1. PETUNJUK
13/07/2021 10:26 Program Pascasarjana Unnes 1
TUGAS MENCATAT KE-I
TULISLAH:
1. HARI _ TANGGAL
2. NO ABSEN_NAMA _KELAS
3. RANGKUMLAH MATERI PPT DIBUKU CATATAN ATAU DARI SUMBER LAIN,
4. TULIS YANG RAPI DENGAN TINTA BIRU,
5. DIFOTO KEMUDIAN UBAH KE PDF
6. LANGSUNG DIKUMPULKAN SETELAH DARING,
TERLAMBAT MAKSIMUM SATU MINGGU SETELAH DIBERIKAN.
KUMPULKAN LEWAT ( sigitsuprijanto19@gmail.com )
2. 13/07/2021 10:26 Program Pascasarjana Unnes 2
Analisis Bangun Ruang
oleh
SIGIT SUPRIJANTO
SMA NEGERI 1 PURWOKERTO
4. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari bab ini, siswa diharapkan dapat:
• Mendeskripsikan jarak dalam ruang (antartitik, titik ke garis,
dan titik ke bidang).
• Menentukan jarak dalam ruang (antartitik, titik ke garis, dan
titik ke bidang).
5. 1.1 Pengertian Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang
1.1.1 Pengertian Dasar Unsur-Unsur dalam Ruang
Titik, garis, dan bidang merupakan unsur-unsur dalam ruang atau sering disebut
unsur ruang.
A. Titik
Titik biasanya dilukiskan dengan noktah (•) atau tanda silang (×) dan ditulis
dengan huruf besar, seperti A, B, C, dan seterusnya.
Titik tidak mempunyai ukuran, dan sering disebut benda berdimensi nol.
B. Garis
Garis sering dijumpai sebagai rusuk dari benda ruang. Sebuah garis
panjangnya tak hingga, karena itu gambar sebuah garis biasanya dilukiskan
dengan wakil dari garis itu. Pemberian nama sebuah garis dapat dilakukan
dengan menuliskan wakilnya atau titik-titik ujung garis itu.
Suatu garis dapat dituliskan dengan huruf kecil, seperti l, m, n. Garis
merupakan benda berdimensi satu.
6.
7. 1.1.2 Hubungan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang
A. Hubungan titik dan garis
Pengertian:
Catatan:
* Sebuah garis dapat dibuat melalui dua buah titik, atau melalui dua buah titik hanya dapat
dilukiskan sebuah garis.
(i). Sebuah titik dikatakan terletak pada sebuah garis, jika titik itu dilalui
garis.
(ii). Sebuah titik terletak di luar garis, jika titik itu tidak dilalui garis.
8. B. Hubungan titik dan bidang
Pengertian:
Catatan:
* Melalui tiga titik sembarang, paling sedikit dapat dibuat satu bidang.
* Melalui tiga titik yang tidak segaris hanya dapat dibuat satu bidang, atau sebuah bidang tertentu
dapat dibuat melalui tiga titik yang tidak segaris.
* Melalui empat titik sembarang, tidak dapat dibuat sebuah bidang.
(i). Sebuah titik dikatakan terletak pada sebuah bidang, jika titik itu dilalui bidang.
(ii). Sebuah titik terletak di luar bidang, jika titik itu tidak dilalui bidang.
9. Contoh Memahami kedudukan titik dalam bidang
Pandang bidang ABCD.
• Titik A, B, C, D, dan H terletak pada bidang ABCD.
• Titik E, F, G, dan I terletak di luar bidang ABCD.
Tidak ada bidang yang dapat dibuat melalui titik A, C, I, G.
10. C. Hubungan garis dan garis
Pengertian:
Catatan:
* Melalui dua buah garis yang sejajar atau berpotongan hanya dapat dibuat satu bidang, tetapi melalui dua buah garis
yang bersilangan tidak dapat dibuat sebuah bidang.
(iii). Dua buah garis dikatakan bersilangan, jika dua buah garis itu
tidak sebidang atau melalui kedua garis itu tidak dapat dibuat
sebuah bidang datar (seperti terlihat pada Gambar 1.1(c)).
