Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Rangkuman materi Hasilkali Transformasi

42,431 views

Published on

Rangkuman materi Hasilkali Transformasi

Published in: Education
  • Be the first to comment

Rangkuman materi Hasilkali Transformasi

  1. 1. 1 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN BAB V HASILKALI TRANSFORMASI disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd Oleh Niamatus Saadah 1201125122 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA 2015
  2. 2. 2 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i VVG VVF   : : HASIL KALI TRANSFORMASI Definisi: Andaikan F dan G dua transformasi, dengan Maka produk atau komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G o F didefinisikan sebagai (G o F)(P) = G [F(P)], VP . Teorema 5.1: Jika F : VV dan G : VV masing-masing suatu transformasi, maka hasilkali H= G o F : VV adalah juga suatu transformasi. Bukti : i. Harus dibuktikan bahwa H= G o F : VV ada. 1) Jelas adalah seluruh bidang V 2) Jelas adalah seluruh bidang V Jadi ada sehingga H = G o F : V V ada. ii. Harus dibuktikan dua hal yaitu: 1) H surjektif, 2) H injektif. 1) Misal H(y) = (G o F)(y) = x Akan dibuktikan H(y) = x surjektif. Ambil sebarang x V. Karena G suatu transformasi maka G surjektif artinya x V z V G(z) = x. Karena F suatu transformasi maka F surjektif artinya pada z V y V z = F(y). Jadi ada y V (G o F)(y) = H(y) = x. Jadi H surjektif. 2) Ambil x, y dengan x y H(x) H(y) Andaikan H(x) = H(y) maka (G o F)(x) = (G o F)(y) Karena G injektif maka F(x) = F(y).
  3. 3. 3 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Karena F injektif maka x = y. Ini suatu kontradiksi. Jadi pengandaian salah, sehingga haruslah x y. Jadi H injektif. Berdasarkan i dan ii maka H= G o F : V V adalah suatu transformasi. Catatan: Hasil kali J = F o G : VV adalah juga suatu transformasi. Bukti : i. Harus dibuktikan bahwa J = F o G : VV ada. 1) Jelas adalah seluruh bidang V 2) Jelas adalah seluruh bidang V Jadi ada sehingga J = F o G : VV ada. ii. Harus dibuktikan dua hal yaitu: 1). J surjektif, 2). J injektif. 1) Misal J(y) = (F o G)(y) = x. Akan dibuktikan J(y) = x surjektif. Ambil sebarang x V. Karena F suatu transformasi maka F surjektif artinya x V z V F(z) = x. Karena G suatu transformasi maka G surjektif artinya pada z V y V z = G(y). Jadi ada y V (F o G)(y) = J(y) = x. Jadi J surjektif. 2) Ambil x, y dengan x y J(x) J(y). Andaikan J(x) = J(y) maka (F o G)(x) = (F o G)(y) Karena F injektif maka G(x) = G(y). Karena G injektif maka x = y. Ini suatu kontradiksi dengan x y. Jadi pengandaian salah, sehingga haruslah x y. Jadi J injektif. Berdasarkan i dan ii maka J = F o G : VV adalah suatu transformasi.
  4. 4. 4 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Contoh: Andaikan g sebuah garis dan T sebuah transformasi T : V V yang didefinisikan sebagai berikut. 1. Jika X g maka T(X) = X. 2. Jika X g maka T(X) adalah titik tengah ruas garis dari X ke g yang tegak lurus. a. Buktikan T suatu transformasi. 1) Adb T surjektif Kasus 1: Untuk X g Menurut definisi maka X’= X karena T(X) = X’ = X. Jadi X’ V X V T(X) = X’ = X. Kasus 2 : Untuk X g Ambil sebarang titik X’ V. Menurut teorema dasar geometri Euclides: ada satu garis yang tegak lurus pada garis tertentu melalui titik di luar garis tersebut. Dengan demikian, dapat dibuat sebuah segmen garis yang tegak lurus g melalui X’. Namai . Menurut postulat geometri Euclides: sebuah segmen dapat diperpanjang sehingga sama dengan segmen tertentu. X = T(X) g Gambar 1 X X ’ g Gambar 2
  5. 5. 5 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Jadi dapat dibuat perpanjangan segmen sepanjang segmen tersebut sehingga diperoleh titik X dengan = . Karena = dan V bidang euclides maka ada X tunggal dengan X’ Dengan X’ adalah titik tengah dan X’ adalah satu-satunya titik tengah . Ini berarti X adalah prapeta dari X’. Jadi X’ V X V T(X) = X’. Jadi T surjektif. 2) Adb T injektif Ambil sembarang titik X, Y dengan X X Y jelas ruas garis ortogonal X ke g ruas garis ortogonal Y ke g Ditunjukkan X Y Andaikan . Maka T(X) adalah titik tengah ruas garis ortogonal Y ke g dan X ke g. T(Y) adalah titik tengah ruas garis ortogonal X ke g dan Y ke g. Ruas garis ortogonal X ke g berpotongan ruas garis ortogonal Y ke g. Jadi X = Y Kontradiksi dengan X Y. Haruslah X Y . Jadi T adalah injektif. Dari 1) dan 2) didapat T adalah transformasi. a. Apakah T suatu isometri? Penyelidikan: Ambil sebarang titik .
