Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Makalah geseran (translasi)

39,233 views

Published on

Rangkuman materi geseran (translasi)

Published in: Education
  • Be the first to comment

Makalah geseran (translasi)

  1. 1. RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN BAB X GESERAN (TRANSLASI) disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd Oleh Niamatus Saadah 1201125122 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA 2015
  2. 2. BAB X GESERAN (TRANSLASI) A. Ketentuan dan Sifat-sifat Dalam bab setengah putaran, dijelaskan bahwa setengah putaran dapat ditulis sebagai hasil kali dua pencerminan, yaitu kalau A sebuah titik yang diketahui dan g dan h dua garis yang tegak lurus di A maka hgA MMS ο€½ . Dalam bab ini akan dibahas hasil kali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar. Teorema 10.1 Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A danB maka "" BBAA ο€½ dengan )(" AMMA ghο€½ dan )(" BMMB ghο€½ Pembuktian: Diketahui : g // h, titik A dan titik B dengan A=MhMg(A) dan B"=Mβ„ŽM 𝑔(B). Buktikan : AA"Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… = BB"Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…. Kita tentukan sebuah sistem koordinat dengan g sebagai sumbu-y dan sebuah garis tegak lurus dengan g sebagai sumbu-x. B X A A’’A’ g B’’ B’ N h Y
  3. 3. Ambil titik A dan B sebarang dengan Aβ‰ B dan A, B βˆ‰ 𝑔 A, B βˆ‰ β„Ž Andaikan A=(a1, a2) dan B=(b1, b2) Akan dibuktikan SN(A)=B” dengan N adalah titik tengah BA"Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… Jelas g : x=0. Andaikan persamaan garis h adalah x=n, nβ‰ 0. Maka, Mg(A)=A' = (βˆ’a1, a2) dan MhMg(A)=A" ⟺ Mβ„Ž(Aβ€²)=A" ⟺ Mβ„Ž(βˆ’a1, a2)=A" ⟺ ((βˆ’a1) + 2(𝑛 + a1), a2) = A" ⟺ (2𝑛 + a1, a2) = A" Mg(B)=B' = (βˆ’b1, b2) dan MhMg(B)=B" ⟺ Mβ„Ž(Bβ€²)=B" ⟺ Mβ„Ž(βˆ’b1, b2)=B" ⟺ ((βˆ’b1) + 2(𝑛 + b1), b2) = B" ⟺ (2𝑛 + b1, b2) = B" Karena N titik tengah BA",Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… Maka   οƒ· οƒΈ οƒΆ     ο€½ 2 , 2 2 2211 baban N Diperoleh οƒ· οƒΈ οƒΆ     ο€½ 2 , 2 2 2211 baban N dan A=(a1, a2) sehingga οƒ·οƒ· οƒΈ οƒΆ    ο€­οƒ· οƒΈ οƒΆ     ο€­οƒ· οƒΈ οƒΆ     ο€½ 2 22 1 11 2 2, 2 2 2)( a ba a ban ASN   " 21,2 B bbn ο€½  Dengan demikian maka AA"Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… = BB"Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… Jadi setiap ruas berarah, dengan pangkal sebuah titik dan berakhir di titik petanya oleh MhMg adalah ekivalen dengan setiap garis berarah seperti di atas. Jadi hasil transformasi MhMg adalah seakan-akan menggeser setiap titik sejauh jarak yang sama dan searah. Transformasi demikian dinamakan translasi(geseran).
