Modul 9 akar primitif dan aritmetika indeks

MODUL 9
AKAR PRIMITIF DAN ARITMETIKA INDEKS
GATOT MUHSETYO
PENDAHULUAN
Dalam modul Akar Primitif dan Aritmetika Indeks ini diuraikan tentang sifat-sifat
dasar derajat/tingkat/order, akar primitif, eksistensi dari akar primitive dan aritmetika
indeks.
Pembahasan tentang persamaan tingkat (order) dikembangkan dari hubungan fungsi
 -Euler, ditekankan pada pengertian dan sifat-sifat dari tingkat sebagai dasar untuk
pembahasan lanjutan tentang akar primitif dan aritmetika indeks.
Pembahasan tentang akar primitif dan aritmetika indeks merupakan bagian utama
untuk menyelesaikan kongruensi non-linier, khususnya kongruensi yang terkait dengan
perpangkatan bilangan prima, yaitu variabel kongruensi merupakan pangkat. Di dalam
uraian terdapat eksistensi akar primitif dari bilangan-bilangan prima dan bilangan-
bilangan bulat positif yang bukan prima.
KOMPETENSI UMUM
Kompetensi umum dalam mempelajari modul ini adalah mahasiswa mampu
memahami konsep tingkat (order) bilangan bulat positif, akar primitif, aritmetika indeks,
dan cara menyelesaikan kongruensi non-linier bentuk pangkat, serta memahami
keterkaitan penyelesaian kongruensi bentuk pangkat dengan akar primitif.
KOMPETENSI KHUSUS
Kompetensi khusus dalam mempelajari modul ini adalah mahasiswa mampu
menjelaskan konsep tingkat bilangan bulat positif, akar primitif, eksistensi akar primitif,
aritmetika indeks, keterkaitan tingkat dan akar primitif, menyelesaikan kongruensi
berpangkat dengan menggunakan sifat-sifat akar primitif dan aritmetika indeks.

SUSUNAN KEGIATAN BELAJAR
Modul 9 ini terdiri dari dua kegiatan belajar. Kegiatan Belajar pertama adalah Akar
Primitif, dan Kegiatan Belajar kedua adalah Aritmetika Indeks. Setiap kegiatan be;lajar
memuat Uraian, Contoh/Bukan Contoh, Tugas dan Latihan, Rambu-Rambu Jawaban
Tugas dan Latihan, Rangkuman, dan Tes Formatif. Pada bagian akhir modul ini
dijelaskan Rambu-Rambu Jawaban Tes Formatif.
PETUNJUK BELAJAR
1. Bacalah Uraian dan Contoh dengan cermat dan berulang-ulang sehingga Anda benar-
benar memahami dan menguasai materi paparan.
2. Kerjakan Tugas dan Latihan yang tersedia secara mandiri. Jika dalam kasus atau ta-
hapan tertentu Anda mengalami kesulitan menjawab/menyelesaikan, maka lihatlah
Rambu-Rambu JawabanTugas dan Latihan. Jika langkah ini belum banyak memban-
tu Anda keluar dari kesulitan, maka mintalah bantuan tutor Anda, atau orang lain
yang lebih tahu.
3. Kerjakan Tes Formatif secara mandiri, dan periksalah Tingkat Kemampuan Anda
dengan jalan mencocokkan jawaban Anda dengan Rambu-Rambu Jawaban Tes For-
matif. Ulangilah pengerjaan Tes Formatif sampai Anda benar-benar merasa mampu
mengerjakan semua soal dengan benar.

MODUL 9
KEGIATAN BELAJAR 1
AKAR PRIMITIF
Uraian
Persoalan akar primitif diawali dari pengertian tingkat (order) dari suatu bilangan bulat,
yaitu suatu konsep yang dikembangkan dari teorema  -Euler, suatu teorema yang
berkaitan dengan suatu residu positif terkecil modulo n. Jika tingkat dari suatu bilangan
bulat r yang relatif prima dengan n sama dengan  (n), maka r disebut suatu akar primitif
modulo n.
Sesuai dengan teorema Euler, jika m adalah suatu bilangan bulat positif dan (a,m) = 1,
maka a )(m
≡ 1 (mod m). Dengan demikian, paling sedikit ada satu bilangan bulat x yang
memenuhi kongruensi a )(m
≡ 1 (mod m). Keadaan ini menunjukkan bahwa berdasarkan
prinsip urutan rapi, ada suatu bilangan bulat positif terkecil yang memenihi kongruensi.
Definisi 9.1
Jika a, b Z+
dan (a,b) = 1, maka suatu bilangan bulat positif terkecil x yang me-
menuhi x
a ≡ 1 (mod b) disebut tingkat dari a modulo b, ditulis x = Oba.
Dari definisi 9.1 dapat ditentukan bahwa x = Oba memenuhi x
a ≡ 1 (mod b), berarti
1aOb
a (mod b)
Contoh 9.1
Carilah O72
Jawab :
Untuk mencari O72, kita harus mencari bilangan bulat positif terkecil x pangkat dari 2
sedemikian hingga 2x
≡ 1 (mod 7), dengan 1 ≤ x < 7
Perhatikan bahwa 21
= 2 ≡ 2 (mod 7) , 22
= 4 ≡ 4 (mod 7), 23
= 8 ≡ 1 (mod )

Dengan demikian 3 adalah bilangan bulat positif terkecil x pangkat dari 2 sedemikian
hingga 2x
≡ 1 (mod 7). Jadi O72 = 3
Contoh 9.2
Carilah O83
Jawab :
≡ 1 (mod 7), dengan 1 ≤ x < 8
Perhatikan bahwa 31
= 3 ≡ 3 (mod 8) , 32
= 9 ≡ 1 (mod 8)
hingga 3x
≡ 1 (mod 8). Jadi O83 = 2
Contoh 9.3
Carilah O117
Jawab :
≡ 1 (mod 11), dengan 1 ≤ x < 11
Perhatikan bahwa 71
= 7 ≡ 7 (mod 11) , 72
= 49 ≡ 5(mod 11), 73
= 343 ≡ 2(mod 11),
74
= 2401 ≡ 3(mod 11), 75
= 16807 ≡ 10(mod 11), 76
= 117649 ≡ 4(mod 11),
77
≡ 6(mod 11), 78
≡ 9(mod 11), 79
≡ 8(mod 11), 710
≡ 1(mod 11)
hingga 7x
≡ 1 (mod 11). Jadi O117 = 10
Sekarang marilah kita perhatikan teorema-teorema yang dapat membantu kita dalam
mencari semua selesaian kongruensi ax
≡1 (mod b) untuk (a,b) = 1 dan 1 ≤ x < b.
Teorema 9.1
Jika b > 0 , dan (a,b) = 1, maka x Z+
adalah memenuhi kongruensi ax
≡1 (mod b)
jika dan hanya jika order a modulo b membagi x, yaitu Oba │ x

Bukti :
() Jika ax
≡1 (mod b), maka sesuai dengan teorema algoritma pembagian, dapat ditentu
kan bahwa x = q Oba + r , 0 ≤ r < Oba sehingga :
ax
= raqOb
a 
= ( aqOa
a )q
.ar
≡ ar
(mod b), berarti ax
≡ ar
(mod b), dengan 0 ≤ r < Oba
Dengan demikian r = 0 karena sesuai dengan definisi, y = Oba adalah bilangan bulat
positif terkecil sehingga ay
≡ 1(mod b). Dari r = 0 dapat ditentukan bahwa x = q Oba
yaitu Oba │x
() Jika Oba │x , maka x = k.Oba dengan k Z+
sehingga :
ax
= a aOk b.
= (a aOb
)k
≡ 1(mod b)
Contoh 9.4
Sesuai dengan contoh 9.1, tingkat dari 2 mod 7 adalah 3, atau O72 = 3. Karena 3 tidak
membagi 13 maka x = 13 tidak memenuhi 2x
≡ 1(mod 7), dan karena 3 membagi 18
maka x = 18 memenuhi 2x
≡ 1(mod 7)
Contoh 9.5
Sesuai dengan contoh 9.3, tingkat dari 7 mod 11 adalah 10, atau O117 = 10. Karena 10
tidak membagi 15 maka x = 15 tidak memenuhi 7x
≡ 1(mod 11), dan karena 10 membagi
30 maka x = 30 memenuhi 7x
≡ 1(mod 11).
Teorema 9.2
Jika b > 0 dan (a,b) = 1, maka Oba │ (b)
Bukti :
Diketahui (a,b) = 1, maka sesuai dengan teorema Euler, 1)(
b
a
(mod b), dan sesuai
dengan definisi 9.1, 1aOb
a (mod b). Dengan demikian sesuai dengan teorema 9.1
dapat ditentukan bahwa Oba │ (b)
Contoh 9.6
Carilah O175
Jawab :