  6. 6. 6 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Kasus 1: dan dengan Jelas T(P) = P’ = P Q = Q’ = T(Q). Jadi P’Q’ = PQ. Kasus 2: dan . Jelas T(P) = P’ = P. Jelas T(Q) = Q’ dengan Q’ adalah titik tengah ruas garis ortogonal dari Q ke Q’. Jadi PQ P’Q’= PQ’. PR! Kasus 3 : dan , dengan Q tidak segaris Kasus 4 : dan . dengan Berdasarkan kasus 1 dan kasus 2, diperoleh bahwa T bukan isometri. b. Ambil transformasi kedua misalnya sebagai berikut: Ambil sebuah garis h  g dan Mh adalah refleksi pada garis h. Jadi hasilkali Mh[T(X)] = Y juga suatu transformasi sehingga Y = (Mh o T)(X). Apakah hasilkali ini isometri? h P=T(P) Q=T(Q) g Gambar 3 Q g Q’=T(Q ) P=T(P) Gambar 4 X g X’=T(X) Y Gambar 5 X X’=T(X)
  7. 7. 7 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Adb. (Mh o T)(X) = (T o Mh)(X) Bukti: Dari gambar 5, ambil garis g misalkan sebagai sumbu X suatu koordinat ortogonal dan garis h sebagai sumbu Y. Titik potong h dan g sebagai titik asal. Misalkan X = (x,y) maka T(X) = (x, 2 1 y) dan Mh[T(X)] = (-x, 2 1 y). Jadi (Mh o T)(X) = Mh[T(X)] = (-x, 2 1 y). Jelas (T o Mh) (X) = T[Mh(X)]. Sehingga apabila X = (x,y) maka Mh(X) = (-x, y) dan T[Mh(X)] = (-x, 2 1 y). Jadi (T o Mh)(X) = T[Mh(X)] = (-x, 2 1 y). Karena Mh[T(X)] = T[Mh(X)] maka (Mh o T)(X) = (T o Mh)(X) yang berlaku untuk setiap XV. Jadi (Mh o T)(X) = (T o Mh)(X). Jadi hasilkali ini isometri. Mh(X) =(-x,y)X(x,y) y x sb. X O sb. Y X’=T(X) Y Gambar 6 TETAPI SIFAT KOMUTATIF TIDAK SELALU BERLAKU
  8. 8. 8 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Bukti: Ambil garis g dan garis h yang tidak tegak lurus pada g. Jelas bahwa Mh[T(X)] T[Mh(X)]. Jadi (Mh o T)(X) (T o Mh)(X). Berdasarkan hal di atas dapat dikatakan bahwa apabila S dan T transformasi maka S o T T o S. Buktikan bahwa pada gambar 7, Mh[T(X)]  T[Mh(X)]. Bukti: Dari gambar 7, ambillah garis g sebagai sumbu X suatu sistem koordinat ortogonal dan garis h sebagai grafik persamaan y = x . Titik potong h dan g kita ambil sebagai titik asal O. T[Mh(X)] Mh(X) Mh[T(X)] > > h Gambar 7 g X X’=T(X) X(x,y) x y O sb. Y Mh(X) Mh[T(X)] > > y=x Gambar 8 sb. X X’=T(X) T[Mh(X)]
  9. 9. 9 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Misalkan X = (x,y) maka T(x) = (x, 2 1 y) dan Mh[T(x)] = ( 2 1 y, x). Jadi (Mh o T)(X) = Mh[T(x)] = ( 2 1 y, x). Jelas (T o Mh) (X) = T[Mh(X)]. Apabila X = (x,y) maka Mh(X) = (y, x) dan T[Mh(X)] = (y, 2 1 x). Oleh karena Mh[T(X)] T[Mh(X)] maka (Mh o T)(X) (T o Mh)(X) yang berlaku untuk setiap XV. Jadi Mh[T(X)] T[Mh(X)]. Hasil kali transformasi tidak hanya terbatas oleh dua transformasi. Andaikan T1, T2, T3 adalah transformasi. Untuk menyelesaikan masalah tersebut kita dapat menyusun terlebih dahulu hasil kali T1 o T2 kemudian kalikan dengan T3. Hasilkali transformasinya dapat kita sebagai T3(T2T1). Jadi andaikan P’ = T1(P), P” = T(P’), P”’ = T3(P”), maka [T3(T2T1)](P) = T3[T2T1(P)] = T3[T2{T1(P)}] = T3[T2(P’)] = T3(P’’) = P’’’ Selain cara di atas kita juga dapat mengalikan sebagai berikut: [(T3T2 )T1](P) = (T3T2 ) [T1(P)] = (T3T2)(P’) = T3 [T2(P)] = T3(P’’) = P”’ Jadi hasilkali transformasi bersifat asosiatif. Kita dapat mengatakan bahwa T3(T2T1) = (T3T2)T1 = T3T2T1.