  4. 4. Definisi : Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis berarah 𝐀𝐁̅̅̅̅ sehinga setiap titik P pada bidang menjadi P’ dengan G(P) = P’ dan 𝐏𝐏′̅̅̅̅̅ =Μ‡ 𝐀𝐁.Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… Setiap ruas garis berarah menentukan sebuah translasi. Kalau ABΜ…Μ…Μ…Μ… suatu garis berarah maka dengan lambang GAB dimaksudkan sebagai sebuah geseran yang sesuai dengan ABΜ…Μ…Μ…Μ…. Teorema 10.2 Apabila 𝐀𝐁̅̅̅̅ =Μ‡ 𝐂𝐃̅̅̅̅ maka 𝐆 𝐀𝐁 = 𝐆 𝐂𝐃 Bukti: Dipunyai CDAB  Ambil x sebarang Misalkan 1)( xxGAB ο€½ dan 2)( xxGCD ο€½ Maka ABxx 1 dan CDxx 2 Karena CDAB  maka 21 xxxx  Ini berarti bahwa x1 = x 2 Jadi CDAB GG ο€½ Teorema 10.3 Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan 𝐂𝐃̅̅̅̅ sebuah garis berarah tegak lurus pada g dengan 𝐂 ∈ π’ˆ dan D ∈ 𝒉. Apabila 𝐀𝐁̅̅̅̅ =Μ‡ πŸπ‚πƒΜ…Μ…Μ…Μ… maka GAB=MhMg Bukti: Ambil titik P sebarang. Misal P’=GAB(P) dan P”=MhMg(P)
  5. 5. Akan dibuktikan P’=P” Menurut definisi geseran PPβ€²Μ…Μ…Μ…Μ… =Μ‡ ABΜ…Μ…Μ…Μ… Karena ABΜ…Μ…Μ…Μ… =Μ‡ 2CDΜ…Μ…Μ…Μ… , maka PPβ€²Μ…Μ…Μ…Μ… =Μ‡ 2CDΜ…Μ…Μ…Μ… Karena C ∈ 𝑔 maka Mβ„ŽM 𝑔(C) = Mβ„Ž[M 𝑔(C)] = Mβ„Ž(C) = C" Ini berarti D titik tengah CC"Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… , sehingga CC"Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… =Μ‡ 2CDΜ…Μ…Μ…Μ… Berdasarkan teorema 10.1 diperoleh CC"Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… =Μ‡ PP"Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… Jadi CC"Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… =Μ‡ 2CDΜ…Μ…Μ…Μ… =Μ‡ PPβ€²Μ…Μ…Μ…Μ… =Μ‡ PP"Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… akibatnya P’=P” Jadi GAB(P)=MhMg(P) Karena P titik sebarang maka GAB=MhMg Catatan 1. Dari teorema di atas dapat disimpulkan bahwa setiap geseran GAB dapat ditulis sebagai hasilkali dua refleksi pada dua garis yang tegak lurus pada AB⃑ dan berjarak 1 2 AB. 2. Jika AB⃑ sebuah garis dan M titik tengah ABΜ…Μ…Μ…Μ… sedangkan g, h dan n tiga garis masing-masing tegak lurus di A, di M dan di B pada AB⃑ maka GAB=MhMg=MnMh. 3. Karena setiap geseran sebagai hasilkali dua reflexi sedangkan reflexi adalah suatu transformasi maka suatu geseran adalah suatu transformasi yang merupakan isometri. Jadi suatu reflexi adalah suatu isometri. Suatu geseran adalah suatu isometri langsung sebab setiap reflexi adalah suatu isometri lawan. A M nhg B
