equazioni di 2 grado

1. - Prof. R. Fantini
1
Nota storica
Per secoli l’algebra (dall’arabo al-Jabr che
significa “aggiustamento” il lavoro tipico dei
medici sulle ossa fratturate dei pazienti) ha
cercato metodi meccanici (algoritmi) per risolvere
le equazioni.
In questa ricerca si sono distinti il
matematico arabo Al-Khwarizmi (IX
secolo d.C.) che ha trovato la formula
risolutiva delle eq. di 2° grado e gli
italiani: Scipione del Ferro, Nicolò
Tartaglia, Gerolamo Cardano (dal
1500 al 1570), per quelle di 3° grado e
Ludovico Ferrari per quelle di 4°.

2. - Prof. R. Fantini
2
Problemi antichi
1700 a. C. : Babilonia
Ho sommato 7 volte il lato di un quadrato con 11 volte
la sua area e ho trovato 6.25. Quanto è lungo il lato?
1700 a. C. : Babilonia
Ho sommato 7 volte il lato di un quadrato con 11 volte
la sua area e ho trovato 6.25. Quanto è lungo il lato?
Moltiplica 11 per 6.25 e trovi 68.75 .Dimezza 7 e moltiplica il
risultato per se stesso. Sommalo con 68.75 e trovi 81, la cui
radice quadrata è 9. Sottrai 7/2 da 9 e hai 5.5. Per che cosa
moltiplico 11 per avere 5.5? Per 0.5: QUESTO E’ IL LATO !
Soluzione

3. - Prof. R. Fantini
3
Equazioni: richiami.
Un’equazione è una uguaglianza fra due espressioni
letterali che risulta VERA (soddisfatta) per particolari
valori assunti dalle lettere.
Es.
4
3 4 0
3
x x+ = ⇒ = −
0ax b+ = 0a ≠Eq. di 1° grado
Sol.
b
x
a
= −
4
3 4 0
3
 
− + = 
 
Verifica:

4. - Prof. R. Fantini
4
Equazioni di secondo grado
La più generale equazione di 2° grado si può scrivere:
Es.
2
3 4 6 0x x− − =
2
0ax bx c+ + = 0a ≠

5. - Prof. R. Fantini
5
Equazione PURA
Consideriamo l’equazione di 2° grado con b=0b=0:
2
0ax c+ = ⇒
1,20
0
c c
x
a a
c
impossibile
a

− ≥ ⇒ = ± −

− < ⇒

Es.
2
1,216 0 16 4x x− = ⇒ = ± = ±
L’equazione pura, se non è impossibile, ha
due radici reali e opposte.
2 c
x
a
 
= − 
 
2
1,281 0 81 impossibile!x x+ = ⇒ = ± −

6. - Prof. R. Fantini
6
Equazione SPURIA
Consideriamo l’equazione di 2° grado con c=0c=0:
Es.
2
0 ( ) 0ax bx x ax b+ = ⇒ + =
Per la legge di annullamento del prodotto, questa
equazione può essere soddisfatta annullando uno o
l’altro fattore.
1 2
b
x 0 x
a
= ∨ = −Si ha dunque:
L’equazione spuria ha sempre due radici
reali di cui una nulla.
( )2
1 2
8
3x 8x 0 x 3x 8 0 x 0 x
3
+ = ⇒ + = ⇒ = ∨ = −

7. - Prof. R. Fantini
7
Equazione COMPLETA
2
0ax bx c+ + =
0444 22
=++ acabxxa
•Moltiplicando ambo i membri per 4a si ottiene:
•Aggiungiamo ora b^2 e sottraiamo 4ac ad ambo i membri dell’equazione:
acbbabxxa 444 2222
−=++
•Il primo membro è il quadrato di un binomio
2 2 2
2
2
1,2
(2 ) 4 (2 ) 4
2 4
4
2
ax b b ac ax b b ac
ax b b ac
b b ac
x
a
+ = − ⇒ + =± −
=− ± − ⇒
− ± −
=

8. - Prof. R. Fantini
8
Esempi
Risolvere le seguenti equazioni:
2
2 9 5 0x x+ − = a=2; b=9; c=-5
2 1
1,2
2
9 121
5
9 81 4 2 ( 5)4 4
2 4 9 121 1
4 2
x
b b ac
x
a
x
− −
= = −
− ± − ⋅ ⋅ −− ± −
= = =
− +
= =
2
3 2 0x x− − = a=3; b=-1; c=-2
2 1
1,2
2
1 25 2
1 1 4 3 ( 2)4 6 3
2 6 1 25
1
6
x
b b ac
x
a
x
−
= = −
± − ⋅ ⋅ −− ± −
= = =
+
= =
Le soluzioni
(radici) sono
reali e distinte.

