Il documento tratta le equazioni, definendole come uguaglianze tra espressioni algebriche che possono avere soluzioni determinate, indeterminate o impossibili. Vengono presentati i principi di equivalenza per semplificare le equazioni e diversi tipi di equazioni, tra cui numeriche e letterali. La risoluzione delle equazioni richiede la definizione del dominio e l'applicazione di regole di equivalenza, per determinare le soluzioni ammissibili.

1. Le equazioni
1
Chiamiamo equazione l’uguaglianza tra due espressioni algebriche, funzioni delle stesse variabili, che è
verificata solo per particolari valori che vengono attribuiti a tali variabili.
L’espressione che si trova a sinistra del simbolo di uguaglianza si chiama primo membro, quella che si
trova a destra si chiama secondo membro.
Le variabili delle due espressioni si chiamano incognite.
2x – 3 = x + 1
II membroI membro
Incognita: è la lettera x
Dominio : è l’insieme dei valori che si possono attribuire a x
Soluzione: è il valore di x che rende vera l’uguaglianza
Definizione e caratteristiche
ESEMPIO

2. Le equazioni
x – 2 = 3
L’equazione è determinata perché ha come
sola soluzione 5.
EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE, IMPOSSIBILI
1 – 2x = (x – 1)2
– x2 L’equazione è indeterminata perché il primo
membro è sempre uguale al secondo.
x + 4 = x L’equazione è impossibile perché non esiste
un valore di x che sommato a 4 dia ancora x.
Definizione e caratteristiche
ESEMPI
2
Un equazione di dominio D si dice:
 determinata se ha un numero finito di soluzioni in D;
 indeterminata se ne ha un numero infinito;
 impossibile se non ha soluzioni in D.

3. Le equazioni
ax – 2 = 3x + a
L’equazione può contenere altre lettere oltre all’incognita; queste lettere si chiamano parametri.
Parametro
Incognita: è la lettera di cui si
vuole trovare il valore che
soddisfa l’equazione.
Parametro: è una lettera che
compare nell’equazione, ma che si
suppone abbia un valore fisso
anche se non noto a priori.
Per convenzione le incognite delle equazioni vengono indicate con le ultime lettere dell’alfabeto
internazionale, quindi x, y, z; i parametri con le prime, quindi a, b, c e così via.
Incognita
Diversi tipi di equazioni
3

4. Le equazioni
CLASSIFICHIAMO LE EQUAZIONI
1 + x =
2x – 1
3
 Equazioni numeriche:
oltre alla x, non contengono altre lettere
 Equazioni letterali :
oltre alla x contengono anche dei parametri ax + 2 = (a – 1) x + a
 Equazioni intere:
l’incognita non compare al denominatore – =
2x – 1
3
x + 1
3
1
2
x
 Equazioni frazionarie:
l’incognita si trova in almeno uno dei denominatori – =
2x + 3
4
x – 1
x + 1
1
Diversi tipi di equazioni
4

5. Le equazioni
Due equazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.
3x = 6 x + 3 = 5e
Esse sono diverse nella forma, ma entrambe determinate con la stessa soluzione x = 2:
3x = 6 x + 3 = 5
3  2 = 6 2 + 3 = 5
2 2
Principi di equivalenza
ESEMPIO
5

6. Le equazioni
PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Principi di equivalenza
Teorema. Se si aggiunge ai due membri di un’equazione una stessa espressione algebrica P, che ha lo
stesso dominio dell’equazione data, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
A B=
A B=P+ P+
6

7. Le equazioni Principi di equivalenza
2x – 5 = x – 2
Applichiamo il primo principio di equivalenza
2x – 5 + 5 = x – 2 + 5Aggiungiamo +5 ad entrambi i membri
Riduciamo i termini simili 2x = x + 3
Sottraiamo x ad entrambi i membri 2x – x = x + 3 – x
Riduciamo i termini simili e otteniamo x = + 3
7
L’applicazione di questo principio ci permette di passare da un’equazione ad un’altra equivalente via via
più semplice, che permette di determinare il valore di x.
che è la soluzione cercata

8. Le equazioni
CONSEGUENZE DEL PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Principi di equivalenza
Regola del trasporto. Si può spostare un termine da un membro all’altro di un’equazione purché gli si
cambi segno.
Di conseguenza una qualunque equazione si può sempre scrivere nella forma E(x) = 0, dove E(x) è
l’espressione che si ottiene spostando tutti i termini al primo membro.
2x = 4+ 1 – x
2x = 4+ 1+ x
ESEMPIO
8
2x + 1 + x – 4 = 0

9. Le equazioni Principi di equivalenza
Regola di cancellazione. Se nei due membri di un’equazione compaiono due addendi uguali, uno per
ogni membro, questi possono essere soppressi.
2x = 5x
2x + 3 = 5x + 3
Sono uguali
ESEMPIO
9

10. Le equazioni
SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Principi di equivalenza
Teorema. Se si moltiplicano i due membri per una stessa espressione P, che abbia lo stesso dominio
dell’equazione e che in quel dominio sia sempre diversa da zero, si ottiene un’equazione equivalente a
quella data.
A B=
A B=P P
10

11. Le equazioni
ESEMPIO
CONSEGUENZE DEL SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Principi di equivalenza
Regola di semplificazione. Si possono semplificare tutti i termini di un’equazione per uno stesso fattore
comune, purché diverso da zero.
3x – 6 = 9
x – 2 = 3
3x
=
9
3 3 3
6
–
11
Tutti i termini sono divisibili per 3.