11. D. Hubungan garis dan bidang
Pengertian:
(i). Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika setiap titik pada
garis terletak juga pada bidang (Gambar 1.2(a)).
(ii). Sebuah garis dikatakan memotong (menembus) bidang, jika garis
dan bidang mempunyai satu titik persekutuan dan titik itu disebut
titik potong atau titik tembus (Gambar 1.2(b)).
(iii). Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang
tidak bersekutu pada satu titik pun (Gambar 1.2(c)).
12. Contoh Memahami hubungan garis dan bidang dalam ruang
Pandang kubus ABCD.EFGH di samping.
(i) AC dan BD terletak pada bidang ABCD.
(ii) DH menembus bidang EFGH di H.
(iii) EG sejajar bidang ABCD.
13. E. Hubungan antara dua bidang
Pengertian:
Catatan:
* Dua bidang A dan B dikatakan sejajar jika kedua bidang tersebut berdiri tegak lurus pada suatu garis γ.
* Garis potong bidang v dan w ditulis (v, w).
(i). Dua bidang dikatakan sejajar, jika kedua bidang itu tidak bersekutu pada satu
titik pun (Gambar 1.3(a)).
(ii). Dua bidang dikatakan berpotongan jika kedua bidang itu mempunyai sebuah
garis persekutuan atau garis potong (Gambar 1.3(b)).
14. Contoh Memahami kedudukan dua bidang dalam ruang
Pandang kubus ABCD.EFGH di samping.
(i) Bidang ABFE sejajar bidang DCGH.
(ii) Bidang ABCD berpotongan dengan bidang BDHF pada garis potong BD.
15. Anda dapat menguji pemahaman
tentang Pengertian Titik, Garis,
dan Bidang dalam Ruang
dengan mengerjakan soal
LKS 1 pada halaman 9–10.
17. Contoh Mencermati perhitungan jarak antara dua titik dalam bangun ruang
Pada kubus ABCD.EFGH yang berusuk 6 cm, tentukan jarak titik G ke titik tengah AB.
Pembahasan:
18. Contoh Memahami perhitungan jarak antara dua titik dalam bangun ruang
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Hitunglah:
a. jarak titik A dan titik C,
b. jarak titik A dan titik G,
c. jarak AR jika R titik tengah GH.
Pembahasan:
19.
20. Anda dapat menguji pemahaman
tentang Jarak antara Dua Titik
dengan mengerjakan soal
LKS 2 pada halaman 9–16.
21. 1.2.2 Jarak Titik ke Garis
Jarak titik P ke garis g adalah panjang ruas garis tegak lurus dari titik P ke garis g atau panjang ruas garis
lurus dari titik P ke titik proyeksinya pada garis g. Pada Gambar 1.4, jarak titik P ke garis g adalah panjang
ruas garis PPʹ.
Cara mencari jarak titik ke garis, kita gunakan rumus trigonometri pada segitiga yang dibentuk oleh titik
yang diproyeksikan dan 2 titik lain pada garis, seperti pada contoh.
22. Contoh Mencermati perhitungan jarak titik ke garis pada bangun ruang
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Hitunglah jarak titik A ke
garis CF.
Pembahasan:
24. Anda dapat menguji pemahaman
tentang Jarak Titik ke Garis
dengan mengerjakan soal
LKS 3 pada halaman 20–21.
25. 1.2.3 Jarak Titik ke Bidang
Jarak antara titik P ke bidang v adalah panjang ruas garis tegak lurus dari titik P ke bidang v.
Perhatikan Gambar 1.5. Titik P terletak di luar bidang v. Dari titik P ditarik garis l tegak lurus terhadap
bidang v dan memotong bidang v di titik Pʹ. Titik Pʹ merupakan proyeksi titik P pada bidang v. Panjang ruas
garis PPʹ adalah jarak titik P terhadap bidang v.
Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan:
26. Contoh Mencermati perhitungan jarak titik ke bidang pada bangun ruang
Perhatikan balok ABCD.EFGH pada gambar di samping.
• Proyeksi titik A terhadap bidang BCGF adalah titik B.
• Proyeksi titik A terhadap bidang CDHG adalah titik D.
