebut sebagai garis P′Q,
6. Karena PP′ ⟘ bidang K, maka QPP  adalah sudut siku-siku yang
menyebabkan PQ merupakan sisi miring dari segitiga PP′Q,
Gambar 5

6. 6
7. Dari pernyataan tersebut, jelaslah PQ > PP′,
8. Tentukan garis-garis yang berasal dari titik P ke sembarang titik pada
bidang K, misalnya kita sebut garis- garis tersebut adalah PP′1, PP′2, PP′3,
…, PP′n,
9. Karena QPP  adalah sudut siku-siku maka garis PP′1, PP′2, PP′3, …,
PP′n > PP′
10. Jadi, dapat disimpulkan bahwa PP′ adalah garis yang paling pendek
dibandingkan garis-garis lain yang berasal dari titik P ke bidang K
11. Karena PP′ adalah garis yang paling pendek, maka jelaslah bahwa PP′
adalah jarak dari garis g dan bidang K. (terbukti).
d) Jarak antara dua buah garis yang bersilangan adalah panjang garis yang tegak
lurus diantara kedua garis tersebut.
Pembuktian:
 Diketahui:
a dan b bersilangan
 Dibuktikan:
jarak a dan b adalah garis yang
tegak lurus dengan garis a dan b.
 Bukti:
1. Tariklah garis yang melalui sembarang titik pada P pada b sebuah garis a′
// a,
2. Buatlah bidang K melalui a′ dan b,
3. Buatlah melalui bidang pembuat proyeksi L (dengan menarik AA′⟘
bidang K) yang memotong bidang K menurut garis a2 dan garis b pada
titik Q,
4. Buatlah dari Q dalam L sebuah garis tegak lurus pada a2 yang memotong
a pada ttik R, sehingga QR ⟘a2,
Gambar 6

7. 7
5. Dalam bidang L, maka AA′ ⟘ a2 dan QR ⟘ a2, sehingga AA′ // RQ yang
mengakibatkan RQ ⟘ a,
6. Karena AA′ ⟘ K (proyektor), maka PQ ⟘ K, jadi RQ ⟘ b,
7. QR ⟘ a dan QR ⟘ b, maka QR adalah jarak antara a dan b.
Dalil 30 : Jika sebuah garis g tegak lurus pada bidang K, maka tiap-tiap bidang
melalui g berdiri tegak lurus pada bidang K.
Ditentukan :
g bidang K, dan bidang L melalui g.
Buktikan :
bidang L bidang K
Bukti :
1) Buatlah garis g  sebuah bidang sebutlah bidang K, lalu buatlah sebuah
bidang yaitu sebutlah bidang L melalui garis g. Maka, akan terlihat
bahwa, bidang L yang melalui garis g  bidang K. Sehingga, bidang L
yang melalui garis g  AB (dimana AB merupakan garis potong antara
K dan L).
2) Jika dalam bidang K kita buat garis DE  AB, akibatnya garis g  DE.
3) Menurut teori sudut bidang dua, maka CDE sudut tumpuhan antara
bidang K dan bidang L. Ini berarti bahwa CDE = 0
90 maka menurut
perbatasan : bidang L  bidang K, dalil 30 dapat dikatakan juga: dua
buah bidang yang saling tegak lurus, jika salah satu diantara kedua bidang
itu mempinyai sebuah garis yang tegak lurus dengan bidang lainnya.
(Terbukti)
Gambar 7
g