  10. 10. 10 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i g g PEMBAHASAN SOAL BAB V HASILKALI TRANSFORMASI 1). Diketahui : garis-garis g dan h dan titik-titik P,Q dan K. Lukislah : a). A = Mg[Mh(P)] b). B = Mh[Mg(P)] c). C = Mh[Mh(P)] d). D = Mg[Mh(K)] e). R sehingga Mh[Mg(R)] = Q f). Apakah Mg Mh = Mh Mg? Penyelesaian: a) b) Q P h A = Mg[Mh(P)] Mh(P) B = Mh[Mg(P)] P Mg(P) h
  11. 11. 11 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i g Q P h K = D= Mg[Mh(K)] Mh(Q) Q = Mh[Mg(R)] c) d) e) f) Tidak, sebab terlihat pada nomor (a) dan (b), diperoleh Mg[Mh(P)]  Mh[Mg(P)]. Selain itu, sifat komutatif tidak berlaku secara umum pada hasilkali transformasi. Pembuktian dapat dilihat di materi. 2). Diketahui : T dan S isometri Selidiki : a). TS sebuah isometri P = Mh[Mh(P)] Mh(P) h g P h g R
  12. 12. 12 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i b). TS = ST c). Jika g sebuah garis maka g’ = (TS)(g) juga sebuah garis. d). Jika g // h dan g’ = (TS)(g), h’ = (TS)(h) maka g’ // h’ Penyelesaian : a). T dan S adalah isometri-isometri sehingga T dan S adalah suatu transformasi Berdasarkan teorema “Jika F : V  V dan G : V  V masing-masing suatu transformasi, maka hasil kali H = GF : V  V adalah juga suatu transformasi”, maka TS juga transformasi. Adb. TS isometri. Ambil sebarang titik A, BV. Jelas S(A) = A’, S(B) = B’. Karena S isometri maka AB = A’B’. Jelas T(A’) = A”, T(B’) = B”. Karena T suatu isometri maka A’B’ = A”B”. Diperoleh AB = A’B’ = A”B”. Jelas TS(A) = T[S(A)] = T(A’) = A” dan TS(B) = T[S(B)] = T(B’) = B”. Karena AB = A”B” maka TS sebuah isometri. Jadi TS adalah suatu isometri. b). Adb TS = ST Didefinisikan T(P) = P’ dan T(Q) = Q’. Misalkan |PQ| = |P’Q’| |PQ| = |T(P) S(Q)|. TS(P) = P’ dan ST(P) = P’. Karena TS(P) = ST(P) = P’ maka TS = ST = 1. Jadi TS = ST. c). Apabila g sebuah garis maka g’ = TS(g) juga sebuah garis. Telah diketahui bahwa TS sebuah isometri. Berdasarkan teorema “sebuah isometri memetakan garis menjadi garis”. Maka g’ = TS(g) adalah sebuah garis.
  13. 13. 13 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Jadi pernyataan “jika g sebuah garis maka g’ = TS(g) juga sebuah garis” benar. d). Apabila g // h dan g’ = TS(g), h’ = TS(h) maka g’// h’. Karena TS sebuah isometri, berdasarkan teorema “sebuah isometri mengawetkan kesejajaran dua garis” sehingga diperoleh g’// h’ dengan g’ = TS(g), h’ = TS(h), g // h . Jadi pernyataan “Apabila g // h dan g’ = TS(g), h’ = TS(h) maka g’// h’” benar. 3). Diketahui : garis-garis g dan h, A g, B h, C  h Lukislah : a). Mg[Mh( ABC)] b). Mh[Mg(  ABC)] c). K sehingga Mg[Mh(K)] = K d). R sehingga Mh[Mg(R)] = D Penyelesaian: a). Mh(A) = A’ Mh(B) = B (karena B h ) g h A C B A’ C’ C” A” B”
  14. 14. 14 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Mh(C) = C’ Mg(A’) = A” Mg(B’) = B” Mg(C’) = C” Jadi, Mg[Mh(ABC)] = A”B”C”. b). Mg(A) = A’ = A (karena A g ) Mg(B) = B’ Mg(C) = C’ Mh(A’) = A” Mh(B’) = B” Mh(C’) = C” Jadi, Mh[Mg(ABC)] = A”B”C”. c). Akan dilukis K sehingga Mg[Mh(K)] = K. Mg[Mh(K)] = K  (MgMh)(K) = K. Hasil kali persamaan (MgMh)(K) = K hanya akan terjadi pada titik potong antara garis g dan garis h. Oleh karena itu K adalah titik potong garis g dan garis h. g h K g h A = A’ C B A” C” C’ B” B’
  15. 15. 15 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i d). Akan dilukiskan titik R sehingga Mh[Mg(R)] = D. Karena D h maka D’ = Mh(D) = D. Diperoleh Mg(R) = D. Jadi, R adalah prapeta D oleh Mg 4). Diketahui : garis-garis g, h, k dengan g // k Lukislah : a). g’ = Mh[Mg(g)] b). g’ = Mg[Mh(g)] c). k’ = Mg[Mh(k)] Penyelesaian: a) g’= Mh[Mg(g)] Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik P dan Q serta namai titik perpotongan garis g dan h di R . Setelah mendapatkan pencerminan P di P’, R di R dan Q di Q’, hubungkan titik P’, R, dan Q’ menjadi suatu garis yaitu garis g’. g h R D g’ Q R Q’ P P’h g k
