Integrale indefinito

Angela Donatiello 1
PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE. INTEGRALE INDEFINITO.
INTEGRALI IMMEDIATI O RICONDUCIBILI AD IMMEDIATI.
METODI DI INTEGRAZIONE.

Angela Donatiello 2
DEF. Una funzione F(x) si dice primitiva di una funzione y = f(x) definita
nell’intervallo [a;b] se
1) F(x) è derivabile in [a;b]
2) F ’(x) = f(x) (la sua derivata è f(x))
Attenzione!!! La primitiva di una funzione non è unica!!!
.......
12xy
2
1
xy
2xy
3xy
2
2
2
2
+=
−=
−=
+=
x2y =
Operatore derivata

Angela Donatiello 3
Osservazione: Se una funzione ammette primitive, allora ammette infinite primitive
del tipo F(x) + c, con c numero reale, (differiscono tutte per una costante).
Infatti (F(x) + c)’ = F’(x) = f(x), in quanto la derivata di una costante è nulla.
Inoltre: se F(x) e G(x) sono primitive di f(x), allora
[F(x)-G(x)]’= F’(x)-G’(x) = f(x) – f(x) = 0, ossia F(x) – G(x) = costante
Le funzioni y = F(x) + c sono tutte e sole le primitive della funzione y = f(x) e
rappresentano tutte le funzioni ottenute dalla primitiva y = F(x) mediante
traslazioni verticali.
Primitive di
2
x3y =
5xy
3xy
2
1
xy
2xy
xy
3
3
3
3
3
−=
−=
−=
+=
=

Angela Donatiello 4
La primitiva che si ottiene con c = 0 è detta primitiva fondamentale.
DEFINIZIONE DI INTEGRALE INDEFINITO
Si chiama integrale indefinito della funzione y = f(x) e si indica con il simbolo
∫ dx)x(f l’insieme di tutte le infinite primitive F(x) + c della funzione f(x), dove c è
un numero reale qualunque.
∫ += c)x(Fdx)x(f tale che )x(f)'c)x(F( =+
f (x) è detta FUNZIONE INTEGRANDA
x è detta VARIABILE d’INTEGRAZIONE
Teorema. Se una funzione y = f(x) è continua in [a;b] allora è integrabile.
y = F(x) F’(x) = f(x)
derivazione
integrazione

Angela Donatiello 5
Ricordiamo le derivate

Angela Donatiello 7
INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI
1) ∫ −−∈α+
+α
=
+α
α
}1{R,c
1
x
dxx
1
In particolare:
∫ += cxdx ∫ += c
2
x
xdx
2
cx
3
2
dxx 3
+=∫
2) ∫ += c|x|lndx
x
1
3) ∫ += ca
aln
1
dxa xx
In particolare: ∫ += cedxe xx
4) ∫ +−= cxcosdxsenx 5) ∫ += csenxdxxcos
6) ∫ += ctgxdx
xcos
1
2
7) ∫ +−= cgxcotdx
xsen
1
2

Angela Donatiello 8
8) ∫ +−=+=
−
cxarccoscxarcsindx
x1
1
2
9)∫ +=
+
carctgxdx
x1
1
2
PROPRIETA’ DEGLI INTEGRALI INDEFINITI
1) ∫ ∫⋅=⋅ dx)x(fkdx)x(fk
2) ∫ ∫ ∫+=+ dx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[
3) ∫ ∫∫ +=⋅+⋅ dx)x(ghdx)x(fkdx)]x(gh)x(fk[
NOTA: Non esistono proprietà degli integrali su prodotti o quozienti, pertanto tali
casi andranno analizzati mediante opportuni metodi risolutivi.