(5,17) = 1 dan  (17) = 16, maka sesuai dengan teorema Euler, 516
≡ 1(mod 17). Dengan
demikian kenungkinan nilai-nilai O175 adalah pembagi (faktor) dari 16 yang positif, yaitu
1, 2, 4, 8, dan 16. Selanjutnya dapat ditentukan bahwa 51
≡ 5(mod 17), 52
≡ 8(mod 17),
54
≡ 13(mod 17), 58
≡ 16(mod 17), dan 516
≡ 1(mod 17). Jadi O175 = 16.
Teorema 9.3
Ditentukan r,s Z+
, (a,b) = 1, dan b > 0
ar
≡ as
(mod b) jika dan hanya jika r ≡ s(mod Oba)
Bukti :
()ar
≡ as
(mod b) dengan r ≥ s
(a,b) = 1, maka (as
,b) = 1, sehingga ar
= as
.ar-s
≡ as
(mod b). Dengan demikian dapat
ditentukan bahwa ar-s
≡ 1(mod b), dan menurut teorema 9.1, Oba membagi r – s, ber-
arti r ≡ s(mod Oba)
() r ≡ s(mod Oba) dengan 0 ≤ s ≤ r , maka r = k Oba + s , k  Z+
ar
= aOks b
a .
= as
( aOb
a )k
≡ as
(mod b).
Contoh 9.7
Misalkan kita ambil a = 3 dan b = 14, maka menurut teorema 9.3, 35
≡ 311
(mod 14) sebab
)14( = 6 dan 5 ≡ 11(mod 16).
Selanjutnya 39
tidak kongruen 320
modulo 6 sebab )14( = 6 dan 5 ≡ 11(mod 16) tetapi 9
tidak kongruen dengan 20 modulo 6.
Pembahasan tentang tingkat dari bilangan-bilangan bulat terhadap modulo tertentu
beserta teorema-teoremanya akan membawa kita untuk melanjutkan pembahasan tentang
akar primitif. Akar primitif berkaitan dengan keadaan tingkat suatu bilangan bulat a
dengan modulo m yang mempunyai tingkat sama dengan )(m , dan jika tingkat ini ada,
maka residu positif terkecil dari kepangkatannya dicari dari semua bilangan bulat positif
yang relatif prima dan kurang dari n.
Definisi 9.2
Jika (r,m) = 1, m > 0, dan Omr =  (m), maka r disebut suatu akar primitif modulo m

Contoh 9.8
3 adalah suatu akar primitive modulo 7 sebab 36
≡ 1(mod 7) dan O73 = 6 = )7(
5 adalah suatu akar primitive modulo 7 sebab 56
≡ 1(mod 7) dan O75 = 6 = )7(
Contoh 9.9
Bilangan-bilangan yang relative prima dengan 8 adalah 1, 3, 5, dan 7
Perhatikan bahwa :
11
≡ 1(mod 8), berarti O81 = 1
32
52
72
 (8) = 4
Ternyata tidak ada bilangan x yang relative prima dengan 8 dan O8x = 4, berarti tidak ada
akar primitive modulo 8
Teorema 9.4
Jika r,m  Z+
, (r,m) = 1, dan r adalah suatu akar primitif modulo m, maka system re-
sidu tereduksi modulo m adalah T = r1
, r2
, …, )(m
r
Bukti :
Kita harus menunjukkan bahwa semua unsure T adalah relative prima dengan m dan
tidak ada dua unsur yang kongruen.
(r,m) = 1, maka (rk
,m) = 1 untuk sebarang kZ+
, berarti semua kepangkatan dari r relatif
prima terhadap m.
Misalkan ri
≡ rj
(mod m) untuk suatu i  j, maka sesuai dengan teorema 9.2,
i ≡ j(mod  (m)).
1 ≤ i ≤  (m) dan 1 ≤ j ≤  (m), maka dari kongruensi i ≡ j(mod  (m)) dapat ditentukan
bahwa i = j, bertentangan dengan keadaan i  j. Jadi ri
tidak kongruen rj
modulo m.

Contoh 9.10
26
≡ 1(mod 9), maka 2 adalah suatu akar primitive modulo 9. Selanjutnya,  (9) = 6,
berarti kepangkatan 2 dari 1, 2, …, 6 membentuk suatu ssstem residu yang tereduksi
modulo 9, yaitu :
21
= 2 ≡ 2(mod 9) , 22
= 4 ≡ 4(mod 9) , 23
= 8 ≡ 8(mod 9), 24
= 16 ≡ 7(mod 9) ,
25
= 32 ≡ 5(mod 9), dan 26
= 64 ≡ 1(mod 9)
T = ≡{1,2,4,5,7,8} adalah suatu system residu yang tereduksi modulo 9.
Teorema 9.5
Jika s N dan Omb = r, maka Om(b)s
= r/(r,s) = Omb / (Obb,s)
Bukti :
Kita tentukan u = Om(bs
) , v = (r,s), r = r1v, dan s = s1v , maka (r1,s1) = (
v
s
v
r
, ) = 1
Dengan demikian dapat ditentukan bahwa :
(bs
) 1r
= (b vs1
)r/v
= (br
) 1s
≡ 1(mod m)
Selanjutnya, Omb = r, maka menurut teorema 9.1, u │ r1, sehingga :
(bs
)u
= bsu
≡ 1(mod m), berarti r │ su, akibatnya r1v │ s1vu atau r1 │ s1u
Dari r1 │ s1u dan (r1,s1) = 1 dapat ditentukan bahwa r1 │ u . Berikutnya, dari hubungan
u │ r1 dan r1 │ u dapat ditentukan bahwa u = r1 = r/v, yaitu :
u = r/(r,s)
Om(bs
) = r/(r,s) = Omb / (Omb,s)
Contoh 9.11
Berdasarkan keadaan 3 ≡ 3(mod 7) , 32
≡ 2(mod 7) , 34
≡ 4(mod 7) , dan 36
≡ 1(mod 7)
dapat ditentukan bahwa O73 = 6.
Dengan demikian O732
= 6/(6,2) = 3, O733
= 6/(6,3) = 2, dan O734
= 6/(6,4) = 3
Perhatikan bahwa :
32
= 9 ≡ 2(mod 7), sehingga (32
)3
≡ 23
(mod 7) ≡ 1(mod 7)
33
= 27 ≡ 6(mod 7), sehingga (33
)2
≡ 62
(mod 7) ≡ 1(mod 7)
34
= 81 ≡ 4(mod 7), sehingga (34
)3
≡ 43
(mod 7) ≡ 1(mod 7)

Teorema 9.6
Jika m Z , m > 1 , dan x adalah suatu akar primitif modulo m, maka xt
adalah sua-
tu akar primitif modulo m jika dan hanya jika (t, (m)) = 1
Bukti :
() xt
adalah suatu akar primitive, maka sesuai dengan definisi 9.2 Omxt
=  (m).
Selanjutnya, sesuai dengan teorema 9.5, Omxt
= Om x/(Omx , t) =  (m)/(  (m) , t)
Jadi (  (m) , t) = 1
()(t, (m)) = 1, maka Omxt
= Omx/(t , Omx) = Omx
Omx =  (m) sebab x adalah suatu akar primitive modulo m.
Omxt
= Omx dan Omx =  (m), berarti xt
adalah suatu akar primitive modulo m.
Teorema 9.7
Jika m Z+
dan m > 1 mempunyai suatu akar primitif, maka banyaknya seluruh akar
primitif yang tidak kongruen adalah  ( (m))
Bukti :
Misalkan r adalah suatu akar primitive modulo m, maka sessuai dengan teorema 9.4,
bilangan-bilangan bulat r1
, r2
, … , r )(m
membentuk sistem residu tereduksi modulo m.
Selanjutnya, sesuai dengan teorema 9.6, rt
adalah suatu akar primitive modulo m jika dan
hanya jika (t ,  (m)) = 1. Banyaknya rt
yang memenuhi (t ,  (m)) = 1 adalah  ( (m)),
jadi banyaknya seluruh akar primitive modulo m adalah  ( (m)).
Contoh 9.12
Misalkan kita ambil m = 11, maka x = 2 adalah suatu akar primitif modulo 11 sebab
O112 = 10 yaitu 210
= 25
.25
≡ 10.10(mod 11) ≡ 100(mod 11) ≡ 1(mod 11), dan  (11) = 10
Dengan demikian O112 =  (11). Selanjutnya, sesuai dengan teorema 9.6, banyaknya
seluruh akr primitive modulo 11 adalah  ( (11)) =  (10) = 4.
Akar-akar primitive itu adalah 21
, 23
, 27
, dan 29
, yang secara berturut-turut kongruen
dengan 2, 8, 7, dan 6 modulo 11.
Jadi seluruh akar primitif dari modulo 11 adalah 2, 6, 7, dan 8.

Marilah sekarang kita mempelajari akar primitif dari bilangan-bilangan prima. Untuk
mempelajari hal ini, seperti halnya dalam aljabar, kita perlu memahami tentang sifat-sifat
tertentu persamaan polynomial dengan koefisien bulat.
Suatu persamaan polynomial berderajad n dengan koefisien bulat mempunyai bentuk
umum :
f(x) = anxn
+ an-1xn-1
+ … + a1x + a0
Selanjutnya, suatu bilangan bulat t disebut akar dari f(x) modulo m jika f(t) ≡ 0(mod m),
dan dapat kita tunjukkan bahwa setiap bilangan bulat yang kongruen dengan t modulo m
juga merupakan suatu akar.
Contoh 9.13
Polinomial f(x) = 2x2
+3x + 4 tepat mempunyai dua akar yang tidak kongruen modulo 3,
yaitu x ≡ 1(mod 3) dan x ≡ 2(mod 3).
Contoh 9.14
Polinomial f(x) = x2
+ 3x + 2 tepat mempunyai dua akar yang tidak kongruen modulo 5,
yaitu x ≡ 3(mod 5) dan x ≡ 4(mod 5)
Contoh 9.15
Polinomial f(x) = 3x2
+ 5 tidak mempunyai akar modulo 7
Teorema 9.8 (Teorema Lagrange)
Jika f(x) = anxn
+ an-1xn-1
+ … + a1x + a0 adalah suatu polinomial berderajad n
dengan koefisien bulat dan an tidak habis dibagi oleh suatu bilangan prima p, maka
f(x) paling banyak mempunyai r akar tidak kongruen modulo p.
Bukti :
Induksi matematika kita gunakan untuk membuktikan teorema 9.8.
Hubungan berlaku untuk n = 1, yaitu f(x) = a1x + a0 dengan p tidak membagi a1, mempu-
nyai satu akar, karena banyaknya akar dari f(x) modulo p adalah banyaknya selesaian dari
kongruensi linier a1x ≡ -a0(mod p). Kongruensi ini mempunyai satu selesaian sebab p
tidak membagi a1 atau (a1 , p) = 1.