8. 8
Dalil 31 : Jika dua buah bidang tegak lurus sesamanya dan dalam bidang yang
satunya ditarik garis tegak lurus pada garis potongnya, maka garis itu tegak lurus
pada bidang yang lainnya.
Diketahui : bidang L  bidang K; garis g pada bidang L dan garis g  AB (
AB= garis potong antara bidang K dan bidang L).
Buktikan : garis g  bidang K
Bukti :
1) Buatlah dua buah bidang sebutlah bidang K dan bidang L yang tegak lurus
sesamanya.
Dimana, garis g pada bidang L dan garis g  AB ( AB = garis potong
antara bidang K dan bidang L). Lalu, buat garis DE  AB dalam bidang
K. Sehingga diperoleh:
 Garis g atau CD  AB
 ED  AB
Karena ditentukan bidang L  bidang K, maka besar sudut tumpuhannya =
0
90 ( 0
90CDE , atau dapat disimpulkan bahwa :
Garis g atau CD  DE
Garis g atau CD  AB
Dalil 32 : Jika dua buah bidang tegak lurus sesamanya, dan dari sebuah titik
pada bidang yang satu ditarik garis tegak lurus pada bidang yang lainnya, maka garis
itu terletak dalam bidang pertama.
Diketahui :
 Bidang K  bidang L
sudut CDE merupakan sudut tumpuhan, di
jamin oleh teori sudut bidang dua.
CD  bidang K , dengan kata lain :
garis g  bidang K (terbukti).
Garis g atau CD AB
Garis g atau CD AB
Gambar 8
g

9. 9
 P pada L ; g melalui P
 g  bidang K
Buktikan : garis g pada bidang L
Bukti :
1) Buatlah dua buah bidang yang saling tegak lurus sebutlah bidang K dan
bidang L. Dimana, P pada bidang L dan garis g melalui P, serta garis g 
bidang K.
2) Misal : garis g tidak pada bidang L, akibatnya dalam bidang L dapat di
buat garis g’ yang tegak lurus pada garis potong i. Menurut dalil 31 yang
berbunyi : “jika dua buah bidang tegak lurus sesamanya dan dalam bidang
yang satunya ditarik garis tegak lurus pada garis potongnya, maka garis
itu tegak lurus pada bidang yang lainnya”, sehingga garis g’  bidang K.
3) Jadi, melalui P dapat ditarik dua buah garis yang keduanya tegak lurus
pada bidang K. Hal ini kontradiksi (tidak mungkin melalui P dapat ditarik
dua buah garis yang keduanya tegak lurus terhadap bidang K).
4) Maka dapat disimpulkan bahwa : garis g dan garis g’ harus berimpit dan
terletak pada sebuah bidang yaitu pada bidang L. (Terbukti)
Dalil 33 : Jika dua buah bidang berpotongan, keduanya tegak lurus pada
sebuah bidang ketiga, maka garis potongnya kedua bidang itu tegak lurus pada
bidang ketiga.
Diketahui :
 Bidang K dan bidang L berpotongan menurut garis g
 Bidang K  bidang M
 Bidang L  bidang M
Buktikan : garis g  bidang M
Gambar 9

10. 10
Bukti :
1) Buatlah dua buah bidang sebutlah
bidang K dan bidang L yang
berpotongan, dimana garis g
merupakan garis potong kedua
bidang tersebut. Setelah itu buatlah,
sebuah bidang (sebutlah bidang M),
dimana posisikan bahwa bidang K
 bidang M, dan bidang L 
bidang M.
2) Ambillah sebuah titik sebarang pada garis g sebutlah titik P. Garis yang ditarik
dari titik P dan tegak lurus pada bidang M terletak dalam bidang L. Karena titik
P terletak pada bidang L (dijamin oleh dalil 32 yang berbunyi : Jika dua buah
bidang tegak lurus sesamanya, dan dari sebuah titik pada bidang yang satu
ditarik garis tegak lurus pada bidang yang lainnya, maka garis itu terletak dalam
bidang pertama).
3) Di awal kita ketahui bahwa bidang K dan bidang L berpotongan, sehingga titik P
juga terletak pada bidang K, maka garis itu juga harus terletak pada bidang K.
Maka didapat bahwa garis itu adalah garis tegak lurus yang terletak pada bidang
K dan bidang L yaitu garis g.
Dengan demikian, didapat bahwa : garis g  bidang M. (terbukti)
Gambar 10