• Proyeksi titik A terhadap bidang EFGH adalah titik E.
Pembahasan:
27. Pembahasan:
Contoh Memahami perhitungan jarak titik ke bidang pada bangun ruang
Sebuah kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 6 cm.
Hitunglah jarak titik A terhadap bidang BDE.
28. Anda dapat menguji pemahaman
tentang Jarak Titik ke Bidang
dengan mengerjakan soal
LKS 4 pada halaman 26–27.
29. 1.2.4 Jarak antara Dua Garis Sejajar
Berdasarkan aksioma: “melalui sebuah titik di luar suatu garis hanya dapat ditarik satu garis sejajar dengan
garis tersebut”, kita dapat menghitung jarak antara dua garis sejajar dengan mengarahkan persoalannya
menjadi persoalan jarak titik dan garis.
Contoh Memahirkan perhitungan jarak antardua garis pada bangun ruang
Jika titik R di tengah EH dan titik S di tengah BC pada kubus ABCD.EFGH
dengan panjang rusuk 6 dm. Lukiskan dan hitung jarak antaragaris BR dan SH.
30.
31. 1.2.5 Jarak antara Dua Garis Bersilangan
Pada pembahasan yang lalu telah dijelaskan bahwa dua garis dikatakan bersilangan apabila dua garis itu
tidak sebidang atau melalui kedua garis itu tidak dapat dibuat sebuah bidang datar. Hal ini berarti kedua
garis itu tidak sejajar dan tidak berpotongan.
Jarak antara dua garis g dan h yang bersilangan dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.
1. Jika g dan h saling bersilangan tegak lurus, lukiskan bidang melalui g tegak lurus h. Misalkan
perpotongan antara bidang dan garis h adalah P, jarak garis g dan h sama dengan jarak titik P ke garis g.
2. Jika g dan h saling bersilangan tidak tegak lurus, lukiskan bidang melalui g sejajar h. Tetapkan titik P
pada h. Jarak garis g dan h sama dengan jarak titik P ke bidang yang dilukis.
32. Pembahasan:
Contoh Memahirkan perhitungan jarak antardua garis pada bangun ruang
Diketahui bahwa balok ABCD.EFGH dengan rusuk AB = 1 cm, AD = 2 cm,
dan AE = 4 cm. Titik P terletak di tengah BF. Hitunglah jarak antara garis
AD dan HP.
33. Anda dapat menguji pemahaman
tentang Jarak Dua Garis Sejajar
dan Jarak Dua Garis Bersilangan
dengan mengerjakan soal
LKS 5 pada halaman 32–33.
35. Contoh Memahami prinsip proyeksi garis pada bidang
Perhatikan balok ABCD.EFGH.
Proyeksi AB pada bidang CDHG adalah DC.
Proyeksi AG pada bidang ABCD adalah AC.
Proyeksi BD pada bidang EFGH adalah FH.
Proyeksi AE pada bidang ABCD adalah A.
Contoh Memahirkan perhitungan jarak antara garis dan bidang
Diberikan balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB = 2 m, AD = 4 m, dan AE = 6 m.
Jika K titik tengah rusuk AD, tentukan jarak antara garis CD dengan bidang yang melalui
EF dan titik K.
Pembahasan:
36.
37. 1.2.7 Jarak Antara Dua Bidang yang Sejajar
Jarak antara dua bidang sejajar u dan v adalah ruas garis AB yang saling tegak lurus
pada kedua bidang tersebut, dengan titik A dan B masing-masing adalah titik tembus
garis AB dengan kedua bidang yang dimaksud.
Contoh Memahirkan perhitungan jarak antara dua bidang yang sejajar pada
bangun ruang
Hitunglah jarak antara bidang ACH dan bidang BEG pada kubus
ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm.
Pembahasan:
38.
39. Anda dapat menguji pemahaman
tentang Jarak antara Garis dan
Bidang yang Sejajar dan Jarak
Antara Dua Bidang yang Sejajar
dengan mengerjakan soal
LKS 6 pada halaman 36.