Angela Donatiello 9
Esempi:
• ∫ ∫ ∫ ++=++=+=+ csenxxcsenx
3
x
3xdxcosdxx3dx)xcosx3( 3
3
22
• ∫ ∫ +−=+−=+
+−
== −
+−
−
c
x
1
cxc
12
x
dxxdx
x
1 1
12
2
2
• cx2c
2
1
x
c
1
2
1
x
dx)x(dx
x
1 2
1
1
2
1
2
1
+=+=+
+−
==
+−
−
∫ ∫
• ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =+=+=





+=
+
dx
x
1
2xdx3dx
x
2
xdx3dx
x
2
x3dx
x
2x3 2
c|x|ln2
2
x
3
2
++=

Angela Donatiello 10
• ∫ ∫ ∫ =
−
+
+
=





−
+
+
dx
x1
1
5dx
x1
1
3dx
x1
5
x1
3
2222
cxarcsin5arctgx3 ++=
• ctgx5xcos4dx
xcos
5
senx4 2
+−−=





−∫
• ∫ ++=





+ c|x|ln3e6dx
x
3
e6 xx

INTEGRALI INDEFINITI DI FUNZIONI LA CUI PRIMITIVA E’ UNA FUNZIONE
COMPOSTA

Esempi.
c
9
)5x(
c
3
)5x(
3
1
dx)5x(x3
3
1
dx)5x(x
3333
232232
+
+
=+
+
⋅=+=+ ∫∫
∫ ∫ ∫ +−=
−
−== c|xcos|lndx
xcos
senx
dx
xcos
senx
tgxdx
∫ ∫ ∫ +=
+
=
+
=
+
c)x2(arctg
2
1
dx
)x2(1
2
2
1
dx
)x2(1
1
dx
x41
1
222
∫∫ +−+=
−+
+
=
−+
+
c|3x2x|ln
2
1
dx
3x2x
2x2
2
1
dx
3x2x
1x 2
22

Esercizi.
∫ ∫ ∫ ∫ +==
⋅
=
⋅
=
+
c
2ln
2
4dx24dx
2
24
dx
2
44
dx
8
4 x
x
x3
x4
x3
x2
x
x21
∫ ∫∫ +
+
=+=+=+ c
2
3
)1x(
2
1
dx)1x(x2
2
1
dx)1x(xdx1xx
2
3
2
2
1
22
1
22
= c)1x(
3
1 32
++
∫ +−= c)xcos(lndx
x
)x(lnsen

∫ ∫ ++=
+
+
=
+
+
c)x4x(tg
2
1
dx
)x4x(cos
4x2
2
1
dx
)x4x(cos
2x 2
2222
∫ ∫ +=
+
=
+
c)e(arctgdx
)e(1
e
dx
e1
e x
2x
x
x2
x
∫ ∫ +=
−
=
−
c)e(arcsendx
)e(1
e
dx
e1
e x
2x
x
x2
x
∫ ∫ ∫ =






+
=






+
=
+
dx
x
4
3
1
1
16
1
dx
x
16
3
116
1
dx
x316
1
222
∫ +=+=






+
⋅= cx
4
3
arctg
12
3
cx
4
3
arctg
34
1
dx
x
4
3
1
4
3
3
4
16
1
2

INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
1° CASO: IL NUMERATORE È RICONDUCIBILE ALLA DERIVATA DEL
DENOMINATORE
∫ =
−−+
−+
dx
1x4x3x2
2x3x3
23
2
a meno della costante 2 il numeratore è la
derivata del denominatore
∫ =
−−+
−+
= dx
1x4x3x2
4x6x6
2
1
23
2
RICORDO: ∫ += c|)x(f|lndx
)x(f
)x('f
c|1x4x3x2|ln
2
1 23
+−−+=

2° CASO: IL DENOMINATORE E’ DI PRIMO GRADO
∫ +
++
dx
1x2
1x5x2 2
(Esame 19/06/12)
Effettuo la divisione tra polinomi:
Ricordo:
)x(B
)x(R
)x(Q
)x(B
)x(A
+=
1x2
1
2x
1x2
1x5x2 2
+
−+=
+
++
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ =
+
−+=
+
−+=
+
++
dx
1x2
2
2
1
dx2xdxdx
1x2
1
dx2xdxdx
1x2
1x5x2 2
c|1x2|ln
2
1
x2x
2
1 2
++−+=
2x2 + 5x +1 2x + 1
-2x2 - x x+2
// 4x +1
-4x -2
// -1