  6. 6. Teorema 10.4 Jika GAB sebuah geseran maka (GAB )-1 = GBA Bukti: Geseran adalah hasil kali dua refleksi (Teorema 10.3) Refleksi adalah trasformasi (Teorema 3.1) Tiap transformasi memiliki balikan (Teorema 6.1) Maka setiap geseran memiliki balikan Perhatikan gambar berikut: Dari uraian diatas Diperoleh GAB(A)=MhMg(A) =Mh[Mg(A)] =Mh(A) =B GAB(A)=MnMh(A) =Mn[Mh(A)] =Mn(B) =B Jadi GAB(A) =MhMg(A)= MnMh(A) atau GAB=MhMg= MnMh Sedangkan GBA(B)=MhMn(B) =Mh[Mn(B)] =Mh(B) =A GBA(B)=MgMh(B) =Mg[Mh(B)] =Mg(A) =A Jadi GBA(B) = MhMn(B) = MgMh(B) atau GBA = MhMn = MgMh Sehingga (GAB)-1 = (MnMh)-1 = Mh -1 Mn -1 = MhMn =GBA Jadi (GAB)-1 =GBA nhg A BC | |
  7. 7. Teorema 10.5 Jika GAB sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga 𝐀𝐁̅̅̅̅ =Μ‡ πŸπ‚πƒΜ…Μ…Μ…Μ… maka GAB = SCSD Bukti : Andaikan 𝑔 = CD⃑ , k g di C, m g di D (gambar 10.5) Maka CDΜ…Μ…Μ…Μ… ruas garis berarah dari k ke m. Karena ABΜ…Μ…Μ…Μ… =Μ‡ 2CDΜ…Μ…Μ…Μ… maka GAB = MmMk ( Berdasarkan Teorema 10.3) ……………….(*) sedangkan SD = MmMg (Menurut Teorema 7.1 β€œandaikan D sebuah titik serta g dan m dua garis tegak lurus yang berpotongan di D, maka SD = MmMg ) dan SC = MgMk (Menurut Teorema 7.1 β€œandaikan C sebuah titik serta g dan m dua garis tegak lurus yang berpotongan di C, maka SC = MgMk ) A B C D g k m Gambar 10.5 D g m
  8. 8. Jadi : SCSD = (MmMg)(MgMk) = Mm (MgMg) Mk (Sifat asosiatif hasil kali transformasi) = Mm I Mk = MmMk …………………………………(**) Berdasarkan (*) dan (**) diperoleh : GAB = SCSD CONTOH: Jika A = (3,-1), dan B = (1,7) dan C = (4,2) adalah titik-titik yang diketahui tentukan sebuah titik D sehingga GAB = SCSD. JAWAB: sebuah titik sehingga, CEΜ…Μ…Μ…Μ… =Pilih E C g k (Transformasi identitas) 6 2 0 1 3 4 5 Y X-1 654321 -4 -3 -2 -1 7 A B C 9 8 10
  9. 9. ABΜ…Μ…Μ…Μ… maka E = (4 + [1 βˆ’ 3], 2 + [7 βˆ’ (βˆ’1)]) atau E = (2,10). Apabila D titik tengah CEΜ…Μ…Μ…Μ… maka D = (3,6) sehingga CEΜ…Μ…Μ…Μ… = 2CDΜ…Μ…Μ…Μ…. Atau ABΜ…Μ…Μ…Μ… = 2CDΜ…Μ…Μ…Μ…. Menurut Teorema 10.5 diperoleh GAB = SCSD jadi titik D yang dicari adalah (3,6). Teorema 10.6 Komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah putaran. Bukti: Andaikan GAB suatu geseran. Ambil titik C sebarang dan misal ada titik E yang tunggal sehingga CEΜ…Μ…Μ…Μ… =Μ‡ ABΜ…Μ…Μ…Μ… Ambil titik D sehingga D merupakan titik tengah CEΜ…Μ…Μ…Μ…, berarti CEΜ…Μ…Μ…Μ… =Μ‡ 2CDΜ…Μ…Μ…Μ… Menurut teorema 10. 5, GAB = SDSC ⇔ GABSC = SDSCSC ⇔ GABSC = SD[SCSC] ⇔ GABSC = SDI ⇔ GABSC = SD Jadi, komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah putaran. Akibat : Andaikan 𝐒 𝐀, 𝐒 𝐁 dan 𝐒 𝐂 masing-masing setengah putaran, maka 𝐒 𝐂 𝐒 𝐁 𝐒 𝐀 = 𝐒 𝐃 dengan D sebuah titik sehingga 𝐀𝐃 =Μ‡ 𝐁𝐂. Bukti : Diperoleh berturut-turut 𝐒 𝐂 𝐒 𝐁 = 𝐆 𝐁𝐂 ⇔ 𝐒 𝐂 𝐒 𝐁 𝐒 𝐀 = 𝐆 𝐁𝐂 𝐒 𝐀 Ambil titik X sebarang Misal 𝐆 𝐁𝐂 𝐒 𝐀 = 𝐒 𝐗