  16. 16. 16 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i b) g’= Mg[Mh(g)] Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik P dan Q. c) k’= Mg[Mh(k)] Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik A dan B. namai titik perpotongan garis h dan k di C. g ’ Q’’ P’’ Q R Q’ P P’h g k k’ A’’ B’’ B’ A’ B C A h g k
  17. 17. 17 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i 5). Diketahui : dua garis g dan h yang berpotongan Lukislah : a). k sehingga Mg[Mh(k)] = g b). m sehingga Mh[Mg(m)] = g c). n sehingga Mh[Mg(n)] membagi sama besar sudut lancip antara g dan h Penyelesaian: a) k sehingga Mg[Mh(k)] = g Mg[Mh(k)] berarti k dicerminkan terlebih dulu terhadap garis h kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis g. Karena hasil pencerminan terhadap garis g adalah g maka (Mh(k)) = g. b) m sehingga Mh[Mg(m)] = g Mh[Mg(m)] berarti m dicerminkan terhadap garis g terlebih dulu kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis h. Misalkan Mg(m) = i. Karena hasil pencerminan terhadap garis h adalah g berarti Mh[Mg(m)] = Mh(i) = g. Karena hasil pencerminan Mg(m) = i maka g merupakan sumbu antara i dan m. g h k
  18. 18. 18 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i c) n sehingga Mh[Mg(n)] membagi sama besar sudut lancip antara g dan h. Misalkan Mh[Mg(n)] = l sehingga l membagi sama besar sudut lancip antara g dan h, serta Mg(n) = k. Karena hasil pencerminan terhadap garis h adalah l berarti Mh[Mg(n)] = Mh(k) = l. Karena hasil pencerminan Mg(n) =k maka g merupakan sumbu antara k dan m. 6). Diketahui : padanan S dan T sebagai berikut Daerah asal S adalah g, S(X) adalah titik tengah AX m i g h n k h g l
  19. 19. 19 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Daerah asal T adalah daerah di luar lingkaran l dan T(X) = lBX Ditanyakan : a). TS(P) b). Daerah asal dan daerah nilai TS c). R sehingga (TS)(R) = Q dengan Q l d). Apakah ST ada? Jika ya, tentukan daerah asal dan daerah nilainya Penyelesaian: a). Ambil P g sehingga S(P) pertengahan AP. TS(P) = T[S(P)]. TS(P) perpotongan lingkaran l dengan BS(P) . b). Karena TS(X) = T[S(X)] berarti daerah asal T adalah S, sementara daerah asal S adalah g. Jadi, daerah asal TS di g. Daerah nilai S adalah S(X) yaitu pertengahan AX. Daerah nilai T(X) adalah lBX , dan untuk TS(X) maka ll BS(X) Jadi, daerah nilai TS adalah pada lingkaran l. c). R sehingga (TS)(R) = Q dengan Q l B TS(P) A P g S(P) l B Q A R g S(R) l
  20. 20. 20 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i d). Ambil sebarang titik P Maka T(P) di l karena daerah hasil T di l. S[T(P)] tidak ada karena T(P) ,l sementara daerah asal S di g. Jadi, ST tidak ada. 7). Diketahui : garis g adalah sumbu X sebuah sumbu ortogonal dan   xyyxh  , . Ditanyakan : a). Persamaan garis Mh[Mg(g)] b). P” = Mh[Mg(P)] dengan P = (0,3) c). Q” = Mg[Mh(Q)] dengan Q = (3,-1) d). R” = Mg[Mh(R)] dengan R = (x, y) e). Besarnya  ROR” apabila O titik asal Penyelesaian: a). Mh[Mg(g)] = Mh(g) = Mh    Rxx ,0, Ingat! misalkan diketahui titik A (a, b), maka penerminan A terhadap garis y = x adalah A’ (b, a). Jadi Mh[Mg(g)] =   Rxx ,,0 . Jadi, diperoleh Mh[Mg(g)] adalah sumbu-Y sebuah sistem sumbu ortogonal. Jadi persamaan garis Mh[Mg(g)] adalah x = 0. b). Akan ditentukan P” = Mh[Mg(P)] dengan P = (0,3) Mh[Mg(P)] = Mh[Mg(0,3)] = Mh[(0,-3)] = (-3,0) Jadi P” = (-3,0).
