3. Adaptif
3)
g
Dalam bidang α terdapat garis g, kemudian terdapat sebuah
garis h yang menembus bidang α dan garis h tidak memiliki
satupun titik persekutuan dengan garis g.
garis g dan garis h bersilangan
GeometriHal.: 3
4. Adaptif
Aksioma Dua Garis Sejajar
aksioma 4
h
A
g
Melalui sebuah titik yang berada di luar garis, hanya dapat
dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis itu.
pada gambar di atas, titik A berada di luar garis g. melalui
titik A dan garis g dapat dibuat bidang α (ingat dalil 2,
sebuah bidang ditentukan oleh sebuah titik dan sebuah
garis). Selanjutnya melalui titik A dibuat sebuah garis h
yang sejajar garis g.
GeometriHal.: 4
5. Adaptif
Dalil-dalil Dua Garis Sejajar
Dalil 5
k
garis k sejajar garis l
l
garis l sejajar garis m
m
Maka garis k sejajar garis m
GeometriHal.: 5
6. Adaptif
Dalil 6
h
garis k sejajar garis h
k
garis k memotong garis g
l
garis l sejajar garis h
g
juga memotong garis g
Maka garis-garis k, l, dan g terletak pada sebuah bidang
GeometriHal.: 6
7. Adaptif
• Dalil 7
k
garis k sejajar garis l
l
garis l menembus bidang α
maka garis k menembus bidang
α
GeometriHal.: 7
8. Adaptif
Kedudukan Garis terhadap Bidang
1)
g
A B
Sebuah garis g dikatakan terletak pada bidang α jika garis
g dan bidang a sekurang-kurangnya mempunyai dua titik
persekutuan
(sesuai aksioma 2, jika sebuah garis dan sebuah bidang
mempunyai dua titk persekutuan, maka garis itu seluruhnya
terletak pada bidang)
GeometriHal.: 8
9. Adaptif
2)
h
garis h sejajar bidang α ?
Sebuah garis h dikatakan sejajar dengan bidang α , jika garis
h dan bidang α tidak mempunyai satupun titik persekutuan.
GeometriHal.: 9
10. Adaptif
3)
k
Garis k menembus/memotong bidang α ??
Sebuah garis k dikatakan memotong atau menembus
bidang α, jika garis k dan bidang α hanya mempunyai
sebuah titik persekutuan.
GeometriHal.: 10
11. Adaptif
Contoh Soal:
1. Diketahui kubus ABCD EFGH
g
Rusuk AB sebagai wakil garis g.
» Rusuk-rusuk kubus yang berpotongan dengan garis g adalah.......
(AD, AE, BC,dan BF)
» Rusuk-rusuk kubus yang sejajar dengan garis g adalah.....
(DC, EF,dan HG).
» Rusuk-rusuk kubus yang bersilangan dengan garis g adalah.....
(CG, DH, EH, dan FG).
» Adakah rusuk kubus yang berimpit dengan garis g?
(AB)
A B
CD
E F
GH
GeometriHal.: 11
12. Adaptif
2. Diketahui kubus
Rusuk-rusuk kubus yang terletak pada bidang U adalah.....
(AB, AD, BC, dan CD).
Rusuk-rusuk kubus yang sejajar dengan bidang U adalah.....
(EF, EH, FG, dan GH).
Rusuk-rusuk kubus yang memotong atau menembus bidang U
adalah....
(EA, FB, GC, dan HD).
A B
CD
E F
GH
U
GeometriHal.: 12
13. Adaptif
Dalil-dalil tentang Garis Sejajar
Bidang
Dalil 8
g
h
jika garis g sejajar garis h dan garis h terletak pada
bidang α , maka garis g sejajar bidang α .
GeometriHal.: 13
14. Adaptif
Dalil 9
g
Jika bidang α melalui garis g dan garis g
sejajar bidang β, maka garis potong antara
bidang α dan bidang β akan sejajar terhadap
garis g
GeometriHal.: 14
15. Adaptif
Dalil 10
g
h
jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h
sejajar terhadap bidang α, maka garis g sejajar
terhadap bidang α
GeometriHal.: 15
16. Adaptif
Dalil 11
(α,β)
g
Jika bidang α dan bidang β berpotongan dan masing-
masing sejajar terhadap garis g, maka garis potong
antara bidang α dan bidang β akan sejajar garis g.
GeometriHal.: 16
17. Adaptif
Catatan: dalam dalil 9 dan dalil 11
memerlukan konsep garis potong
antara dua buah bidang.
konsep garis potong antara dua
bidang akan kita pelajari di
pertemuan selanjutnya.
GeometriHal.: 17
18. Adaptif
Sudut dan bidang pada penggambaran bangun ruang
A. Perpotongan garis dengan bidang
Jika ada sebuah garis dan suatu titik ke suatu bidang
sebuah bidang maka akan di peroleh 3 kemungkinan:
1. Garis terletak pada bidang,jika semua titik pada garis
terletak pada bidang tersebut.
2. Garis sejajar bidang ,jika antara garis dan bidang tidak
mempunyai satupun titik persekutuan.
3. Garis memotong bidang,jika antara garis dengan
bidang hanya mempunyai satu titik persekutuan.
B. Jarak titik ke bidang
Jarak suatu titik ke satu bidang adalah jarak dari titik
tersebut ke proyeksi bidangnya.