9. - Prof. R. Fantini
9
Un ultimo esempio
Risolvere la seguente equazione:
2
2 3 0x x− + = a=2; b=-1; c=3
2
1,2
4 1 1 4 2 3 1 23
...???
2 4 4
b b ac
x
a
− ± − ± − ⋅ ⋅ ± −
= = = =
E’ di fondamentale importanza stabilire il segno della quantità:
2
4b ac−
Non esistono
soluzioni reali !!

10. - Prof. R. Fantini
10
E’ l’espressione che nella
formula risolutiva figura
sotto il segno di radice si
chiama discriminante
dell’ equazione e si indica
con la lettera DELTA∆
∆
∆
∆
> 0
= 0
< 0
SI?
SI?
SI?
Vai al
diagramma
di flusso
Discriminante DELTA
2
b 4ac∆ = −

11. - Prof. R. Fantini
11
Il radicale che compare nella
formula risolutiva, è un numero
reale e l’equazione data ha allora
due soluzioni reali e distinte
∆ > 0
Vediamolo graficamente con Excel
L’equazione
ammette due
radici reali e
distinte.

12. - Prof. R. Fantini
12
0
x y
-3 2
-2 -2
-1 -4
0 -4
1 -2
2 2
3 8
y
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y = x2
+ x - 4
x
y
∆∆>0>0
Soluzioni reali e
distinte
Vai al ∆
1x 2x
Delta = 1+16=17
2
4 0x x+ − =

13. - Prof. R. Fantini
13
La formula risolutiva dà per x 2 valori reali coincidenti
1,2
0
2
b
x
a
− ±
=
a
b
xx
2
21
−==
∆ = 0
Vediamolo graficamente con Excel
L’equazione
ammette due
radici reali e
coincidentiEs. 2
6 9 0x x− + =
2
b 4ac 36 4 9 0∆ = − = − ⋅ = 1,2
6 0
3
2
x
±
= =

14. - Prof. R. Fantini
14
0
x y
-3 1
-2 0
-1 1
0 4
1 9
2 16
3 25
y
0
5
10
15
20
25
30
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y = x2
+ 4x + 4
Soluzioni
coincidenti
∆∆=0=0
Vai al ∆
1 2x x=
Delta = 16-16=0
2
4 4 0x x+ + =

15. - Prof. R. Fantini
15
∆ < 0
Vediamolo graficamente con Excel
L’equazione non ha soluzioni reali
In questo caso il radicale non ha valore nel
campo dei numeri reali
e l’equazione è impossibile in R

16. - Prof. R. Fantini
16
∆∆<0<0
x y
-3 11
-2 6 0
-1 3
0 2
1 3
2 6
3 11
11
6
3
2
3
6
11
0
2
4
6
8
10
12
-4 -2 0 2 4
x
y
y = x2
+ 2
Nessuna Soluzione !
Vai al ∆
Delta = 0-8=-8
2
2 0x + =

17. - Prof. R. Fantini
17
a, b, ca, b, c
Si calcoliSi calcoli
L’equazione
ha due
radici reali
e distinte
L’equazione
ha due
radici reali
e distinte
∆
0=∆
0∆ >
< 0 l’equazione è
impossibile in R
∆
2
1
2
2
4
2
4
2
b b ac
x
a
b b ac
x
a
− − −
=
− + −
=
1 2
2
b
x x
a
= =−
L’equazione
ha due
radici reali
e coincidenti
L’equazione
ha due
radici reali
e coincidenti
si
si
no
no
Torna al delta
Riepilogando 1

18. - Prof. R. Fantini
19
Esercizio 2
Risolvere le seguenti equazioni:
2
4 0x − = Equazione PURA (b=0)
2
1,24 4 2x x= ⇒ = ± = ±
2
6 0x x+ = Equazione SPURIA (c=0)
1 2( 6) 0 0; 6x x x x+ = ⇒ = = −
Legge dell’annullamento del prodotto
2
1,2
1 2
2 1 0
2 2
x x− = ⇒ = ± = ±

