Geometri Dimensi Tiga ~ titik, garis dan bidang

RUANG
DIMENSI
TIGA
http://furahasekai.wordpress.com

MATERI:

TITIK, GARIS DAN BIDANG
LUAS PERMUKAAN DAN
VOLUME BANGUN RUANG


PROYEKSI
MENGGAMBAR BANGUN
RUANG
MENENTUKAN JARAK PADA
BANGUN RUANG
SUDUT-SUDUT DALAM RUANG
MENGGAMBAR IRISAN
BANGUN RUANG

TITIK,
GARIS,
DAN
BIDANG

Titik, Garis, dan Bidang dinamakan sebagai unsur-unsur

TITIK
> Hanya dapat ditentukan oleh letaknya, tetapi
tidak mempunyai ukuran (dikatakan tidak
berdimensi).

A

A
B

B

P

> Digambarkan dengan noktah dan ditulis dengan
huruf besar.
g

ruang

Q

GarIS (Garis Lurus)
> Merupakan himpunan (kumpulan) titik-titik.
> Hanya mempunyai ukuran panjang
> Garis ditulis dengan huruf kecil, misalnya
garis g, garis h, garis k, dan seterusnya.
Atau menyebutkan nama segmen garis dari
titik pangkal ke titik ujung.


Bidang (Bidang Datar)
> Sebuah bidang memiliki luas yang tak terbatas. Dalam geometri, sebuah
bidang cukup digambarkan wakilnya saja, yaitu suatu daerah terbatas yang
terletak pada bidang.
> Mempunyai ukuran panjang dan lebar.
> Nama dari wakil bidang dituliskan di daerah pojok bidang dengan memakai
huruf α, β, γ atau dengan menyebutkan titik-titik sudut dari wakil bidang itu.
S

α

bidang α

R

P

Q

bidang PQRS


Aksioma Garis dan Bidang
Aksioma atau postulat adalah
pernyataan yang diandaikan benar
dalam sebuah sistem dan
kebenaran itu diterima tanpa
pembuktian.

Dalam geometri ruang ada tiga
buah aksioma yang penting. Ketiga
buah aksioma itu diperkenalkan
oleh
Euclides- (+ 300 SM), seorang ahli
matematika dari Alexandria.


Aksioma-aksioma Euclides
Aksioma 1

Melalui dua buah titik sebarang (kedua titik tidak berimpit)
hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.
.B

g

Aksioma 2

.A

Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka garis
itu seluruhnya terletak pada bidang.

.

.

A

g

B

α

Aksioma 3

Melalui tiga buah titik sebarang hanya dapat dibuat sebuah bidang.

.C
α

.A

.B

MENGKONSTRUKSIKAN SEBUAH BIDANG
Sebuah bidang tertentu dibentuk oleh:

(1) Tiga buah titik yang tidak segaris.

.C

.B
.A

Tiga buah titik A, B, C
yang tidak segaris
membentuk sebuah
bidang α


(2) Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu.
g

Titik P ada di luar garis g.

Titik P dan garis g membentuk
bidang β

.P


(3) Dua garis yang berpotongan.

g
h
α

Garis g dan garis h berpotongan.
Garis g dan garis h membentuk bidang α


(4) Dua garis yang sejajar.
m

n

Garis m dan garis n sejajar.
Garis m dan garis n membentuk bidang β


Kedudukan Titik, Garis, dan
Bidang pada Bangun Ruang
Kedudukan Titik Terhadap Garis

Titik terletak pada garis
Jika titik A dilalui oleh garis g, maka titik A
dikatakan terletak pada garis g.
g

.A
Titik di luar garis
Jika titik B tidak dilalui oleh garis h, maka titik B dikatakan berada di luar
garis h.
h

.B

Kedudukan Titik Terhadap Bidang

Titik terletak pada bidang
Jika titik A dapat dilalui oleh bidang α, maka
dikatakan titik A terletak pada bidang α

.A
α

.B

Titik di luar bidang
Jika titik B tidak dapat dilalui oleh
bidang β, maka dikatakan titik B
berada di luar bidang β.

.
β


H

E

.

.G
.F

.

.U

.C

D

.

.B

A
Bidang DCGH sebagai wakil bidang U
> Titik-titik sudut kubus yang terletak pada bidang U adalah titik-titik C, D, G, dan H.
> Titik-titik sudut kubus yang berada di luar bidang U adalah titik-titik A, B, F, dan E.

Kedudukan Dua Garis

1) Berimpit

Garis g berimpit dengan garis h jika setiap titik di garis g juga
terletak di garis h, dan sebaliknya.
g

h
Syarat untuk dua garis berimpit, cukup memiliki dua
titik persekutuan.

2) Berpotongan
Garis g dan h berpotongan jika kedua garis tersebut memiliki tepat satu titik
persekutuan, yaitu titik potong kedua garis.
Dua garis hanya dapat berpotongan jika terletak pada bidang yang sama.
h

.
A

g

4) Bersilangan
Garis g dan h dikatakan bersilangan
jika garis g dan h tidak memiliki titik
persekutuan, tidak sejajar dan terletak
di dua bidang yang berbeda.
G
H

3) Sejajar
Garis g dan h sejajar ( // ) jika kedua garis
tak mempunyai titik persekutuan.
D

C

F

E

C

D
A
A
AB // DC
AD // BC

B
Garis AE bersilangan
dengan garis BC, FG, BG,
FC, FD, DC, DG, HG, DB,
BH, dan FH


B

Aksioma Dua Garis Sejajar
Aksioma 4
Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis, hanya
dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis itu.
g

.

h

A

Dalil-Dalil tentang Dua Garis
Jika garis
Sejajar k sejajar dengan garis l dan garis l sejajar dengan garis m,
maka garis k sejajar dengan garis m.

k // l
l // m

m
k

l

k // m

Jika garis k sejajar dengan garis h dan memotong garis g,
garis l sejajar garis h dan juga memotong garis g, maka garisgaris k, l dan g terletak pada sebuah bidang.
g

.