  21. 21. 21 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i c). Akan ditentukan Q” = Mg[Mh(Q)] dengan Q = (3,-1) Mh(Q) = Mh(3,-1) = (-1,3) Diperoleh Q” = Mg[Mh(Q)] = Mg(-1,3) = (-1,-3) Jadi Q” = (-1,-3). d). Akan ditentukan R” = Mg[Mh(R)] dengan R = (x, y) R” = Mg[Mh(R)] = Mg[Mh(x, y)] = Mg(y, x) = (y,-x) Jadi R” = (y,-x). e). m( ROR”) = ...? Cara 1 Misalkan m( ROR”) = α                      270αatau90α 0αcos 0αcos2 αcos222 αcos2 αcosOR"OR2OR"ORRR" 22 2222222222 2222222222 222 yx yxxyyxxxyyyxyx xyyxxyyxxyyx Jadi, m( ROR”) = 90 Cara 2 Menentukan besar  ROR” dengan O adalah titik asal R(x, y) dan R’’(y, -x). R dicerminkan dulu terhadap garis g = sumbu X, dilanjutkan dicerminkan terhadap garis h. O(0,0) R(x,y) α) R”(y,-x)
  22. 22. 22 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Persamaan garis yang melalui O dan R adalah x x y y x x y y R R RR       0 0 0 0 Persamaan garis yang melalui O dan R’’ adalah x x y y x x y y R R RR '' '' '''' 0 0 0 0       Karena xyR '' dan yxR '' maka diperoleh ''OROR  . Jadi  ROR” = 90. 8). Diketahui : dua garis g dan h yang berbeda berpotongan di P Buktikan : Mg[Mh(A)] = P jika dan hanya jika A = P Bukti : Garis g dan h berpotongan di titik P, maka P g dan P h   Diketahui Mg[Mh(A)] = P ..........(i) Akan dibuktikan jika Mg[Mh(A)] = P maka A = P Karena P ,g menurut definisi pencerminan, Mg(P) = P ..........(ii) Dari (i) dan (ii) diperoleh Mg[Mh(A)] = P = Mg(P)  Mh(A) = P ..........(iii) Karena P ,h menurut definisi pencerminan, Mh(P) = P ..........(iv) Dari (iii) dan (iv) diperoleh Mh(A) = P = Mh(P) A = P Jadi, jika Mg[Mh(A)] = P maka A = P (terbukti)   Diketahui A = P Akan dibuktikan jika A = P maka Mg[Mh(A)] = P Karena A = P dan P ,h menurut definisi pencerminan, Mh(A) = Mh(P) = P Karena P ,g menurut definisi pencerminan, Mg(P) = P = Mg[Mh(A)] sehingga Mg[Mh(A)] = P
  23. 23. 23 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Jadi, jika A = P maka Mg[Mh(A)] = P (terbukti) Dari   dan   diperoleh : Jika dua garis g dan h yang berbeda berpotongan di P, maka Mg[Mh(A)] = P jika dan hanya jika A = P (terbukti). 9). Diketahui : andaikan g sumbu X dan h =   xyyx , S adalah padanan yang didefinisikan sebagai berikut : Jika P g maka S(P) = P, jika P g maka S(P) adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g Ditanyakan : a). Buktikan S suatu transformasi! b). Jika P = (x,y) sebuah titik sembarang, tentukan koordinat-koordinat titik S[Mg(P)]! c). Selidiki apakah S Mg = Mg S? d). Selidiki apakah S Mh = Mh S? Penyelesaian: a). Akan dibuktikan S suatu transformasi. S : V  V Akan dibuktikan S bijektif. (i). Akan dibuktikan S surjektif. (1). Untuk P g . Ambil sebarang PV. Jelas prapeta P = P sebab S(P) = P. (2). Untuk P g . Oleh karena V bidang euclide maka terdapat dengan tunggal P. dengan P PT dimana T g dan PT g. Sehingga PX = XT. Karena PX = XT maka X merupakan titik tengah PT.
  24. 24. 24 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Jadi, X adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g atau X = S(P), karena X = S(P) maka P prapeta dari X. Dari (1) dan (2) diperoleh S surjektif. (ii). Akan dibuktikan S injektif. Ambil sebarang P, QV dengan P  Q. (1). Untuk P, Q g . Jelas S(P) = P dan S(Q) = Q. Karena P  Q maka S(P)  S(Q). (2). Untuk P g dan Q g . Jelas S(P) = P dan S(Q) = X, dimana X titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q pada g, maka X g . Karena P g dan X g maka P  X atau S(P)  S(Q). (3). Untuk P, Q g . Jelas S(P) = Y, dimana Y titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g dan S(Q) = X titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q pada g. Andaikan S(P) = S(Q) atau Y = X. Karena Y titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g, misalkan ruas garis tersebut dinamakan PT dimana T g . Maka Y PT dan PY = YT Karena X = Y maka X PT dan PX = XT ..........(*) Karena S(Q) = X maka X titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q pada g, maka X UQ dan QX = XU ..........(**) Dari (*) dan (**) diperoleh PT dan UQ berimpit. Karena T g dan U g maka T = U dan P = Q, hal ini kontradiksi dengan P  Q. b). Diketahui P = (x, y). (i). Untuk P g . Mg(P) = P maka S[Mg(P)] = P.
