Il documento tratta delle equazioni di secondo grado, spiegando la loro definizione e le modalità di risoluzione. Viene illustrato il concetto di discriminante e come esso influisce sul numero e tipo di soluzioni. Inoltre, si distinguono vari tipi di equazioni, come quelle complete, incomplete, spurie, pure e monomie.

1. Equazione di 2° grado Creato da: Rosangela Mapelli Licenza Cretive Commons: Sei libero di modificare e pubblicare questa Presentazione a patto di indicare l'autore, non trarne guadagno e devi condividere i derivati sotto la stessa licenza.

2. Si chiama equazione di 2° grado un polinomio in x di grado due posto uguale a zero, del tipo ax² + bx + c = 0 , con a diverso da zero , altrimenti l’equazione sarebbe di 1° grado. Esempi di equazioni di secondo grado x 2 - 3x = 4 4x 2 - 1= 0 3x 2 - 2x + 4 = 0 prof. Mapelli Rosangela

3. Cosa significa risolvere un’equazione? Risolvere un’equazione significa trovare gli eventuali valori numerici che assegnati all’incognita rendono l’equazione un’uguaglianza sempre vera. Questi valori vengono detti soluzioni o radici dell’equazione. prof. Mapelli Rosangela

4. Soluzioni di un’equazione di secondo grado Un’equazione di secondo grado può avere: 1) due soluzioni reali distinte 2) due soluzioni reali coincidenti 3) nessuna soluzione 4) infinite soluzioni Equazione determinata Equazione impossibile Equazione indeterminata prof. Mapelli Rosangela

5. Per trovare la formula risolutiva dell’equazione di secondo grado completa occorre manipolarla algebricamente fino a trasformarla in un’equazione del tipo: (Ax+B) 2 =C In questo modo basterà estrarre la radice quadrata di ambo i membri dell’equazione prof. Mapelli Rosangela

6. Equazioni Incomplete Se manca il termine di primo grado o il termine noto o entrambi l’equazione si dice incompleta Le equazioni incomplete si suddividono in: Spurie: c = 0 Pure: b = 0 Monomie: b = c= 0 prof. Mapelli Rosangela

7. Equazioni Spurie Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine noto, c=0, e l’equazione assume la forma: ax²+bx=0 si dice equazione spuria. Si risolve raccogliendo a fattor comune: x(ax+b)=0, si applica la legge di annullamento del prodotto e si trova: 1ª soluzione x=0 2ª soluzione ax+b=0 --> x=-b/a !!! Possiamo concludere che un’ equazione spuria è sempre determinata , e una soluzione è sempre x=0 Esempio prof. Mapelli Rosangela

8. Equazioni Pure Esempio prof. Mapelli Rosangela Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine di 1° grado, cioè b=0, e l’equazione assume la forma ax²+c=0 si chiama equazione pura . L’equazione pura ammette 2 soluzioni opposte con se a e c sono discordi Non ammette soluzioni se a e c sono concordi

9. Equazioni Monomie Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine di 1° grado e il termine noto, cioè b=c=0, e l’equazione assume la forma ax²=0 e si chiama equazione monomia . L’equazione monomia ammette sempre 2 soluzioni entrambe x =0 Esempio prof. Mapelli Rosangela

10. Equazioni Complete Una equazione si 2° grado si dice scritta in forma normale o canonica se è del tipo ax 2 +bx+c=0 con a , b e c reali e a≠0 es. 3x 2 +2x-5=0 con a=3, b=2 e c=-5 a è detto coefficiente del termine di 2° grado, b è detto coefficiente del termine di 1° grado, il terzo termine è detto termine noto Se una equazione non è scritta in forma normale la prima cosa da fare è quella di riportarla in tale forma attraverso operazioni e passaggi tra i due membri dell’uguaglianza Esempio : 4x-2=3(x 2 –x)↔ 4x-2=3x 2 –3x↔ -3x 2 +7x-2=0 prof. Mapelli Rosangela

11. Troviamo la formula risolvente Partendo dall’equazione completa ax 2 +bx+c=0 Moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione per 4a 4a ax+ 4a bx+ 4a c=0 Sommiamo b 2 ad ambo i membri: 4a 2 x 2 +4abx+4ac+ b 2 = b 2 Trasferiamo 4ac al secondo membro 4a 2 x 2 +4abx+b 2 = b 2 - 4ac prof. Mapelli Rosangela

12. Ora il 1° membro dell’equazione è il quadrato di un binomio, infatti: 4a 2 x 2 +4abx+b 2 = (2ax+b) 2 L’equazione diventa quindi: (2ax+b) 2 = b 2 -4ac Estraendo la radice quadrata di ambo i membri, si ottiene: Ricavando la x si ottiene la formula risolutiva delle equazioni di 2° grado!!! prof. Mapelli Rosangela

13. Formula Risolutiva Nel caso b sia pari conviene applicare la formula ridotta Che si può anche esprimere Le soluzioni (radici) dell’equazione di secondo grado si ricavano dalla formula: N.B. La formula risolutiva è applicabile anche alle equazioni incomplete Dove  viene chiamato discriminante ed è: prof. Mapelli Rosangela

14. Discriminante Se Δ >0 le soluzioni sono 2 e distinte Se Δ =0 le soluzioni sono 2 coincidenti Se Δ <0 le soluzioni non esistono Si chiama discriminante di una equazione di 2° grado, e si indica con Δ (delta) , il numero b 2 -4ac Δ ha un’importanza fondamentale nella ricerca delle radici di una equazione di secondo grado infatti: !!!!!! Se i coefficienti a e c dell’equazione di secondo grado sono discordi il discriminante è sicuramente positivo ( non vale il viceversa ) prof. Mapelli Rosangela

15. Esempio 1-  > 0 prof. Mapelli Rosangela

16. Esempio 2 -  = 0 !!!!! Quando il  = 0 l’equazione è il quadrato di un binomio, nel nostro caso: prof. Mapelli Rosangela

17. Esempio 3-  < 0 prof. Mapelli Rosangela

18. Esempio 4 – formula ridotta prof. Mapelli Rosangela

19. Equazioni frazionarie Nelle equazioni frazionarie , una volta ridotte a forma normale per eliminare i denominatori bisogna porre le condizioni di esistenza (C.E.). E’ necessario confrontare le radici trovate con le condizioni di esistenza cioè con i valori che annullano il m.c.m. dei denominatori. Se entrambe le radici sono da scartare, l’equazione è impossibile prof. Mapelli Rosangela

20. Esempio 6 – equazione fratta prof. Mapelli Rosangela

21. A cura di Rosangela Mapelli www.nonsolomatematica.it prof. Mapelli Rosangela Fine