.

.

k
h
l
α

Jika garis k sejajar dengan garis l dan garis
l menembus bidang α, maka garis k juga
menembus bidang α.
k // l
l menembus bidang α
k menembus bidang α

k // h dan k memotong g
l // h dan l memotong g
k , l dan g terletak pada
sebuah bidang

l

k

P

.

Q

.

Kedudukan Garis terhadap Bidang
1) Garis terletak pada bidang
Garis g terletak pada bidang α jika
setidaknya dua titik pada garis g
terletak di bidang α

.

.

2) Garis sejajar bidang
Jika garis h sejajar bidang β, maka β memuat
tepat sebuah garis yang sejajar dengan h.

h

g

α
β

3) Garis menembus atau memotong bidang
Garis k menembus bidang α, jika garis k tidak terletak
pada bidang α dan garis k tidak sejajar bidang α.
k

.
α

Garis k dan bidang α
memiliki tepat satu titik
persekutuan yang disebut
titik tembus (titik potong)


H

E

.

.G

Rusuk-rusuk DC, CG, GH dan HD
> Rusuk yang sejajar pada bidang U ?
Rusuk-rusuk AB, BF, FE dan EA

.F

.

> Rusuk yang terletak pada bidang U ?

> Rusuk yang menembus atau
memotong pada bidang U ?
Rusuk-rusuk AD, FG,BC, dan EH

.U

.C

D

.

.B

A


Dalil-Dalil tentang Garis Sejajar Bidang
g

g
α

h

α

g // h
h terletak pada bidang α
g // bidang α

(α, β)

β

α melalui g
g // bidang β
(α, β) // g

g

g
h
(α, β)
α

α

g // h
h // bidang α
g // bidang α

β

α berpotongan dengan β
α // g
β // g
(α, β) // g

Kedudukan Dua Bidang

1. Berimpit

2. Sejajar

Bidang α dan bidang β
dikatakan berimpit, jika setiap
titik yang terletak pada bidang
α juga terletak pada bidang β
atau setiap titik yang terletak
pada bidang β juga terletak
pada bidang α.
C

D

β
A

α

B

Daerah ABCD sebagai daerah
persekutuan, sehingga α dan β
berimpit

Bidang α dan bidang β
dikatakan sejajar, jika kedua
bidang itu tidak mempunyai
satu pun titik persekutuan.

.
=

.

.
=

α

.
β

Jika setiap titik di bidang α
jaraknya sama ke bidang β,
maka α dan β sejajar.

3. Berpotongan
Bidang α dan bidang β yang tidak sejajar akan berpotongan.

(α,β)

β
α

Perpotongan α dan β membentuk tepat sebuah garis potong.
Garis perpotongan bidang α dan β ditulis (α,β)


H

E

.

.G
.F

.


.U

.C

D

.
A

> Bidang sisi kubus yang berimpit
dengan bidang U ?
Bidang sisi DCGH

.B

> Bidang sisi kubus yang sejajar
dengan bidang U ?
Bidang sisi ABFE


H

E

.

.G
.F

.

> Bidang sisi kubus yang berpotongan
dengan bidang U ?
Bidang sisi ABCD
Bidang sisi BCGF
Bidang sisi FGHE
Bidang sisi ADHE

.U

.C

D

.

.B

A


Perpotongan lebih dari dua bidang
Misalkan tiga bidang (α, β, dan γ) berpotongan dan mempunyai tiga buah
persekutuan. Kedudukan dari ketiga garis persekutuan itu dapat:

1) Berimpit

α

2) Sejajar

(α, β)
(α, γ)
(β, γ)

(α, β)
(β, γ)

β
γ

3) Melalui sebuah titik

.

(α, γ)

LATIHAN SOAL
Perhatikan kubus ABCD.EFGH. Tentukan:
a. Bidang-Bidang yang memotong bidang
BDHF, tentukan garis potongnya.
E
b. Rusuk-rusuk yang sejajar dengan BC.
c. Rusuk-rusuk yang menembus bidang
ACGE.
d. Jika misalnya titik M pada pertengahan
AD, N pada pertengahan EH, O pada
pertengahan AB, dan P pada pertengahan
EF, apakah bidang MNOP sejajar dengan
A
bidang BDHF? Mengapa?
e. Buatlah dua bidang lain yang sejajar
dengan bidang BDHF.
f. Berapa banyak rusuk yang menyilang AD?

G

H

F

D

C
B

LATIHAN SOAL
F

Perhatikan prisma segitiga gambar di
samping!
a. Tentukan bidang-bidang yang
sejajar.
b. Tuliskan pasangan rusuk-rusuk
yang sejajar.
c. Tentukan perpotongan bidang
CBEF, ACFD, dan ABC.
d. Tentukan garis-garis yang
bersilangan dengan FE.

D

E

C

A

B

Perhatikan limas segilima beraturan
T.ABCDE.

T

D
E

C
A

B

a) Adakah bidang yang sejajar dengan
bidang TBC?
b) Sebutkan rusuk-rusuk yang
menembus bidang alas.
c) Adakah rusuk-rusuk yang saling
sejajar?
d) Adakah rusuk-rusuk yang saling
bersilangan?


SELAMAT
BELAJAR

Geometri Dimensi Tiga ~ titik, garis dan bidang

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Geometri Dimensi Tiga ~ titik, garis dan bidang

Similar to Geometri Dimensi Tiga ~ titik, garis dan bidang (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Geometri Dimensi Tiga ~ titik, garis dan bidang