19. - Prof. R. Fantini
20
Esercizio 3
Risolvere la seguente equazione:
2
2 5 3 0x x− − = Equazione COMPLETA
2
4 25 24 49 0b ac∆ = − = + = ≥
2
1
1,2
2
1
4 5 49
2
2 4
3
xb b ac
x
a
x

=−− ± − ± 
= = =
 =

20. - Prof. R. Fantini
21
Se b è un numero pari con opportune semplificazioni
si ottiene la seguente formula risolutiva:
2
1,2
2 2
b b
ac
x
a
 
− ± − 
 
=
Es.
2
1,2
2 4 3
3 4 1 0
3
x x x
± −
− + = ⇒ = =
1 2
1
, 1
3
x x= =
Formula ridotta
2
1,2
4
2
2
b
b ac
x
a
  
− ± −  
   
=
2
1,2
2
2
2
b
b ac
x
a
 
− ± − 
 
=
4
∆

21. - Prof. R. Fantini
22
Esercizio 4
Risolvere la seguente equazione:
2
9 6 8 0x x+ − = Equazione COMPLETA
con coefficiente b pari
2
9 72 81 0
4 2
b
ac
∆  
= − = + = ≥ 
 
2
1
1,2
2
4
2 2 3 81 3
29
3
b b
ac x
x
a
x
  − ± − =−  − ±  
= = =
 =


22. - Prof. R. Fantini
23
Esercizio 5
(equazioni parametriche o letterali)
Determinare per quali valori di K la seguente
equazione ha due soluzioni reali coincidenti:
2
(1 ) 3 0kx k x− − − =
2 2
4 1 2 12 0b ac k k k∆ = − = + − + =
2
10 1 0k k+ + = ⇒
1,2 5 25 1 5 2 6k⇒ = − ± − = − ±

23. - Prof. R. Fantini
24
Relazione fra i coefficienti di
un’equazione di II grado
(a,b,c) e le sue radici (x1 e x2)

24. - Prof. R. Fantini
25
Somma delle soluzioni
2
1
4
2
b b ac
x
a
− − −
=
1 2
b
s x x
a
+= = −
2
2
4
2
b b ac
x
a
− + −
=
2
1 2
4b acb
x x
−
+
− −
=
2
4b acb −− +
2a

25. - Prof. R. Fantini
26
Prodotto delle soluzioni
1 2
c
p x x
a
⋅= =
Prodotto notevole
somma x differenza
2
1
4
2
b b ac
x
a
− − −
=
2
2
4
2
b b ac
x
a
− + −
=
2
2
2
1 2
( 4 )
4
b b ac
x x
a
⋅
− −
=

26. - Prof. R. Fantini
27
Un altro modo di scrivere
l’eq. di II grado
2
0ax bx c+ + = Dividiamo per a:
2
0
b c
x x
a a
+ + = Ricordandoci s e p:
2
0x sx p− + =
1 2
b
s x x
a
+= = −
1 2
c
p x x
a
⋅= =

27. - Prof. R. Fantini
28
Esempio
• Trovare due numeri la cui somma sia
4 ed il cui prodotto sia –21.
2
0x sx p− + = 2
4 21 0x x− − =
2
1,2
2 2
b b
ac
x
a
 
− ± − 
 
= =
1
2
3
2 4 21
7
x
x
=−
= ± + =
=
4 -21

28. - Prof. R. Fantini
29
Esempi su s e p
• Trovare per quale valore di k l’equazione:
(k-1)x^2 + (k+4)x + 3 = 0 ha:
1) Soluzioni opposte;
2) Soluzioni reciproche;
3) Una soluzione x1 = 2;
1) x1 =- x2 =>
4
0 4
1
k
k
k
+
− = ⇒ = −
−
x1 + x2 = 0 => s = 0 =>
2) x1 =1/x2 => x1 x2 = 1 => p = 1 =>
3
1 3
1
k
k
= ⇒ =
−
3) x1 = 2 deve soddisfare l’equazione =>( 1) 4 ( 4) 2 3 0k k− ⋅ + + ⋅ + =
7
6
k⇒ = −

29. - Prof. R. Fantini
30
2 2
1 2x x+ =
2 2
1 2 1 2( ) 2 2x x x x s p+ − = −
1 2
1 1
x x
+ = 2 1
1 2
x x s
x x p
+
=
3 3
1 2 ???x x+ =
Sottigliezze …

