Il documento tratta i rapporti e le proporzioni tra numeri e grandezze, spiegando i concetti di quoziente, grandezze omogenee e non omogenee, e la derivazione di grandezze come la velocità. Viene presentata la definizione di proporzione e le proprietà ad essa associate, tra cui quelle di invertire, comporre e scomporre. Infine, viene discusso il calcolo dei termini incogniti in proporzioni e l'importanza dei medi proporzionali.

1. A cosa servono?
Mi viene voglia di
scappare!
Prodotto da Prof.ssa Maria Raschello

2. IL RAPPORTO
Il rapporto tra due numeri a e b, con
b diverso da zero è il quoziente
ottenuto dividendo il primo per il
secondo
a:b
oppure
a/b
a si chiama antecedente
b si chiama conseguente

3. RAPPORTO TRA GRANDEZZE
OMOGENEE
Il rapporto fra due grandezze omogenee
(cioè con la stessa unità di misura) è il
quoziente tra le loro misure.
Esempio:
Gina pesa 60 kg mentre Tina 40 kg. Il
rapporto tra il peso di Gina e il peso di Tina
è 60:40 ovvero 3:2 o 3/2
E’ un numero puro (non ha l’unità di misura)
appartenente all’insieme dei numeri reali.

4. Rapporto tra grandezze non
omogenee
Il rapporto fra due grandezze non
omogenee (cioè con unità di misura diverse)
è il quoziente fra le loro misure e indica
una nuova grandezza chiamata grandezza
derivata.
Esempio:
Un aereo percorre 1000 m in 2 secondi.
Qual è il rapporto tra lo spazio e il tempo?
1000 m : 2 s = 500 m/s
Si è generata una grandezza derivata “la
velocità” con unità di misura m/s.

5. Una proporzione è l’uguaglianza di
due rapporti.
Si scrive così
a : b = c : d
Si legge:
“ a sta a b come c sta a d”
Esempio:
20 : 5 = 4 : 1

6. a : b
“a sta a b
=
c
come c
: d
sta a d”
a e c antecedenti
b e d conseguenti
a e d estremi
b e c medi
I numeri che formano una
proporzione si chiamano anche
termini

7. E
M
M
E
56 : 8 = 14 : 2
Estremi:56 e 2
Medi: 8 e 14
56 : 8 = 14 : 2
antecedenti
conseguenti

8. Prodotto da Prof.ssa Maria Raschello

9. PROPRIETA’ DELLE
PROPORZIONI
 Proprietà fondamentale
 Proprietà dell’invertire
 Proprietà del permutare
 Proprietà del comporre
 Proprietà dello
scomporre
Tutte
queste????
?
YES!!!

10. In ogni proporzione il prodotto
degli estremi è uguale al prodotto
dei medi
a : b = c : d
axd=bxc

11. PROPRIETA’
DELL’INVERTIRE
Se in una proporzione si scambia
ogni antecedente con il proprio
conseguente si ottiene ancora una
proporzione
a : b = c : d
b : a = d : c

12. Se in una proporzione si scambiano tra
loro gli estremi o i medi o entrambi, si
ottengono ancora altre proporzioni.

13. SCAMBIAMO GLI ESTREMI
a : b = c : d
d : b = c : a

14. SCAMBIAMO I MEDI
a : b = c : d
a : c = b : d

15. SCAMBIAMO
GLI ESTREMI E I MEDI
a:b=c:d
d:c=b:a

16. PROPRIETA’ DEL COMPORRE
In ogni proporzione la somma del 1°
e del 2° termine sta al 1° o al
2°termine come la somma del 3° e 4°
termine sta al 3° o al 4° termine
a : b = c : d
(a + b) : a = (c + d) : c
(a + b) : b = (c + d) : d

17. ESEMPIO NUMERICO
9 : 2 = 36 : 8
(9 + 2) : 9 = (36 + 8) : 36
11:9=44:36
Oppure 11:2=44:8

18. PROPRIETA’ DELLO
SCOMPORRE
In ogni proporzione la differenza tra il 1° e il
2° termine ( con il 1°maggiore del 2°) sta al 1° o
al 2° termine come la differenza tra il 3° e 4°
termine
( con il 3° maggiore del 4°) sta al terzo o al
4°termine.
a : b = c : d
(a-b) : a = (c-d) : b
oppure (a-b) : b = (c-d) : d

19. ESEMPIO NUMERICO
9 : 2 = 36 : 8
(9 - 2) : 9 = (36 - 8) : 36
7:9=28:36
Oppure 7:2=28:8

20. CALCOLO DEL TERMINE
INCOGNITO……se è un estremo
Il termine incognito in unaproporzione si
indica con la lettera x
In una proporzione il valore di un estremo
incognito è dato dal prodotto dei medi
diviso l’estremo noto.
Esempio:
35 : 7= 40 : X
X = (7x40) : 35 = 8

21. CALCOLO DEL TERMINE
INCOGNITO 2…..se è un medio
In una proporzione il valore di un
medio incognito è dato dal
prodotto degli estremi diviso il
medio noto.
Esempio
35 : 7= X: 8
X = (35 x 8) : 7= 40

22. Una proporzione si dice continua se ha
i medi uguali.
Il medio uguale si chiama medio
proporzionale e il quarto numero
prende il nome di terzo proporzionale.
a:b =b:d
medio proporzionale
terzo
proporzionale

23. Calcolo del medio proporzionale
in una proporzione continua
Il medio proporzionale in una proporzione
continua è dato dalla radice quadrata del
prodotto degli estremi.
Esempio:
8: X = X: 50
X = 8 ⋅ 50 = 400 = 20

24. Applicazione della proprietà del
comporre,in una proporzione con
due incognite
x : y = 5 : 2
( x + y) : x = ( 5 + 2 ) : 5
49 : x = 7 : 5
x = ( 49 x 5 ) : 7 = 35
Y = 49- 35= 14
con x + y = 49

25. Applicazione della proprietà dello
scomporre in una proporzione con
due incognite
X : Y = 24 : 6
(X-Y) : X = (24 - 6) : 24
48 : X = 18 : 24
X = (48 x 24) : 18 = 64
Y = 64 - 48= 16
X – Y = 48

26. ORA FAI TANTI
ESERCIZI!!!!!!!