Il documento esplora la storia e il concetto dei logaritmi, evidenziando il loro sviluppo a partire da antiche civiltà fino ad arrivare a Giovanni Nepero e John Napier, che hanno formalizzato la loro definizione. Viene spiegato come i logaritmi semplificano operazioni matematiche complesse e come le progressioni aritmetiche e geometriche siano collegate alla loro origine. Infine, si discute la funzione logaritmica e le sue proprietà, evidenziando le differenze tra logaritmi decimali e naturali.

1. LOGARITMI Oscuri elementi un argomento che può affascinare Creato da: Rosangela Mapelli www.nonsolomatematica.it Licenza Cretive Commons: Sei libero di modificare e pubblicare questa Presentazione a patto di indicare l'autore, non trarne guadagno e devi condividere i derivati sotto la stessa licenza.

2. Si potrebbe esprimere ogni numero sotto forma di potenza di 2, in modo da poter eseguire così ogni calcolo complicato! Verifichiamo se questa idea è realizzabile: 1 può essere scritto come 2 0 2 può essere scritto come 2 1 e il numero 3 ? Se usiamo l'esponente 2 otteniamo 2 2 = 4 cioè un valore maggiore. Dunque l'esponente da assegnare al 2 per ottenere 3 dovrà essere un valore compreso tra 1 e 2. Proviamo con 1,5

3. Per trovare una soluzione al problema, il lavoro che dobbiamo svolgere è: ricerca del logaritmo, in una data base, di un numero. Nel nostro caso ad esempio il logaritmo in base 2 del numero 3 , si potrebbe indicare con log 2 3 Lavorando con i logaritmi, se tutti i numeri vengono espressi sotto forma di potenze di 2 (o di qualche altra base), tutti i calcoli complicati diventano molto più semplici la moltiplicazione si trasforma in addizione la divisione -> in sottrazione l'elevazione a potenza -> in moltiplicazione la radice -> in divisione

4. COME È NATA L’IDEA DI LOGARITMO? Secondo il matematico Federico Enriques (fondatore della casa editrice Zanichelli) : "Non v'è pensiero originale che non appaia come prolungamento d'un pensiero precedente. La legge della continuità storica impera su tutto.“ Babilonesi ed Egizi studiarono problemi legati alla vita quotidiana; non costruirono teorie, ma nel loro lavoro troviamo già i primi segni di idee matematiche su cui lavoreranno le civiltà successive. Infatti presso Babilonesi ed Egizi troviamo problemi che utilizzano progressioni aritmetiche e progressioni geometriche: dall'analisi di due progressioni nascerà il concetto di logaritmo .

5. PROGRESSIONI PROGRESSIONE : è una successione numerica in cui ogni termine si ottiene dal precedente secondo precise regole di calcolo; 3 6 10 15 21

6. PROGRESSIONE ARITMETICA ESEMPI 5, 8, 11, 14, ... 2,7,12,22,27….. Una progressione aritmetica è una successione numerica in cui la differenza fra ogni termine, diverso dal primo, e il suo successivo è costante; la differenza costante viene detta ragione d 3 6 9 12 15 la somma di n termini successivi è data da:

7. PROGRESSIONE GEOMETRICA Una progressione geometrica è una successione in cui è costante il rapporto fra ogni termine, diverso dal primo, ed il precedente; il rapporto costante è detto ragione e si indica con q . 2 10 50 250 1250…….. La somma di n termini successivi è data da: ESEMPI 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…. 3, 9, 27, 81, 243, 729, ……

8. LA MATEMATICA GRECA E LE PROGRESSIONI In Grecia Pitagora (circa 540 a.C.) utilizzò le progressioni nei numeri figurati Euclide (circa 300 a.C.) parlò delle progressioni a proposito dei numeri perfetti. Archimede (circa 230 a.C.) utilizzò le progressioni nel suo metodo di quadratura della parabola.

9. CHUQUET RISCOPRE LE PROGRESSIONI Facciamo un salto fino al XV sec. quando il matematico Chuquet studia la progressione aritmetica di ragione 1 e la progressione geometrica di ragione 2 Enuncia poi questa regola : "Chi moltiplica uno di questi termini della progressione geometrica per un altro e somma i due ordini nei quali sono situati i due numeri moltiplicati, trova il posto dove deve essere situato il risultato della moltiplicazione." Ad esempio 2 + 5 = 7, ( si tratta degli esponenti ) il prodotto di 4 x 32 cioè 128, si troverà al 7 posto nella progressione geometrica. Chuquet però non giunge ad esprimere i termini della progressione geometrica sotto forma di potenza e ciò limita i suoi risultati.