  25. 25. 25 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i (ii). Untuk P g . Mg(P) = (x,-y). S[Mg(P)] = ) 2 1 ,( yx  . c). Akan diselidiki apakah S Mg = Mg S. Ambil sebarang P = (x, y). (i). Untuk P g . [S(P)]M(P)][MS P(P)M[S(P)]MmakaPS(P) PS(P)(P)][MSmakaP(P)M gg gg gg        (ii). Untuk P g . [S(P)]M(P)][MS ) 2 1 ,(M[S(P)]Mmaka) 2 1 ,(S(P) ) 2 1 ,(S(P)(P)][MSmaka),((P)M gg gg gg          yxyx yxyx Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh [S(P)]M(P)][MS gg  atau S Mg = Mg S. d). Akan diselidiki apakah S Mh = Mh S. Ambil sebarang P = (x, y). (i). Untuk P g . (P)][MS[S(P)]M ),0([S(P)]Mmaka)0,(S(P) ) 2 1 ,0((P)][MSmaka),0((P)M hh h hh        xx xx (ii). Untuk P g . (P)][MS[S(P)]M ), 2 1 ([S(P)]Mmaka) 2 1 ,(S(P) ) 2 1 ,((P)][MSmaka),((P)M hh h hh          xyyx xyxy Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh (P)][MS[S(P)]M hh  atau S Mh  Mh S. 10). Diketahui : g =   0, yyx dan h =   xyyx , S transfomasi (yang didefinisikan seperti nomor 9)
  26. 26. 26 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i A = (2,-8) dan P = (x, y) Tentukan koordinat-koordinat titik-titik berikut : a). Mh Mg S(A) d). Mh S Mg(P) b). Mg S Mh(A) e). S2 Mh(P) c). S Mh S(A) f). S M2 g(P) Penyelesaian: a). A = (2, -8) A’ = S(A) Sesuai definisi S (jika P g maka S(P) adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g) maka A’ adalah titik tengah garis yang melalui A dan  g. A’ = )4,2() 2 )8(0 , 2 22 (   . Jadi, S(A) = (2,-4). A” = MgS(A) = Mg(2,-4) Sesuai definisi pencerminan, maka garis g adalah garis sumbu titik (2, -4) dan A”. Misal: A” = (a, b), maka: 4,2)2 2 , 2 1()0,2() 2 4 , 2 2 ()0,2(    ba baba Jadi, A” = MgS(A) = Mg(2,4) = (4,2) Selanjutnya A” (4,2) dicerminkan terhadap garis h =   xyyx , diperoleh A’” (2,4). Jadi koordinat titik Mh Mg S(A) adalah A’” (2,4). b). Diketahui A(2,-8) dicerminkan terhadap garis h =   xyyx , . diperoleh A’ (-8,2) Selanjutnya A’ ditransformasikan terhadap S. Karena A’ g , maka hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui A’ dan  g.
  27. 27. 27 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Titik potong garis yang melalui A’ dan  g adalah P(-8,0). Diperoleh titik A’(-8,2) dan P(-8,0). Jelas x1 = -8 dan y1 = 2, x2 = -8 dan y2 = 0 sehingga jarak antara A’ dan P adalah Diperoleh = y = 2. Jadi hasil transformasi A’ terhadap S adalah A” (x, y) = A” (-8, .2) = A” (-8,1). Kemudian A” (-8,1) dicerminkan terhadap garis g =   0, yyx diperoleh A’” (-8,-1). Jadi koordinat titik Mg S Mh(A) adalah A’” (-8,-1). c). Diketahui A(2,-8) ditransformasikan terhadap S. Karena A g , maka hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui A dan  g. Titik potong garis yang melalui A dan  g adalah P(2,0). Diperoleh titik A(2,-8) dan P(2,0). Jelas x1 = 2 dan y1 = -8, x2 = 2 dan y2 = 0 sehingga jarak antara A dan P adalah Diperoleh = y = 8.
  28. 28. 28 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Jadi hasil transformasi A terhadap S adalah A’ (x, y) = A’ (2, .8) = A’ (2,4). Selanjutnya A’(2,4) dicerminkan terhadap garis h =   xyyx , diperoleh A”(4,2). Kemudian A”(4,2) ditransformasikan terhadap S. Karena A” g , maka hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui A” dan  g. Titik potong garis yang melalui A” dan  g adalah P(4,0). Diperoleh titik A”(4,2) dan P(4,0). Jelas x1 = 4 dan y1 = 2, x2 = 4 dan y2 = 0 sehingga jarak antara A” dan P adalah Diperoleh = y = 2. Jadi hasil transformasi A” terhadap S adalah A”’ (x, y) = A’” (4, .2) = A’” (4,1). Jadi koordinat titik S Mh S(A) adalah A’” (4,1). d). Diketahui titik P (x, y). Titik P (x, y) dicerminkan terhadap garis g =   0, yyx diperoleh P’ (x, -y). Selanjutnya P’(x, -y) ditransformasikan terhadap S. (i) Untuk P’ g . Diperoleh P’’(x, -y) = P’(x, -y). Kemudian P’’(x, -y) dicerminkan terhadap garis h =   xyyx , diperoleh P”’(-y, x).