Misalkan hubungan berlaku untuk polinomial berderajad n - 1, dan f(x) adalah polinomial
berderajad n dengan koefisien pertama tidak habis dibagi oleh p :
f(x) = akxn
+ ak-1xn-1
+ … + a1x + a0
dan misalkan f(x) mempunyai k + 1 akar yang tidak kongruen, yaitu t0, t1, … , tn sehingga
f(tk) ≡ 0(mod p) untuk k = 0, 1, … , n.
Dengan demikian :
f(x) – f(t0) = an(xn
– t0
n
) + an-1(xn-1
– t0
n-1
) + … + a1(x – t0)
= an(x – t0)(xn-1
+ xn-2
t0 + … + xt0
n-2
+ t0
n-1
) +
an-1(x – t0)(xn-2
+ xn-3
t0 + … + xt0
n-3
+ t0
n-2
) + … + a1(x – t0)
= (x – t0) g(x)
dengan g(x) adalah polinomial berderajad n – 1
Kita akan tunjukkan bahwa t1, … , tn-1, tn semuanya adalah akar dari g(x) modulo p, dan
ditentukan bahwa k Z dan 1 ≤ k ≤ n . Selanjutnya, f(tn) ≡ f(t0) ≡ 0(mod p) sehingga :
f(tn) – f(t0) = (tn – t0)g(tn) ≡ 0(mod p)
Dengan demikian g(tn) ≡ 0(mod p) karena tn – t0 tidak kongruen 0(mod p). Jadi tn adalah
akar dari g(x) modulo p. Hal ini menunjukkan bahwa bahwa polinomial g(x) yang
berderajad n-1 dan koefisien pertama tidak habis dibagi p, mempunyai n akar yang tidak
kongruen, berarti terjadi kontradiksi. Jadi f(x) mempunyai paling banyak n akar tidak
kongruen modulo p.
Teorema 9.9
Jika p adalah suatu bilangan prima, dan d adalah suatu pembagi dari p – 1, maka poli
nomial xd
– 1 tepat mempunyai d akar yang tidak kongruen modulo p.
Bukti :
d │p – 1 , maka p – 1 = dt dengan t Z.
xp-1
– 1 = (xd
– 1)(xd(t-1)
+ xd(t-2)
+ … + xd
+ 1 = (xd
– 1)g(x)
Menurut teorema kecil Fermat, dapat ditentukan bahwa xp-1
– 1 mempunyai p – 1 akar
tidak kongruen modulo p, atau suatu akar dari g(x) modulo p.
Sesuai dengan teorema Lagrange, g(x) mempunyai paling banyak d(t – 1) = p – d – 1 akar
modulo p. Karena akar dari xp-1
– 1 modulo p yang bukan akar dari g(x) modulo p adalah
akar dari xd
– 1 modulo p, maka dapat ditentukan bahwa polinomial xd
– 1 paling sedikit

mempunyai (p – 1) – (p – d – 1) = d akar yang tidak kongruen modulo p, sedangkan
teorema Lagrange menyatakan bahwa xd
– 1 paling banyak mempunyai d akar tidak
kongruen modulo p. Jadi xd
– 1 tepat mempunyai d akar tidak kongruen modulo p.
Teorema 9.10
Jika p adalah suatu bilangan prima dan d adalah pembagi positif dari p – 1, maka bi-
langan bulat tingkat d yang tidak kongruen modulo p adalah sama dengan  (d).
Buktikan.
Teorema 9.11
Setiap bilangan prima mempunyai suatu akar primitive
Buktikan.
Tugas dan Latihan
Tugas
1. Buktikan : 2nFO n+1
jika Fn = 122

n
Latihan
1. Carilah :
a. O72 c. O103 e. O1310
b. O95 d. O76
2. Tunjukkan bahwa :
a. 5 adalah suatu akar primitif dari 6
b. 2 adalah suatu akar primitif dari 11
3. Carilah suatu akar primitif dari :
a. 4 b. 10 c. 14
4. Carilah banyaknya akar primitif tidak kongruen modulo 14
5. Buktikan : jika a-1
adalah inverse dari a modulo m, maka Oma = Oma-1

Rambu-Rambu Jawaban Tugas
1. Fn = 122

n
, maka 122

n
≡ 0(mod Fn), berarti )(mod122
nF
n

Jadi (
n
2
2 )2
≡ 1(mod Fn). Jadi 2nFO n
.2 = 2n+1
Rambu-Rambu Jawaban Latihan
1. a. Tingkat dari suatu bilangan bulat modulo 7 membagi  (7) = 6, jadi kemungkinan-
kemungkinannya adalah 1, 2, 3, atau 6. Selanjutnya dapat ditentukan bahwa :
22
= 4 ≡ 4(mod 7), 23
= 8 ≡ 1(mod 7), berarti O72 = 3
b. Tingkat dari suatu bilangan bulat modulo 9 membagi  (9) = 8, jadi kemungkinan-
52
= 25 ≡ 1(mod 8), jadi O85 = 2
c. Tingkat dari suatu bilangan bulat modulo 10 membagi  (10) = 4, jadi kemungkinan
kemungkinannya adalah 1, 2, atau 4. Selanjutnya dapat ditentukan bahwa :
32
= 9 ≡ 9(mod 10), 34
= 81 ≡ 1(mod 10), jadi O103 = 4.
d. Tingkat dari suatu bilangan bulat modulo 7 membagi  (7) = 6, jadi kemungkinan-
61
= 6 ≡ 6(mod 7), 62
= 36 ≡ 1(mod 7), jadi O76 = 2
e. Tingkat dari suatu bilangan bulat modulo 13 membagi  (13) = 12, jadi kemungkin-
an-kemungkinannya adalah 1, 2, 3, 4, 6, atau 12. Selanjutnya dapat ditentukan bah-
wa :
101
= 10 ≡ 10(mod 13), 102
= 100 ≡ 9(mod 13), 103
= 1000 ≡ 12(mod 13),
104
= 10000 ≡ 3(mod 13), 106
≡ 144(mod 13) ≡ 1(mod 13), jadi O13(10) = 6
2. a. 52
= 25 ≡ 1(mod 6) dan  (6) = 2, jadi O65 =  (6), 5 adalah suatu akar primitif 6
b. 22
= 4 ≡ 4(mod 11), 25
= 32 ≡ 10(mod 11) ≡ -1(mod 11), 210
= 1 ≡ 1(mod 11), jadi
O112 = 10, 2 adalah suatu akar primitif 11.
3. a.  (4) = 2, dan 32
= 9 ≡ 1(mod 4), jadi 3 adalah suatu akar primitif 4
b.  (5) = 4, dan 24
c.  (14) = 6, dan 36
= 33
.33
≡ (-1)(-1)(mod 14) ≡ 1(mod 14), jadi 3 adalah suatu akar
primitif 14.

4.  (14) = 6,36
≡ 1(mod 14),dan 56
= 52
.52
.52
≡ 11.11.11(mod 14) ≡ (-3)(-3)(-3)(mod 14)
≡ -27(mod 14) ≡ 1(mod 14), jadi banyaknya akar primitif 14 adalah dua, yaitu 3 dan 5
5. Jika ak
≡ 1(mod m), maka a-k
≡ a-k
.1 ≡ a-k
.ak
≡ 1(mod m), dengan demikin Oma = Oma-1
Rangkuman
Berdasarkan seluruh paparan pada Kegiatan Belajar 1 ini, maka garis besar bahan yang
dibahas meliputi Definisi, Teorema, Contoh, dan Latihan tentang tingkat (order), dan
akar primitif, terutama tentang konsep tingkat, dan konsep akar primitif, yang dikaitkan
dengan dengan sistem residu tereduksi, fungsi Euler, dan faktor persekutuan terbesar. 1.
1. Definisi 9.1
Jika a, b Z+
dan (a,b) = 1, maka suatu bilangan bulat positif x yang memenuhi
x
a ≡ 1 (mod b) disebut tingkat dari a modulo b, ditulis x = Oba.
2. Definisi 9.2
Jika (r,m) = 1, m > 0, dan Omr =  (m), maka r disebut suatu akar primitif modulo m
3. Teorema 9.1
Jika b > 0 , dan (a,b) = 1, maka x Z+
adalah memenuhi kongruensi ax
≡1 (mod b)
jika dan hanya jika order a modulo b membagi x, yaitu Oba │ x
4. Teorema 9.2
Jika b > 0 dan (a,b) = 1, maka Oba │ (b)
5. Teorema 9.3
Ditentukan r,s Z+
, (a,b) = 1, dan b > 0
ar
≡ as
(mod b) jika dan hanya jika r ≡ s(mod Oba)
6. Teorema 9.4
Jika r,m  Z+
, (r,m) = 1, dan r adalah suatu akar primitif modulo m, maka sistem re-
sidu tereduksi modulo m adalah T = r1
, r2
, …, )(m
r
7. Teorema 9.5
Jika s N dan Omb = r, maka Om(b)s
= r/(r,s) = Omb / (Obb,s)
8. Teorema 9.6
Jika m Z , m > 1 , dan x adalah suatu akar primitif modulo m, maka xt
adalah sua-
tu akar primitif modulo m jika dan hanya jika (t, (m)) = 1