30. - Prof. R. Fantini
31
Scomposizione del
trinomio di II grado
( )2
1 2 1 2( )a x x x x x x= − + + = Moltiplicando e raccogliendo:
2 2 b c
ax bx c a x x
a a
 
+ + = + + = 
 
1 2( )( )a x x x x= − − Ossia:
2
1 2( )( )ax bx c a x x x x+ + = − −

31. - Prof. R. Fantini
32
Esempio di scomposizione
di un trinomio di II grado
Scomporre il trinomio:
2
2 5 3x x+ −
1. Equazione associata:
2
2 5 3 0x x+ − =
2. Soluzioni dell’equazione:
1 23; 1/ 2;x x= − =
3. Scomposizione del trinomio:
2 1
2 5 3 2( 3)
2
x x x x
 
+ − = + − 
 

32. - Prof. R. Fantini
33
Disegnare una parabola
• Abbiamo visto che il grafico di una
funzione quadratica è una PARABOLA.
• Come si fa a disegnarla conoscendo la
sua espressione algebrica?

33. - Prof. R. Fantini
34
Dall’equazione al grafico
• Problema: disegnare la parabola:
2
2 3y x x= + −
1. Troviamo dove interseca l’asse delle x, ossia
risolviamo il sistema:
2
2
1 2
2 3
2 3 0 3; 1
0
y x x
x x x x
y
 = + −
⇒ + − = ⇒ = − =
=
Otteniamo quindi i punti A(-3,0); B(1,0).
Asse x Parabola

34. - Prof. R. Fantini
35
Dall’equazione al grafico
2. Troviamo dove interseca l’asse delle y, ossia
risolviamo il sistema:
2
2 3
3
0
y x x
y
x
 = + −
⇒ = −
=
Otteniamo quindi il punto P(0,-3).

35. - Prof. R. Fantini
36
Dall’equazione al grafico
3. Troviamo il VERTICE della parabola. Il modo più
semplice è pensare che la sua ascissa Vx è il punto
medio delle ascisse dei punti in cui la parabola
interseca l’asse X.
Occorre cioè fare la media delle radici x1 e x2.
Si ottiene:
1 2
2 2
x
x x b
V
a
+
= = −
Nel nostro caso Vx = -1.
Per Vy basta sostituire Vx. Si ottiene Vy =-4 V(-1,-4)

36. - Prof. R. Fantini
37
Finalmente il grafico
UNIAMO i punti: A(-3,0) B(1,0) P(0,-3) V(-1,-4).
y = x^2+2x-3
-8
-4
0
4
8
12
16
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
X
Y
A B
P
V
x y
-5 12
-4 5
-3 0
-2 -3
-1 -4
0 -3
1 0
2 5
3 12
A
V
P
B

37. - Prof. R. Fantini
38
Ricapitolando
Data la parabola di equazione:
2
y ax bx c= + +
Il Vertice: ,
2 4
b
V
a a
∆ 
= − − 
 
Intersezione con l’asse y (x=0): ( )0,P c=
Intersezione con l’asse x (y=0): ( ) ( )1 2,0 B ,0A x x= =
La concavità della parabola dipende dal segno
di a: a > 0 concava; a < 0 convessa.

38. - Prof. R. Fantini
39
Disequazioni di II grado
• La disequazione di 2° grado più
generale è della forma:
2
0ax bx c+ + >
• Per risolverla, troviamo i punti x1 e x2
(x1 < x2) in cui il trinomio si annulla.
Allora la soluzione sarà:
1x x< oppure 2x x>
• Consideriamo per comodità a>0.

39. - Prof. R. Fantini
40
Esempio
• Risolvi la seguente disequazione:
2
2 8 0x x− − >
Soluzioni dell’equazione associata:
x1 = -2 x2 = 4
2x < − oppure 4x >
a>0

40. - Prof. R. Fantini
41
Risoluzione grafica di una
disequazione di II grado
• Risolviamo la stessa disequazione
graficamente:
2
2 8 0x x− − >
Disegnamo la parabola associata:
2
2 8y x x= − −

41. - Prof. R. Fantini
42
Risoluzione grafica di una
disequazione di II grado
y=x^2-2x-8
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
X
Y
X1 X2
2x < − 4x >oppure
Y>0 
2
2 8 0x x− − >

42. - Prof. R. Fantini
43
Risoluzione grafica di una
disequazione di II grado
y=x^2-2x-8
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
X
Y
X1 X2
2 4x− < <Y< 0 
2
2 8 0x x− − <

43. - Prof. R. Fantini
44