  10. 10. Sehingga diperoleh 2BCΜ…Μ…Μ…Μ… =Μ‡ 2AXΜ…Μ…Μ…Μ… atau BCΜ…Μ…Μ…Μ… =Μ‡ AXΜ…Μ…Μ…Μ… Karena titik X sebarang, Jadi bisa diubah menjadi sebarang titik, kita misalkan titik D maka diperoleh 𝐆 𝐁𝐂 𝐒 𝐀 = 𝐒 𝐗 ⇔ 𝐒 𝐂 𝐒 𝐁 𝐒 𝐀 = 𝐒 𝐃 dengan AD = BC. Jadi, jika SA, SB dan SC masing-masing setengah putaran, maka 𝐒 𝐂 𝐒 𝐁 𝐒 𝐀 = 𝐒 𝐃 dengan D sebuah titik sehingga ADΜ…Μ…Μ…Μ… =Μ‡ BCΜ…Μ…Μ…Μ…. Teorema 10.7 Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi Bukti : Andaikan dua buah geseran yaitu GAB dan GBC Diperoleh GAB(A) = B dan GBC(B) = C Jika GBC dikomposisikan dengan GAB melalui A maka didapat GBCGAB(A) = GBC[GAB(A)] = GBC(B) = C Andaikan titik E sebarang Diperoleh GAB(E) = Eβ€² Berarti EEβ€²Μ…Μ…Μ…Μ… =Μ‡ ABΜ…Μ…Μ…Μ… GBC(Eβ€²) = Eβ€²β€² Berarti Eβ€²Eβ€²β€²Μ…Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… = BCΜ…Μ…Μ…Μ… Jika GBC dikomposisikan dengan GAB melalui titik E, maka diperoleh GBCGAB(E) = GBC[GAB(E)] = GBC(Eβ€²) A B C E E’ E’’
  11. 11. = E" Berarti EEβ€²β€²Μ…Μ…Μ…Μ…Μ… =Μ‡ ACΜ…Μ…Μ…Μ… sehingga diperoleh GEE"(E) = E" = GAC Jadi GBCGAB = GAC Atau Pembuktian menggunakan teorema 10.5 Ambil titik P, Q sebarang sehingga 2PQΜ…Μ…Μ…Μ… =Μ‡ ABΜ…Μ…Μ…Μ… dan titik R sehingga 2QRΜ…Μ…Μ…Μ… =Μ‡ BCΜ…Μ…Μ…Μ… Diperoleh GAB = SQSP dan GBC = SRSQ Jika GBC dikomposisikan dengan GAB maka diperoleh GBCGAB = (SRSQ)(SQSP) = SR(SQSQ)SP (assosiatif) = SRISP (Identitas transformasi) = SRSP (Identitas transformasi) Karena 2PRΜ…Μ…Μ…Μ… = ACΜ…Μ…Μ…Μ… maka diperoleh SRSP = GAC Jadi GBCGAB = GAC Teorema 10. 8 Jika GOA sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik O(0,0) dan A(a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai T(P) = (x + a, y + b) maka 𝐓 = 𝐆 πŽπ€. Bukti : Ambil titik P(x, y) dengan T(P) = (x + a, y + b) Missal GOA(P) = Pβ€², berarti PPβ€²Μ…Μ…Μ…Μ… = OAΜ…Μ…Μ…Μ… Pβ€² = (x + a βˆ’ 0, y + b βˆ’ 0) = (x + a, y + b) Jadi, T(P) = Pβ€² = GOA(P), βˆ€ P ∈ V Artinya Ini berarti 𝐓 = 𝐆 πŽπ€. Untuk membuktikan dengan koordinat-koordinat teorema 10. 7 Perhatikan dua buah translasi GEF dan GKH
  12. 12. Andaikan A = (a,b) dan B = (c,d) dengan OAΜ…Μ…Μ…Μ… = EFΜ…Μ…Μ…Μ… dan OBΜ…Μ…Μ…Μ… = KHΜ…Μ…Μ…Μ… Ambil titik P(x,y) sebarang sehingga diperoleh GOA(P) = P’= (x+a,y+b) dan GOB(P) = P’ = (x+c,y+d) Karena maka GOA(P) = GEF(P) = (x+a,y+b) Karena maka GOB(P) = P’ = GKH = (x+c,y+d) Jika GKH dikomposisikan dengan GEF melalui titik P maka diperoleh GKHGEF(P) = GKH [GEF(P)] = GKH(x+a,y+b) = ((x+a)+c,(y+b)+d) = (x+(a+c),y+(b+d)) Ini berarti bahwa GKHGEF adalah translasi yang membawa titik O(0,0) ke titik (a+c,b+d).