9. Teorema 9.7
Jika m Z+
dan m > 1 mempunyai suatu akar primitif, maka banyaknya seluruh akar
primitif yang tidak kongruen adalah  ( (m))
10.Teorema 9.8
Jika f(x) = anxn
+ an-1xn-1
+ … + a1x + a0 adalah suatu polinomial berderajad n
dengan koefisien bulat dan an tidak habis dibagi oleh suatu bilangan prima p, maka
f(x) paling banyak mempunyai r akar tidak kongruen modulo p.
11.Teorem 9.9
Jika p adalah suatu bilangan prima, dan d adalah suatu pembagi dari p – 1, maka poli
nomial xd
– 1 tepat mempunyai d akar yang tidak kongruen modulo p.
12.Teorema 9.10
Jika p adalah suatu bilangan prima dan d adalah pembagi positif dari p – 1, maka bi-
langan bulat tingkat d yang tidak kongruen modulo p adalah sama dengan  (d).
13. Teorema 9.11
Setiap bilangan prima mempunyai suatu akar primitif.
Tes Formatif
1. Skor : 10
Carilah :
a. O15 7 c. O2110 e. O179
b. O209 d. O293
2. Skor 10
Carilah akar-akar primitif dari :
a. 5 c. 11 e. 20
b. 13 d. 18
3. Skor 10
Tunjukkan bahwa :
a. 12 tidak mempunyai akar primitif
b. 20 tidak mempunyai akar primitive

4. Skor 15
Buktikan : jika m adalah suatu bilangan bulat positif, a dan b adalah bilangan-bilangan
bulat yang relatif prima dengan m dan (Oma, Omb) = 1, maka
Omab = Oma.Omb
5. Skor 15
Buktikan : jika a Z , m Z+
, (a,m) = 1, dan Oma = pq, maka Omap
= q
6. Skor 20
Buktikan : jika a Z , m Z+
, (a,m) = 1, dan Oma = m – 1, maka m adalah prima
7. Skor 20
Buktikan : jika p dan q adalah bilangan-bilangan prima ganjil, maka pq adalah suatu
prima semu jika dan hanya jika Oq2 │ p – 1 dan Op2 │ q – 1.
Berdasarkan bukti tersebut, tentukan apakah bilangan-bilangan 13.67 dan 19.73 adalah
prima-prima semu.
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Rambu-Rambu Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di
bagian halaman akhir dari modul ini. Kemudian perkirakan skor jawaban yang Anda kerjakan
benar, dan gunakan kriteria berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap
pemahaman materi Kegiatan Belajar 1.
Skor jawaban yang benar
Tingkat Penguasaan = ------------------------------------- x 100 %
100
Tingkat penguasaan Anda dikelompokkan menjadi :
Baik sekali : 90 % - 100 %
Baik : 80 % - 89 %
Cukup : 70 % - 79 %
Kurang : < 70 %
Apabila Anda mencapai tingkat penguasaan 80 % atau lebih, maka Anda dapat meneruskan ke
Kegiatan Belajar 2. Prestasi Anda bagus sekali. Jika tingkat penguasaan Anda kurang dari 80% ,
maka sebaiknya Anda mengulangi materi Kegiatan Belajar 1 , terutama pada bagian-bagian yang
belum Anda kuasai dengan baik.

MODUL 9
KEGIATAN BELAJAR 2
ARITMETIKA INDEKS
Uraian
Pembahasan tentang akar primitif dapat dipersempit hanya pada bilangan prima.
Beberapa teorema yang dikembangkan, antara lain teorema Lagrange dan teorema yang
terkait dengan polynomial, pada akhirnya dapat digunakan sebagai dasar untuk
membuktikan bahwa setiap bilangan prima tentu mempunyai suatu akar primitif.
Selanjutnya, dapat ditunjukkan bahwa semua bilangan bulat positif mempunyai akar-akar
primitif.
Akar primitif juga dapat digunakan untuk mengerjakan aritmetika modulo. Aritmetika
tentang modulo ini disebut dengan aritmetika indeks, yaitu suatu konsep khusus yang
dapat digunakan untuk menyelesaikan kongruensi yang memuat perpangkatan.
Dari pembahasan sebelumnya diketahui bahwa jika suatu polinomial dengan koeffisien
bulat f(x), maka suatu bilangan bulat k disebut suatu akar dari f(x) modulo m jika f(k) ≡
0(mod m), dan akibatnya setiap bilangan bulat yang kongruen dengan k modulo m juga
merupakan suatu akar dari f(x).
Teorema 9.12
Jika p adalah suatu bilangan prima ganjil dengan akar primitif a, maka salah satu da
ri a atau a + p merupakan suatu akar primitif modulo p2
.
Bukti :
Karena a adalah suatu akar primitive modulo p, maka dapat kita ketahui bahwa :
Opa =  (p) = p – 1
Misalkan n = aOp2 sedemikian hingga an
≡ 1(mod p2
), maka berdasarkan p│p2
da-
pat ditentukan bahwa an
≡ 1(mod p), dan sesuai dengan terorema 9.1, p – 1 = Opa │n.
Dengan demikian, sesuai dengan teorema 9.2, n │ (p2
) = p{1 – (1/p)} = p(p – 1).
Selanjutnya, karena n │p(p – 1) dan p – 1│ n , maka kemungkinannya n = p – 1 atau

n = p(p – 1).
Jika n = p(p – 1), maka a adalah suatu akar primitif modulo p2
karena aOp2 =  (p2
)
Jika n = p – 1, maka ap-1
≡ 1(mod p2
).
Jika ditentukan b = a + p, maka b ≡ a(mod p), berarti b adalah juga suatu akar primi-
tif modulo p. Dengan demikian nilai 2
p
O b kemungkinannya sama dengan p – 1 atau
p(p – 1). Kita akan tunjukkan bahwa 2
p
O b tidak sama dengan p – 1.
Sesuai dengan teorema binomial, dapat ditentukan bahwa :
bp-1
= (a + p)p-1
= ap-1
+ (p-1)ap-2
+ (1/2)(p-1)(p-2)ap-3
p2
+ … + pp-1
≡ ap-1
+ (p-1)p.ap-2
(mod p2
)
dan karena ap-1
≡ 1(mod p2
) , maka :
bp-1
≡ 1 + (p-1)p.ap-2
≡ 1 – prp-2
(mod p2
)
berarti bp-1
tidak kongruen dengan 1(mod p2
) sebab jika bp-1
≡ 1(mod p2
), maka da-
pat ditentukan bahwa pap-2
≡ 0(mod p2
) sehingga ap-2
≡ 0(mod p), dan hal ini tidak bi-
sa terjadi karena p tidak membagi a (ingat bahwa a adalah suatu akar primitif dari p).
Jadi, bOp2 = p(p-1) =  (p2
), yaitu b = a + p adalah suatu akar primitif dari p2
.
Contoh 9.16
a. 2 adalah suatu akar primitif modulo 11, 210
≡ 1(mod 11), atau O112 = 10 =  (11)
Untuk menentukan apakah 2 suatu akar atau bukan akar primitif modulo 112
, perlu di-
selidiki keadaan dari 211-1
= 210
. Ternyata 210
= 1024 ≡ 56 tidak kongruen 1(mod 112
)
berarti kemungkinan yang lain benar, yaitu 211(11-1)
= )11( 2
2
≡ 1(mod 112
). Jadi, 2 ada-
lah juga suatu akar primitif modulo 112
.
b. 3 adalah suatu akar primitive modulo 17, sesuai teorema Euler, karena (3,17) = 1, ma-
ka )17(
3
= 316
≡ 1(mod 17), berarti O173 = 16 =  (17).
317-1
= 316
≡ 245(mod 172
) tidak kongruen 1(mod 172
). Dengan demikian kemungkinan
lain benar, yaitu 317(17-1)
≡ 1(mod 172
), 3 adalah juga suatu akar primitif modulo 172
.
c. 10 adalah suatu akar primitif dari p = 487 karena 10487-1
= 10486
≡ 1(mod 487), tetapi
10 bukan suatu akar primitif modulo 4872
. Dengan demikian, sesuai teorema 9.12,
dapat ditentukan bahwa 10 + 487 = 497 adalah suatu akar primitif modulo 4872
.