10. IL VIAGGIO PROCEDE Il matematico Stifel nel libro Aritmetica Integra (1544) estende le relazioni tra progressione aritmetica e progressione geometrica parlando anche di esponenti negativi. Egli mette in corrispondenza i termini di una progressione aritmetica di ragione 1 con quelli di una geometrica di ragione 2 e fa notare che, anche usando questa tabella contenente frazioni e numeri relativi, la moltiplicazione tra due valori può essere sostituita dall'addizione algebrica tra termini corrispondenti, mentre la divisione può essere sostituita dalla sottrazione e così via, come diceva Chuquet .

11. La tabella non permette di operare però con una generica coppia di numeri: proviamo allora ad applicare il metodo di interpolazione che consiste nel considerare ogni numero come appartenente ad uno degli intervalli determinati dai valori delle progressioni precedenti. Esaminiamo cosa accadrebbe per la moltiplicazione 6 * 12 6 (nella seconda riga) si trova nell'intervallo tra 4 e 8 e ne è il valore medio ed abbiamo come corrispondenti (nella prima riga) i numeri 2 e 3 prendiamo dunque come corrispondente di 6 il valore medio cioè 2,5 . Il 12 si trova tra 8 e 16 prendiamo come corrispondente 3,5 (valore intermedio tra 3 e 4). La somma dei valori corrispondenti è 2,5 + 3,5 = 6 ed in corrispondenza si trova il valore 64. Calcolato in questo modo, il prodotto 6 * 12 risulterebbe 64 cioè un valore un po' lontano dal vero valore 72. Il metodo però è valido. L'errore deriva solo dal fatto che i numeri della progressione geometrica sono molto distanziati tra loro. Basterà quindi infittire i valori! Siamo ormai vicini alla definitiva scoperta dei logaritmi.

12. NEPERO Nel XVII secolo motivi di carattere tecnico e necessità contingenti costituiscono la spinta che porterà alla scoperta dei logaritmi. Giovanni Nepero nella sua opera Mirifici logarithmorum canonis descriptio afferma : " Nulla è più penoso della pratica delle matematiche, poiché la logistica è tanto più frenata, ritardata, quanto più le moltiplicazioni, le divisioni e le estrazioni di radice quadrate e cubiche sono da applicare a grandi numeri; poiché essa ( la logistica) è assoggettata alla fatica di lunghe operazioni e molto più ancora alla incertezza degli errori. Io ho cominciato a cercare attraverso a quale procedimento rapido e preciso si potrebbero superare questi ostacoli...."

13. L'interesse per la semplificazione del calcolo, sia a livello commerciale che a livello astronomico è venuto crescendo in Europa nel XII sec., in particolare le sorti economiche dell'Inghilterra sono legate alla navigazione e si rende sempre più pressante la necessità di risolvere problemi di calcolo legati alla determinazione di distanze o di posizioni. Si tratta di una cosa avvenuta anche in tempi più recenti quando per poter calcolare velocemente la traiettoria di una navicella spaziale è stato indispensabile utilizzare i calcolatori elettronici Nepero prende in considerazione un punto che si muove su una semiretta di moto uniforme ed un secondo punto che si muove su una semiretta di moto vario. Il segmento individuato sulla prima semiretta viene chiamato Logaritmo del secondo . Il termine logaritmo deriva dunque da logos= ragione, rapporto e ritmos = numero e fu ideato proprio da Nepero: secondo Nepero la misura del segmento relativo al punto che si muove di moto uniforme rappresenta il logaritmo della misura del segmento descritto dal punto che si muove con moto vario. Lavorare con questi schemi era molto semplice, ma difficili restavano i calcoli per giungere a questi stessi schemi.

14. BRIGGS TROVA I RISULTATI Fu Briggs ad introdurre i logaritmi in base 10 e a pubblicare nel 1617 le prime tavole di logaritmi nel libro "Aritmetica logaritmica”. Egli ha calcolato i logaritmi dei vari numeri attraverso successive estrazioni di radice quadrata . Esempio: Log 10 =1 (siamo in base 10 ) vale a dire 10^1= 10 poiché Ö(10) = 3,16227 Þ Log 3,16227 =1 / 2 Proseguendo a calcolare la radice quadrata del numero trovato Briggs trova il logaritmo di numeri sempre più piccoli di 3 Numero N Logaritmo in base 10 Log N 10 1 3,162 0,5 1,778 0,25 1,333 0,125 1,154 0,062 1,074 0,031 1,036 0,015 1,017 0,0073 1,008 0,0035

15. GRAZIE CALCOLATRICE Combinando poi la radice quadrata con moltiplicazioni per 10 individua il logaritmo di altri numeri In questo modo compilava una tavola logaritmica per i numeri compresi tra 1 e 10. Dopo si poteva determinare il logaritmo di un numero qualunque, poiché i numeri esterni all'intervallo [1- 10 ] venivano trovati sfruttando le proprietà: per esempio (parliamo sempre di logaritmi in base 10) Log 56 = Log ( 10 * 5,6 ) = Log 10 + Log 5,6 = 1 + 0,75 = 1,75 Le due parti poi, Log 10 e Log 5,6 venivano chiamate con due nomi diversi: caratteristica e mantissa. Noi ora calcoliamo velocemente pigiando un tasto, Brigss consumò i suoi giorni ad estrarre radici quadrate.