  13. 13. SOAL TUGAS 1 1. Diketahui titik A, B, C yanng tak segaris. a. Lukislah b. Lukislah c. Lukislah garis – garis g dan h dengan A g dan d. Lukislah g dan h sehingga C gdan sehingga 2. Diketahui titik – titik A dan B dan garis g sehingga g .Lukislah : a. Garis h sehingga b. Garis k sehingga c. Garis m sehingga m’ d. Titik C sehingga 3. Diketahui garis – garis g dan h yang sejajar dan sebuah titik A tidak pada garis – garis trersebut. a. Lukislah titik B sehingga b. Lukislah titik C sehingga 4. Diketahui titik A, B, C, D, P dan garis g seperti anda lihat pada gambar A B D P g C
  14. 14. Lukislah : a. b. Garis h sehingga g c. d. 5. Nyatakanlah P dengan R dalambentuk yang paling sederhana : a. R b. R c. R 6. Apakah ungkapan – ungkapan di bawah ini benar atau salah : a. Jika maka b. Setiap translasi adalah suatu involusi c. dengan d. Apabila M titik tengah , maka e. Apabila g’ (g), maka g’ // g 7. Jika A (2,3) dan B (-4,7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga 8. Diketahui titik – titik A = (-1,3), B = (-5,-1) dan C = (2,4) a. Tentukan C’ b. Tentukan persamaan garis – garis g dan h sehingga C g dan sehingga
  15. 15. 9. Diketahui titik – titik A = (2,1) dan B =(5,-3).G sebuah geseran yang membawa A ke B. a. Jika C = (4,2) tentukanlah G(C) b. Jika P = (x,y) tentukanlah G(P) 10. Jika A = (2,1) dan B = (3,4) sedangkan g = tentukanlah : a. jika P = (x,y) b. Titik D sehingga c. Sebuah persamaan untuk garis h dengan h (g)
  16. 16. SOAL TUGAS 2 1. Diketahui ruas garis berarah AB dan titik-titik C dan P a. Tentukan GABSC(P) b. Tentukan SCGAB (P) c. Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X) = X 2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris a. Tentukan D sehingga SDSC = GAB b. Tentukan E sehingga SASBSC = SE c. Tentukan F sehingga GABSC = SF 3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. Lukislah : a. Titik E sehingga GCDGAB = GAE b. Semua titik X sehingga SASBSC(X) = X 4. a. Untuk semua titik P = (x, y), S ditentukan sebagai S(P) = (x+a, y+b). Tentukan S-1 (P) b. Jika G1 dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2 = G2G1 5. Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang bersangkutan? a. Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan b. Himpunan semua bilangan ganjil terhadap penjumlahan c. Himpunan semua refleksi terhadap operasi perkalian (komposisi) d. Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi) e. Himpunan ( -1, 0, -1) terhadap perkalian dan terhadap penjumlahan 6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut :
  17. 17. Jika P = (x, y) maka G(P) = (x+2, y+3) Diketahui C = (1, -7). Tentukan koordinat D sehingga SDSC = G 7. Jika A = (1, 0), B = (2, 5) dan C (-3, 8) titik-titik yang diketahui, tentukan koordinat- koordinat titik D sehingga GCD = SBSA. 8. Andaikan A = (a1, a2) dan B = (b1, b2). Dengan mengunakan koordinat- koordinat, buktikan : a. SBSA adalah suatu translasi b. Jika P sebuah titik dan P’ = SBSA(P), maka = 2 9. Buktikan sifat-sifat berikut : a. Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiiki titik-titik tetap b. Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi c. Apabila A, B, C titik-titik yang diketahui, maka SASBSC = SCSBSa 10. Diketahui A = (2, 1) dan B =(-3, 5) a. Jika P = (x, y) tentukan SASB(P) b. L = . Tentukan persamaan himpunan L’ = SASB(L)