Teorema 9.13
Jika p adalah suatu bilangan prima ganjil, maka pr
mempunyai suatu akar primitive
untuk semua r N, dan jika s adalah suatu akar primitive modulo p2
, maka s adalah
suatu akar primitive modulo pr
untuk semua r N.
Bukti :
Sesuai dengan teorema 9.12, karena p adalah bilangan prima ganjil, maka p mempu-
nyai suatu akar primitif r yang juga merupakan akar primitif modulo p2
, berarti :
rp-1
)… (*)
Dengan menggunakan induksi matematika, akan kita buktikan bahwa :
)1(2

ppk
r tidak kongruen dengan 1(mod pk
), untuk semua k N dan k ≥ 2… (**)
Jika hal ini bisa kita buktikan, maka kita dapat menyatakan bahwa r adalah juga sua-
tu akar primitif modulo pk
. Perlu diingat bahwa :
)1()
1
()
1
1()( 1


 
pp
p
p
p
p
pp kkkk

Kita tentukan bahwa :
n = rO k
p
, atau rn
≡ 1 (mod pk
), maka sesuai dengan teorema 9.2, rO k
p
│ (pk
)
atau n│ (pk
), berarti n│pk-1
(p – 1)
Selanjutnya, dari p│pk
dan rn
≡ 1 (mod pk
), maka dapat ditentukan bahwa :
rn
≡ 1 (mod p).
Sesuai dengan teorema 9.1, dari rn
≡ 1 (mod p) dapat ditentukan bahwa :
 (p) = p – 1 │ n
Dari p – 1 │ n dan n│pk-1
(p – 1), berakibat n = pt
(p – 1) , yang mana t Z sedemi-
kian hingga 0 ≤ t ≤ k – 1
Jika n = pt
(p – 1) dengan t ≤ k – 2, maka :
)1(2

ppk
r =
tkt
ppp
r

 2
)( )1(
≡ tkn
r 2
)( (mod pk
) ≡ 1(mod pk
)
bertentangan dengan keadaan (**). Dengan demikian rO k
p
= pk-1
(p-1) =  (pk
), atau
r adalah juga suatu akar primitif modulo pk
.
Marilah sekarang kita buktikan (**) dengan menggunakan induksi matematika.
Untuk k = 2, berlaku (*),rp-1
).
Anggaplah hubungan berlaku benar untuk k N dan k ≥ 2, yaitu :

)1(2

ppk
)
Karena (r,p) = 1, maka (r,pk-1
) =1, akibatnya :
)1(2

ppk
r = )(mod1 1)( 1



kp
pr
k

Dengan demikian tentu ada bilangan bulat d sedemikian hingga :
)1(2

ppk
r = 1 + dpk-1
p tidak membagi d sebab sesuai anggapan )1(2

ppk
)
Selanjutnya, dapat ditentukan bahwa :
)1(2

ppk
r = 1 + dpk-1
( )1(2

ppk
r )p
= (1 + dpk-1
)p
)1(1

ppk
r = 1 + p(dpk-1
) + 





2
p
(dpk-1
)2
+ … + (dpk-1
)p
≡ 1 + dpk
(mod pk+1
)
Karena p tidak membagi d, maka dapat disimpulkan bahwa :
)1(2

ppk
)
Contoh 9.17
a. 2 adalah suatu akar primitive modulo 3 dan suatu akar primitive modulo 32
karena
23-1
= 22
= 4 tidak kongruen dengan 1(mod 9). Dengan demikian 2 adalah suatu akar
primitive modulo 3k
untuk semua bilangan bulat positif k.
b. 3 adalah suatu akar primitive modulo 17 dan suatu akar primitive modulo 172
. Dengan
demikian 3 adalah suatu akar primitive modulo 17k
untuk semua bilangan bulat positif
k.
Teorema 9.14
Jika a adalah suatu bilangan bulat ganjil, k adalah suatu bilangan bulat, dan k ≥ 3,
maka )2(mod122/)2( kk
aa
k
 
Bukti :
a adalah suatu bilangan bulat positif, maka a = 2b + 1, b adalah suatu bilangan bulat
a2
= (2b + 1)2
= 4b2
+ 4b + 1 = 4b(b + 1) + 1
Karena salah satu dari b atau b + 1 adalah genap, maka 8│4b(b + 1) , dan akibatnya

a2
≡ 1(mod 8)
Jadi hubungan berlaku untuk k = 3
Misalkan hubungan berlaku untuk n = k, yaitu :
)2(mod1
2
2 kk
a 

maka tentu ada suatu bilangan bulat d sehingga
2
2 k
a = 1 + d.2k
, akibatnya :
(
2
2 k
a )2
= (1 + d.2k
)2
1
2 k
a = 1 + 2d.2k
+ d2
22k
1
2 k
a = 1 + d.2k+1
+ d2
22k
Jadi,
1
2 k
a ≡ 1(mod 2k+1
)
Teorema 9.14 menjelaskan bahwa tidak ada kepangkatan dari 2, kecuali 2 dan 4, yang
mempunyai suatu akar primitif.
Meskipun tidak ada akar primitif modulo 2k
untuk k ≥ 3, tetapi selalu ada suatu unsur dari
tingkat kemungkinan terbesar, yaitu  (2k
)/2.
Teorema 9.15
Jika k adalah suatu bilangan bulat dan k ≥ 3, maka 2
2
22/)2(5 
 kk
kO 
Bukti :
Sesuai dengan teorema 9.14, untuk k ≥ 3 berlaku 
2
2
5
k
1(mod 2k
), dan sesuai
dengan teorema 9.1, :
52kO │2k-2
Dengan demikian, jika kita dapat tunjukkan bahwa 52kO │2k-3
, maka kita dapat sim-
pulkan bahwa 52kO = 2k-2
.
Untuk menunjukkan bahwa 52kO │2k-3
, kita akan gunakan induksi matematika untuk
nilai-nilai k ≥ 3.

3
2
5
k
1 + 2k-1
 1(mod 2k
)
Untuk k = 3 terdapat
5 ≡ 1 + 4(mod 8)

Anggaplah bahwa 
3
2
5
k
1 + 2k-1
(mod 2k
), maka tentu ada suatu d N sehingga :

3
2
5
k
1 + 2k-1
+ d.2k
maka :
( 

22
)5
3k
(1 + 2k-1
+ d.2k
)2

2
2
5
k
(1 + 2k-1
)2
+ 2(1 + 2k-1
)d.2k
+ (d.2k
)2

2
2
5
k
(1 + 2k-1
)2
= 1 + 2k
+ 22k-2
≡ 1 + 2k
(mod 2k-1
)
Jadi 2/)2(52
k
kO 
Berdasarkan uraian yang telah dipaparkan dapat diketahui bahwa semua perpangkatan
dari bilangan prima ganjil mempunyai akar primitive, tetapi perpangkatan 2 yang mem-
punyai akar primitive hanya 2 dan 4.
Teorema 9.16
Jika n N dan n bukan kepangkatan suatu bilangan prima atau dua kali kepangkatan
suatu bilangan prima, maka n tidak mempunyai suatu akar primitif.
Bukti :
Misalkan n N mempunyai pemfaktoran prima :
n = mt
m
tt
ppp ...21
21
dan mempunyai suatu akar primitive r, maka (r,n) = 1 dan Onr =  (n), maka dapat di
tentukan bahwa (r,pt
) = 1 dimana pt
adalah satu dari perpangkatan prima yang mun-
cul pada pemfaktoran prima. Sesuai dengan teorema Euler :
)(mod1)( tp
pr
t

Selanjutnya, jika U adalah kelipatan persekutuan terkecil dari :
)( 1
1
t
p , )( 2
2
t
p , … , )( mt
mp , yaitu U = [ )( 1
1
t
p , )( 2
2
t
p , … , )( mt
mp ]
maka )( it
ip │U, dan rU
≡ 1(mod it
ip ), i = 1, 2, …, m
Sesuai dengan teorema sisa China, dapat ditentukan bahwa rU
≡ 1(mod n), akibatnya:
Onr = )(n ≤ U
Karena  (n) adalah suatu fungsi multiplikatif, maka :

 (n) =  ( mt
m
tt
ppp ...21
21 ) = )( 1
1
t
p . )( 2
2
t
p . … . )( mt
mp
berarti )( 1
1
t
p . )( 2
2
t
p . … . )( mt
mp ≤ [ )( 1
1
t
p , )( 2
2
t
p , … , )( mt
mp ]
Keadaan ini bisa terjadi jika )( 1
1
t
p , )( 2
2
t
p , … , )( mt
mp berpasangan relatif
prima. Berdasarkan keadaan  (pt
) = pt-1
(p – 1), dapat kita tentukan bahwa  (pt
)
adalah genap jika p adalah ganjil, atau jika p = 2 dan t ≥ 2. Dengan demikian, bilang-
an-bilangan )( 1
1
t
p , )( 2
2
t
p , … , )( mt
mp tidak berpasangan relative prima kecuali
m = 1 dan n adalah perpangkatan suatu bilangan prima, atau m = 2 dan n = 2pt
, dima-
na p adalah suatu bilangan prima dan r adalah suatu bilangan bulat positif.
Contoh 9.18
Bilangan-bilangan bulat positif yang mempunyai suatu akar primitive mempunyai ben-
tuk pt
atau 2pt
dengan p adalah suatu bilangan prima dan t adalah suatu bilangan asli.
Dengan demikian 10 dan 22 mempunyai suatu akar primitive sebab 10 = 2.51
dan
22 = 2.111
Teorema 9.17
Jika p adalah suatu bilangan prima ganjil dan t adalah suatu bilangan asli, maka 2pt
Jika r adalah suatu akar primitive modulo pt
dan r adalah ganjil, maka r juga suatu
akar primitif modulo 2pt
.
Jika r adalah suatu akar primitif modulo pt
dan r adalah genap, maka r + pt
adalah
suatu akar primitif modulo 2pt
.
Bukti :
r adalah suatu akar primitif modulo pt
, maka )( t
p
r
≡ 1(mod pt
)
Selanjutnya,  (2pt
) =  (2)  (pt
) =  (pt
), berarti )2( t
p
r
≡ 1(mod pt
)
Jika r adalah ganjil, maka )2( t
p
r
≡ 1(mod 2), sehingga )2( t
p
r
≡ 1(mod 2pt
) sebab
(2,pt
) = 1, )( t
p
r
≡ 1(mod pt
), dan )2( t
p
r
≡ 1(mod 2) , berarti 2pt
mempunyai suatu
akar primitif.
Jika r adalah genap, maka r + pt
adalah ganjil, sehingga (r + pt
) )2( t
p
≡ 1(mod 2)