40. 1.3 Sudut dalam Bangun Ruang (Khusus Kelompok
Lintas Minat dan Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu
Alam)
Pada bagian ini, kita akan membahas pengertian tentang sudut antara dua bidang, sudut antara dua
garis, sudut antara garis dan bidang, dan garis tegak lurus bidang.
1.3.1 Sudut antara Dua Bidang
Sudut antara dua bidang berpotongan adalah sudut antara dua garis yang berpotongan dan tegak lurus
terhadap garis potong kedua bidang di mana kedua garis itu masing-masing terletak pada bidang yang
dimaksud. Garis g adalah perpotongan garis persekutuan antara bidang u dan bidang v.
Titik A pada garis g.
Garis a pada bidang u, melalui A, dan tegak lurus garis g.
Garis b pada bidang v, melalui A, dan tegak lurus garis g.
θ = sudut (bidang u dan bidang v).
41. Definisi:
Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis, masing-masing satu pada setiap
bidang, dan tegak lurus terhadap garis potong kedua bidang serta berpotongan pada satu titik di garis
potong kedua bidang tersebut. Sudut ini disebut sudut tumpuan.
Jika sudut antara dua bidang sama dengan 90°, maka kedua bidang tersebut disebut saling tegak lurus.
Contoh Memahami perhitungan sudut antara dua bidang
Pada kubus ABCD.EFGH yang mempunyai rusuk 5 cm, tentukan:
a. sudut antara bidang ABCD dengan bidang DCGH,
b. sudut antara bidang ADGF dengan bidang ABCD, dan
c. sudut antara bidang ABD dengan bidang BDE.
43. 1.3.2 Sudut antara Dua Garis Lurus
Ada tiga kemungkingan posisi dua garis di dalam ruang, yaitu:
(i) berpotongan,
(ii) sejajar, dan
(iii) bersilangan.
Jika dua garis berpotongan, sudut yang dibentuk oleh kedua garis tersebut dapat dengan jelas dilihat dan
ditentukan. Sementara itu, jika kedua garis tersebut bersilangan, sudut yang dibentuk tidak dapat
langsung ditentukan. Perhatikan gambar berikut.
Jika dua garis bersilangan, sudut yang dibentuk kedua garis tersebut dapat ditentukan dengan cara
menggeser salah satu garis (posisi tetap sejajar dengan sebelum nya) sampai memotong garis yang lain.
44. Perhatikan gambar berikut.
Garis k bersilangan dengan garis l. Garis k digeser mendekati garis l, sehingga menghasilkan garis kʹ
yang sejajar k dan memotong garis l di titik P serta membentuk sudut β. Sudut β merupakan sudut
antara garis k dan garis l.
45. Contoh Mencermati perhitungan sudut antara dua garis pada bangun ruang
ABCD.EFGH adalah kubus dengan rusuk a cm. Tentukan besar sudut
yang dibentuk garis AH dan HC.
Pembahasan:
46. 1.3.3 Sudut antara Garis dan Bidang
Perhatikan gambar berikut.
Garis AB memotong bidang v di titik A. Proyeksi garis AB pada bidang v adalah garis AC. Sudut yang
dibentuk garis AB dan AC merupakan sudut antara garis AB dan bidang v.
Jadi,
Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan proyeksi garis pada bidang.
47. Contoh Memahami sudut antara garis dan bidang pada bangun ruang
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Tentukan besar
sudut yang dibentuk garis AC dengan bidang BDG.
Pembahasan:
48. Anda dapat menguji pemahaman
tentang Sudut dalam Bangun
Ruang dengan mengerjakan soal
LKS 7 pada halaman 44–46 .
49. 13/07/2021 10:26 Program Pascasarjana Unnes 49
Akhirnya, tidak ada gading yang tak retak.
Rendahnya kualitas pendidikan matematika adalah
masalah kita bersama. Kita telah diberi talenta yang beragam,
seberapa besar buahnya yang dapat kita persembahkan padaNya.
Taburlah rotimu di lautan tanpa batas, percayalah Ananda
Akan mendapat roti sebanyak pasir di tepi pantai.
Mari kita lakukan tugas mulia ini sebaik-baiknya, semoga Ppt ini
dapat digunakan dan bermanfaat dalam pelaksanaan proses
pembelajaran matematika di sekolah.
