equazioni di 2^ grado

1. EQUAZIONI DI 2° GRADO

2. Un’equazione di 2° grado si presenta nella forma:
ax2
+ bx + c = 0
Dove si può notare l’esponente 2 dell’incognita
Esempio x2
+ 3x -2 = 0
dove
a = 1; b = +3; c = -2
Equazione completa
IMPORTANTE!!! a ≠ 0
Altrimenti l’equazione diventa di 1° grado
0 *x2
+ bx + c = 0
Altro esempio -2x2
+x – 6 = 0
dove
a = -2; b = 1; c= -2
bx +c = 0

3. Equazioni incomplete
In un’equazione di 2° grado possono mancare i coefficienti b e/o c
Se manca b b = 0 ax2
+ c = 0 Equazione pura
Se manca c c = 0 ax2
+ bx = 0 Equazione spuria
Se mancano b e c
b = 0
c = 0
ax2
= 0 Equazione monomia
Esempi
Eq. pura
2x2
- 8 = 0
Eq. spuria
-3x2
+ 7x = 0
Eq. monomia
5x2
= 0

4. Tecnica di soluzione
di un’equazione completa
ax2
+ bx + c = 0
Un’equazione di 1° grado, di norma, ha 1 soluzione
ax + b = 0 x = - b/a Es. -5x + 2 = 0 x = 2/5
Un’equazione di 2° grado, di norma, ha invece 2 soluzioni
a
acbb
x
2
42
−±−
=
dove la presenza del segno ± evidenzia l’esistenza di 2 soluzioni x1 e x2
Es. x2
-5x+6 = 0 dove a = 1, b = -5, c = 6
( ) ( )
12
61455
2
∗
∗∗−−±−−
=x
3
2
15
3
2
15
2
1
=
+
=
=
−
=
x
x

5. Quindi l’esistenza delle soluzioni dipende dal segno del termine contenuto all’interno
della radice quadrata
acb 42
−
Tale valore viene comunemente chiamato DELTA e indicato con la lettera Δ, quindi
Quindi si possono presentare 3 possibilità
acb 42
−=∆
dal momento che una radice quadrata non ha valori reali se il suo argomento è un
numero negativo

6. • Δ > 0 la radice ha un valore reale, quindi
l’equazione ammette 2 soluzioni reali e
distinte (tra loro diverse)
012 2
=−− xx
( ) 9124142
=−∗∗−=−=∆ acb
2
2
91
1
2
91
2
1
=
+
=
−=
−
=
x
x

7. • Δ = 0 la radice vale 0, quindi l’equazione
ammette 2 soluzioni reali e coincidenti (tra
loro uguali)
0442
=+− xx
( ) 0161641444
22
=−=∗∗−−=−=∆ acb
( ) 2
2
04
21 =
±−−
== xx

8. • Δ < 0 la radice non ha valore reale, quindi
l’equazione non ammette nessuna
soluzione reale
0432 2
=−+− xx
( ) ( ) ( ) 2332942434
22
−=−=−∗−∗−−=−=∆ acb
???????
4
233
???????
4
233
2
1
=
−
−+−
=
=
−
−−−
=
x
x
si vedrà in seguito che le soluzioni
esistono nell’insieme dei numeri
immaginari

9. Tecniche di soluzione
di un’equazione incompleta
EQUAZIONE PURA
ax2
+ c = 0
acacacb 44042
−=−=−=∆
se a e c sono discordi (segni diversi) Δ > 0
2 soluzioni reali
e distinte
082 2
=+− x
cax −=2
a
c
x −=2
a
c
x −±=
24
2
8
±=±=±=x
0>−
a
c

10. Tecniche di soluzione
di un’equazione incompleta
EQUAZIONE PURA
ax2
+ c = 0
acacacb 44042
−=−=−=∆
se a e c sono concordi (segni uguali) Δ < 0
2 soluzioni
immaginarie
082 2
=−− x
cax −=2
a
c
x −=2
a
c
x −±=
??????4
2
8
=−±=−±=x
0<−
a
c

11. Tecniche di soluzione
di un’equazione incompleta
EQUAZIONE SPURIA
ax2
+ bx = 0
22
4 bacb =−=∆ sempre > 0
(essendo un quadrato)
quindi sempre 2
soluzioni reali( ) 0=+ baxx Legge di annullamento
di un prodotto
a
b
x
x
−=
=
2
1 0
0102 2
=+ xx
( ) 0102 =+xx 5
0
2
1
−=
=
x
x

12. Tecniche di soluzione
di un’equazione incompleta
EQUAZIONE MONOMIA
ax2
= 0 042
=−=∆ acb
quindi sempre 2
soluzioni reali e
coincidenti
0
02
==
a
x 021 == xx
04 2
=− x 0
4
02
=
−
=x 021 == xx