Ripasso delle equazioni di primo e secondo grado, Algebra

1. Ripasso delle equazioni di I e II grado!

2. In questa lezione vediamo…
!
1
2 Equazioni modulari
Definizione di equazione e grado
3 Equazioni irrazionali

3. Sfida
?!
Nei cinema è appena uscito l’ultimo film degli X-Men:
Marco e i suoi amici, divoratori di fumetti e
appassionati di cinema, sono andati addirittura a
vederlo sul grande schermo più di una volta.
Andrea l’ha visto la radice quadrata del doppio delle
volte di Marco diminuite di , Davide l’ha visto il doppio
della radice delle volte di Marco aumentate di .
Matteo invece l’ha visto volte.
Se la somma delle visioni di Andrea e Matteo eguaglia
quelle di Davide… Marco quante volte ha visto il film?
1
4
3

4. Ora vediamo…
!
1
2 Equazioni modulari
Definizione di equazione e grado
3 Equazioni irrazionali

5. 1. Definizione di equazione e grado
Equazione: è un’uguaglianza tra due espressioni, almeno una delle quali contiene una o
più lettere considerate come incognite.
L’uguaglianza è vera solo per alcuni valori dati alle incognite: questi valori sono le
soluzioni (o radici) dell’equazione.
Un’equazione può essere:
• Determinata: ha un numero finito di soluzioni
• Indeterminata: ha un numero infinito di soluzioni
• Impossibile: non ha soluzioni.

6. 1. Definizione di equazione e grado
Finora abbiamo visto equazioni polinomiali, espressioni formate da un polinomio :
Grado dell’equazione: il grado dell'equazione (ridotta a forma normale) è il massimo
esponente con cui compare l'incognita.
Un’equazione è:
• Intera se l’incognita compare solo al numeratore
• Fratta se l’incognita compare a denominatore
• Irrazionale se l’incognita compare sotto il segno di radice.
0...)( 01
1
1 =++++= −
− axaxaxaxP n
n
n
n
I numeri reali si chiamano coefficienti dell’equazione.011 ,...,,, aaaa nn −
Equazioni che hanno la stessa soluzione sono equivalenti.
= 0

7. 1. Definizione di equazione e grado
Esempio:
• è un’equazione di I grado intera e determinata: ammette la soluzione
• è un’equazione fratta; ricorda di scrivere sempre le C.E. condizioni di
esistenza: il denominatore non può essere , quindi . Questa equazione è
determinata e ha le due soluzioni
• è un’equazione di II grado a coefficienti irrazionali che ha una
sola soluzione
• è un’equazione irrazionale impossibile! Anche qui bisogna sempre
scrivere le C.E. della radice, cioè
Attenzione! Una radice di indice pari è sempre positiva, quindi mai uguale a !
063 =−x 2=x
0
3
42
=
−
−
x
x
x ≠ 3
22 =∨−= xx
02222
=+− xx
2=x
31 −=−x
1≥x
= 0
= 3

8. Ora vediamo…
!
1
2 Equazioni modulari
Definizione di equazione e grado
3 Equazioni irrazionali

9. 2. Equazioni modulari
Un’equazione modulare è un’equazione in cui compare il segno di valore assoluto o
modulo.
e sono due polinomi qualunque e un numero reale.)(xP )(xQ
Esempio:
21 −=+x è impossibile!
!
"
#
=⇒=−
−=⇒−=−⇒±=−⇒=−
853
2535353
xx
xxxx L’equazione ha due soluzioni:
82 =∨−= xx
può avere o due o nessuna soluzione al variare di :
• Se le soluzioni si trovano calcolando ;
• Se non ci sono soluzioni! Infatti, un modulo è sempre positivo, quindi non
può essere uguale a una quantità negativa!
kxP =)(
0>k kxP ±=)(
0<k
Caso 1:
k
k

10. 2. Equazioni modulari
L’equazione ha 4 soluzioni:
2
171
2
171
21 4321
+
=∨
−
=∨−=∨= xxxx
Esempio: 132
+=− xx
2
171
0413)()( 2,1
22 ±
=⇒=−−⇒+=−⇒= xxxxxxQxP
!
"
#
=
−=⇒
±−
=⇒=−+⇒−−=−⇒−=
1
2
2
91
0213)()(
2
1
2,1
22
x
xxxxxxxQxP
Ricorda la formula risolutiva!
a
acbb
xcbxax
2
4
0
2
2,1
2 −±−
=⇒=++
se eleviamo al quadrato entrambi i membri eliminiamo il modulo.
Oppure, più velocemente, scriviamo:
)()( xQxP =
)()( xQxP ±=
Caso 2:

11. 2. Equazioni modulari
Liberiamoci del modulo e distinguiamo i due casi:
!
"
#
<−
≥−=−
66
666
xx
xxx
Esempio: 16 +=− xx
Dobbiamo risolvere due sistemi che sono composti da:
• una disequazione che indica la condizione che stiamo considerando per
• l’equazione di partenza in cui ha il segno stabilito dalla condizione scelta.
)(xP
)(xP
!
"
#
=−
<
!
"
#
=
≥
)()(
0)(
)()(
0)(
xQxP
xP
xQxP
xP ∪
Dobbiamo risolvere i sistemi:
!
"
#
=
<
!
"
#
=−
≥⇒
!
"
#
+=−
<
!
"
#
+=−
≥
52
6
16
6
16
6
16
6
x
xx
xx
x
xx
x ∪∪
IMPOSSIBILE
L’unica soluzione accettabile è
che è
2
5
=x
ricordiamo la definizione di modulo:)()( xQxP =
!
"
#
<−
≥=
0)()(
0)()()(
xPxP
xPxPxP
Caso 3:
< 6

12. 2. Equazioni modulari
Costruiamo una tabella dei segni per studiare gli intervalli:
2− 0 1
x
1−x
2+x
Dobbiamo considerare
quattro intervalli!
Scegliamo un intervallo, ad esempio x < −2
In base ai segni della tabella, in questo intervallo tutti
i moduli hanno argomento negativo!
L’equazione diventa allora:
E quindi:
12
1
1
−−−=
−
+− x
x
x
Esempio: 12
1
1
−+=
−
+ x
x
x C.E.: 1≠x
x =
4
3
In questo esempio abbiamo diversi moduli. Studiamoli separatamente:
!
"
#
<−
≥=
0
0
xx
xxx
!
"
#
<−
>−=−
11
111
xx
xxx
!
"
#
−<−−
−≥+=+
22
222
xx
xxx
3

13. 2. Equazioni modulari
Procediamo così anche per tutti gli altri intervalli.
Dobbiamo risolvere quattro equazioni diverse e confrontare le soluzioni con la
condizione con cui stiamo lavorando!
−2 ≤ x ≤ 0
−x +
1
1− x
= x + 2 −1
#
$
%
&%
∪
0 ≤ x <1
x +
1
1− x
= x + 2 −1
#
$
%
&%
∪
x >1
x +
1
x −1
= x + 2 −1
#
$
%
&%
L’analisi degli altri tre intervalli corrisponde all’unione dei sistemi:
Per l’intervallo , l’equazione risolta dà la soluzione
che non è accettabile perché non rientra nell’intervallo definito.
3
4
=x12
1
1
−−−=
−
+− x
x
xx < −2

14. 2. Equazioni modulari
Risolvendo le equazioni otteniamo questi risultati:
In conclusione, le soluzioni dell’equazione modulare fratta sono: 20 =∨= xx
−2 ≤ x ≤ 0
x = 0∨ x =
1
2
$
%
&
'&
∪
0 ≤ x <1
x = 0
$
%
'
∪
x >1
x = 2
$
%
'
NON ACCETTABILE
0
2
1
>

15. Ora vediamo…
!
1
2 Equazioni modulari
Definizione di equazione e grado
3 Equazioni irrazionali

16. 3. Equazioni irrazionali
Ripassiamo le equazioni irrazionali, in cui l’incognita compare sotto il segno di radice.
Per risolverle, dobbiamo distinguere due casi:
Con e due polinomi qualunque, se è un numero intero positivo abbiamo:)(xP )(xQ
)()( xQxPn =
n
• Se è dispari: basta elevare alla entrambi i membri e risolvere l’equazione
[ ]n
xQxP )()( =
n n
• Se è pari dobbiamo fare tre passaggi:
1. scrivere le C. E. del radicando:
2. dato che le radici di indice pari sono sempre positive, imporre che anche il
secondo membro sia positivo (condizione di concordanza di segno):
3. elevare alla e risolvere l’equazione equivalente
0)( ≥xP
Q(x) ≥ 0
[ ]n
xQxP )()( =
n
n