3° CASO: IL DENOMINATORE E’ DI SECONDO GRADO (e non posso ricondurmi al
primo caso in maniera immediata)
- sottocaso 1: 0>∆ (si riconduce ad integrali di tipo logaritmo)
∫
++
−
dx
6x5x
1x
2
1) Calcolo il discriminante 012425ac4b2
>=−=−=∆
2) Scompongo il polinomio al denominatore nella forma
)xx)(xx(acbxax 21
2
−−=++ con x1 e x2 radici o zeri dell’equazione
associata.
2
15
x
±−
= 3x1 −= 2x2 −= )2x)(3x(6x5x2
++=++
3) Riscrivo la frazione algebrica nella forma
21 xx
B
)xx(a
A
)x(G
)x(F
−
+
−
=
In questo caso
2x
B
3x
A
6x5x
1x
2 +
+
+
=
++
−

4) Cerco i parametri A e B in modo che sia verificata l’uguaglianza:
)2x)(3x(
)3x(B)2x(A
6x5x
1x
2 ++
+++
=
++
−
)2x)(3x(
B3BxA2Ax
6x5x
1x
2 ++
+++
=
++
−
)2x)(3x(
B3A2x)BA(
6x5x
1x
2 ++
+++
=
++
−
tale uguaglianza è vera se e solo se



−=
=
⇒



−=
−=
⇒



−=+
=+
3B
4A
3B
B1A
1B3A2
1BA
Pertanto:
2x
3
3x
4
6x5x
1x
2 +
−
+
=
++
−

5) Riscrivo l’integrale che ora si riconduce a due integrali quasi immediati di
tipo logaritmo
∫ ∫ ∫∫ +
−
+
=





+
−
+
=
++
−
dx
2x
3
dx
3x
4
dx
2x
3
3x
4
dx
6x5x
1x
2
c|2x|ln3|3x|ln4 ++−+=
- sottocaso 2: 0=∆ (si riconduce ad integrali di tipo logaritmo e di tipo potenza)
∫
++
+
dx
9x6x
5x
2
1) Calcolo il discriminante 03636ac4b2
=−=−=∆
2) Scompongo il polinomio al denominatore nella forma
2
1
2
)xx(acbxax −=++
In questo caso
22
)3x(9x6x +=++

3) Riscrivo la frazione algebrica nella forma
2
11 )xx(
B
)xx(a
A
)x(G
)x(F
−
+
−
=
In questo caso:
22
)3x(
B
)3x(
A
9x6x
5x
+
+
+
=
++
+
4) Cerco i parametri A e B in modo che sia verificata l’uguaglianza:
22
)3x(
B
)3x(
A
9x6x
5x
+
+
+
=
++
+
22
)3x(
B)3x(A
9x6x
5x
+
++
=
++
+
22
)3x(
BA3Ax
9x6x
5x
+
++
=
++
+
tale uguaglianza è vera se e solo se



=−=
=
⇒



=+
=
235B
1A
5BA3
1A

Pertanto: 22
)3x(
2
)3x(
1
9x6x
5x
+
+
+
=
++
+
5) Riscrivo l’integrale che ora si riconduce a due integrali quasi immediati di
tipo logaritmo e di tipo potenza
∫ ∫ ∫∫
−
++
+
=







+
+
+
=
++
+
dx)3x(2dx
3x
1
dx
)3x(
2
)3x(
1
dx
9x6x
5x 2
22
c
3x
2
|3x|lnc
12
)3x(
2|3x|ln
12
+
+
−+=+
+−
+
⋅++=
+−

- sottocaso 3: 0<∆
a) il numeratore è di grado zero
∫
++
dx
cbxax
1
2
0a ≠
E’ necessario effettuare il completamento del quadrato dei primi due termini al
denominatore e poi ricondurre all’integrale immediato la cui primitiva è
arcotangente.
∫
++
dx
1xx
1
2
• Calcolo il discriminante 0341 <−=−=∆
• Si cerca di ricondurre l’integrale al modello
∫ +=
+
c
k
)x(f
arctg
k
1
dx
)]x(f[k
)x('f
22