  18. 18. JAWABAN TUGAS 1 1. Diketahui Titik-titik A, B, dan C yang tak segaris a. Lukislah GAB(A) dan GAB(B) b. Lukislah GAB(C) c. Lukislah garis-garis g dan h dengan gAοƒŽ dan GAB=MhMg d. Lukislah garis-garis g dan h sehingga gC οƒŽ dan sehingga GAB=MhMg A B C A B=GAB(A) A’=GAB(B) A B C C’=GAB(C) hg A B C GAB(A) =B MhMg(A)=B } GAB=MhMg A B g h
  19. 19. A gk B m A m’ B 2. Diketahui : Titik-titik A, B, dan garis g sehingga g  AB. a. Lukislah garis h sehingga MhMg= GAB b. Lukislah garis k sehingga MgMk= GAB c. Garis m sehingga m’ = GAB(m) GAB (m) = B m’ = B hg A B GAB(A)= B MhMg = Mh(Mg(A))=Mh(B)=B } MhMg=GAB GAB(A)= B MgMk = Mg(Mk(A))=Mg(A)=B } MgMk=GAB m’ = GAB(m)
  20. 20. d. Titik C sehingga GBA(C) = B GAB(C) = B 3. Diket: Garis-garis g//h dan titik A tidak pada garis-garis tersebut. a. Lukislah titik B sehingga MhMg= GAB Jelas GAB(A)= MhMg(A)= Mh(A’)=B b. Lukislah titik C sehingga MgMh= GAC Jelas GAC(A)= MgMh(A)= Mg(A’)=C g h A Mg(A)=A’ B= Mh(A’) g h C= Mg(A’ ) A Mh(A)=A’ A B C
  21. 21. A B P C D P P’ P” P’ P” P 4. Diketahui titik A, B, C, D dan garis g Lukislah ! a) GCD GAB (P) GAB (P) = P’ dimana PP’ = AB GCD (P) = P” dimana P’P” = CD b) GCD GBA (P) GBA (P) = P’ dimana PP’ = BA GCD (PP) = P” dimana P’P” = CD
  22. 22. h’ = GDC (h) h g = GABGDC (h) P P’ P” P”’ = G3 AB (P) c) Garis h sehingga GAB GCD (h) = g d) G3 AB (P) 5. Nyatakanlah P dengan R dalam bentuk yang paling sederhana: a. GABGCD(P)=R b. SAGBC(P)=R c. (GAB)-1 Mg(P)=R Penyelesaian:
  23. 23. 6. Apakah ungkapan-ungkapan di bawah ini benar atau salah: a. Jika GAB=MgMh maka GAB=MhMg..(Salah) Bukti: Dipunyai GAB=MgMh. Jelas MgMh β‰  MhMg ( hasil kali 2 pencerminan tidak bersufat komutatif). Jadi GAB β‰  MhMg. Jadi jika GAB=MgMh maka GAB β‰  MhMg b. Setiap translasi adalah suatu involusi.(Salah) Bukti: Misal: GAB=MhMg. Maka diperoleh (GAB)-1 = (MhMg)-1 = Mg -1 Mh -1 = MgMh β‰  GAB. Jadi GAB bukan suatu involusi. c. GABGAB= GCD dengan (Benar) Bukti: Ambil sembarang titik P. Jika GABGAB(P)=P4 dan GCD(P)=P5, maka akan dibuktikan P4=P5. Karena GAB(P)=P2 maka GAB(P2)=P4 maka dan
  24. 24. GABGAB(P)=P4 maka Sehingga , akibatnya .54 PP ο€½ Jadi GABGAB(P)= GCD(P). Karena P sembarang maka GABGAB= GCD. d. Apabila M titik tengah , maka (Benar) e. Apabila g’ = (g), maka g’//g ( Benar) 7. Jika A(2,3) dan B(4,-7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga Jawab : Jelas g dan h  dan jarak antara g dan h Persamaan garis Jadi Misal A ∈ g maka persamaan garis g Jarak antara g dan h , A ∈ g maka h melalui c sehingga C midpoint AB ) )
  25. 25. Jadi C(-1,5) Persamaan garis h  AB dan melalui C(-1,5) Jadi g : y = h : y = 8. Diket: Titik-titik A(-1,3), B(-5,-1), dan C(2,4). a. Tentukan ).(' CGC ABο€½ Penyelesaian: Karena )(' CGC ABο€½ maka Jelas Sehingga 242 22  xx dan .044 22  yy Jadi ).0,2()(' ο€­ο€½ο€½ CGC AB b. Tentukan persamaan garis-garis g dan h sehingga gC οƒŽ dan sehingga MhMg= GAB. Penyelesaian: Jelas .1 4 4 15 31 12 12 ο€½ ο€­ ο€­ ο€½  ο€­ο€­ ο€½ ο€­ ο€­ ο€½ xx yy mAB Agar MhMg= GAB maka haruslah g//h dan ., ABhABg  222 2 2 2 222 2 2 2 2 12 2 12 2 12 2 12 22 )4()4()4()2( )31()15()4()2( )()()()( ' '     ο€½ yx yx yyxxyyxx ABCC ABCC