12. Le equazioni
ESEMPIO
Principi di equivalenza
Regola del cambio dei segni. Se si cambiano i segni a tutti i termini di un’equazione, in entrambi i
membri, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
– 2x – 3 = x – 1
2x + 3 = – x + 1
12

13. Le equazioni
ESEMPIO
Principi di equivalenza
Regola della riduzione a coefficienti interi. Da un’equazione a coefficienti frazionari si può passare ad
un’equazione a coefficienti interi moltiplicando entrambi i membri per il m.c.m. fra i denominatori di tutte
le frazioni.
=
1
3
x+ 1
1
2
x –
1
6
m.c.m. (3, 2, 6) = 6
( ) =
2x + 6
6
6
3x – 1
6
6( )
2x + 6 = 3x – 1
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14. Le equazioni
IL GRADO DI UN’EQUAZIONE
Equazioni numeriche intere
Un’equazione intera si può sempre scrivere in forma normale come E(x) = 0, dove E(x) è un polinomio.
Quando un’equazione è scritta in questa forma, si dice grado dell’equazione il grado complessivo del
polinomio E(x). Ad esempio:
2x – 3 = 0 È un’equazione di primo grado.
4x2
– 6x + 3 = 0 È un’equazione di secondo grado.
6x3
– 7x + 1 = 0 È un’equazione di terzo grado.
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15. Le equazioni
LE EQUAZIONI LINEARI
Equazioni numeriche intere
Un’equazione di primo grado si dice anche lineare ed ha la forma:
ax + b = 0
Termine noto
a è il coefficiente del termine di primo grado, b è il termine noto dell’equazione.
Il dominio di un’equazione lineare è sempre R.
Possiamo dire di avere risolto un’equazione lineare quando riusciamo a scriverla nella forma
x = k
In questo caso diciamo che k è la soluzione e che S={k} è l’insieme delle soluzioni.
15

16. Le equazioni
PROCEDURA DI RISOLUZIONE
Equazioni numeriche intere
ax + b = 0
a ≠ 0
Data l’equazione
ax = – b
x =
b
a
–
a = 0
b = 0 b ≠ 0
Impossibile
S =
Indeterminata
S = RS =
b
a
–{ }
Si porta il termine noto al secondo membro
16
Si analizza il coefficiente a

17. Le equazioni Equazioni numeriche frazionarie
Nelle equazioni frazionarie il dominio non è più R, perché bisogna escludere quei valori che,
annullando qualche denominatore, fanno perdere significato all’equazione.
REGOLA PER DETERMINARE IL DOMINIO
Determinato il dominio, si procede alla risoluzione dell’equazione applicando i principi di equivalenza.
Una volta trovata la soluzione si deve confrontare il valore trovato con quelli esclusi dal dominio.
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1) si esegue, se necessario, la scomposizione dei polinomi ai denominatori;
2) si impone che ciascun fattore al denominatore sia diverso da zero;
3) si risolvono le condizioni di esistenza con la stessa procedura usata per risolvere le equazioni intere.
Il dominio è l’insieme R – {valori trovati al punto 3}

18. Le equazioni Equazioni numeriche frazionarie
ESEMPIO
1
x2
– 4
–
3
x – 2
=
5
x + 2
1
(x – 2) (x + 2)
–
3
x – 2
=
5
x + 2
1 – 3 (x + 2)
(x – 2) (x + 2)
=
(x – 2) (x + 2)
5 (x – 2)
continua
Poiché deve essere x + 2 ≠ 0 ∧ x – 2 ≠ 0
ossia x ≠ – 2 ∧ x ≠ 2
Il dominio è l’insieme D = R – {– 2; 2}
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19. Le equazioni Equazioni numeriche frazionarie
1 – 3 (x + 2)
(x – 2) (x + 2)
=(x – 2) (x + 2) (x – 2) (x + 2)
(x – 2) (x + 2)
5 (x – 2)
1 – 3 (x + 2) = 5 (x – 2)
1 – 3x – 6 = 5x – 10
– 3x – 5x = – 10 + 6 – 1
– 8x = – 5 = +x
5
8
5
8
Poiché non coincide con uno dei valori esclusi dal domino, la soluzione è accettabile: S = { }
5
8
19

20. Le equazioni Equazioni letterali
Non è invece possibile:
 moltiplicare o dividere per un coefficiente letterale senza avere posto le condizioni di
diversità da zero di tale coefficiente.
In un’equazione letterale bisogna distinguere:
• il dominio, determinato rispetto all’incognita x
+ =
1
a
2a
x – 1
2
x ≠ 1
D = R – {1}
• le condizioni sul parametro a ≠ 0
20
In un’equazione letterale si può sempre:
 trasportare i termini da un membro all’altro dell’equazione cambiando loro di segno;
 cambiare tutti i segni dei termini ai due membri;
 moltiplicare o dividere entrambi i membri per un coefficiente numerico diverso da zero.

21. Le equazioni
ESEMPIO
Equazioni letterali
Discutere un’equazione significa analizzare come cambia l’insieme delle soluzioni al variare dei
parametri.
x (3a – 1) = a
Per trovare la soluzione dividiamo entrambi i membri per 3a – 1; si presentano quindi i seguenti casi:
1
3
a ≠Se
a
3a – 1
S={ }
1
3
a=Se S =
21
l’equazione diventa x  0 =
1
3
che è impossibile