GeometriHal.: 18
19. Adaptif
Sudut dan bidang pada penggambaran bangun ruang
c. Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara garis dan bidang adalah sudut
antara garis tersebut dengan proyeksi garis
pada bidang
D. Sudut antara dua bidag
Sudut dua bidang yang berpotonganpada garis AB
adalah sudut antara dua garis yang terletak pada
bidang,masing-masing tegak lurus pada bidang AB
dan berpotongan pada satu titik
GeometriHal.: 19
20. Adaptif
Jarak pada bangun ruang
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Titik P,Q
dan R berturut-turut terletak pada pertengahan garis AB,BC dan bidang ADHE,
Hitunglah jarak antara:
a. titik P ke titik R
b. titik Q ke titik R
c. titik H ke gar is AC
Jawab :
a. Perhatikan bahwa ∆PAR siku-siku di A
AP = ½AB = 4 cm
AR = ½AH =½
=
PR =
=
=
Jadi jarak titik P ke titik R adalah
22
DHAD +
• •
•
A
C
B
E
D
F
GH
R
P
QS
•
2488
2
1 22
=+
22
ARAP +
22
)24(4 +
3448 =
cm34
GeometriHal.: 20
21. Adaptif
Distances in Polyhedral
1. Given a cube ABCD.EFGH with edge lengt 8 cm. Points P,Q and R are
in the mid points of edges AB,BC and plane ADHE respectively .
Find the distance between:
a. Poins P and R
b. Poins Q and R
c. Point H and line AC
Answer :
a. See that ∆PAR has a right angle on A
AP = ½AB = 4 cm
AR = ½AH =½
=
PR =
=
=
So, the distance points P and R is
22
DHAD +
• •
•
A
C
B
E
D
F
GH
R
P
QS
•
2488
2
1 22
=+
22
ARAP +
22
)24(4 +
3448 =
cm34
GeometriHal.: 21
22. Adaptif
Sudut antara garis dan bidang
Contoh:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm
a. Lukis sudut antara garis AG dan bidang ABCD.
b. Hitung besar sudutnya
Jawab :
a.Proyeksi garis AG pada bidang ABCD adalah
garis AC Jadi, sudut antara garis AG dan bidang
ABCD adalah GAC =
b. Perhatikan bahwa CG = 10 cm dan AC= 10 cm
karena AC merupakan diagonal sisi kubus.
Perhatikan bahwa segitiga GAC adalah
siku-siku di C,maka:
tan = atau =35,30
α
∠ α
A B
CD
G
E F
H
2
α 2
2
1
210
10
==
AC
CG α
Jadi besar sudut antara garis AG dan bidang ABCD adalah = 35,30α
GeometriHal.: 22
23. Adaptif
Angle Formed by line and a plane
Example.
Given a cube ABCD.EFGH with edge length 10 cm.
a. Draw an angle between line AG and plane ABCD.
b. Measure the angle size.
Answer :
a. Proyektion of line AG onto plane ABCD is line
AC So, the angle between line AG and plane
ABCD is GAC =
b. See that CG = 10 cm and AC= 10 cm
because AC is the diagonal of cube’s fase.
See that GAC has a right agle on C, then
tan = atau =35,30
α
∠ α
A B
CD
G
E F
H
2
α 2
2
1
210
10
==
AC
CG α
Jadi besar sudut antara garis AG dan bidang ABCD adalah = 35,30α
GeometriHal.: 23
24. Adaptif
Sudut antara bidang dan bidang
Contoh:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk asatuan.
Lukis dan hitunglah besar sudut antara bidang BDE dengan
bidang BDG
Jawab :
Perhatikan gambar berikut. Sudut antara bidang BDE dan bidang
BDG adalah .Perhatikanlah ∆EPA siku-siku di A sehingga.α
A
α
PE = 22
AEAP +
2
2
2
2
1
aa +
=
6
2
1
2
3
2
1 222
aaaa ==+=
Karena ∆GCP ∆EAP maka PG =PE =≅ 6
2
1
a
GeometriHal.: 24
25. Adaptif
Sudut antara bidang dan bidang
Perhatikan ∆EGP.
Dari aturan cosinus diperoleh
Cos =α
PGPE
EGPGPE
..2
222
−+
( )
3
1
36
2
1
.6
2
1
.
2
1
.2
26
2
1
6
2
1
2
2
2
22
==
−
+
=
a
a
aa
aaa
α= 70,530
Jadi, sudut antara bidang BDE dengan bidang BDG adalah = 70,530
α
GeometriHal.: 25
26. Adaptif
Angle Formed by to plane
Example:
Give a cube ABCD.EFGH with edge length a units.
Sketch and calculate the size of angle between plane BDE and
plane BDG
Answer:
See the following figure. An angle between plane BDE and plane
BDG is . See ∆EPA has a right angle on A,thusα
A
α
PE = 22
AEAP +
2
2
2
2
1
aa +
=
6
2
1
2
3
2
1 222
aaaa ==+=
Bicause ∆GCP ∆EAP then PG =PE =≅ 6
2
1
a
GeometriHal.: 26
27. Adaptif
Angle Formed by to plane
See ∆EGP.
Frome cosine Rule, resulting
Cos =α
PGPE
EGPGPE
..2
222
−+
( )
3
1
36
2
1
.6
2
1
.
2
1
.2
26
2
1
6
2
1
2
2
2
22
==
−
+
=
a
a
aa
aaa
α= 70,530
So, the size angle between plane BDE and plane BDG is = 70,530
α
GeometriHal.: 27