  26. 26. Sehingga diperoleh Karena g//h maka 1ο€­ο€½ο€½ hg mm . Misal garis h melalui titik D maka Sehingga diperoleh Jadi 042 22 1 2  xx dan .244 22 1 2  yy Jadi titik D(0,2). Jadi persamaan garis g yang melalui titik C(2,4) dengan 1ο€­ο€½gm adalah 6 24 )2(14 )( 11    ο€­ο€½ο€­ xy xy xy xxmyy dan persamaan garis h yang melalui titik D(0,2) dengan 1ο€­ο€½hm adalah .2 2 )0(12 )( 11    ο€­ο€½ο€­ xy xy xy xxmyy 9. Diket A(2,1), B(5,-3) Ditanyakan a. misal maka sehinggga dan .1 11 1   ο€­ο€½οƒ— g g gAB m m mm 2 2 12 2 12 2 2 2 2 4 12 4 12 2 2 2 2 12 2 124 12 12 2 12 2 4 12 2 1 )4()4()4()2( )31()15()4()2( ])()[()()(     ο€½ yx yx yyxxyyxx ABCD ABCD
  27. 27. Jadi C’(7,-2) b. dengan misal maka sehingga
  28. 28. dan Jadi 10. Diket: Titik-titik A=(2,-1), B=(3,4), dan g={(x,y)y+2x=4}. a. Tentukan GAB(P) jika P(x,y). Jawab: Jelas BAGAB ο€½)( ).4,3()1,2( )4,3()1,2(   ba GAB Sehingga 132  aa dan .541  bb Jadi ).5,1(),()(  yxyxGPG ABAB b. Tentukan titik D sehingga GAB(D)=(1,3). Jawab: Misal titik ),( 11 yxD maka ).3,1()5,1( )3,1(),( )3,1()( 11 11   ο€½ yx yxG DG AB AB Sehingga 011 11  xx dan .235 11  yy Jadi titk D(0,-2). c. Tentukan sebuah persamaan untuk garis h sehingga ).(gGh ABο€½ Jawab: .32 4225 4)1(25 )42()(     yx xy xy xyGgGh ABAB
  29. 29. JAWABAN TUGAS 2 1. Diketahui ruas garis berarah dan titik-titik C dan P a) Tentukan GABSC(P) Penyelesaian : GABSC(P)=GAB[SC(P)] =GAB(P’) dengan C adalah titik tengah =P” dengan b) Tentukan SCGAB(P) Penyelesaian : SCGAB(P)=SC[GAB(P)] =SC(P’) dengan =P” dengan C titik tengah c) Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X)=X Penyelesaian : Menurut teorema 10. 6 diperoleh GABSC=SD Ambil titik X sebarang GABSC(X)=SD(X) Diperoleh SD(X)=X, berartti X= Ambil titik E dimana dan titik D adalah titik tengah berarti Diperoleh GABSC(X) = GABSC(D) = GAB[SC(X)] =GAB(D’) dengan C titik tengah D’, berarti =D dengan =X Jadi titik X adalah titik tengah dimana
  30. 30. 2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris a) Tentukan D sehingga SDSC=GAB Penyelesaian : Berdasarkan teorema 10. 5 titik C dan titik D terletak pada satu garis dimana, 2 b) Tentukan E sehingga SASBSC=SE Penyelesaian : Berdasarkan akibat dari teorema 10. 6 diperoleh titik E segaris dengan titik C dimana, c) Tentukan F sehingga GABSC=SF Penyelesaian : Berdasarkan teorema 10. 6 diperoleh titik F adalah titik tengah berarti dimana, 3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. lukislah : a) Titik E sehingga GCDGAB=GAE b) Semua titik X sehingga SASBSC(X)=X 4. a) Untuk semua titik P=(x,y), S ditentukan sebagai S(P)=(x+a,y+b). Tentukan S-1 (P). Penyelesaian : Menurut teorema 7. 3 S-1 (P)=S(P)
  31. 31. =(x+a,y+b) b) Jika G1dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2=G2G1. Penyelesaian : Ambil titik P sebarang Misal G1=GAB dan G2=GCD G1G2(P)=G1[G2(P)] =G1(P’) dengan =P” dengan Jadi, ………(1) G2G1(P)=G2[G1(P)] =G2(P’) dengan =P” dengan Jadi, ………(2) Berdasarkan (1) dan (2) berlaku GABGCD=GCDGAB G1G2=G2G1 5. Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang bersangkutan? a) Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan. Penyelesaian : b) Himpunan semua bilangan ganjil tehadap penjumlahan Penyelesaian : c) Himpunan semua reflexi terhadap operasi perkalian (komposisi) Penyelesaian : d) Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi) Penyelesaian : e) Himpunan {-1,0,1} terhadap perkalian; dan terhadap penjumlahan.