  29. 29. 29 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Jadi koordinat titik Mh S Mg(P) adalah P”’(- y, x). (ii) Untuk P’ g ,. Jelas hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui P’ dan  g. Titik potong garis yang melalui P’ dan  g adalah Q (x, 0). Diperoleh titik P’(x, -y) dan Q (x, 0). Jelas x1 = x dan y1 = -y, x2 = x dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’ dan Q adalah Diperoleh = y. Jadi hasil transformasi P’ terhadap S adalah P” (x, y). Kemudian P”(x, y) dicerminkan terhadap garis h =   xyyx , diperoleh P”’( y, x). Jadi koordinat titik Mh S Mg(P) adalah P”’( y, x). e). Diketahui P(x, y). Titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis h =   xyyx , diperoleh P’(y, x). Selanjutnya P’(y, x) ditransformasikan terhadap S. Jelas hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui P’ dan  g. Titik potong garis yang melalui P’ dan  g adalah Q (y, 0). Diperoleh titik P’(y, x) dan Q (y, 0).
  30. 30. 30 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Jelas x1 = y dan y1 = x, x2 = y dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’ dan Q adalah Diperoleh = x. Jadi hasil transformasi P’ terhadap S adalah P” (y, x). Kemudian P” (y, x) ditransformasikan terhadap S. Jelas hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui P” dan  g. Titik potong garis yang melalui P” dan  g adalah Q (y, 0). Diperoleh titik P” (y, x) dan Q (y, 0). Jelas x1 = y dan y1 = x, x2 = y dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’ dan Q adalah Diperoleh . Jadi hasil transformasi P” terhadap S adalah P”’ (y, x). Jadi koordinat titik S2 Mh(P) adalah P”’ (y, x). f). Diketahui titik P(x, y).
  31. 31. 31 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis g =   0, yyx diperoleh P’(x, -y). Selanjutnya P’(x, -y) dicerminkan terhadap garis g =   0, yyx diperoleh P’’(x, y). Kemudian P’’(x, y) ditransformasikan terhadap S. (i) Untuk P’’ g . Diperoleh P’’’(x, y) = P’’(x, y). Jadi koordinat titik S M2 g(P) adalah P’’’(x, y). (ii) Untuk P’’ g ,. Jelas hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui P’’ dan  g. Titik potong garis yang melalui P’’ dan  g adalah Q (x, 0). Diperoleh titik P’’(x, y) dan Q (x, 0). Jelas x1 = x dan y1 = y, x2 = x dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’ dan Q adalah Diperoleh = y. Jadi hasil transformasi P’’ terhadap S adalah P”’ (x, y). Jadi koordinat titik S M2 g(P)adalah P”’ (x, y). 11). Diketahui : andaikan g dan h dua garis yang tegak lurus A, B, C adalah tiga buah titik, sehingga Mg(A) = B dan Mh(A) = C Ditanyakan : tentukan titik-titik a). M3 g(A) c). MhMgMhMhMg(A) b). MhMgMh(A) d). M2 gM3 h(A) Penyelesaian: B(x,y)A(-x,y) g h
  32. 32. 32 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Misalkan seperti gambar berikut: a). M3 g(A) = (MgMgMg)(A) c). MhMgMhMhMg(A) = (MgMg)[Mg(A)] = (MhMgM2 h)[Mg(A)] = (MgMg)(B) = (MhMgM2 h)(B) = Mg[Mg(A)] = (MhMg)[M2 h(B)] = Mg(A) = (MhMg)(B) = B = Mh[Mg(B)] = Mh(A) = C b). (MhMgMh)(A)= (MhMg)[Mh(A)] d). M2 gM3 h(A) = (M2 gMh)[M2 h (A)] = (MhMg)(C) = (M2 gMh)(A) = Mh[Mg(C)] = M2 g[Mh(A)] = Mh(D) = M2 g(C) = B = C 12). Diketahui : dua garis, g // h, titik-titik P dan Q, P g dan P h Ditanyakan : a). Lukislah P” = MgMh(P) dan Q” = MgMh(Q)! b). Berbentuk apakah segiempat PP”QQ”? c). Buktikan pendapat anda! Penyelesaian: a). g h Q PP’ = Mh(P) Q’ = Mh(Q) MgMh(P) = P” MgMh(Q) = Q”