Karena r + pt
≡ r(mod pt
), maka (r + pt
) )2( t
p
≡ r )2( t
p
(mod pt
) ≡ 1(mod pt
).
Dari (r + pt
) )2( t
p
≡ 1(mod 2) dan (r + pt
) )2( t
p
≡ 1(mod pt
) dapat ditentukan bahwa
(r + pt
) )2( t
p
≡ 1(mod 2pt
) dan tidak ada kepangkatan lebih kecil dari r + pt
yang
kongruen dengan 1 modulo 2pt
. Jadi r + pt
adalah suatu akar primitif dari 2pt
.
Contoh 9.19
5 adalah suatu bilangan prima ganjil dan 5 adalah suatu akar primitif dari 23. Sesuai
dengan teorema 9.14, 5 atau 23 – 5 = 18 adalah suatu akar primitif modulo 232
, ternyata 5
adalah juga suatu akar primitif modulo 23k
untuk sebarang bilangan bulat positif k.
Karena 5 adalah ganjil, maka 5 juga suatu akar primitif dari 2.23k
untuk semua bilangan
bulat positif k, misalnya 5 adalah suatu akar primitif dari 2.23 = 46
Contoh 9.20
2 adalah suatu bilangan prima genap dan 2 adalah suatu akar primitif dari 13. Sesuai
dengan teorema 9.14, 2 + 13k
adalah suatu akar primitif modulo 2.13k
untuk semua
bilangan bulat positif k, misalnya 171 adalah suatu akar primitif modulo 338.
Teorema 9.18
Ditentukan p adalah suatu bilangan prima ganjil, t adalah suatu bilangan bulat positif,
n adalah bilangan bulat positif dan n > 1.
n mempunyai suatu akar primitif jika dan hanya jika n = 2, n = 4, n = pt
, atau n = 2pt
Buktikan dengan menggunakan gabungan teorema 9.11, 9.13, 9.16, dan 9.17
Dari pembahasan sebelumnya, teorema 9.4 menyatakan bahwa jika r adalah suatu akar
primitif modulo m, maka :
T = r1
, r2
, …, )(m
r
membentuk suatu system residu tereduksi modulo m.
Dengan demikian, jika a  Z dan (a,m) = 1, maka tentu ada suatu bilangan bulat x yang
tunggal dengan 1 ≤ x ≤  (m) sedemikian hingga :
rx
≡ a(mod m)

Definisi 9.3
Ditentukan m N dan r adalah suatu akar primitif dari m.
Jika a N dan (a,m) = 1,maka x yang tunggal,x Z ,1 ≤ x ≤  (m) dan rx
≡ a(modm)
disebut indeks dari a terhadap basis r modulo m, ditulis x = indr a, dan dinyatakan
dengan )(modmar aindr
 , atau a ≡ )(mod mr aindr
Dari definisi 9.3 dapat ditentukan hubungan bahwa :
Jika (a,m) = (b,m) = 1 dan a ≡ b(mod m), maka indra = indrb
Contoh 9.21
Jika m = 7, maka 3 adalah suatu akar primitif modulo 7 sebab 36
= 3 )7(
≡ 1(mod 7)
Dari keadaan 31
≡ 3(mod 7), 32
≡ 2(mod 7),33
≡ 6(mod 7) , 34
≡ 4(mod 7) , 35
≡ 5(mod 7)
dan 36
≡ 1(mod 7), dapat ditentukan bahwa :
ind33 = 1 , ind32 = 2 , ind36 = 3 , ind34 = 4 , ind35 = 5 , dan ind31 = 6
Contoh 9.22
Jika m = 11, maka 7 adalah suatu akar primitif modulo 11 sebab 710
= 3 )11(
≡ 1(mod 11)
Dari keadaan 71
≡ 7(mod 11), 72
≡ 5(mod 11), 73
≡ 2(mod 11), 74
≡ 3(mod 11),
75
≡ 10(mod 11), 76
≡ 4(mod 11), 77
≡ 6(mod 11), 78
≡ 9(mod 11), 79
≡ 8(mod 11),
dan 710
≡ 1(mod 11), dapat ditentukan bahwa :
ind77 = 1, ind75 = 2, ind72 = 3, ind73 = 4, ind710 = 5, ind74 = 6, ind76 = 7, ind79 = 8
dan ind71 = 10
Teorema 9.19
Jika r adalah suatu akar primitif modulo mN, a Z, b Z, (a,m) = (b,m) = 1,
maka :
(a) indr1 ≡ 0(mod  (m))
(b) indr (ab) ≡ indr a + indrb (mod  (m))
(c) indr ak
≡ k.indr a (mod  (m)) jika k N

Bukti :
(a) Sesuai teorema Euler, r )(m
≡ 1(mod m). Selanjutnya, tidak ada pangkat bilangan
asli dari r yang kongruen dengan 1 modulo m. Jadi indr =  (m) ≡ 0(mod  (m)).
(b) Sesuai dengan definisi 9.3, )(modmar aindr
 , berarti )(mod)(
mabr abindr
 , yaitu:
)(mod)(
mabr abindr
 ≡ )(mod.)(mod).(mod mrrmrmr bindaindbindaind rrrr

≡ )(modmr bindaind rr 
Sesuai dengan teorema 9.3, dari hubungan )(abindr
r )(modmr bindaind rr 
dapat di-
tentukan bahwa indr (ab) = indr a + indr b (mod  (m))
(c) Sesuai dengan definisi 9.3, )(modmar aindr
 , berarti )(modmar kaind k
r
 dan
)(mod)(.
marr kkaindaindk rr
 . Dengan demikian :
)(mod.
mrr aindkaind r
k
r

dan sesuai dengan teorema 9.3 :
indr ak
≡ k.indr a (mod  (m))
Contoh 9.23
Dari contoh 9.22 dapat kita ketahui bahwa ind75 = 2 dan ind72 = 3 dan  (11) = 10, maka
ind710 = ind72.5 = ind72 + ind75 = 2 + 3 = 5 ≡ 5(mod 10). Demikian pula dari ind72 =3
dan ind73 = 4, dapat dicari ind76 = ind72.3 = ind72 + ind73 = 3 + 4 = 7 ≡ 7(mod 10)
Selanjutnya, dari ind75 = 2, dapat dicari bahwa ind753
≡ 3.ind75 (mod 10) ≡ 3.2 (mod 10)
≡ 6(mod 10)
Contoh 9.24
Selesaikan 6x12
≡ 11(mod 17)
Jawab :
3 adalah suatu akar primitive dari 17 sebab 316
= 3 )17(
≡ 1(mod 17). Daftar indeks
bilangan-bilangan bulat 1, 2, … , 16 terhadap basis 3 modulo 17 adalah :

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Ind3t 16 14 1 12 5 15 11 10 2 3 7 13 4 9 6 8
6x12
≡ 11(mod 17), maka ind3(6x12
) ≡ ind311 ≡ 7(mod 16)
Selanjutnya, berdasarkan teorema 9.19 (b) dan teorema 9.19 (c) dapat ditentukan bahwa :
ind3(6x12
) ≡ ind36 + ind3(x12
) ≡ 15 + 12 ind3x (mod 16)
Dari ind3(6x12
) ≡ ind311 ≡ 7(mod 16) dan ind3(6x12
) ≡ 15 + 12 ind3x (mod 16) diperoleh :
15 + 12 ind3x ≡ 7(mod 16)
12 ind3x ≡ 8 (mod 16)
3 ind3x ≡ 2 (mod 4) sebab (12,16) = 4│8, mempunyai 4 selesaian
ind3x ≡ 2 (mod 4)
Dengan demikian ind3x ≡ 2, 6, 10, 14 (mod 16), berarti :
x ≡ 32
, 36
, 310
, 314
(mod 17)
x ≡ 9, 15, 8, 2 (mod 17)
Tugas dan Latihan
Tugas
1. Carilah semua akar primitive dari 22
2. Carilah semua selesaian dari kongruensi 7x
≡ 6(mod 17)
Latihan
1. Bilangan-bilangan mana dari 4, 10, 16, 22, dan 28 yang tidak mempunyai suatu akar
primitif
2. Carilah suatu akar primitif dari 32
, 52
, dan 232
3. Carilah suatu akar primitif modulo 18, dan modulo 26
4. Carilah semua akar primitif dari 25
5. Selesaikan kongruensi 3x5
≡ 1(mod 23)
Rambu-Rambu Jawaban Tugas dan Latihan
Rambu-Rambu Jawaban Tugas
1. 2 adalah suatu akar primitive dari 11 karena 210
= (25
)2
≡ (-1)2
≡ 1(mod 11) dan
 (11) = 10. Sesuai dengan teorema 9.17, 11 adalah suatu bilangan prima ganjil, maka