16. CURIOSITÀ ALLA BRIGGS Nel suo libro Briggs ricava le proprietà dei logaritmi direttamente dall'osservazione di tavole provvisorie di calcolo logaritmico, costruite con numeri interi positivi. Il testo inizia con la seguente definizione: " I logaritmi sono numeri equidifferenti associati ai numeri proporzionali." Definizione enigmatica!

17. Osserviamo la tabella: nella prima colonna ci sono numeri in progressione geometrica di ragione 2 cioè i numeri proporzionali . Tutte le altre colonne riportano numeri in progressione aritmetica cioè i numeri equidifferenti, secondo Briggs, e rappresentano vari tipi di sistemi logaritmici. La proprietà che si rileva osservando è che Log ab = log a + Log b - Log1 Questo poi accade qualunque sia la colonna analizzata insieme alla prima. Da tutto questo, Briggs invita i suoi allievi ad osservare come la proprietà valga sempre, qualunque siano la ragione ed il primo termine della progressione aritmetica.

18. PER CONCLUDERE LA STORIA: BASE NATURALE Il numero 10 , la base usata da Briggs, non è un numero molto comodo per il calcolo dei logaritmi. Calcolando le sue potenze successive si passa da 1 a 10, a 100 , a 1000 . Per questi numeri il logaritmo si può calcolare facilmente, ma molto lavoro occorre fare per tutti i valori intermedi (per valori intermedi si tutti i numeri interi ma anche razionali ed irrazionali). Si potrebbe allora prendere un numero anche minore di 10 come base , così le lacune tra le potenze con esponente intero di tale base sarebbero più piccole. Non possiamo però giungere fino a 1 , poiché tutte le potenze di 1 sono uguali a 1. Non è una buona idea neppure prendere numeri più piccoli di 1 poiché elevandoli a potenza si otterrebbero numeri sempre più piccoli. Si scopre così che una buona base è il numero e le cui prime cifre decimali sono appunto 2,7182.... E che in matematica ha un ruolo importantissimo I logaritmi con base e vengono chiamati logaritmi naturali, perché in modo naturale conduce ad essi la ricerca per la base più adatta.

19. LOGARITMI Definizione : si dice logaritmo in base a di b l’esponente che si deve dare alla base per ottenere l’argomento, cioè l'unica soluzione dell'equazione esponenziale elementare Log a b= c b = a c I logaritmi che compaiono sulle calcolatrici sono in base a = 10 oppure in base a = e = 2,718 ….. : logx indica il log 10 x , detto anche logaritmo decimale ; lnx , indica il log e x , detto anche logaritmo naturale o neperiano . Il logaritmo risulta essere l'operazione inversa dell'esponenziale, pertanto le limitazioni cui è soggetto l'esponenziale si riflettono sul logaritmo fissata la base a>0 , deve essere b>0

20. ESEMPI 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

21. PROPRIETA’ DEI LOGARITMI Casi particolari:

22. ESEMPI Applicando le proprietà dei logaritmi risolviamo la seguente espressione È stata applicata la proprietà del quoziente È stata applicata la proprietà del prodotto È stata applicata la proprietà dell’esponente

23. ESEMPI Applicando le proprietà inverse dei logaritmi risolviamo la seguente espressione Applichiamo la proprietà del quoziente Applichiamo la proprietà dell’esponente Applichiamo la proprietà del prodotto

24. STUDIAMO LA FUNZIONE LOGARITMICA Si chiama funzione logaritmica ogni funzione del tipo La funzione logaritmica è l'inversa dell'esponenziale, pertanto dominio e codominio risultano scambiati rispetto a quelli della funzione esponenziale Ha dominio C.E.  cioè(0;+  ) Ha codominio (-  ; +  ) Non interseca l’asse delle ordinate e si dice che la retta x=0 è un asintoto verticale per la funzione Interseca l’asse delle ascisse nel punto (1;0) Se ha a>1 La funzione è sempre crescente Se x  +  la funzione tende a +  Se x  0 la funzione tende a -  Se ha 0<a<1 La funzione è sempre decrescente Se x  +  la funzione tende a -  Se x  0 la funzione tende a + 

25. FUNZIONE LOGARITMICA Possiamo concludere distinguendo 3 casi: y = log a x con a=1  x=1 y = log a x con a >1  y=log 2 x y = log a x con 0<a<1  y= log 1/2 x

26. FUNZIONE LOGARITMICA COME VARIA AL VARIARE DELLA BASE

27. FUNZIONE LOGARITMICA E ESPONENZIALE Le due funzioni sono simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. La funzione logaritmica è la funzione inversa della funzione esponenziale essendo quest’ultima una funzione biettiva

28. FINE