• Bisogna riguardare i due termini x2 e x rispettivamente come il quadrato di x
e come il doppio prodotto del primo termine x per un secondo termine e
sommare e sottrarre il termine mancante per completare il quadrato di
binomio.
4
3
2
1
x1
4
1
4
1
xx1xx
2
22
+





+=+−++=++
• ∫ ∫ +
+
=
+





+
=
++
c
2
3
2
1
x
arctg
2
3
1
dx
4
3
2
1
x
1
dx
1xx
1
22
c
3
1x2
arctg
3
2
+
+
=
b) Il numeratore è un polinomio di primo grado e il denominatore di secondo
con discriminante negativo
∫ =
++
+
dx
1xx
3x
2

• Calcolo il discriminante 0341 <−=−=∆
• Trasformo il numeratore in modo da vederlo come somma di due parti, una
che costituisce la derivata del denominatore e l’altra che ci permetterà di
ricondurci all’arcotangente come nel caso precedente.
∫ ∫∫ =
++
+
=
++
+
=
++
+
dx
1xx
6x2
2
1
dx
1xx
)3x(2
2
1
dx
1xx
3x
222
∫ ∫ ∫ =
++
+
++
+
=
++
++
= dx
1xx
5
2
1
dx
1xx
1x2
2
1
dx
1xx
51x2
2
1
222
Il primo integrale si è riconduce ad integrali di tipo logaritmo, mentre il
secondo è integrabile come arcotangente (caso precedente)
c
3
1x2
arctg
3
2
2
5
|1xx|ln
2
1 2
+
+
⋅+++=
c
3
1x2
arctg
3
5
)1xxln(
2
1 2
+
+
+++=

Metodo di integrazione per sostituzione
∫ dx)x(f
1) Si pone x = g(t) (continua e invertibile) oppure t = g -1 (x)
2) Si calcola il differenziale dt)t('gdx =
3) Si sostituisce dt)t('g))t(g(fdx)x(f ⋅=∫
4) Si scrive prima il risultato dell’integrale nella variabile t e successivamente
nella variabile x.
Esempi.
∫ =
+
dx
x1
1
pongo tdt2dxtxxt 2
=⇒=⇒=
∫ ∫ +
=⋅
+
= dt
t1
t2
tdt2
t1
1
effettuo la divisione tra polinomi

Quindi ricordo che
)x(B
)x(R
)x(Q
)x(B
)x(A
+=
1t
2
2
1t
t2
+
−=
+
∫ ∫ ∫ =++−=
+
−=





+
−= c|1t|ln2t2dt
t1
1
2dt2dt
1t
2
2
c)1xln(2x2c|1x|ln2x2 ++−=++−=
∫ =
+
dx
x
e1 x
pongo tdt2dxtxxt 2
=⇒=⇒=
( )∫ ∫ ∫ ∫ =++=+=+=⋅
+
= ce2t2dte2dt2dte22tdt2
t
e1 ttt
t
ce2x2 x
++=
2t t+1
2-2t-2
-2

∫
+
+
dx
1e
ee
x2
xx2
pongo dt
t
1
dxtlnxet x
=⇒=⇒=
∫ ∫ ∫ ∫∫∫
+
+
+
=
+
+
=⋅
+
+
=⋅
+
+
=
+
+
dt
1t
1
dt
1t
t
dt
1t
1t
dt
t
1
1t
)1t(t
dt
t
1
1t
tt
dx
1e
ee
22222
2
x2
xx2
∫ ∫ =+++=
+
+
+
= c)t(arctg)1tln(
2
1
dt
1t
1
dt
1t
t2
2
1 2
22
c)e(arctg)1eln(
2
1 xx2
+++=
=−∫ dx1ex
pongo 1et1et x2x
−=⇒−=
)1tln(x1te 22x
+=⇒+=
dt
1t
t2
dx 2
+
=