  33. 33. 33 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i b). Segiempat PP”Q”Q berbentuk jajargenjang c). g // h, P” = MgMh(P), dan Q” = MgMh(Q) Jadi, Q"P" = MgMh(PQ) Karena pencerminan suatu isometri, maka Q"P" // PQ dan Q"P" = PQ , dengan demikian segiempat PP”Q”Q suatu jajargenjang (berdasarkan teorema “segiempat yang memiliki sepasang sisi yang sejajar dan sama panjang adalah jajargenjang”). 13). Diketahui : g =   ,3, yyx h =   ,1, yyx dan k sebuah garis yang melalui A = (1,4) dan B = (-1,-2) Tentukanlah : a). Persamaan k’ = MgMh(k) b). Luas segiempat AA”BB” apabila A” = MgMh(A) dan B” = MgMh(B) c). Koordinat P” = MgMh(P), P” = MgMh(P) apabila P = (x, y) d). Nilai  dalam persamaan garis   α,  yyxh apabila   ,2,  xyxg A = (5,1), dan A” = MhMg(A) = (-3,1) Penyelesaian: a). k’ = MgMh(k) Karena A(1,4) k dan B(-1,-2) k , sehingga A”=MgMh(A) k dan B”=MgMh(B) k . Diperoleh A” = MgMh(A) = Mg[Mh(1,4)] = Mg (1,-6) = (1,12), dan B” = MgMh(B) = Mg[Mh(-1,-2)] = Mg (-1,0) = (-1,6). Misal A” = ),( 11 yx dan B” = ),( 22 yx sehingga x1 = 1 dan y1 = 12, x2 = - 1 dan y2 = 6 Persamaan garis k’:
  34. 34. 34 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i 11 1 126 12 12 1 12 1            xy xx xx yy yy 93 3312 )1(312 2 1 6 12          xy xy xy xy Jadi, persamaan garis 93:'  xyk b). Dari gambar dapat dilihat bahwa AA”B”B membentuk bangun jajargenjang dengan alas(a) = 2 dan tinggi(t) = 8. Diperoleh luas jajargenjang = a x t = 2 x 8 = 16 Jadi, luas AA”B”B = 16 satuan luas. c). Diketahui titik P ),( yx . Pencerminan titik P terhadap garis h =   ,1, yyx  Mh(P) = P’ )','( yx A”(1,12) A(1,4) B(-1,-2) B”(-1,6) 4 6 12 1 -2 -1
  35. 35. 35 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Karena garis h =   ,1, yyx merupakan sumbu PP’, sehingga -1 merupakan titik tengah dari y dan y’: 2'2'1 2 '   yyyy yy dan xx ' Jadi, koordinat titik P’(x, -y – 2). Pencerminan titik P’ terhadap garis g =   ,3, yyx  Mg[Mh(P)] = P” )","( yx Karena garis g =   ,3, yyx merupakan sumbu P’P”, sehingga 3 merupakan titik tengah dari y’ dan y”: 8")2(6"'6"6"'3 2 "'   yyyyyyyy yy Dan xxx  '" Jadi, koordinat titik P”(x, y + 8). d).   α,  yyxh ,   ,2,  xyxg A = (5,1), dan A” = MhMg(A) = (- 3,1), berapa ? Pencerminan titik A terhadap garis   2,  xyxg : Mg(A) = A’ )','( yx Karena garis   2,  xyxg merupakan sumbu AA’ (dari definisi pencerminan), sehingga x = 2 merupakan titik tengah 5 dan x’ sedangkan y’ = 1 (tetap). 1'4'52 2 '5   xx x Jadi, A’ = Mg(5,1) = (-1,1) Pencerminan titik A’ terhadap garis   α,  yyxh : A” = Mh(A’) = Mh(-1,1) = (-3,1) Karena garis   α,  yyxh merupakan sumbu A’A” (dari definisi pencerminan), sehingga x =  merupakan titik tengah -1 dan -3 sedangkan y” = y = 1. 2αα 2 )3(1  
  36. 36. 36 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Jadi, 2α  . Jadi, persamaan garis   2,  yyxh 14). Diketahui : dua garis, g  h, Q ,hg  dan sebuah titik P ,g dan P h Ditanyakan : a). Lukislah A = MgMh(P) b). Selidiki apakah Q titik tengah ?AP c). Lukislah B = MhMg(P) Penyelesaian: a). A = MgMh(P) b). Misalkan Mh(P) = P’ Maka PP' memotong h di titik R dan AP' memotong g di titik S. Karena P’ adalah pencerminan dari P maka PR = RP’ dan PP' h. Karena A adalah pencerminan dari P’ maka P’S = SA dan AP'  g. Karena PP' h dan g  h maka PP'// g sehingga RP’ = QS. Karena AP' g dan g  h maka AP' // h sehingga P’S = RQ. Perhatikan PRQ dan QSA PR = RP’ dan RP’ = QS maka PR = QS m(PRQ) = m(QSA) = 90 RQ = P’S dan P’S = SA maka RQ = SA Jadi berlaku aturan S Sd S. AMh(P)=P’ P Q g h R S
  37. 37. 37 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i Berdasarkan sistem aksioma kekongruenan maka PRQ  QSA. Akibatnya PQ = QA. Karena PQ = QA dan PQ PA dan QA PA maka Q tengah- tengah PA. Jadi, titik Q pada pertengahan PA. c). B = MhMg(P) 15). Diketahui : h adalah sumbu-X dan g sumbu-Y sebuah sistem sumbu ortogonal A = (4,-3) dan P = (x,y) Tentukanlah : a). Koordinat-koordinat MhMg(A) dan MgMh(A) b). Koordinat-koordinat MhMg(P) c). Apakah MhMg dan MgMh? Penyelesaian: a). MhMg(A) = Mh[Mg(A)] = Mh[Mg(4,-3)] = Mh(-4,-3) = (-4,3) MgMh(A) = Mg[Mh(A)] = Mg[Mh(4,-3)] = Mg(4,3) = (-4,3) P Mg(P) Bg h
  38. 38. 38 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i b). MhMg(P) = Mh[Mg(x, y)] = Mh(-x, y) = (-x,-y) c). MgMh(P) = Mg[Mh(x, y)] = Mg(x,-y) = (-x, -y) Ternyata MhMg(P) = (-x,-y) = MgMh(P). Jadi, MhMg(P) = MgMh(P).

×