17. 3. Equazioni irrazionali
Esempio: xx +=− 123 3
Abbiamo ottenuto un’equazione di II grado che ha ed è pertanto
impossibile… allora anche l’equazione di partenza è impossibile.
0341 <−=−=Δ
L’indice della radice è dispari, quindi basta che eleviamo alla terza e risolviamo:
( ) 010333331212 2232333
=++⇒=++⇒+++=−⇒+=− xxxxxxxxxx
Esempio: 11 −=+ xx
Ora invece abbiamo l’indice di radice pari. Scriviamo le condizioni:
!
"
#
≥⇒≥−
−≥⇒≥+
101
101
xx
xx Esistenza del radicando
Concordanza di segno
Poiché le due condizioni devono valere
contemporaneamente, intersechiamo i
due intervalli e otteniamo la condizione
1≥x
Possiamo ora elevare al quadrato: ( ) 0312111 222
=−⇒+−=+⇒−=+ xxxxxxx
Delle due soluzioni solo è accettabile, perché è !30 =∨= xx 3=x >1

18. 3. Equazioni irrazionali
Scriviamo le condizioni:
!
"
#
≤⇒≥−
≥∨≤⇒≥+−
1033
410452
xx
xxxx
Esempio: 33)1(512
=+−−− xxx
Riscriviamo l’equazione separando la radice dagli altri termini: .xxx 33452
−=+−
Intersecando i due intervalli otteniamo la condizione definitiva .1≤x
Eleviamo al quadrato e risolviamo: x2
− 5x + 4 = 3−3x( )
2
⇒ x2
− 5x + 4 = 9x2
−18x + 9
8x2
−13x + 5 = 0 ⇒ x1,2 =
13± 169 −160
16
⇒ x1 =
13−3
16
=
5
8
∨ x2 =
13+3
16
=1
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché sono1
8
5
=∨= xx ≤1

19. 3. Equazioni irrazionali
Intersecando gli intervalli, otteniamo la
condizione definitiva: 23 ≤≤− x
Esempio: 1
8
232
=
+
−−+
x
xx
Questo esempio è un po’ complicato: dobbiamo tornare alla forma «base» delle
equazioni irrazionali: )()( xQxP =
Attenzione! Ci sono più radici, quindi bisognerà elevare al quadrato più volte.
Intanto scriviamo le condizioni di esistenza dei radicandi:
!"
!
#
$
−>⇒>+
≤⇒≥−
−≥⇒≥+
808
202
303
xx
xx
xx
Non usiamo il simbolo perché il
radicale è a denominatore!
≥
Scriviamo l’equazione e eleviamo al quadrato.8232 +=−−+ xxx

20. 3. Equazioni irrazionali
8234)2()3(48232 +=−+−−++⇒+=−−+ xxxxxxxx
Facciamo un po’ di conti e riordiniamo i termini
62)2)(3(48)2)(3(42124 +=−+⇒+=−+−−++ xxxxxxxx
Dividiamo per (per semplificare i calcoli) ed eleviamo al quadrato di nuovo:
2
)3()2)(3(43)2)(3(2 +=−+⇒+=−+ xxxxxx
Semplifichiamo: 032015105964424 2222
=−+⇒=−+⇒++=−− xxxxxxxx
Delle due soluzioni solo è accettabile, perché compresa
nell’intervallo consentito .
13 =∨−= xx 1=x
−2 < x ≤ 2
Nelle C.E. abbiamo stabilito che quindi il membro di destra non è mai nullo,
ma sempre positivo: per concordanza, anche il secondo membro deve esserlo,
ovvero: .
Il nuovo intervallo di validità della soluzione è quindi .
8−>x
21052124232 −>⇒−>⇒−>+⇒−>+ xxxxxx
−2 < x ≤ 2
2

21. La seconda equazione si può scrivere e, elevando di nuovo
al quadrato, . Questa equazione ha una
sola soluzione accettabile:
Marco ha visto il film volte!
!!
Soluzione alla sfida
Vogliamo sapere quante volte Marco ha visto il film, Marco è quindi la
nostra incognita . Allora:
- Andrea ha visto il film la radice quadrata delle volte di diminuite di :
- Davide il doppio della radice delle volte di aumentate di
Quindi: e . La somma delle visioni di A e di Matteo è
uguale a quelle di Davide, quindi:
Risolviamola e troviamo le visioni di Marco!
2x −1+3= 2 x + 4
!"
!
#
$
+=−++−
≥
⇒
!
!
"
!
!
#
$
+=+−
−≥
≥
164126912
2
1
42312
4
2
1
xxx
x
xx
x
x
4123 +=− xx
02510168918 22
=+−⇒++=− xxxxx
5=x
x
x 1
x 4
A = 2x −1 D = 2 x + 4
5

22. Nell’interrogazione potrebbero chiederti…!
• Risolvi le seguenti equazioni:
1.
2.
3.
x
x
x
x −
=
−
− 1
1
3
2
2x +10
=
3
x2
+ x − 20
−
1
x − 4
2x − 6 = −x

23. Rewarded education!