2.11t
(dengan t = 1) mempunyai suatu akar primitif. Dari r = 2 , maka r adalah bilang-
an genap, sehingga 2 + 11 = 13 adalah suatu akar primitive modulo 2.111
= 22.
Akar-akar primitive dari 22 adalah residu-residu positif terkecil dari 13k
dimana
1 ≤ k <  (22) = 10 dan (k,  (22)) = (k,10) = 1. Bilangan-bilangan bulat itu adalah
131
≡ 13(mod 22) , 133
≡ 19(mod 22) , 137
≡ 7(mod 22) , dan 139
≡ 17(mod 22).
Akar-akar primitif dari 22 adalah 7. 13, 17, dan 19.
2. ind3(7x
) ≡ ind3 6 . Karena 315
≡ 6 (mod 17), maka ind3 6 = 15 ≡ 15(mod 16)
ind3(7x
) ≡ x.ind3 7 ≡ 11x (mod 16) sebab 311
≡ 7 (mod 17)
Dengan demikian 11x ≡ 15(mod 16), 3.11x ≡ 45(mod 16), x ≡ 13 (mod 16)
Selesaian dari 7x
≡ 6(mod 17 adalah x ≡ 13(mod 16)
Rambu-Rambu Jawaban Latihan
1. Bilangan-bilangan yang mempunyai suatu akar primitive adalah 2, 4, dan bilangan-bi-
langan yang mempunyai bentuk pt
dan 2pt
dengan p adalah suatu bilangan prima gan-
jil dan t adalah suatu bilangan bulat positif. Dengan demikian yang mempunyai suatu
akar primitif adalah 4, 10 = 2.51
, dan 22 = 2.111
, berarti yang tidak mempunyai suatu
akar primitive adalah 16 dan 28.
2. 2 adalah suatu akar primitif 32
sebab  (32
) = 6 dan 26
= 64 ≡ 1(mod 9)
2 adalah suatu akar primitive 52
sebab  (52
) = 20 dan 220
= 25
.25
.25
.25
= 32.32.32.32
≡ 7.7.7.7 ≡ 49.49 ≡ (-1)(-1) ≡ 1(mod 25)
2 adalah suatu akar primitif dari 23 sebab  (23) = 22 dan 222
= 25
.25
.25
.25
.22
= 32.32.32.32.4 ≡ 9.9.9.9.4 ≡ 81.81.4 ≡ 12.12.4 ≡ 144.4 ≡ 6.4 ≡24 ≡ 1(mod 23), dan
222
= 25
.25
.25
.25
.22
= 32.32.32.32.4 ≡ 392(mod 232
), tidak kongruen dengan 1(mod 232
)
3. 18 = 2.9 = 2.32
, dan 2 adalah akar primitif dari 9 sebab 2 )9(
= 26
≡ 1(mod 32
), dan
sesuai dengan teorema 9.17, 2 + 32
= 11 adalah suatu akar primitif modulo 2.32
.
26 = 2.131
, dan 2 adalah akar primitif dari 13 sebab 2 )13(
= 212
≡ 40 ≡ 1(mod 13),
dan sesuai teorema 9.17, 2 + 131
= 2 + 13 = 15 adalah suatu akar primitif modulo 2.131
4. 2 adalah akar primitif dari 25 sebab 2 )25(
= 220
= 25
.25
.25
.25
≡ 7.7.7.7 ≡ 1(mod 25), dan
Sesuai dengan teorema 9.7, banyaknya semua akar primitif yang tidak kongruen adalah
 ( (m)) =  ( (25) =  (20) = 8, yaitu mempunyai bentuk rk
dengan (k,  (m) = 1,

yaitu (k,20) = 1, berarti k = 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, dan 19. Dengan demikian akar-akar
primitif dari 25 adalah 21
, 23
, 27
, 29
, 211
, 213
, 217
, dan 219
, atau 2, 8, 3, 12, 23, 17, 22,
dan 13 modulo 25.
5. 5 adalah akar primitif terkecil modulo 23 sebab 522
≡ 5 )23(
≡ 1(mod 23)
Dari 3x5
≡ 1(mod 23), dapat ditentukan bahwa ind5 (3x5
) ≡ ind51 (mod 22), dan sesuai
teorema 9.19 (b) dan (c), ind5 3 + 5 ind5 x ≡ ind5 1(mod 22). Misalkan y = ind5 x, maka
ind53 + 5y ≡ ind51(mod 22). Karena 516
≡ 3(mod 23) dan 522
≡ 1(mod 23), maka dapat
ditentukan bahwa ind5 3 = 16 dan ind5 1 = 22, sehingga 16 + 5y ≡ 22(mod 22). Sele-
sain kongruensi linier 16 + 5y ≡ 22(mod 22) adalah y ≡ 10(mod 22). Dengan demikian
dari y = ind5 x dapat ditentukan 510
≡ x (mod 23), berarti x ≡ 9(mod 23).
Rangkuman
Berdasarkan seluruh paparan pada Kegiatan Belajar 2 ini, maka garis besar bahan yang
dibahas meliputi Definisi, Teorema, Contoh, dan Latihan tentang eksistensi akar-akar
primitive dan indeks aritmetika, terutama jika dikaitkan dengan bilangan prima ganjil,
fungsi Euler dan penyelesaian kongruensi khusus bentuk pangkat.
1. Definisi 9.3
Ditentukan m N dan r adalah suatu akar primitif dari m.
Jika a N dan (a,m) = 1,maka x yang tunggal,x Z ,1 ≤ x ≤  (m) dan rx
≡ a(modm)
disebut indeks dari a terhadap basis r modulo m, ditulis x = indr a, dan dinyatakan
dengan )(modmar aindr
 , atau a ≡ )(mod mr aindr
.
2. Teorema 9.12
Jika p adalah suatu bilangan prima ganjil dengan akar primitif a, maka salah satu da-
ri a atau a + p merupakan suatu akar primitive modulo p2
.
3. Teorema 9.13
Jika p adalah suatu bilangan prima ganjil, maka pr
mempunyai suatu akar primitive
untuk semua r N, dan jika s adalah suatu akar primitive modulo p2
, maka s adalah
suatu akar primitive modulo pr
untuk semua r N.
4. Teorema 9.14
Jika a adalah suatu bilangan bulat ganjil, k adalah suatu bilangan bulat, dan k ≥ 3,

maka )2(mod122/)2( kk
aa
k
 
5. Teorema 9.15
Jika k adalah suatu bilangan bulat dan k ≥ 3, maka 2
2
22/)2(5 
 kk
kO 
6. Teorema 9.16
Jika n N dan n bukan kepangkatan suatu bilangan prima atau dua kali kepangkatan
suatu bilangan prima, maka n tidak mempunyai suatu akar primitif.
7. Teorema 9.17
Jika p adalah suatu bilangan prima ganjil dan t adalah suatu bilangan asli, maka 2pt
dan r adalah ganjil, maka r juga suatu
akar primitif modulo 2pt
.
dan r adalah genap, maka r + pt
adalah
suatu akar primitif modulo 2pt
.
8. Teorema 9.18
Ditentukan p adalah suatu bilangan prima ganjil, t adalah suatu bilangan bulat positif,
n adalah bilangan bulat positif dan n > 1.
n mempunyai suatu akar primitif jika dan hanya jika n = 2, n = 4, n = pt
, atau n = 2pt
9. Teorema 9.19
Jika r adalah suatu akar primitif modulo mN, a Z, b Z, (a,m) = (b,m) = 1,
maka :
(a) indr1 ≡ 0(mod  (m))
(b) indr (ab) ≡ indr a + indrb (mod  (m))
(c) indr ak
≡ k.indr a (mod  (m)) jika k N
Tes Formatif 2
1. Skor : 10
Dari bilangan-bilangan 8, 9, 12, 26, 27, 31, dan 33, sebutkan yang mempunyai suatu
akar primitif.
2. Skor : 20
Carilah semua akar primitif dari 38

3. Skor : 10
Tunjukkan bahwa banyaknya akar primitif modulo 2pt
sama dengan banyaknya akar
primitif modulo pt
, p adalah suatu bilangan prima ganjil, dan t N
4. Skor : 20
Selesaikan kongruensi 3x14
≡ 2(mod 23)
5. Skor : 20
Carilah nilai-nilai a sedemikian hingga ax4
≡ 2(mod 13) dapat diselesaikan.
6. Skor : 10
Tunjukkan bahwa jika p adalah suatu bilangan prima ganjil, dan r adalah suatu akar
primitif dari p, maka indr(p – 1) = (p – 1)/2
7. Skor : 10
Diketahui p adalah suatu bilangan prima ganjil. Tunjukkan bahwa kongruensi
x4
≡ – 1 (mod p) mempunyai selesaian jika dan hanya jika p mempunyai bentuk
8k + 1
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Rambu-Rambu Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di
bagian halaman akhir dari modul ini. Kemudian perkirakan skor jawaban yang Anda kerjakan
benar, dan gunakan kriteria berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap
pemahaman materi Kegiatan Belajar 1.
Skor jawaban yang benar
Tingkat Penguasaan = ------------------------------------- x 100 %
100
Tingkat penguasaan Anda dikelompokkan menjadi :
Baik sekali : 90 % - 100 %
Baik : 80 % - 89 %
Cukup : 70 % - 79 %
Kurang : < 70 %
Apabila Anda mencapai tingkat penguasaan 80 % atau lebih, maka Anda telah menguasai seluruh
materi teori bilangan. Prestasi Anda bagus sekali. Jika tingkat penguasaan Anda kurang dari 80% ,
maka sebaiknya Anda mengulangi materi Kegiatan Belajar 2 , terutama pada bagian-bagian yang
belum Anda kuasai dengan baik.