  32. 32. Penyelesaian : 6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut : Jika P=(x,y) maka G(P)=(x+2,y+3). Diketahui C=(1,-7). Tentukan koordinat D sehingga SDSC=G Penyelesaian : SDSC(P)=G(P) SD[(2-x,-14-y)]=(x+2,y+3) Misalkan D(a,b) [2a-(2-x),2b-(-14-y)]=(x+2,y+3) οƒ˜ 2a-(2-x)=x+2 2a=x+2+2-x 2a=4 a=2 οƒ˜ 2b-(-14-y)=y+3 2b=y+3-14-y 2b=-11 b=-5,5 Jadi titik D(2,-5,5) 7. Jika A=(1,0), B=(2,5) dan C=(-3,8) titik-titik yang diketahui, tentukan koordinat-koordinat titik D sehingga GCD=SBSA. Penyelesaian : Andaikan = maka E=(1+[x+3],0+[y-8]) =(4+x,y-8) Apabila B titik tengah maka, οƒ˜
  33. 33. x=-1 οƒ˜ y=18 Jadi koordinat D=(-1,18) 8. Andaikan A=(a1,a2) dan B=(b1,b2). Dengan menggunakan koordinat- koordinat. Buktikan : a) SBSA adalah suatu translasi Penyelesaian : Ambil titik P(x,y) sebarang SBSA(P)=SB[SA(P)] =SB(2a1-x,2a2-y) =(2b1-2a1+x,2b2-2a2+y) =[x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)] b) Jika P sebuah titik dan P’=SASB(P), maka = Penyeleesaian : Ambil titik P(x,y) sebarang Dari hasil a) diperoleh P’=[ x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)] =( b1–a1,b2-a2) =[ x+2(b1-a1)-x,y+2(b2-a2)-y] =[ 2(b1-a1),2(b2-a2)] =2( b1–a1,b2-a2) =2 Jadi terbukti = 9. Buktikan sifat-sifat berikut : a) Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiliki titik-titik tetap Penyelesaian :
  34. 34. b) Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi Penyelesaian : c) Apabila A, B, C titik-titik uyang diketahui, maka SASBSC=SCSBSA Penyelesaian : 10. Diketahui A=(2,1) dan B=(-3,5) a) Jika P=(x,y) tentukan SASB(P) Penyelesaian : SASB(P)=SA(2.-3-x,2.5-y) =SA(-6-x,10-y) =2.2-(-6-x),2.1-(10-y) =(10+x,-8+y) Jadi SASB(P) =(10+x,-8+y) b) L={(x,y)| x2 +y2 =4}. Tentukan persamaan himpunan L’=SASB(L). Penyelesaian : L= x2 +y2 =4 berarti lingkaran dengan pusat (0,0) dengan jari-jari=2 SASB(L)=SA[2.(-3)-0,2.5-0] =SA(-6,10) =[2.2-(-6),2.1-10] =(10,-8) Jadi L’={(x,y)|(x-10)2 +(y+8)2 =4}

Γ—