∫∫∫∫
+
=
+
=
+
⋅=− dt
1t
t
2dt
1t
t2
dt
1t
t2
tdx1e 2
2
2
2
2
x
devo riscrivere il numeratore in modo da poter spezzare la frazione riconducendo
ad integrali immediati
∫ ∫ ∫ +−=
+
−
+
+
=
+
−+
= c)t(arctg2t2dt
1t
1
2dt
1t
1t
2dt
1t
11t
2 22
2
2
2
c)1e(arctg21e2 xx
+−−−=
Un particolare integrale risolubile con sostituzione
∫ − dxx1 2
pongo sentx = nell’intervallo



 ππ
−
2
;
2
in
modo che la funzione seno risulti invertibile
)xarcsin(t =
dttcosdx = con 0tcos > nell’intervallo
considerato

Sostituisco =⋅=⋅−=− ∫∫∫ dttcostcosdttcostsen1dxx1 222
Nell’intervallo di invertibilità della funzione seno, il coseno è sempre positivo,
pertanto
∫ ∫ ∫
+
==⋅= dt
2
t2cos1
dttcosdttcostcos 2
Attenzione: Abbiamo applicato la formula di bisezione del coseno
2
t2cos1
tcos
2
cos1
2
cos
+
±=⇒
α+
±=
α
ma 0tcos > quindi
2
t2cos1
tcos
2
t2cos1
tcos 2 +
=⇒
+
=
Pertanto, ritornando all’integrale,
∫ ∫ ∫ ∫ ++=⋅+=+= ct2sen
4
1
2
t
dtt2cos2
2
1
2
1
dt
2
1
dt
2
t2cos
dt
2
1
ctcossent2
4
1
2
t
+⋅+=
formula di duplicazione del seno: αα=α cossen22sen

Inoltre: sentx = quindi )xarcsin(t = e
22
x1tsen1tcos −=−=
Quindi: cx1x
2
1
xarcsin
2
1
dxx1 22
+−+=−∫
Generalizzando tale integrale e svolgendo un procedimento analogo con la
posizione asentx = si ottiene che:
cxax
2
1
a
x
arcsin
2
a
dxxa 22
2
22
+−+=−∫
Esempio.
cx9x
2
1
3
x
arcsin
2
9
dxx9 22
+−+=−∫

Metodo di integrazione per parti
Si considerino due funzioni f(x) e g(x) derivabili con derivata continua in un
intervallo [a;b].
Se si considera la derivata del loro prodotto si ottiene:
)x('g)x(f)x(g)x('f)]'x(g)x(f[ +=⋅
Integrando ambo i membri si ha che:
dx])x('g)x(f)x(g)x('f[dx)]'x(g)x(f[ ∫∫ +=⋅
dx)x('g)x(fdx)x(g)x('fdx)]'x(g)x(f[ ∫ ∫∫ +=⋅
Isoliamo ∫ dx)x('g)x(f si ottiene la formula di integrazione per parti
∫ ∫−= dx)x(g)x('f)x(g)x(fdx)x('g)x(f

Tale formula è utile nel caso in cui si possa pensare la funzione integranda come
composta di due fattori, un fattore finito e un fattore differenziale.
Di norma si seguono le seguenti indicazioni:

∫ dxxlnx considero
2
x
gx'g
x
1
'fxlnf
2
=⇒=
=⇒=
c
2
1
xln
2
x
c
2
x
2
1
xln
2
x
dxx
x
1
2
1
cxln
2
x
dxxlnx
222
2
2
+





−=+−=⋅−+= ∫∫
∫ dxxsenx considero
xcosgsenx'g
1'fxf
−=⇒=
=⇒=
∫∫ ++−=−−−= csenxxcosxdxxcosxcosxdxxsenx

Esercizi svolti in aula
∫
+−
−
dx
3x2x
1x2
2
∫ xdxlnx3
dxxcos∫
∫ + dx)e1ln(e xx2
(Esame 19/07/12)
∫ + dxarctgx)1x2( ∫
+
− dxe)1x( 1x2
dxsenxex
∫
∫ +
−
dx
3x
2x
∫ ++ 3x2)2x(
dx
Esercizi consigliati per esercitazioni
∫ + dx4xlnx
∫ dx)xcos(ln
(Si suggerisce di svolgere gli integrali indefiniti di riepilogo presenti su un buon
libro di scuole superiori)

Integrale indefinito

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