Rambu-Rambu Jawaban Tes Formatif
Rambu-Rambu Jawaban Tes Formatif 1
1. a. 74
= 72
.72
= 49.49 ≡ 4.4 (mod 15) ≡ 1(mod 15), maka O157 = 4
b. 92
= 81 ≡ 1(mod 20), maka O209 = 2
c. 106
= 102
.102
.102
≡ 16.16.16(mod 21) ≡ (-5)(-5)(-5) (mod 21) ≡ 1(mod 21), maka
O2110 = 6
d. 328
= 314
.314
≡ (-1)(-1)mod 29) ≡ 1(mod 29), maka O293 = 28
e. 98
= 94
.94
≡ (-1)(-1) ≡ 1(mod 17), maka O179 = 5
2. a.  (5) = 4 dan 24
b.  (13) = 12, 26
≡ -1(mod 13), atau 212
≡ 1(mod 13), jadi 2 adalah akar primitif 13
c.  (14) = 6, dan 36
= 33
.33
≡ (-1)(-1) (mod 14) ≡ 1(mod 14), jadi 3 adalah akar primi-
tif 14.
d.  (18) = 12, dan 212
≡ 1(mod 18), jadi 2 adalah akar primitif 18
e.  (20) = 4, dan 34
= 81 ≡ 1(mod 20), jadi 3 adalah akar primitif 20
3. a. Bilangan-bilangan yang relatif prima dengan 12 adalah 1, 5, 7, dan 11
12
≡ 52
≡ 72
≡ 112
≡ 1(mod 12) berarti O 121 = O125 = O127 = O12 11 = 2
  (12) = 4, jadi 12 tidak mempunyai akar primitif
b. Bilangan-bilangan yang relatif prima dengan 20 adalah 1,3,7,9, 11, 13, 17, 19.
 (20) = 8 dan pembagi murni dari 8 adalah 1, 2, dan 4
Ternyata 14
≡ 34
≡ 74
≡ 94
≡ 114
≡ 134
≡ 174
≡ 194
≡ 1(mod 20), berarti
O201,3,7,9,11,13,17,19 = 4   (20) = 8, jadi 20 tidak mempunyai akar primitif
4. Misalkan Oma = p, Omb = q, dan Omab = r , maka ap
≡ 1(mod m), bq
≡ 1(mod m)
dan (ab)r
≡ 1(mod m), sehingga (ab)pq
≡ (ap
)q
.(bp
)p
≡ 1q
.1p
≡ 1(mod m), berarti dapat
ditentukan bahwa r │ pq. Selanjutnya, 1 ≡ (ab)r
≡ (ab)pr
≡ (ap
)r
.bpt
≡ bpr
(mod m), dan
sesuai dengan teorema 9.1, q │ pr, akibatnya q │ r sebab (q,p) = 1. Dengan jalan yang
sama dapat ditentukan bahwa p │ r . Berikutnya, dari p │ r , q │ r , dan (p,q) = 1 (ya-

itu diketahui (Oma , Omb) = (p,q) = 1) dapat ditentukan bahwa pq = r.
5. (a,m) = 1, dan Om a = pq, maka apq
≡ 1(mod m). Dengan demikian dapat ditentukan
bahwa apq
= (ap
)q
≡ 1(mod m), yaitu Omap
= q
6. Misalkan bahwa m adalah bukan bilangan prima, maka  (m) < m – 1 .
Sesuai dengan teorema 9.2, Oma │  (m), berarti Oma < m – 1 , yaitu jika ada suatu
bilangan bulat a yang relatif prima dengan m sehingga Oma = m – 1, maka m adalah
prima.
7. Jika pq adalah suatu prima semu,dengan basis 2, maka 2pq
≡ 2(mod pq), dan berdasar-
kan keadaan p │ pq , berakibat 2pq
≡ 2(mod q). Sesuai dengan teorema sisa China, di-
dasarkan pada keadaan p dan q adalah bilangan-bilangan prima ganjil, maka tentu ada
selesaian dari system kongruensi linear simultan x ≡ 2(mod p) dan x ≡ 2(mod q).Selan-
jutnya, 2 dan 2pq
adalah selesaian, maka 2 ≡ 2pq
(mod pq),berarti pq adalah prima semu
basis 2.
Sebaliknya, pq adalah prima semu basis 2, maka 2pq
≡ 2(mod pq) dan 2pq
≡ 2(mod p).
Sesuai dengan Teorema kecil Fermat, 2p
≡ 2(mod p), sehingga (2p
)2
≡ 2q
≡ 2(mod p).
Selanjutnya, dari (2,p) = 1 dapat ditentukan 2q-1
≡ 1(mod p), berarti Op2 │ (q – 1).
Dengan jalan yang sama, Oq2 │ (p – 1).
Berikutnya, 19.73 adalah prima semu, sedangkan 13.67 bukan prima semu.
Rambu-Rambu Jawaban Tes Formatif 2
1. Sesuai dengan teorema 9.18, bilangan-bilangan yang mempunyai suatu akar primitif
mempunyai bentuk pt
atau 2pt
, p adalah bilangan prima ganjil, t N , dan t > 1.
Dengan demikian bilangan-bilangan yang mempunyai suatu akar primitif adalah :
9 = 32
, 26 = 2.131
, 27 = 33
, dan 31 = 311
2. 3 adalah akar primitif dari 38 sebab 3 )38(
= 318
= 39
.39
≡ (-1)(-1) ≡ 1(mod 38), dan
Sesuai dengan teorema 9.7, banyaknya semua akar primitif yang tidak kongruen adalah
 ( (m)) =  ( (38) =  (18) = 6, yaitu mempunyai bentuk rk
dengan (k,  (m) = 1,
yaitu (k,18) = 1, berarti k = 1, 5, 7, 11, 13, dan 17. Dengan demikian akar-akar
primitif dari 25 adalah 31
, 35
, 37
, 311
, 313
, dan 317
, atau 3, 15, 21, 29, 33, dan 13 modu-
lo 38

3.  ( (pt
) =  {pt
(1 –
p
1
)} =  {pt-1
(p – 1)} =  (pt
– pt-1
)
 { (2pt
)} =  {2pt
(1 –
2
1
)(1 –
p
1
)} =  {2pt
.
2
1
.
p
p 1
} =  (pt
– pt-1
)
4. 5 adalah akar primitif terkecil modulo 23 sebab 522
≡ 5 )23(
≡ 1(mod 23)
Dari 3x14
≡ 2(mod 23), dapat ditentukan bahwa ind5(3x14
) ≡ ind52(mod 22), dan sesuai
teorema 9.19 (b) dan (c), ind5 3 + 14 ind5 x ≡ ind52(mod 22).Misalkan y = ind5 x, maka
ind53 + 14y ≡ ind52(mod 22). Karena 516
≡ 3(mod 23) dan 52
≡ 2(mod 23), maka dapat
ditentukan bahwa ind5 3 = 16 dan ind52 = 2, sehingga 16 + 14y ≡ 2(mod 22). Selesai-
an kongruensi linier 16 + 14y ≡ 2(mod 22) adalah y ≡ 10 , 21 (mod 22). Dengan demi-
an dari y = ind5 x dapat ditentukan 510
≡ x (mod 23), berarti x ≡ 9(mod 23), atau 521
≡
x(mod 23), berarti x ≡ 14(mod 23).
5. ax4
≡ 2(mod 13), maka ind2 (ax4
) ≡ ind2 2(mod 12)
ind2a + 4 ind2x ≡ ind2 2(mod 12). Karena 21
≡ 2(mod 23), maka ind22 = 1, sehingga
ind2a + 4 ind2x ≡ 1(mod 12) atau 4 ind2x ≡ 1 – ind2a(mod 12). Kongruensi ini dapat di-
selesaikan jika (4,12) = 4│1 – ind2a, yaitu jika ind2a = 1, 5, 9 atau jika a ≡ 21
(mod 23)
a ≡ 25
(mod 23), atau a ≡ 29
(mod 23). Jadi kongruensi dapat diselesaikan jika nilai-nilai
a adalah a ≡ 2, 5, 6 (mod 13)
6. r adalah suatu akar primitif dari p, maka (r )(mod1)22
1
p
p


. Karena r 2
1p
tidak
kongruen 1(mod p), maka r 2
1p
≡ – 1 ≡ p – 1 (mod p). Jadi indr (p – 1) =
2
1p
7. x4
≡ – 1 (mod p), maka indr x4
≡ ind2 {– 1 (mod p)}, berarti :
4 indr x ≡
2
1p
(mod ))( p
Dengan demikian 4│
2
1p
, atau p – 1 = 2.4.k , berarti p = 8k + 1

Daftar Kepustakaan
Agnew, J. (1972). Exploration in Number Theory. Belmont : Brooks/Cole
Anderson, J.A., & Bell, J.M. (1977). Number Theory With Applications. New Jersey:
Prentice-Hall
Niven, I., Zuckerman, H.S., dan Montgomery, H.L. (1991). An Introduction to The
Theory of Numbers. New York : John Wiley & Sons.
Ore, O. (1948). Number Theory and Its History. New York : McGraw-Hill
Redmond, D. (1996). Number Theory. New York : Marcel Dekker.
Rosen, K.H. (1993). Elementary Number Theory And Its Applications.
Massachusetts : Addison-Wesley.

Modul 9 akar primitif dan aritmetika indeks

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Modul 9 akar primitif dan aritmetika indeks

Similar to Modul 9 akar primitif dan aritmetika indeks (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Modul 9 akar primitif dan aritmetika indeks