Teoria con esempi di equazioni di secondo grado

1. Equazione di 2° grado Creato da: Rosangela Mapelli Licenza Cretive Commons: Sei libero di modificare e pubblicare questa Presentazione a patto di indicare l'autore, non trarne guadagno e devi condividere i derivati sotto la stessa licenza.

5. Per trovare la formula risolutiva dell’equazione di secondo grado completa occorre manipolarla algebricamente fino a trasformarla in un’equazione del tipo: (Ax+B) 2 =C In questo modo basterà estrarre la radice quadrata di ambo i membri dell’equazione prof. Mapelli Rosangela

7. Equazioni Spurie Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine noto, c=0, e l’equazione assume la forma: ax²+bx=0 si dice equazione spuria. Si risolve raccogliendo a fattor comune: x(ax+b)=0, si applica la legge di annullamento del prodotto e si trova: 1ª soluzione x=0 2ª soluzione ax+b=0 --> x=-b/a !!! Possiamo concludere che un’ equazione spuria è sempre determinata , e una soluzione è sempre x=0 Esempio prof. Mapelli Rosangela

8. Equazioni Pure Esempio prof. Mapelli Rosangela Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine di 1° grado, cioè b=0, e l’equazione assume la forma ax²+c=0 si chiama equazione pura . L’equazione pura ammette 2 soluzioni opposte con se a e c sono discordi Non ammette soluzioni se a e c sono concordi

9. Equazioni Monomie Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine di 1° grado e il termine noto, cioè b=c=0, e l’equazione assume la forma ax²=0 e si chiama equazione monomia . L’equazione monomia ammette sempre 2 soluzioni entrambe x =0 Esempio prof. Mapelli Rosangela

10. Equazioni Complete Una equazione si 2° grado si dice scritta in forma normale o canonica se è del tipo ax 2 +bx+c=0 con a , b e c reali e a≠0 es. 3x 2 +2x-5=0 con a=3, b=2 e c=-5 a è detto coefficiente del termine di 2° grado, b è detto coefficiente del termine di 1° grado, il terzo termine è detto termine noto Se una equazione non è scritta in forma normale la prima cosa da fare è quella di riportarla in tale forma attraverso operazioni e passaggi tra i due membri dell’uguaglianza Esempio : 4x-2=3(x 2 –x)↔ 4x-2=3x 2 –3x↔ -3x 2 +7x-2=0 prof. Mapelli Rosangela

11. Troviamo la formula risolvente Partendo dall’equazione completa ax 2 +bx+c=0 Moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione per 4a 4a ax+ 4a bx+ 4a c=0 Sommiamo b 2 ad ambo i membri: 4a 2 x 2 +4abx+4ac+ b 2 = b 2 Trasferiamo 4ac al secondo membro 4a 2 x 2 +4abx+b 2 = b 2 - 4ac prof. Mapelli Rosangela

12. Ora il 1° membro dell’equazione è il quadrato di un binomio, infatti: 4a 2 x 2 +4abx+b 2 = (2ax+b) 2 L’equazione diventa quindi: (2ax+b) 2 = b 2 -4ac Estraendo la radice quadrata di ambo i membri, si ottiene: Ricavando la x si ottiene la formula risolutiva delle equazioni di 2° grado!!! prof. Mapelli Rosangela

13. Formula Risolutiva Nel caso b sia pari conviene applicare la formula ridotta Che si può anche esprimere Le soluzioni (radici) dell’equazione di secondo grado si ricavano dalla formula: N.B. La formula risolutiva è applicabile anche alle equazioni incomplete Dove  viene chiamato discriminante ed è: prof. Mapelli Rosangela

15. Esempio 1-  > 0 prof. Mapelli Rosangela

16. Esempio 2 -  = 0 !!!!! Quando il  = 0 l’equazione è il quadrato di un binomio, nel nostro caso: prof. Mapelli Rosangela

17. Esempio 3-  < 0 prof. Mapelli Rosangela

18. Esempio 4 – formula ridotta prof. Mapelli Rosangela

19. Equazioni frazionarie Nelle equazioni frazionarie , una volta ridotte a forma normale per eliminare i denominatori bisogna porre le condizioni di esistenza (C.E.). E’ necessario confrontare le radici trovate con le condizioni di esistenza cioè con i valori che annullano il m.c.m. dei denominatori. Se entrambe le radici sono da scartare, l’equazione è impossibile prof. Mapelli Rosangela

20. Esempio 6 – equazione fratta prof. Mapelli Rosangela

21. A cura di Rosangela Mapelli www.nonsolomatematica.it prof. Mapelli Rosangela Fine